概率统计第二章答案

概率论与数理统计作业

班级 姓名 学号 任课教师

第二章 随机变量及其分布

教学要求：

一、理解随机变量的概念；理解离散型随机变量及其分布律的定义，理解分布律的性质；掌

握(0-1)分布、二项分布、Poisson分布的概念、性质；会计算随机变量的分布律. 二、理解分布函数的概念及其性质；理解连续型随机变量的定义、概率密度函数的基本性质，

并熟练掌握有关的计算；会由分布律计算分布函数,会由分布函数计算密度函数,由密度函数计算分布函数.

三、掌握均匀分布、正态分布和指数分布的概念、性质. 一、掌握一维随机变量函数的分布．

重点:二项分布、正态分布，随机变量的概率分布． 难点:正态分布，随机变量函数的分布．

练习一 随机变量、离散型随机变量及其分布律

1．填空、选择

(1)抛一枚质地均匀的硬币，设随机变量X??T，?0，出现反面 H，?1，出现正面（，2]上取值的概率为12. 则随机变量X在区间

(2)一射击运动员对同一目标独立地进行4次射击,以X表示命中的次数,如果

12P?X?1??80,则P?X?1??881. 81i(3)设离散型随机变量X的概率分布为P?X?i??cp,i?1,2,?,其中c?0是常数，

则（ B ） （A）p?

2．一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量X的分布律.

3解：从1～5中随机取3个共有C5?10种取法.

11； （B）p?； （C）p?c?1； （D）p?0为任意常数 c?1c?1以X表示3个中的最大值.X的所有可能取值为3,4,5;

?X?3?表示取出的3个数以3为最大值,其余两个数是1,2,仅有这一种情况,则

1

P?X?3??1; 10 ?X?4?表示取出的3个数以4为最大值,其余两个数可在1,2,3中任取2个,共有

C323C?3种取法,故P?X?4??3?;

C510232 ?X?5?表示取出的3个数以5为最大值,其余两个数是1,2,3,4中任取2个,共有C4?62C463种取法,故P?X?5??3??.P?X?5? 也可由1?P?X?3??P?X?4?得到.

C5105 随机变量X的分布律为 X 3 4 5 Pk

136 1010103．设X为随机变量，且P(X?k)?1(k?1,2,?), 则 k(1)判断上面的式子是否为X的概率分布； 解：令pk?P(X?k)??21,k?1,2,?， 2k?111显然 ① 0?pk?1，② ?pk??k?2?1；所以P(X?k)?k,k?1,2,?为

21?1k?1k?122随机变量X的概率分布。

(2)若是，试求P(X为偶数）和P(X?5).

解：P(X为偶数)??pk?1?2k111??2k?41?；

1?43k?12?1511 P(X?5)??pk??k?2?。

11?216k?5k?52??4. 设一次试验成功的概率为p(0?p?1)，不断进行重复试验.

(1)若将试验进行到首次成功为止,用随机变量X表示试验的次数，求X的概率分布(此时称X服从以p为参数的几何分布)；

解：此试验至少做一次,这是X可能取值的最小值.若需要做k次,则前k?1次试验均

失败,最后一次成功,由于各次试验是相互独立的,故分布律为:

P(X?k)?p(1?p)k?1,k?1,2,?。

(2)若将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需要的试验次数,求Y的分布律（此

时称随机变量Y服从以r,

p为参数的巴斯卡分布或负二项分布）

2

解：此试验至少做r次,若需要做k次,则第k次必为成功,而前k?1次中有r?1次成功,由于各次实验是相互独立的,故分布律为:

?1rk?rP?Y?k??Ckr?p(1?p),k?r,r?1,?。 1

(3)一篮球运动员投篮命中率为45﹪.以X表示他首次投中时累计投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.

解：这是(1)中p?0.45的情形,先写出X的分布律:

P?X?k??0.45(0.55)k?1,k?1,2,?.

因?X?j???X?k???,j?k,故X取偶数的概率为

?????0.45?0.5511P??(X?2k)???P?X?2k???0.45(0.55)2k?1??。 2311?0.55k?1?k?1?k?1

5．一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的.求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？

解:因为学生靠猜测答对每一道题的概率p?复试验,故

11,所以这是一个n?5,p?的独立重

4413151530P(X?4)?C54()4??C5()()?.

444464

6．设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3.当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.

(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率；

解:设X表示在5次实验中A发生的次数,则X~B(5,0.3),指示灯发出信号这一事件可表示为?X?3?,故所求的概率为

34P?X?3??C50.33(1?0.3)2?C50.34(1?0.3)?0.35?0.163.

