第一章矢量分析与场论基础题解

电磁场题解

第一章 矢量分析与场论基础

1-1 求下列温度场的等温线

11）T?xy，2）T?2 2x?y解 求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得

C⑴ xy?C，y?；⑵ x2?y2?C

x

1-2 求下列标量场的等值面

11）u? ，2） u=z-x2?y2 ， 3）u=ln(x2+y2+z2)

ax?by?cz解 据题意可得 ⑴ ax?by?cz?k

2⑵ z?x2?y2?c，x2?y2??z?c?

⑶ lnx2?y2?z2?c，x2?y2?z2?ec，x2?y2?z2?k2

., 2.0, 30.)的矢量线方程。 1-3 求矢量场A?xex?yey?2zez 经过点M(10dxdydz?? xy2z 解微分方程，可得 y?c1x，z?c2x2

., 2.0, 30.)的坐标代入，可得 c1?2，c2?3 将点M(10 即 y?2x，z?3x2 为所求矢量线方程。

1-4 求矢量场A?y2xex?x2yey?y2zez的矢量线方程。

??解 根据矢量线的定义，可得

解 根据矢量线的定义，可得

dxdydz ??222yxxyyz 解微分方程，可得 x2?y2?c1，z?c2x 为所求矢量线方程。

1-5 设u(M)?3x2?z2?2yz?2xz，求：

., 2.0, 30.)处沿矢量l?yxex?zxey?xyez方向的方向 1）u(M)在点M0(10导数，

., 2.0, 30.)处沿矢量 2）u(M)在点M0(10l?(6x?2z)ex?2zey?(2z?2y?2x)ez方向的方向导数。 解 l的方向余弦为 cos??2222cos??172?3?23322，cos??； ??22222217172?3?22?3?2?2，

1

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又有

?u?x?6x?2xzM?12，

M00?u?y??2zM??6，

M00?u?z?2z?2y?2xM?4

M00 据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z

cos??M012?2?6?3?4?217?1417

1-6 求标量场u?xy?yz?zx在点M0(10., 2.0, 30.) 处沿其矢径方向的方向

导数。

11解 l的方向余弦为 cos??，?222141?2?32233，cos??； cos????22222214141?2?31?2?3?u?u?u?x?zM?4， 又有 ?y?zM?5，?y?xM?3 000?y?xM0?zM0M0据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z

., 1.0处)沿该点至1-7 设有标量场u?2xy?z2，求u在点(2.0, ?10(30., 10., -1.0方向的方向导数。在点)( 2.0, ?10., 1.0)沿什么方向的方向导数达到最大值？其值是多少？

., 1.0)至点(30., 10., -1.0)的方向余弦为 解 点(2.0, ?103?211?12co?s??，cos???，

?3?2?2??1?1?2???1?1?23?3?2?2??1?1?2???1?1?23cos??M05?1?4?2?3?314?2214

cos???1?1?3?2?2??1?1?2???1?1?2?u?xM002??；

3?u?y?2xM?4，

M00 又有

?2yM??2，

?u?z??2zM??2

M00据方向导数的定义，可得 ?u?u?u?u?cos??cos???lM0?xM0?yM0?z2cos??M0?2?1?4?2?2?210?

33当方向余弦均为1时，方向导数达到最大值，即沿G??2ex?4ey?2ez方向导数达最大值，G???2??42???2??24?26

1-8 求下列标量场的?u

1）u?2xy；2）u?x2?y2；3）u?exsiny；

2 2

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4）u?x2y3z4； 5）u?3x2?2y2?3z2

?u?u?u解 据 ?u?ex?ey?ez，可得

?x?y?z1） ?u?2yex?2xey 2） ?u?2xex?2yey 3） ?u?exsinyex?excosyey

4） ?u?2xy3z4ex?3x2y2z4ey?4x2y3z3ez 5） ?u?6xex?4yey?6zez

., 30., -2.0)处的梯度。 1-9 求标量场u?xyz2?2x?x2y在点( ?10解 ?u?yz2?2?2xyex?xz2?x2ey?2xyezz，则所求梯度为

?????uM??12?2?6?ex???4?1?ey?12ez?4ex?3ey?12ez

0

1-10 求标量场u(x,y)?3x2?y2具有最大方向导数的点及方向，所求的点满

足x2?y2?1。（提示：最大的方向导数就是在点(x,y)处的梯度，模最大，且满足x2?y2?1，即求条件极值。） ?u?uex?ey?6xex?2yey，?u?36x2?4y2，将y??1?x2代解 ?u??x?y入，可得 ?u?36x2?4?1?x2??32x2?4，即 ??u??32x2?4，

22当x??1、y?0时，有?umax??6，即点??1,0?和?1,0?为满足条件的点，又

?u??1,0???6ex，?u?1,0??6ex，即最大方向导数的方向分别为?ex

1-11 设r?xex?yey?zez , r=r, n为正整数， 1）求?r2,?rn,?f(r),

2）证明?（a?r)?a,(a是常矢量）

解 1） ?r2??x2?y2?z2?2xex?2yey?2zez?2r

n2???? ??r?????x? ?nr??y?z2n22??n222?x?y?z?2????2xen?12x?2yey?2zez?

?n?2??1??2?rr?nrn?2 rr因此，可得 ??a?r????axx?ayy?azz??axex?ayey?azez，证毕。

r ?f?r??f??r??r?f??r?r?1r?f??r?

r2） 证明 设 a?axex?ayey?azez，则 a?r?axx?ayy?azz，

3

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1-12 设S为上半球面x2?y2?z2?a2 (z?0),其法向单位矢量en与z轴的夹

角为锐角，求矢量场r?xex?yey?zez 沿en所指的方向穿过S的通量。（提示：注意r与en同向）

解 将r?xex?yey?zez用球坐标表示，则在S面上有r?aen，因此，可得

23r?ds?a?2?a?2?a ?s

1-13 求均匀矢量场A通过半径为R的半球面的通量。

（如图1-1所示）

解 设半球面的方程为x2?y2?z2?a2 (z?0),则矢量A通过S面的通量等于矢量A通过S面在z?0的平面上的投影的通量，因此，?A?ds?A?R2

s

1-14 计算曲面积分????(x2?2xy)dydz?(y2?2yz)dzdx?(z?2x?1)dxdy,

S其中S是球心在原点，半径为a的球面外侧。

解 设A?(x2?2xy)ex?(y2?2yz)ey?(z?2x?1)ez，根据散度定理，可得

????(x2?2xy)dydz?(y2?2yz)dzdx?(z?2x?1)dxdy???A?dsSs4???????A?dv?????2x?2y?2y?2z?2z?2x?1?dv??a33vv

