单摆振动中的等效问题

单摆振动中的等效问题

一、等效单摆的摆长

所谓摆长是悬点到摆球球心间的距离。单摆的运动轨迹点是一小段圆弧，其轨道半径R与等效摆长相等，即=R。对于形异质同的单摆物理模型，不管有无“悬点”，只要搞清了圆弧轨道的半径

R，单摆的周期即可用计算。

同学们对下图中各摆等效摆长一看便知（若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算）。

图1 图2 图3

例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹

角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。

图4 图5 图6

例2. 如图6所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止

开始释放，问哪一个小球先到A点？

讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少？ 二、等效重力加速度

等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F）与摆球的质量m之比，

即。求的基本步骤如下：

（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。

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（2）计算摆球的视重。

（3）利用，求出视重加速度。

应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。如图7几种情况，振动周期不变。

图7 图8

例3. 如图8所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过角。若绳长为l，摆球质量为m，且风

力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（ ）。

A. B. C. D.

例4. 如图10，用一根细线，长为l，将一个密度的小球拴在盛水容器的底部。

若使小球稍偏离平衡位置而振动，求它的周期是在空气中周期的几倍。

图10 图11

例5. 在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。

（1）在水平加速运动的车厢内

2

如图13所示，若将单摆悬挂于水平加速向左运动的车厢内，其平衡位置由O变到了O”，等效重力

加速度为，则振动周期为。

图13 图14

（2）在斜面上加速运动的车厢内

如图14所示，当小车沿倾角为的光滑斜面自由滑下时，单摆的周期车静止时要大。 （3）光滑斜面上的单摆

如图15所示，单摆一端系于倾角为的光滑斜面上，产生回复力的是

为，比小

的切向分力，等效重

力加速度为，周期为。

图15 图16

（4）复合场中的单摆

若将带电量为q的单摆放入电场强度为E的匀强电场中，如图16所示，则得到最常见的复合场。 若摆球带负电，则：

若摆球带正电，则： 当

时，单摆停摆。 若电场方向改为水平，同理分析可得。

（5）在匀速圆周运动的卫星内

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因为摆球受到的万有引力全部充当了和卫星一起环绕行星运动所需要的向心力，所以处于完全失重状态，单摆停摆。 三、等效单摆周期

对悬点下方有固定钉子的单摆及组合单摆来说，还存在等效周期的问题： 例6、一个单摆如图17所示，摆长l＝150厘米，悬点O的正下方有一个固定

的钉子A，OA＝50厘米，设摆角θ很小，试求此摆的周期。

例7、如图18中两单摆的摆长均为L=1m，平衡时，两钢球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在的平

面向左拉开一小角度释放，碰撞后两球分开各自做简谐运动，以

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B的质量，g取10m/s，则（ ） A. 如果B. 如果

，下次碰撞发生在平衡位置的右侧 ，下次碰撞发生在平衡位置的左侧

分别表示两摆球A、

C. 该组合摆的周期T合 =π秒

D. 无论摆球质量之比是多少，下次碰撞都不可能发生在平衡位置的左侧 [巩固检测]

1、如图19，是记录地震装置的水平摆示意图.摆球m固定在边长为l、质量可忽略的等边三角形的顶点A处.它的对边BC与竖直线成不大的α角.摆球可沿固定轴BC摆动，则摆球做微小振动时周期为多大?（答案：T=2

2、汽车的重量一般支撑在固定于轴承上的若干弹簧上，弹簧的等效劲度系数k=1.5×10N/m，汽车开

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）

动时，在振幅较小的情况下，其上下自由振动的频率满足（l为车厢在平衡位置时弹

簧的压缩的长度），若人体可以看成一个弹性体，其固有频率约为2Hz，已知汽车的质量为600kg，每个人的质量为70kg，则这辆车乘坐几个人时，人感觉到最难受？（答案：5人）

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