(2) 进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率。

解:设Y表示在7次试验中A发生的次数,则Y~B(7,0.3),故指示灯发出信号的概率为

P?Y?3??1?P?Y?0??P?Y?1??P?Y?2??1?(1?0.3)?C(1?0.3)?0.3?C(1?0.3)?0.3?0.35371762752

7．为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员.根据经验每台设备发生故障的概率为0.01，各台设备工作情况相互独立.

(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率；

3

解：设X表示设备发生故障的台数，则X~B(20,0.01)，于是由1人负责维修20台设备，发生故障后不能及时维修的概率为：

k?0.01??0.99?P?X?2???C20kk?22020?k

?1?(0.99)20?20?0.01?(0.99)19?0.0175 (按Poisson分布近似)

(2）设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保

证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01？

,0.01),设N为需配备的维修人员，则解：设Y表示设备发生故障的台数，则Y~B(100设备发生故障而不能及时维修的概率为

P?Y?N??依题意有

k?N?1?C?0.01??0.99?k100kk100?k100100?k

P?Y?N??k?N?1?C?0.01??0.99?k100100?0.01

由于 n?100,np?100?0.01?1?? ，由Poisson分布近似得

P(Y?N)?k?N?1?C100k100(0.01)(0.99)k100?k1k?e?1???0.01，

k!k?N?1100查表得N?4.所以至少需配备4名维修人员.

8. 设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson分布.经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.

解：设X服从参数为?泊松分布，即X～????，则X的分布律为

P?X?k??e???kk!，依题意有P(X?1)?P(X?2)，即

?11!e????22!e??,解得??2.

所以每页没有印刷错误的概率

p1?P?X?0??e?2,

任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率

p2?(e?2)4?e?8.

9. 某公安局在长度为t的时间间隔内收到紧急呼救的次数X服从参数为Poisson分布，而与时间间隔的起点无关（时间以小时计），求

1t的2 4

（1）某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率； 解：已知X~?(t)，某一天从中午12时至下午3时t?3,则??急呼救的概率为

123,于是没有收到紧2P(X?0)?e?32?0.2231.

（2）某一天从中午12时至下午5时至少收到1次紧急呼救的概率。 解：已知X~?(t)，某一天从中午12时至下午5时t?5,则??次紧急呼救的概率为

125,于是至少收到12P(X?1)?1?P(X?0)?1?e

?52?0.9179.

练习二 随机变量的分布函数

1．(1)设X服从?0?1?分布,其分布律为P?X?k??pk(1?p)1?k,k?0,1,求X的分布函数,并作出其图形.

解：X服从(0—1)分布,分布律为

X 0 1 pk 当x?0时,F(x)?P?X?x??0,

1?p p 当0?x?1时,F(x)?P?X?x??P?X?0??1?p,

当x?1时,F(x)?P?X?x??P?X?0??P?X?1??(1?P)?P?1,

x?0,?0,?故X的分布函数为:F?x???1?p,0?x?1,

?1,x?1.?（图略）。

(2) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取出3只球,以X表示取出的3只球中的最大号码,求随机变量X的分布函数.

解：X的分布律为

X 3 4 5 pk 136 101010X的分布函数为F(x)?P?X?x?,即有

当x?3时, F(x)?P?X?x??0,

5

函数，则常数a,b是（ C ）

（A） a?b?1； （B） a?0,b?0； （C） a?0,b?0, 且a?b?1 ； （D） a,b是任意实数. 6. 设随机变量X~N(?,4),随机变量Y~N(?,5),记则( A )

(A)对任意实数?,都有

22p1?P?X???4?,p2?P?Y???5?，

p1?p2； (B)对任意实数?,都有p1?p2； p1?p2.

(C)只对?的个别值,才有p1?p2； (D)对任意实数?,都有

7. 设X~N(?,?2),则随?的增大，概率P(X????)（ C ）.

(A)单调增大； (B)单调减少； (C)保持不变； (D)增减不定.

8. 设X的密度函数是f(x), 有f(?x)=f(x), F(x)为分布函数, 对任意实数a, 正确的是( D ).

(A)F(?a)?F(a) ； (B)F(?a)?2F(a)?1； (C)F(?a)?1??a0f(x)dx； (D)F(?a)?a1??f(x)dx. 209. 连续型随机变量的概率密度f(x)一定满足( B )

(A) f(x)在(-∞,+∞)内单调不减; (B) f(x)?0; (C) 0?f(x)?1; (D) limf(x)?1.

n??10. 设X~N(1,1),概率密度为f(x),则（ C ）

（A）P{X?0}?P{X?0}?0.5; (B) f(x)?f(?x),x?(??,??); （C）P{X?1}?P{X?1}?0.5; （D）F(x)?1?F(?x),x?(??,??). 11. 设随机变量X~N(0,1)，则方程t?2Xt?4?0没有实根的概率为（ A ）。 （A）2?(2)?1； （B）2?(1)?1； （C）?(2)； (D) ?(2)??(?2). 12. 已知随机变量X的密度函数为f(x)?212?e?(x?3)24,(???x??)