1-15 求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量：

1）A?x3ex?y3ey?z3ez，S为球面x2?y2?z2?a2 2）A?（x?y?z)ex?(y?z?x)ey?(z?x?y)ez，S为椭球面

x2y2z2?2?2?1 2abc解 1） 根据散度定理，可得

22222??A?ds???Adv?3x?3y?3zdv?3r?4?rdr??????????svv0??a125?a 52）

4????A?ds???Adv?1?1?1dv?3??abc?4?abc ????????3svv

1-16 求下列空间矢量场的散度：

1）A?(2z?3y)ex?(3x?z)ey?(y?2x)ez 2）A?(3x2?2yz)ex?(y3?yz2)ey?(xyz?3xz2)ez

?Ax?Ay?Az解 1） ??A????0

?x?y?z?Ax?Ay?Az2） ??A????6x?3y2?z2?xy?6xz

?x?y?z

4

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1-17 求divA在给定点处的值：

1）A?x3ex?y3ey?z3ez在M（1.0，0.0，-1.0)处； 2）A?4xex?2xyey?z2ez ,在M（1.0，1.0，3.0）处； 3）A?xyzr (r?xex?yey?zez)在M（1.0，3.0，2.0）处。 解 1） ??A??Ax?Ay?Az???3x2?3y2?3z2，则??AM?3?3?6 ?x?y?z?Ax?Ay?Az2） ??A????4?2x?2z，则??AM?4?2?6?8

?x?y?z?Ax?Ay?Az??A??????xyz?xex?yey?zez?3） ， ?x?y?z?2xyz?2xyz?2xyz?6xyz??则??AM?6?1?3?2?36

1-18 求标量场u?x3y4z2的梯度场的散度。

?u?u?uex?ey?ez?3x2y4z2ex?4x3y3z2ey?2x3y4zez 解 ?u??x?y?z ???u?6xy4z2?12x3y2z2?2x3y4?2xy23y2z2?6x2z2?x2y2

1-19 已知液体的流速场

V?3x2ex?5xyey?xyz3ez，问点M（1.0，2.0，3.0）是否为源点？

??解 ??v?6x?5x?3xy2z，由于?vM?65?0，所以M是源点。

1-20 已知点电荷q1,q2分别位于M1，M2两点处，求从闭曲面S内穿出的电

场强度通量?E, ,其中S为：

1）不包含M1，M2两点的任一闭曲面； 2）仅包含M1点的任一闭曲面； 3) 同时包含M1，M2两点任一闭曲面。

解 据高斯通量定理，可得 1） ?E???E?ds?0

s2） ?E???E?ds?q1

s3） ?E???E?ds?q1?q2

s

1-21 求矢量场A??yex?xey?cez (c为常数）沿下列曲线的环量 1）圆周x2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系）

2）圆周(x?2)2?y2?R2,z?0（旋转方向与z轴成右手关系） 解 设圆周包围的曲面为s，则s??R2，据斯托克斯定理，可得

5

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?exeyez??????21） ?A?dl??????A??ds??????ds???2ez?ds?2?R

?x?y?z?lss?s???yxC???exeyez??????22） ?A?dl??????A??ds??????ds???2ez?ds?2?R

?x?y?z?lss?s?yxC????

1-22 求矢量场A?xyz(ex?ey?ez)在点M（1.0，3.0，2.0）处的旋度以及在1这点沿方向en?(ex?2ey?2ez)的环量面密度。

3解 矢量场A?xyz(ex?ey?ez)在点M（1.0，3.0，2.0）处的旋度为

???A?M?ex??????x??Axey??yAyez?????z?Az????xz?xy?ex??xy?yz?ey??yz?xz?ezM??M

??2?3?ex??3?6?ey??6?2?ez??ex?3ey?4ez1121沿方向en?(ex?2ey?2ez)的环量面密度为 ???A?M?en???2??4?

3333

x2y21-23 设矢量场A?(x?y)ex?(y?x)ey，求该矢量场沿椭圆周C：2?2?1ab与z轴成右手关系方向的环量。

解 据斯托克斯定理，可得

eyez??ex?????A?dl??????A??ds??????ds?????2ez?ds???2?ab ??x?y?z?lss?s??x?yy?x0??

1-24 求题1-16中各矢量场的旋度。

?exeyez???????，分别可得 解 ??A????x?y?z???AxAyAz??1） ???A?M??1?1?ex??2?2?ey??3?3?ez?2ex?4ey?6ez 2） ???A?M??xz?2yz?ex??2y?yz?3z2ey?2zez

1-25 试证明矢量恒等式??（?u)?0和??(??A)?0。 证明 1） 对于标量函数u，有

?? 6

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??e?x??u?u?u???????u?????e?e???xx?yy?xez?????x????u????xey??y?u?y?ez?????z??u???z??

??2u?2u???2u?2u???2u?2u?????y?z??y?z??ex????x?z??x?z??ey????x?y??x?y??ez?0?????? 2） 对于矢量函数A，有

???Az?Ay???Ay?Ax????Ax?Az???(??A)???????y??z??ez???z??x?ey????x??y??ez??????????????Az?Ay????Ax?Az????Ay?Ax???????y??z??x???z???x??y?x??y?z?????22?2Az?Ay?2Ax?2Az?Ay?2Ax???????0?x?y?x?z?y?z?x?y?x?z?y?z????

第二章 静电场

(注意：以下各题中凡是未标明电介质和导体的空间，按真空考虑）

2-1 在边长为a的正方形四角顶点上放置电荷量为q的点电荷，在正方形几何中心处放置电

荷量为Q的点电荷。问Q为何值时四个顶点上的电荷受力均为零。

解 如图建立坐标系，可得

?Q21?ex???ex 2?4??02a/2?q?121?Q21?2??Eyey??e???ey y2?2?4??0?a22a?4??02a/2?2?2???Q?据题设条件，令 q?1????0，

??4??2??q解得 Q??1?22

4Exex?q?121?2??4??0?22a2?a??

2-2 有一长为2l，电荷线密度为?的直线电荷。

1）求直线延长线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位； 2）求线电荷中垂线上到线电荷中心距离为2l处的电场强度和电位。

解 1）如图（a）建立坐标系，题设线电荷位于x轴上l~3l之间，则x处的电荷微元在坐标原点产生的电场强度和电位分别为

dE??dx?dx???ed??， x4??0x4??0x2由此可得线电荷在坐标原点产生的电场强度和电

位分别为

E?0???dE??l3l3ll?dx?????ex? ?e?x6??0l4??0x27

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??0???d???l3l3ll?dx??ln3

4??0x4??0 2）如图（b）建立坐标系，题设线电荷位于y轴上?l~l之间，则y处的电荷微元在点?0,2l?处产生的电场强度和电位分别为

?dy?dy， ???ed??r4??0r4??0r2d?2ll1r?式中，dy?2l，，，分别代入上两式，并sin???22cos?cos2?5l?4l考虑对称性，可知电场强度仅为x方向，因此可得所求的电场强度和电位分别为

???ex??ex?ex?dyE?2l,0??2?dE?2ex?cos??cos?d??sin??004??r24??0l?04??0l45??0l0dE?

