高中数学高考综合复习导数及其应用

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导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用； 2、求导公式与运算法则的运用； 3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用； 5、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点 （一）导数 1、导数的概念 （1）导数的定义 （Ⅰ）设函数

在点

及其附近有定义，当自变量x在

处有增量△x（△x可正可负），则函

数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数

在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，

并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作

，即

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。

（Ⅱ）如果函数对于开区间（

在开区间（

）内每一点都可导，则说 ，都对应着一个确定的导数

在开区间（

在开区间（

）内可导，此时，

）内构 或

，

）内每一个确定的值 ，这样在开区间（

成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 ）内的导函数（简称导数），记作

即

认知： （Ⅰ）函数数值；

（Ⅱ）求函数 ①求函数的增量

在点

在点

的导数 处的导数

。

是以x为自变量的函数，而函数 是

的导函数

当

在点 处的导数 是一个

时的函数值。

处的导数的三部曲：

；

②求平均变化率

；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义： 函数

（3）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： （Ⅰ）若函数 若函数

在点

处可导，则 ）内可导，则

在点

处连续；

）内连续（可导一定连续）。

在点

处的导数

，是曲线

在点

处的切线的斜率。

在开区间（ 在开区间（

事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，

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记

（Ⅱ）若函数

反例：

在点

处连续，但在点

在点

处连续，但

在点

,则有

即

在点 处连续。

处不一定可导（连续不一定可导）。

处无导数。

事实上， 在点 处的增量

当 时，

，

；

当 时，

，

由此可知，

不存在，故 在点 处不可导。

2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式1 常数的导数：

公式2 幂函数的导数：

公式3 正弦函数的导数：

公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

。

。

（c为常数），即常数的导数等于0。

（Ⅰ） ；

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（Ⅱ）

公式6 指数函数的导数： （Ⅰ）

（Ⅱ）

（2）可导函数四则运算的求导法则 设

为可导函数，则有

；

。 ；

法则1

法则2

；

法则3

3、复合函数的导数 （1）复合函数的求导法则 设的导数 即

引申：设

（2）认知

，

，

。

复合成以x为自变量的函数

的导数

，则复合函数

，乘以中间变量u对自变量x的导数

对自变量x ，

，等于已知函数对中间变量

。

复合成函数 ， 则有

（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出函数结构设出

，由第一层中间变量

的函数结构设出

，由第二层中间变量 为自变量x的简单函数

的 为

，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量

止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：

（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

；

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②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用 1、函数的单调性