则Y?（ B ）~N(0,1).

16

(A)

X?3X?3X?3X?3

； (B) ； (C) ； (D) . 2222

13. 设X的分布函数为F?x?，则Y?3X?1的分布函数G?y?为（A ）

(A) F?

1??1y?? ; (B) F?3y?1?; (C) 3F(y)?1;

3??3(D)

11F?y?? 3314. 设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数，为使F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ A ）.

3232,b?? ； （B）a?,b? ； 55531313（C）a?,b?； （D）a?,b??.

2222（A）a?15. 设随机变量X的密度函数为f(x),Y??2X?3,则Y的密度函数为（ B ）.

1f(?21(C) ?f(?2三、应用题

(A) ?y?31); (B) f(?22y?31); (D) f(?22y?3); 2y?3). 21．某城市每天用电量不超过100万千万时,以X表示每天的耗电率(即用电量除以一百万

?12x?1?x?2,0?x?1,千万时),它具有分布密度为f?x???若该城市每天的供电量仅有80

0,其它；?万千万时,求供电量不够需要的概率是多少?如每天的供电量为90万千万时,情况又怎样?

解：若该城市每天的供电量仅有80万千万时，供电量不够需要的概率即为

18?1052P{X?}?P{X?0.8}?12x(1?x)dx?0.0272; 6?0.810同理,若每天供电量为90万千万时,供电量不足的概率为

19?105P{X?}?P{X?0.9}??12x(1?x)2dx?0.0037. 60.9102．调查某地考生的外语成绩X近似服从正态分布,平均成绩为72分,96分以上的占考

生总数的2.3﹪,试求:

(1)考生的外语成绩在60分至84分之间的概率； (2)该地外语考试的及格率；

(3)若已知第三名的成绩是96分,求不及格人数. 解: 由已知,有

17

X~N(72,?2),P{X?96}?0.023,即0.023?1?P{X?96}?1??(?(2496?72?),

?)?0.977,查表可得24??2，即??12(1) P{60?X?84}?P{X?72?1}?2?(1)?1?0.6826; 1260?72)?1??(?1)??(1)?0.8413?84.13%; 122(3) 设全班总人数为n,由（2）知，不及格率为15.87%，则n?，故不及格人数

0.023(2) P{X?60}?1??(为

0.1587n?0.1587?2?14（人） 0.0233．已知测量误差X(米)服从正态分布N(7.5,102),必须进行多少次测量才能使至少有一次误差的绝对值不超过10米的概率大于98﹪?

解: 因为X~N(7.5,102),故以此测量中误差的绝对值不超过10米的概率为

P{X?10}?P{?10?7.5X?7.510?7.5??}?0.5586,

101010设Y为n次重复独立测量中事件{X?10}出现的次数,则Y~B(n,0.5586),于是

P{Y?1}?1?P{Y?0}?1?(1?0.5586)n?0.98,

即

n??1.69897lg0.02?4.78354?5 ?lg0.4414?0.35517因此,取n?5,即必须进行5次测量,方可达到要求.

4．设通过点A(0,1)任意做直线与x轴相交所成的夹角为?(0????),求直线在x轴上的截距X的概率密度f(x).

解: 由于X??cot?,而?是区间(0,?)上服从均匀分布的随机变量,?的概率密度为

?1?,0????,f???????当?在(0,?)内取值时,函数x??cot?在(??,??)内取值,其

?其它，?0,?x),???x???,由于h?(x)?反函数为??h(x)?arccot(11,f[(h(x)]?, ??1?x2 18

因此,随机变量X??cot?的概率密度为fX(x)?1,???x???. 2?(1?x)5．假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周5个工作日无故障可获利10万元，发生一次故障仍可获利5万元，发生两次故障则所获利润为0元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元，求一周的利润是多少？ 解：设X表示一周内发生故障的次数，易知X~B(5,0.2);Y表示周利润（万元），Y是

X的函数，并且

???2,X?3,Y???0,X?2,?5,X?1,??10,X?0.P{X?0}?0.85?0.32768;P{X?1}?C15?0.2?0.84?0.4096;P{X?2}?C225?0.2?0.83?0.2048;

2P{X?3}?1??P{X?k}?0.05792k?0故Y的概率分布为

Y -2 0 5 10 P 0.05792 0.2048 0.4096 0.32768

19

,

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