???2l,0??2?d??04??0???0??1d??1???0.24? ?ln?tan?tan?1????cos?2??0??224????0

2-3 半径为a的圆盘，均匀带电，电荷面密度为?。求圆盘轴线上到圆心距离为b的场点的

电位和电场强度。

解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。坐标原点设在圆盘形面电荷的圆心，z轴与面电荷轴线重合。场点P的坐标为?0,?,b?。在带电圆盘上取一个

电荷元?r?dr?d??，源点坐标为?r?,??,0?。由电荷元产生的电位 d?? 计算P点电位时，场点坐标?0,?,b?不变，源点坐标?r?,??,0?中r???是变量。

R?r?2?b2

整个圆盘形面电荷产生的电位为

?r?dr?d??

4??0R??? =a0?2??r?dr?d??4??0r??b2220??a?r?dr?2?0r??b220??2?0?a2?b2?b2?

?2?0?a?b2?b? 根据电荷分布的对称性，整个圆盘形面电荷产生的电场强度只有ez方向的分量

???ez?? E???????z2?0?bb???22b2?a?b???ez??2?0??b?1??a2?b2???ez ??2-4 在空间，下列矢量函数中哪些可能是电场强度，哪些不是？回答并说明理由。 1）3ex?4ey?ez 2）xex?4yey?zez 3） yex?4zey?xez 4）rer （球坐标系）5）r2e?（圆柱坐标系） 解 对于给定各矢量表达式求旋度，可得

8

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ex?1）???3ex?4ey?ez???x3ex?2）???xex?4yey?zez???xxex?3）???yex?4zey?xez???xy4）???rer??0 5）???re???ey??y4ex??0 ?z?1eyex???0

?y?z4y?zey??y4zex??2ey ?z?x1??1?1?2??rAe?r?re??3r2ez?3rez ??zz?r??rr?rr? 据??E?0，可知式3）和式5）不可能是电场强度表达式，而其余各式可

??能是电场强度表达式。

2-5 有两相距为d的平行无限大平面电荷，电荷面密度分别为?和??。求两无穷大平面分割出的三个空间区域的电场强度。

解 如图2-4所示的三个区域中，作高斯面S1，据高斯通量定理，可得在区域（1）和（3）中，电场强度为零；再作高斯面S2，据高斯通量定理，可得在区域（2） 2-6 求厚度为d，体电荷密度为?的均匀带电无限大平板在空间三个区域产生的电场强度。

解 如图2-5所示的三个区域中，作高斯面S1，据高斯通量定理，电场强度在S1上的通量为

s1?E?ds?2E1S1??dS1 ?0?d 2?0可得在区域（1）和（3）中，电场强度 E1?对于区域（2），如图建立坐标系，作高斯面S2，据高斯通量定理，电场强度在S2上的通量为 E1S2?E2S2??xS2，得 ?0?x?x?d??d?E2??E1????x??

?0?02?0?0?2?

2-7 有一半径为a的均匀带电无穷长圆柱体，其单位长度上带电荷量为?。求空间的电场强度。

解 如图建立圆柱坐标系，设圆柱体的体电荷密度为?， 则有

???a2??，即 ??? 2?a作柱对称高斯面，可得

9

电磁场题解

?r?r??r2当r?a，E?2?r?，解得 E? ?22?02??0a?0??当r?a，E?2?r?，解得 E?

?02??0r2-8 如图2-7所示，一半径为a的均匀带电无穷长圆柱体电荷，电荷体密度为?，在其中挖出半径为ab的无穷长平行圆柱孔洞，两圆柱轴线距离为d。求孔洞内各处的

电场强度。

解 设孔洞内任意场点至大、小两圆柱体轴心的矢径分别为r1、r2，则当孔洞内充满体密度为?的电荷

?r1r1?时，场点处有 E1?

2?0孔洞内充满充满体密度为??的电荷时，由??在场

?r2r2?点处产生的场强为 E2??

2?0则所求场点的电场强度为

???r1r1??r2r2???drab E?E1?E2??2?02?0?式中rab为两圆柱轴线间距d的单位矢量，方向为从大圆柱体的轴心指向小圆柱体的轴

心。

2-9 求如图2-8所示电偶极子p对实验电荷qt的作用力。 解 据教材36页式（2-67），可得实验电荷qt处的电场强度为

E?e?

4??0R3pqt则实验电荷qt所受电场力为 F?e 3?4??0R4??0r2-10 如图2-9所示，平行平板电容器中，一半是介电常数为?的电介质，另一半是真空。电容器正负极之间距离为d，加电压U。求电介质中的电场强度、电位移矢量、极化强度、极化电荷体密度以及电介质与真空分界面上的极化面电荷密度。

解 设介电常数为?的电介质中的电场强度为E1，真空中的电场强度为E2，据边界条件可得

p?2cos?er?sin?e???3pE1?E2?E?U， d据D??E，可得电位移矢量分别为 D1??Ud，

D2??0Ud

据P?D??0E，可得介质中的极化强度为 P??E??0E?以上各矢量的方向均为从正极板指向负极板。 极化电荷体密度为 ?P?????P?0

????0?Ud

10

电磁场题解

分界面上的极化面电荷密度为 ?P?P?en?0

2-11 有一带电导体球，带电荷量为q，周围空间为空气。空气的介电常数为?0，空气的击穿场强为E0。问导体球的半径大到什么程度就不会出现空气击穿？ 解 电场强度在导体球表面达到最大值，即 Emax? 则 R?q4??0R2?E0

q4??0E0

2-12 试证明在线性、各向同性、均匀电介质中若没有自由体电荷就不会有束缚体电荷。

P?E?D，证明 由于在线性、各向同性、均匀电介质中，又??0，则??D?0，可得??P?0，即?P?0。

2-13 已知某种球对称分布的电荷产生的电位在球坐标系中的表示式为

?(r)?解

abre，a和b均为常数。求体电荷密度。 r1??2???1??2??abr??1??2?abrabbr??rr??2e?e???r??2?e???2??2rr?r??r?r?r??r?r??r?r??r??

1?aab2brbrbrbr?2ae?br?1??2be?br?1??be?err?rrab?0br?2e 据????，可得 ????r?2??????

2-14 有一平行平板电容器，两极板距离AB=d ，之间平行地放置两块薄金属片C和D，忽略薄金属片的厚度，有AC=CD=DB=d。3若将AB两极板充电到电压U0后，拆去电源，问： 1）AC, CD, DB之间的电压为多少？C和D两金属片上电荷分布如何？AC, CD, DB之间的电场强度为多少？

2）在1）的基础上，若将C和D两金属片用导线联接后再断开，重新回答1）中的三个问题。 3）若充电前先用导线联接C和D两金属片，充电完成后先断开电源，再断开C和D之间连线，重新回答1）中的三个问题。

4）在2）的基础上，若将A和B用导线联接再断开，重新回答1）中的三个问题。 解 极板间的电场强度为均匀的，各极板位于等位面上。 1）各极板间距相同，因此 UAC?UCD?UDB?U/3，

在C、D两金属片的两面均匀分布有电量相同的正、负面电荷，???0U/d 各极板间的电场强度相同，E?U/d

2）将C和D两金属片用导线联接，则UCD?0，ECD?0，由于A、B极板上的电荷不变，则A、C间和D、B间的电场强度不变，电压也不变，即UAC?UDB?U/3，

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电磁场题解

EAC?EDB?U/d；C、D相对的面上电荷中和后为零，另一面不变，量值???0U/d。 3）若充电前先用导线联接C和D两金属片，则充电后UAC?UDB?U/2，UCD?0，