（1）导数的符号与函数的单调性： 一般地，设函数函数；若在某个区间内恒有

（2）利用导数求函数单调性的步骤 （Ⅰ）确定函数

（Ⅱ）求导数

（Ⅲ）令 当

（3）强调与认知

（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式

；

（Ⅱ）在某一区间内必要）条件。因此方程定

举例： （1）

（2）

2、函数的极值

（1）函数的极值的定义 设函数

在点

附近有定义，如果对

附近的所有点，都有

，则说

是函数

在点x=0处连续，点x=0处不可导，但

在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。

是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时，

。

（或

）是函数

在这一区间上为增（或减）函数的充分（不

确定的x的取值集合为A，由

确定的x的取值范围为B

，则应用

时，

，解出相应的x的范围

在相应区间上为增函数；当

时

在相应区间上为减函数。

；

的定义域；

在某个区间内可导，则若

，则在这一区间上为常函数。

为增函数；若

为减

的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确

的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。

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的一个极大值，记作

如果对

附近的所有点，都有 。

极大值与极小值统称极值 认知：由函数的极值定义可知： （Ⅰ）函数的极值点

是区间

；

，则说 是函数

的一个极小值，记作

内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

（Ⅲ）当函数值点交替出现。

（2）函数的极值的判定 设函数

可导，且在点

处连续，判定

，右侧

是极大（小）值的方法是

，则

为极大值；

在区间

上连续且有有限个极值点时，函数

在

内的极大值点，极小

（Ⅰ）如果在点

（Ⅱ）如果在点

附近的左侧

附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；

注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数

（3）探求函数极值的步骤： （Ⅰ）求导数

（Ⅱ）求方程 考察

在上述方程的根以及

的实根及

不存在的点；

；

的导数研究中悟出这一点。

不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则 在这一点取得

极大值，若左负右正，则

在这一点取得极小值。

3、函数的最大值与最小值 （1）定理 若函数

在闭区间上连续，则

在

上必有最大值和最小值；在开区间

内连续的函数

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不一定有最大值与最小值。

认知：

（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

（Ⅲ）若值。

（2）探求步骤： 设函数如下： （ I ）求

（ II ）求

（ III ）将

引申：若函数

在

上连续，则

的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅

的各极值与

，

比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

在定义区间端点处的函数值

，

；

在

内的极值；

在

上连续，在

内可导，则探求函数

在

上的最大值与最小值的步骤

在开区间

内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）

仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化： （ I ）求出

（ II ）计算并比较值。

（3）最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点

满足

，并且

在点

处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大

在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小

的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

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四、经典例题 例1、设函数

在点

处可导，且

，试求

（1）

；

（2）

；

（3）

；

（4）

（ 为常数）。

解：注意到

当 ）

（1）

；

（2）

=A+A=2A

（3）令

，则当

时

，

∴

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（4）

点评：注意

式是多种多样的，但是，不论值成功的保障。 若自变量x在

处的增量为

的本质，在这一定义中，自变量x在

选择哪一种形式，相应的

处的增量 的形

也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求

，则相应的 ，

于是有 ；

若令

例2、

，则又有

（1）已知

，求 ；

（2）已知

解： （1）令

，则

，求

，且当 时， 。

注意到这里

∴

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（2）∵

∴

①

注意到 ，

∴由已知得 ②

∴由①、②得

例3、求下列函数的导数 （1）

； （2）

；

（3）

； （4） ；

（5）

解： （1）

（2） ∴

； （6）

，

（3） ，

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∴

（4） ，

∴

（5） ，

∴

（6） ∴当 ∴当

时， 时，

；

∴ 即

。

点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例4、在曲线C：称。

解： （1） ∴当 又当

时， 时，

取得最小值-13

上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线C关于该点对

