9.9多面体和棱柱1

不错的

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一、多面体问：下列模型都是多面体吗？

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一、多面体定义: 由若干个平面多边形围成的空间图形叫做多面体。

定义:

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个 面的公共边叫做多面体的棱，棱和棱的公共点叫做 多面体的顶点，连结不在同一面上的两个顶点的线 段叫做多面体的对角线。面都位于这个平面的同一侧，这样的多面体叫做凸 多面体。

定义: 把一个多面体的任一个面伸展成平面，如果其余的

定义:

一个多面体至少有四个面。多面体按照它的面数分 别叫做四面体、五面体、六面体等。

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二、棱柱问：下列几何体哪些是棱柱？

(1) (2) (3) (4)

(5)

(6)

(7)

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1、棱柱的概念定义: 如果一个多面体有两个面互相平行，其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做 棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称 底；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；两个底面所在平面的公垂线段， 叫做棱柱的高。 动画E1

2、棱柱的表示 棱柱用底面各顶点的字母表 示，如图中的棱柱，记做棱柱 ABCDE—A1B1C1D1E1 ,或用表 示一条对角线的端点的字母来 表示，例如棱柱BD1

A1 B1

D1

C1

E A B C

D

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3、棱柱的分类侧棱不垂直底面的棱柱叫做斜棱柱、侧棱垂直底面的棱柱 叫做直棱柱、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。 棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这 样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 动画棱柱 \015棱柱 的类型 1.swf 斜棱柱、直棱柱、正棱柱 动画 棱柱 \016棱 柱的 类型 2.swf

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4、棱柱的性质

动画棱柱 \侧棱相 等.swf (1)侧棱都相等，侧面是平行四边形。直棱柱的各个侧 面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。 动画棱 (2)两个底面与平行底面的平面的截面是全等的多边形。 柱\截面 相等.swf 〔3)不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形。 动画棱柱\ 对角面.swf

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棱柱 图 形 及 名 称侧 棱 高 侧 面

斜棱柱顶 点M

直棱柱

正棱柱

对 线 角

N

底 面

侧 面 积

*S侧=C1l

S侧=C h

S侧=nS/(其中S、是侧面的面 积，n为侧面个数。)

(其中C1是直截面的 (其中C是底面的 周长，l是侧棱长。) 周长，h为高。)

直棱柱的体积公式

V=S底h高

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四棱柱 平行六面体 定 义 底面是平行 四边形的四 棱柱叫平行 六面体。

直平行六面体 侧面与底面 垂直的平行 六面体叫直 平行六面体。

长方体 底面是矩形 的直平行六 面体叫长方 体。

正方体 棱长都相等 的长方体。

图 形

侧 面 性 底 面 质

平行四 边形 平行四 边形

矩形 平行四边形 #四条对角 线交于一点， 并在这点

互 相平分。

矩形 矩形

正方形 正方形

对 #四条对角 角 线交于一点， 线 并在这点互相平分。

(1) 同#(2) 四条对 (1)同#(2)四条对 角线的长相等； 角线的长相等；

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定理：平行六面体的对角线交于一点， 并且在交点处互相平分.

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定理：长方体一条对角线的长的平方等于 一个顶点上三条棱的长的平方和。已知：长方体 AC1中, B1D 是一条对角线

B1 D 2 AB2 BC 2 BB1 . 求证：2

证明：连结 . BD B1 B BD,

A1 B1

D1 C1

B1 D BD BB1 .2 2 2

D

又BD AB AD AB BC .2 2 2 2 2

A B

C

B1 D AB BC BB1 .2 2 2 2

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练习：已知长方体的高为2cm,长与宽的比为4: 3,一条对角线长为2 26 cm,求它的长与宽。解：不妨设 ：BC 4: B1 D 2 26cm BB1 2cm AB 3

由定理知 B1 D 2 AB2 BC 2 BB1 .2

A1 B1

D1 C1

又设AB 4a; BC 3a(a 0).2 (2 26)2 (4a) 3a) 22 ( 2 a 2 AB 8; BC 6.

D A B C

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三、例题分析例1 下列命题正确的是 A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C. 有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D. 有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱 解A1 如图，面ABC∥A1B1C1,但图中 的几何体中每相邻两个四边形的 公共边并不都平行，故不是棱柱。 A、B都不正确。当两个相邻侧 面都垂直于底面是，它们的公共 A 侧棱垂直于底面，因此这样的棱 柱是直棱柱。故选D。 C1 B1

C B

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例2 下列命题中的假命题是 A. 直棱柱的侧棱就是直棱柱的高 B. 有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱

C. 直棱柱的侧面是矩形D. 有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱 解

A.直棱柱的侧棱垂直于底面，是直棱柱的高，命题为真。B.有一个侧面是矩形，并不能保证侧棱垂直于底面，命 题为假

C.直棱柱的侧面是矩形，命题为真D.因棱柱的侧棱互相平行，因此，有一条侧棱垂直于底 面，则所有侧棱都垂直于底面，构成直棱柱，命题为真。 故选B 。

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例3 棱柱成为直棱柱的一个充要条件是 A. 棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直 B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直

C. 棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直D. 棱柱的侧面与底面都是矩形

解 A.棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱 是直棱柱。(棱柱的一条侧棱与底面的两边垂直， 没有明确这两条边是否相交，保证不了)B. 棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱 柱是直棱柱。(棱柱有一个侧面与底面的一条边 垂直，即底面上一条直线与侧面垂直保证不了侧 棱与底面垂直)

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C.棱柱有一个侧面是矩形，且它与底面垂直。 (侧面与底

面垂直，侧面又不是矩形，根据两 平面垂直的性质定理，侧棱垂直与底面)

D. 棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形。 (棱柱是直棱柱，底面不一定是矩形)故选C。

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例4 已知正三棱柱的ABC——A1B1C1 各棱长都为1 (如 图),M是 底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上 的 点 ， 1 且 CN = 4 CC1,求证 AB1⊥MN 解 得 ∣a∣=∣b∣=∣c∣=1,a· = 1 a· = b· = 0 a c c AB1 = a+c, AM = (a+b), AN = b+c B1 1 1 1 MN = AN – AM = a+ b + c 2 2 4 A1 C! 设 AB=a, AC=b, AA=c 则有已知条件和正三棱柱的性质,

AB1· MN = (a+c) . ( a+b+c) 1 1 1 0 + = + cos60 = 0 2 2 4 所以 AB1⊥MN

A M

N

B

C

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习题:已知直三棱柱ABC—A‘B’C‘,∠ACB=900, CB=1,CA= 3,AA’= 6 ,M是CC’的中点,求证:BA’ ⊥AMB’ C’ M

A’

证明: BA' BA AA', AM AC CM

BA' AM ( BA AA') ( AC CM ) BA AC BA CM AA' AC AA' CM

6A

BA AC cos150 AA' CM cos 0 B0 0

2

3 3 ( ) 2

6 6 0 2

1 C

3

所以. BA’ ⊥AM

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证明二: 以C为原点建立空间直角坐标系如图B=(-1,0,0) A' (0,

3, 6 )B’

A (0, 3 ,0)BA' (1, 3, 6 )6 AM (0, 3 , ) 2BA' AM 0

zC’ M

A’

6 M (0,0, ) 2

6yA

B

1

2

C

3x

所以. BA’ ⊥AM

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