各极板上的电荷同2）一样，分布在A、C或D、B相对的面上，但电荷的量值为???0U/2d，A、C及D、B之间的电场强度为EAC?EDB?U/2d，C、D之间的电场强度为零。

4）据题设条件，可知UAB?0，这时C、D极板上的电荷量不变，但分布于极板的两侧，设A、C及D、B相对面的电荷为?1，而D、C相对面的电荷为?2，则?1??2??，根据电荷分布，设EAC?EDB?E1??1/?0，EDC?E2??2/?0，可得

?0?E1?E2?????0U/d，即E1?E2?U/d①，根据UAB?0可得

E1d/3?E2d/3?E1d/3?0，即2E1?E2?0②，解式①、②，可得E1?U/3d、E2?2U/3d，因此可得UAC?UDB?U/9、UCD??2U/9d，A、C及D、B相对面电荷分布?1??0U/3d，C、D相对面电荷分布?2?2?0U/3d。

2-15 有一分区均匀电介质电场，区域1（z?0）中的相对介电常数为?r1，区域2（z?0）中的相对介电常数为?r2。已知E1?20ex?10ey?50ez，求D1、E2和D2。 解 根据D??E，已知 E1?20ex?10ey?50ez， 则有 D1?20?r1?0ex?10?r1?0ey?50?r1?0ez 有根据边界条件，可得 E2?20ex?10ey?50?r1?r2ez

及 D2?20?r2?0ex?10?r2?0ey?50?r2?0ez

2-16 一半径为a的金属球位于两种不同电介质的无穷大分界平面处，导体球的电位为?0。求两种电介质中各点的电场强度和电位移矢量。

解 设上、下半球的电荷面密度分别为?1和

?2，则在半径为r的球面上，有

D1?2?r2?D2?2?r2???1??2??2?a2，即 D1r2?D2r2???1??2?a2

将D1??1E1、D2??2E2代入上式，同时考虑到在介质界面上，电场强度只有沿界面切线方向的分量，即E1?E2?E，则有 ?1Er2??2Er2???1??2?a2

???1??2?a2，据题意可得 ??1??2?a21，由此可得

E??0??E?dr??a?1??2a??1??2?r2?0??1??2??0??1??2?a2?0a?1??2?，E??2， 2aa??1??2?rr??aD1??1E?120，并可得

rD2??2E?

?2?0ar2

12

电磁场题解

2-17 在直角坐标系中，给定一电荷分布为

????0cos(x) (?a?x?a)??? a ??0 (x>a ) 求空间各区域的电位分布。

解 作图2-12所示的圆柱面，两端面位于x??a处，则当x?a时，闭合面内所包围的电荷量为

a???Q?x??2S??0cos?x?dx?2S?0sin?x??2S?0?sin?x?

0??a?0??a??a??a???电场强度为 E?0sin?x?ex

??0?a?x???a???x当x?a时，闭合面内所包围的电荷量为

Q?x??2S?a0a???a???????0cos?x?dx?2S?0sin?x??2S?0?sin?a??0

??a?0??a??a?a则电场强度也为零。

设??0??0，可得

?a????x???E?dx??0sin?xx???a000?aa???x?dx??0??cos???0???a?0a2?x??2?x??00????cos?a????x??1???

2-18 在平行平面静电场中，若边界线的某一部分与一条电场强度线重合。问：这部分边

界线的边界条件如何表示？

解 由于边界线为电场强度线，则不能是等电位线，界面上也无电场强度的法线方

向分量，则界面上??0，由此可得，界面上边界条件为?2-19 无限大导体平面上方左右对称放置两种电介质，介电常数分

别为?1和?2。在第一种电介质中距导体平面a，距电介质分界面b处，放置一点电荷q。若求解区域为第一种媒质的空间，求镜象电荷。

解 在图2-13中，设下半区为导体，则可得镜象电荷

分别为?q、q'和?q'，其中q'?

2-20 导体表面如图2-14所示的两无限大平面，在两导体平面形成的空间区域放置一点电荷q。问：两平面之间夹角?为下列数值中哪一个时可以用镜象法？镜象电荷如何分布？

???0 ?n?1??2q

???2??40，??60，??80 1） 2）3）

解 当??60时可以用镜象法求解，镜象电荷如图2-15所示。

13

?ooo电磁场题解

2-21 求截面如图2-16所示长度为l的两种圆柱形电容器的电容。 解 （1） 设内、外极板上分别有电荷?q，则在两种介质中的电场强度分别为

E1?R2q2??1lr，E2?R3q2??2lr

电极间电压为

U??E1dr??E2drR1R2

q?lnR2/R1lnR3/R2???2?l???21??

???2?l?1?2

?2lnR2/R1??1lnR3/R2（2） 设内、外极板上分别有电荷?q，其中在第一种介质中，内导体上的面电荷

因此，极间电容为 C?密度为?1，在第二种介质中，内导体上的面电荷密度为?2，则据高斯定理，有

D1r??D2r?2??????1R1???2R1?2????，考虑边界条件，有E1?E2?E， 代入上式，可得 ?1Er???2Er?2??????1R1???2R1?2????，即

R2?R???2R1?2?????R???2R1?2????R2，又有 U??Edr?11 E?11lnR1?1r???2r?2?????1???2?2????R1q?1R1?l??2R1?2????l??1???2?2?????l因此 C? ??UUln?R2/R1?2-22 球形电容器内导体极板半径为R1，外导体极板半径为R2，极板间充满介电常数为?的

电介质。求电容器的电容。

解 设球形电容器内导体电极上的分别带有电荷?q，则在极间介质中的电场强度

R2qq?11?q?R2?R1??，极间电压为 U??Edr????2??R14??r4???R1R2?4??R1R2q4??R1R2因此 C? ?UR2?R1为E?第四章 恒定磁场

(注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑）

4-1 如题4-1图所示，两条通以电流I的半无穷

长直导线垂直交于O点。在两导线所在平面，以O点为圆心作半径为R的圆。求圆周上A、B、C、D、E、F各点的磁感应强度。

解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I的直导线在P点产生的磁感应强度为

B???0I?cos?2?cos?1?e? 4?r因此，可得（设参考正方向为指出纸面）

14

电磁场题解

?????0I?cos135??cos0?cos180??cos135???0I BA??????4?4?R22RR??22???I1?IBB??0?cos90??cos0???0

4?R4?R?I2?1用类似的方法可得 BC?0，BC??0I，

4?R2?R?I?I2?1BD?0，BE?0，BF???0I

4?R2?R2?R4-2 xy平面上有一正n边形导线回路。回路的中心在原点，n边形顶点到原点的距离为R。

导线中电流为I。

1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度； 2）证明当n趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为R的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算n等于3时原点的磁感应强度 。

解 如图4-3中所示为正n边形导线回路的一个边长，则所对

2?，各边在圆心产生的磁感应强度为 n?I?I?IB1??0?cos?2?cos?1?e???0??cos?1?cos?1?e??0?2cos?1?e?4?r4?r4?r

?0I?0I?0I????0I????cos??1?e??cos??1?e??sin??e??tan??e?2?r2?r2?r?n?2?R?n?n?0I???1）n条边在圆心产生的磁感应强度为 B?ta?n?e?

2?R?n?n?0I?I???2）当n??时，圆心处的磁感应强度为 B?limtan??e??0e?

n??2?R2R?n?应的圆心角为

3）当n等于3时圆心处的磁感应强度为 B?

4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为R的圆形导线回

路通以电流I时，在其轴线上产生的矢量磁位。

解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z处的矢量磁位为

3?0I33?0I???ta?n?e??e? 2?R2?R?3?A??0I4?z?R22?dl?0

l4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电

流I在其中垂线上距线电流1米处的矢量磁位。

解 据76页例4-4，可得 A?ez?0Isin?1?1?co?s2?， ln4?sin?2?1?co?s1? 15

电磁场题解

2?2??1???2?2??0I??e?0Iln2?1 ??其中，ln?1?45，?2?135，则 A?ezz4?4???2?122?1??2?2???4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理由。

1） Arer （球坐标系） 2） A(xey?yex)

3） A(xex?yey) 4） Are?（球坐标系） 5） Are?（圆柱坐标系）

1?3(rA)?3A?0 2r?r?Ax?Ay?Az2） ??A=?? ?0

?x?y?z?Ax?Ay?Az3） ??A=?? ?1-1?0

?x?y?z1?21?1?A?(rAr)?(A?sin?)??0 4） ??A?2rsin???rsin???r?r1?1?A??Az(rAr)???0 5） ??A?r?rr???z 由于??B?0，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5）可

解 1） ??A?能是磁感应强度表达式。

4-6 相距为d的平行无限大平面电流，两平面分别在

z??d/2和z?d/2平行于xy平面。面电流密度分别为Kex和Key，求由两无限大平面分割出的三个空间区域

的磁感应强度。

解 如图建立坐标系，并作平行于xz平面的闭合回

线l1，据安培环路定律，可得 Hx?K 2K 2和平行于yz平面的闭合回线l2，可得 Hy?考虑坐标系，及B??H可得

?K?Kd，B??0ex?0ey； 222?K?K?K?Kddd当??z?，B??0ex?0ey；当z??，B?0ex?0ey；

22222224-7 求厚度为d，中心在原点，沿yz平面平行放置，体电流密度为J0ez的无穷大导电板产

当z??生的磁感应强度。

d，作闭合回线l1，2d据安培环路定律，可得B??0J0x，当x?，作闭合

2?Jd回线l2，据安培环路定律，可得B?00，

2解 如图4-6建立坐标系，当x?

16

电磁场题解

??0J0d??2ey??因此，可得B???0J0xey???0J0dey??2x???dd?x? 22dx?2d24-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流I。求各处的磁感

应强度。

解 作半径为r的闭合回线，据安培环路定律，

??0Ir??2?R2er1??I??0er可得 B??2?r??0IR32?r2e?22r?2?rR3?R2??0r?R1R1?r?R2R2?r?R3r?R3

4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为J的体电流。求小圆柱面

内空洞中的磁感应强度。

解 设小圆柱面内空洞中的任意点p至大、小圆柱面的轴心距离分别为r1、r2，当空洞内也充满体电流时，可得p点的磁感应强度

为B1??0Jr12e1，空洞内的体电流密度在p点产

生的磁感应强度为B2??0Jr22e2

B?B1?B2??0J2?r1e1?r2e2???0Jdex

24-10 内半径为R1，外半径为R2，厚度为h，磁导率为?（????0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N匝

线圈，如图4-9所示。线圈中电流为I。求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。

解 在铁芯中作与铁芯圆环同轴半径为r的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为

B??0INe? 2?rR21相应的磁通为

?0IN?INhR2 hdr?0lnR2?r2?R1?0IN2hR2磁链为 ??N?? ln2?R1???4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流

I，如图4-10所示。求两种媒质中的磁感应强度和

磁场强度。

解 设z轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 H14?r?H24?r?I，

17

电磁场题解

?1H1??2H2

?2I解以上两式，得 H1?e?，

???1??2?r?2IH2?e?，

???1??2?r?1?2IB1?B2?e?

???1??2?r据边界条件，可得

4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为R。

求这对导线单位长度的电感。

解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a、b的单为长度内自感为

Li??0 4?对于外自感，如图4-12取镜象，a、b之间的外磁链可视为a、b和c、d中的电流分别作用后叠加，即

?0Id?R?0Idln?ln，?R?R?0Id2?4h2?0Id2?4h2 ?2??2?ln?ln22?2h?4h?0Id?0Id2?4h2?0Idd2?4h2ln?ln?ln?外磁链为 ???1??2? 22?R??R4h4h?1??1?外自感为

?0dd2?4h2Lo??ln?

I?R4h2?因此，自感为

?0?0dd2?4h2L?Li?Lo??ln? 24??R4h4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷

长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿

轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有何变化？

解 设长直导线中有电流I，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为

???0IhR2?NIhR2，??N??0 lnln2?R12?R1因此，两线圈之间的互感为

M??I??0NhR2 ln2?R1根据诺以曼公式，可知两线圈之间的互感也可

视为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的

18

电磁场题解

磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的磁通没有发生变化，因此互感也不变。

4-14 如图4-14所示，内半径为R1，外半径为R2，厚

度为h，磁导率为?（????0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N匝线圈。求此线圈的自感。若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为??，求线圈的自感。

解 当线圈中有电流I时，设铁芯中的磁场强度为H、气隙中为H0，据安培环路定律，可得

H?2?????r?H0?????r?NI 据边界条件，可得 ?H??0H0，代入上式，

得

H?NI???r??2???????????0????0NI

r??0?2???????????0?NI

r??0?2??????????R?0?NhIR则铁芯及气隙中的磁通为 ???Bhdr?ln2

Rr??0?2??????????R1?0?N2hIR线圈所链绕的磁通为 ??N??ln2

r??0?2??????????R1?0?N2hR?则电感为 L??ln2

Ir??0?2??????????R1相应的磁通为 B??H?21

4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。

解 （a）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得

y?dx 2b长直导线中的电流I在三角形线圈中产生的磁感应强度为

B?2??a?x??0I，

则磁通为

?0Idbx??dx2?b?0a?x

?0Id?a?b???b?aln?2?b?a????0d?a?b?互感为 M???b?aln??

II2?b?a? 19

电磁场题解

（b）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得y??d?x?b? 2b长直导线中的电流I在三角形线圈中产生的磁感应强度为 B?则磁通为

2??a?x??0I，

?0Idbx?b?0Id?a?b???dx?a?bln?b?? ?02?ba?x2?b?a????0d?a?b?互感为 M?????a?bln?b? ?II2?b?a????4-16 试证明真空中以速度v运动的点电荷所产生的磁场强度和电位

移矢量之间关系为H?v?D 。

证明 如图4-16，点电荷q在半径为r处产生的电位移矢量为

qer，当点电荷q以速度v向z方向运动时在半径为r4?r2qv?erqer?v??v?D证毕。 处产生的磁场强度为H?4?r24?r24-17 试证明真空中以角速度?作半径为R圆周运动的点电荷q在圆心处产生的磁场强度为

q?H?en，en是与圆周运动方向成右手螺旋关系方向的单位矢量。

4?RD?证明 如图4-17所示，以角速度?作半径为R圆周运动的点电荷q的线速度为 v??Re?，则磁场强度

H?qv?Rerq??en 24?R4?R证毕。

4-18 如图4-18所示，半径为a，长度为2l的永磁材料圆柱，被永久磁化到磁化强度为M0ez。

求轴线上任一点的磁感应强度B和磁场强度H。

解 等效的磁化电流体密度和面密度分别为 Jm????M????M0ez?0，

Km?M?en?M0ez?er?M0e? 参阅教材72页例4-2，可得图4-19所示电流微元M0dz?在z点产生的磁感应强度为

dB??0a2M0dz?2a2?z2?z?2????32ez

则圆柱体上的磁化电流在轴线上产生的磁感应强度为

B?2?dB??0ll?0a2M0dz?0?a??z22?z?22??32ez

??0M02[l?za?(l?z)2?l?za?(l?z)22]ez

20

电磁场题解

H?B?0?M?M0l?zl?z[??2]ez

22222a?(l?z)a?(l?z)4-19 有两个相邻的线圈，设各线圈的磁链的参考方向与线圈自身电流的参考方向成右手螺

旋关系，问：如何选取两线圈电流参考方向，才能使互感系数为正值？如何选取两线圈电流参考方向，才能使互感系数为负值。

解 选择I1和I2的参考方向，使I1产生的磁通与I2成右手关系、I2产生的磁通与I1成右手关系，则互感系数为正值。选择I1和I2的参考方向，使I1产生的磁通与I2成左手关系、I2产生的磁通与I1成左手关系，则互感系数为负值。

4-20 半径为a的无穷长圆柱，表面载有密度为K0e?的面电流。求空间的磁感应强度和

矢量磁位。

解 如图建立圆柱坐标，由于对称性，则场量仅可能为r的函数，作轴心与z重合、半径分别大于或小于a圆柱面，据

??B?ds?0，可得Bsszsr?2?rl?0，即Br?0；对于Bz，由于

z磁感应强度线应经无穷远处闭合，即

??B?r?a?ds???B?r?a?ds，则当r?a，Bz?0；当

r?a，作闭合回线l，据安培环路定律，可得?B?dl?Bz?r?a??l1??0K0l1，即Bz?r?a???0K；作轴

l心与z重合、半径分别大于或小于a圆环线，据安培环路定律，可得B??0。

综合以上分析，可得磁感应强度为 B????0Kez (r?a)

?0 (r?a)??0Kre? (r?a)??2 根据?A?dl??B?ds，可得矢量磁位为 A?? 2ls?Kae??0 (r?a)?2r?式中l为环绕s的闭合回线。

4-21 在沿z轴放置的长直导线电流产生的磁场中，求点(0, 1, 0)与点(0, ?1, 0)之间

的矢量磁位差和标量磁位差（积分路径不得环绕电流）。

解 沿z轴放置的长直导线电流产生的磁场，作轴心与z重合、半径为1的圆环线，设积分路径为点(0, 1, 0)与点(0, ?1, 0)之间半圆环线，由于在半径相同的点上，矢

量磁位相同，因此矢量磁位差为0；标量磁位差??m?中正、负与电流与积分路径绕行方向相关。

?H?dl?l?II??r??，式2?r2第五章 时变电磁场

5-1 如图5-1所示，一个宽为a、长为b的矩形导体框，放置在磁场中，磁感应强度为B导体框静止时其法线方向en与ey呈?角。求导体框静止时或以角速度?绕x轴旋转（假定t势。

?B0sin?tey。

?0时刻，??0）时的感应电动

21

电磁场题解

解 由于

B?B0sin?tey，据 e????s?B?ds， ?t导体框静止时，

e???B?abcos???abcos?B0?cos?t ?t 导体框旋转时，

e????????B0sin?t?abcos?t?B?ds??B?abcos?t?????ts?t?t1??B0ab??2?cos2?t??abB0?cos2?t25-2 设图5-2中随时间变化的磁场只有z轴分量，并沿

规律分布。现有一匝数为N的线圈平行于xoy平面，以速度v沿

y轴按B?Bz(y,t)?Bmcos(?t?ky)的

y轴方向移动（假定t?0时刻，线圈几

何中心处y?0）。求线圈中的感应电动势。

解 据 e?设 y1?vt???v?B??dl

la,2y2?vt?a，则有 2?a?a????e?Nb?v?B1?y1??B2?y2???Nb?vBm?cosk?vt???cosk?vt?????Nb?vBmsin?kvt?2?2?????5-3 一半径为a的金属圆盘，在垂直方向的均匀磁场B中以等角速度?旋转，其轴线与磁场平行。在轴

与圆盘边缘上分别接有一对电刷，如图5-3所示。这一装置称为法

拉第发电机。试证明两电刷之间的电压为

?a2B

2

。

解 由于??则有

d??dt?d?，，???t，v?r? dta?Ba2 e???v?B??dl??r?B?dr?02l5-4 设平板电容器极板间的距离为d，介质的介电常数为?0，极板间

接交流电源，电压为u?Umsin?t。求极板间任意点的位移电流密度。

解 对于平板电容器，极间电场为均匀场，

Um?U?D?0Umsin?t，D??E?0msin?t，JD???cos?t

?eddd5-5 一同轴圆柱形电容器，其内、外半径分别为r1?1cm、r2?4cm，长度l?0.5m，极板间介质

则有 E?的介电常数为4?0，极板间接交流电源，电压为u间任意点的位移电流密度。

?60002sin100?t V。求t?10. s时极板

22

电磁场题解

解 对于同轴圆柱形电容器，由于r??l，则极间电场强度和电压分别为

E?r??uu?，u?， ??ln2，因此

r2??r2??ln42??r1ln2r14?u1?cos100?t1u1?D4?0?60002?100?，D?0?，J??? ln4rln4r?tln4r4?0?60002?100?er6.81?10?5J?t?1s????erA/m2

ln4rr5-6 当一个点电荷以角速度?作半径为R的圆周运动时，求圆心处位移电流密度的表达式。

E?解 在圆心处，电位移矢量D?由于

qqRe?， r4?R24?R3?r?v?r?e?，则可得圆心处位移电流为 ?t?Dq?Rqqq??sin?tex?cos?tey? JD?????R?e???e????t4?R3?t4?R34?R24?R25-7 一个球形电容器的内、外半径分别为a和b，内、外导体间材料的的介电常数为?、电导率为?，在

内、外导体间加低频电压u?Umcos?t。求内、外导体间的全电流。

q， 4??r2uab1?uab1q?11?qb?a?，D?? 电压 u?，则有E???????b?arb?ar24???ab?4??ab?uab1?Umab1?2??co?st?2 因此，传导电流密度 Jc??E?b?arb?ar?D?ab1???Um??sin?t?2 位移电流密度 JD??tb?arUmabr0??cos?t???sin?t??2 全电流密度 J?b?ar4?Umab2?rcos?t???sin?t? 全电流 I?4?r?J?b?a解 对于球形电容器，极间电场强度为 E?

5-8 在一个圆形平行平板电容器的极间加上低频电压u的介电常数为?，试求极板间的磁场强度。

?Umsin?t，设极间距离为d，极间绝缘材料

解 圆形平行平板电容器极间的电场强度、电位移矢量及位移电流密度均为均匀场，

?Um?D?Um?uUm?cos?t ?sin?t，D??E?sin?t，JD??tddddJDr?Um??cos?t2?re? 据安培环路定律，可得 H2?r??rJD，则 H?22d即 E?

5-9 在交变电磁场中，某材料的相对介电常数为?r?81、电导率为??4.2 S/m。分别求频率

f1?1kHz、f2?1MHz、以及f3?1GHz时位移电流密度和传导电流密度的比值。

23

电磁场题解

J???81?8.85?10?12?2?f解 据 ???1.07?10?9f，可得

Jc?4.2f1?1kHz时，

JJD?1.07?10?6；f2?1MHz时，D?1.07?10?3；

JcJcJD?1.07 Jcn?3000r/min。线圈的匝数

f3?1GHz时，

5-10 一矩形线圈在均匀磁场中转动，转轴与磁场方向垂直，转速

动势。

N?100，线圈的边长a?2cm、b?2.5cm。磁感应强度B?01. T。计算线圈中的感应电

解 转速 n?3000r/min?3000r/sec?50r/se，角频率c 60??100?rad/sec

线圈截面 S?ab，磁通 ??B?ab?cos?t，磁链

??N??NBa?bco?st

线圈中的感应电动势

e??d??NBabsin?t?100?0.1?0.02?0.025?50?2?sin?t?1.57sin?t dte有效值?1.11V

5-11图5-4所示的一对平行长线中有电流i(t)?Imsin?t。求矩形线框中的感应电动势。

解 如图建立坐标系，则线框中任意点的磁感应强度为

B??i2??r?b?a???i?i?b?a? ???2?r2??r?r?b?a??元磁通

d??Bhdr，则线圈所链绕的磁通

????b?cbd???i?b?c?b?ab?c??ln?ln?ez2??b?b?ab??t?c?ab?ln???ez2??ab?c?

线圈的感应电动势

e??d????Imhb?c?a???lncos?t dt2?a?b?c?5-11 一根导线密绕成一个圆环，共100匝，圆环的半径为5cm，如图5-5所示。当圆环绕其

垂直于地面的直径以500 r/min的转速旋转时，测得导线的端电压为1.5mV（有效值），求地磁场磁感应强度的水平分量。

解 转速 n?500r/min?角频率 ??500r/s， 602??500rad/，s 60 24

电磁场题解

线圈截面 S??r2???0.052?0.00785m2

通过线圈的磁通量 ??BScos?t，相应的磁链 ??N??NBSco?st，

d??NBS?sin?t， dtNBS?100???0.052?2??500电动势的有效值 e有效值??B?1.5?10?3V

26021.5?10?3?602?5因此，所求地磁 B??5.16?10T 2100??0.05?2??500则线圈的电动势为 e??

5-13 真空中磁场强度的表达式为H?ezHz?ezH0sin??t??x?，求空间的位移电流密度

和电场强度。

解 据磁场强度表达式，可得电场强度 E?eyE0sin??e??x?，

?0?H0E?，则 E?sin?(t??x)ey，????0H?0??0?H0D?sin??t??x?ey

??D??H0?cos??t??x?ey??H0cos??t??x?ey 位意电流密度 JD??t?又

5-14 已知在某一理想介质中的位移电流密度为JD?2sin(?t?5z)ex ?A/m2，介质的

介电常数为?0，磁导率为?0。求介质中的电场强度E和磁场强度H。 解 据位移电流表达式，可得 则可得电位移矢量 D??D2??t?5z?exμA/m?2sin

?t?2?D2电场强度 E???cos??e?5z?ex

?0??0??0E2磁场强度 H??cos??e?5z?ex??cos??t?5z?ey?5

cos??e?5z?ex，

?A/m

5-15 由两个大平行平板组成电极，极间介质为空气，两极之间电压恒定。当两极板以恒定

速度v沿极板所在平面的法线方向相互靠近时，求极板间的位移电流密度。

解 设两极板间的初始距离为x0，在时刻t，极板间的距离为x，则x?x0?vt， 极间电场强度 E??U?0UU，电位移矢量 D?0? xxx0?vt???Dv??0U?e 2?x?t(x?vt)?0??4?0的油，

因此，位移电流密度 J?第六章 电磁场能量

6-1 一个空气介质的电容器，若保持极板间电压不变，向电容器的极板间注满介电常数为?问注油前后电容器中的能量密度将如何改变？若保持电荷不变，注油前后电容器中的能量密度又将如

何改变？

25

电磁场题解

?UU，D? dd11U2当极板间电压不变时，空气介质中电场能量密度 w0?ED??2??0

22d1U2注油后电场能量密度 w??2?4?0?4w0

2dQ当极板上电荷不变时，极板上的电荷面密度 ?? ，则电场强度

S解 平行极板间电场强度和电位移矢量分别为 E?E??， ?11?2电位移矢量 D??，空气介质中电场能量密度 w0??ED??

22?0注油后电场能量密度 w??22?4??0?0.25w0

6-2 内、外两个半径分别为a、b的同心球面极板组成的电容器，极板间介质的介电常数为?0，当内、

外电极上的电荷分别为?q时，求电容器内储存的静电场能量。

解 如图6-1建立球坐标，球形极板间的电场强度和电位移矢量为

E?q4??0r2，D?q4?r2，

则极板间的电场能量

W??ba1?q?111?q?4?2????4?4?rdr????2?4???0r2?4???022?badrq2?r28??0?11???? ?ab?6-3 两个同轴薄金属圆柱，半径分别为R1?5cm、R2?6cm，小圆柱有l?1m放在大圆柱内，极

板间介质的介电常数为?0，如果在两圆柱间加上U?1000V的电

压，求电容器极板间储存的静电场能量。

解 如图6-2建立圆柱坐标，圆柱形极板间的电场强度为

?，由于极板间的电压U?1000V，则有

2??0rR?U1000???， U?ln2?1000，可得

R2??0ln1.22??0R12E?lnR12W??则极板间的电场能量

R2R1???0lU21?U1??0??l?2?r?r?dr?lnR/R2?lnR/R21?21??12

???8.85?10?103ln1.2?1.52?10?7J 26

电磁场题解

6-4 内导体半径为a，外半径为b的同轴电缆中通有电流I。假定外导体的厚度可以忽略，求单位长度的

磁场能量。

解 如图6-3建立圆柱坐标，当r?a时，有

H?Ir2?a2

相应的磁场能量为

Wm1??当aa0?0?I?2?0I2??r?2?rdr?2?2?a2?16?I2?r

2

?r?b时，有 H?b相应的磁场能量

Wm2??a?0?I?1?0I2bln ???2?2?rdr?2?2??r4?a?0I2?0I2b?0I2?1b???ln???ln? 16?4?a4??4a?2所求磁场能量为

Wm?Wm1?Wm26-5 空气中有一个边长为b的等边三角形回路和一长直导线，三角形回路的一边与长直导线

平行，间距为a，三角形回路的另一顶点离直导线较远，如图6-4所示。当直导线和三角形回路分别有电流I1和I2时，求三角形回路与直导线之间的互有磁场能量。

解 如图建立坐标系，电流I1三角形线圈中产生的磁

?0I1，

2??a?x??0I1元磁通 d??Bds??2y?dx，

2??a?x?感应强度为 B?式中 y??133b2x?b， 2磁通 ???0?????a?x??2?0I1?b??0????两线圈间的互感 M???????因此，两线圈间的互有能

??3a?b?0I1??ab?x?13?2???ln??b? ?dx??????aa2?3???32??????3a?bab?13?2????b? ?ln2aa23??????3a?b?0I1I2??ab?13?2??W?MI1I2???ln??b? ?????32?aa2?????

27

电磁场题解

6-6 一个平板电容器的极板为圆形，极板面积为S，极间距离为d。介质的介电常数为?，

电导率为?。当极板间电压为直流电压U时，求电容器中任一点的坡印亭矢量。

解 如图建立坐标系，两极板间的电场强度、传

U?Uez，JC??E? dd据安培环路定律，可得 H?2?r?JC??r2

Jr?Ure? 即 H?Ce??22d导电流密度分别为 E?则坡印亭矢量为

U?U?U2S?E?H???rer??2er

d2d2d6-7 在题6-6中，如果电容器极间的电压为工频交流电压u?坡印亭矢量及电容器的有功功率和无功功率。

?U?02Uco3s1t4??ez 解 据题意，可得各极间电场强度为 E?相量式Eez，

ddu?uU?0??ez，相量式D?ez则传导电流密度为JC??E?ez，电位移矢量D??dd?d??U?0?D3142Usin314t??e相量式 J位移电流密度J???ez，相量式 CzDd?t?d?j?U?0??D?????J??J??U?JD??ez则全电流密度 J??j??ez，磁场强度 CD?t?dd???2?rJUr?U????????e???H???r? 坡印亭矢量H??jeS?E??j????er ??22d?????2d2??U2R?U2??R2?2?Rd?由此可得有功功率P?，

d2d2U2R??U2?R2??2?Rd??无功功率Q?? 2??d2d2Ucos314t。求任一点的

第七章 平面电磁波

7-1

设空气中有一平面电磁波在坐标原点的电场强度为E?Ex(0,t)?Emcos?t，电磁波以速度v沿z轴方向传播。求电场强度和磁场强度的表达式。 解 据题意可得 E?z,t??Emco?s?t??z?ex?Emco?s?t? H?z,t??Hmcos??t??z?ey?7-2

7??z??ex v??z?cos??t??ey

?0/?0?v?Em设空间某处的磁场强度为H?01求电磁波的传播.cos(2??10t?021.x)ez A/m。方向、频率、传播常数、传播速度和波阻抗，并求电场强度的表达式。

解 据磁场强度表达式，可得电磁波的传播方向为x轴正方向，

?2??107??107Hz，传播常数 ??0.21rad/m频率 f?， 2?2? 28

电磁场题解

?2??107传播速度 v?， ??3?108m/s?0.21?04??10?7??377? 波阻抗 Z??12?08.85?10电场强度

E?0.1Zcos(2??107t?0.21x)ey?37.7cos(2??107t?0.21x)eyV/m7-3

一在真空中传播的电磁波电场强度为E?E0[cos(?t?ky)ex?sin(?t?ky)ez]，求磁场强度。

E0[co?st(?ky)??ez??sin?(t?ky)ex] 3777-4 某良导体中一均匀平面波的频率为f0，波长为?0。求该电磁波的传播常数、衰减系

解 据题意可得 H?数、相位常数、传播速度和透入深度。

解 据题意，已知频率f0，波长?0，磁导率?0，介电常数?0，媒质为良导体，电导率?，并有

??2?2???2，则可得

传播常数 Γ???1?j?相位常数

?????1?j?2??0，衰减系数

?????2?， ?2?0?????2?， ?2?02?传播速度 v?7-5

????2????2?f0??0?2?f0?0，透入深度 d??0 2????2?已知真空中有一均匀平面波的电场强度E?Exex?Eyey。其中，，Ex?100cos(2??108t?0.21z) V/mEy?100cos(2??10?8t?021.z?90?) V/m。求磁场强度的瞬时值及相量表达式。

解 据电场强度的表达式，可得磁场强度的瞬时值表达式为

H?Hyey?Hxex?0.265cos(2??10?8t?0.21z)ey?0.265cos(2??10?8t?0.21z?90?)exA/m

??0.265e?0.21ze?je?0.187e?0.21ze?jeA/m相量表达式为 H yxyx2????

7-6

在自由空间中某一均匀平面波的波长为12 cm。当它在某一无损媒质中传播时，其波长为8 cm，且已知在该媒质中E和H的幅值分别为50 V/m和0.1 A/m。求该平面波的频率以及该无损媒质的?r和?r。

3?108解 据题意，在自由空间中，?0?12cm，则频率 f???2.5?109Hz

?00.1298在无损媒质中，波长??8cm，则波速v??f?0.08?2.5?10?2?10m/s

v 29

电磁场题解

??E5015，可得?2.5?10，???0.25?10?16 ???500，v???H0.1???11解得?2?2.5?105?0.25?10?16?6.25?10?12，即??2.5?10?6，??1?10

?2.5?10?6?1?10?11则 ?r???1.989，?r???1.13

?04??10?7?08.85?10?12由于

7-7

设一均匀平面波在一良导体中传播，其传播速度为真空中光速的01%.，波长为

03. mm。设媒质的磁导率为?0，试决定该平面波的频率和良导体的电导率。

解 据题意，可得

3?108?0.1%2?9?1?10Hz频率 f??，由于在良导体中，，即v??0.3?10?3??v2?2?2??1097v?，则有 ?? ??1.11?10S/m2?78???v4??10?3?10?0.1"???7-8

某导电媒质的磁导率为?0，电导率为4.2 S/m。求透入深度为1米的电磁波的频率。 解 据d?2d???214则 f????6.03?10Hz 22?72?2?d??4??10?4.2???，可得??22，

7-9

频率为1010 Hz的平面电磁波沿x轴垂直透入一平面银层，银层的电导率为

3?107 S/m，求透入深度。

解 d?

2????2?7?9.19?10m 10?772??10?4??10?3?10

30

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