∴斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；

（2）证明：设

为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为

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且有 ∴将

∴点 ∴

，

代入

①

的解析式得

坐标为方程 的解

注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线

求证：两曲线在公共点处相切。

证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合， 设上述两曲线的公共点为

∴

∴

， ，

，则有 ，

，

，其中

，且均为可导函数，

∴ ，

∴

于是，对于 对于

∴由①得

由②得

有 ，有

； ①

②

，

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∴ ，即两曲线在公共点处的切线斜率相等，

∴两曲线在公共点处的切线重合 ∴两曲线在公共点处相切。

例6、

（1）是否存在这样的k值，使函数+∞）上递增，若存在，求出这样的k值；

（2）若

解： （1） 由题意，当 ∴由函数 即 整理得

时 的连续性可知

，当x∈(2,+∞) 时

，

，

恰有三个单调区间，试确定

在区间（1，2）上递减，在（2，

的取值范围，并求出这三个单调区间。

解得 验证：

或

（Ⅰ）当 ∴若

时， ，则

；若

， 则

， 符合题意；

（Ⅱ）当 时，

显然不合题意。

，

于是综上可知，存在

（2） 若

，则

使 在（1，2）上递减，在（2，+∞）上递增。

，此时 只有一个增区间

，与题设矛盾；

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若 ，则 ，此时 只有一个增区间 ，与题设矛盾；

若 ，则

并且当 时， ；

当

∴综合可知，当

时， 时，

恰有三个单调区间：

减区间

点评：对于（1），由已知条件得

；增区间

，并由此获得k的可能取值，进而再利用已知条件对所得k值

逐一验证，这是开放性问题中寻求待定系数之值的基本策略。

例7、已知函数极小值大4. （1）求常数

（2）求

解： （1） 令 ∵ ∴

在 或 得方程

处取得极值 为上述方程的根，

，

的极值。 的值；

，当且仅当

时，

取得极值，并且极大值比

故有 ∴

，即

①

∴

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又∵ ∴方程 ∴方程 ∴

仅当 时取得极值， 的根只有

或

，

无实根，

即

而当 ∴

时，

的正负情况只取决于

与

恒成立，

的取值情况

当x变化时， 的变化情况如下表：

∴

在

处取得极大值

②

，在 处取得极小值 。

由题意得 整理得

于是将①，②联立，解得

（2）由（1）知，

点评：循着求函数极值的步骤，利用题设条件与 的关系，立足研究 的根的情况，乃是解

”与

决此类含参问题的一般方法，这一解法体现了方程思想和分类讨论的数学方法，突出了“导数“

例8、 （1）已知

的最大值为3，最小值为-29，求

的值；

在

处取得极值”的必要关系。

（2）设 ，函数

的最大值为1，最小值为 ，求常数

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的值。

解： （1）这里

令 （Ⅰ）若 当 又

，解得 ，则当 时， 连续，故当

， 时，

的最小值为

得

，则运用类似的方法可得 当

时，

有最大值，

或

时

有最小值，故有

；

，不然

与题设矛盾

或x=4（舍去）

时， 在

， 内递减

在

内递增；

取得最大值

∴由已知得 而 ∴此时 ∴由 （Ⅱ）若 又 ∴当

∴由已知得

于是综合（Ⅰ）（Ⅱ）得所求

（2） 令

得

，

解得 当 在

上变化时，

与

的变化情况如下表：

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∴当 时，

取得极大值 ；当

的单调性知 与

之中，

时， 取得极小值 。

由上述表格中展示的 ∴

最大值在

的最小值在 和 之中，

考察差式 即 故 由此得

，

的最大值为

，

考察差式

∴

的最小值为

，即 ，

由此得 ，解得

于是综合以上所述得到所求

五、高考真题 （一）选择题 1、设（ ）。 A、

分析：由题意得

， ，

，

B、

，

，

。

， ， ， ，则

C、 D、

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∴ ∴

2、函数 A、

分析： ∴当 当 因此

3、设且

，

具有周期性，且周期为4，

，应选C。

有极值的充要条件为（ ）

B、

C、

D、

时， 时，令

且 得

； 有解，

才有极值，故应选C。

， 分别是定义在R上的奇导数和偶导数，当

的解集是（ ）

时， ，

，则不等式

A、（-3，0）∪（3，+∞） B、（-3，0）∪（0，3） C、（-∞，-3）∪（3，+∞） D、（-∞，-3）∪（0，3）

分析：为便于描述，设

∴根据奇函数图象的对称性知，

二、填空题 1 过原点作曲线

分析：设切点为M ∴由曲线过原点得 ∴切点为

，切线斜率为 。

，则以M为切点的切线方程为

，∴

，

的切线，则切点坐标为 ，切线的斜率为 。

，则

为奇导数，当

时，

，且

的解集为（-∞，-3）∪（0，3），应选D。

点评：设出目标（之一）迂回作战，则从切线过原点切入，解题思路反而简明得多。

2 曲线 在点 处的切线与x轴，直线

所围成的三角形面积为 ，则

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= 。

分析：

∴曲线 即

在点

处的切线方程为

切线与x轴交点 又直线

，

，

与切线交点纵坐标为

∴上述三角形面积 由此解得

即

，

3 曲线

与 在交点处的切线夹角是 （以弧度数作答）

分析：设两切线的夹角为 ，将两曲线方程联立，解得交点坐标为

又

即两曲线在点

，

处的切线斜率分别为-2，3

∴ ，

∴

，应填 。

（三）解答题 1 已知

解析：先将 当 当

时， 时，

求导，

即

有两极值点。

没极值点。

。

，讨论导数

的极值点的个数。

有两根，于是 ，

为增函数，

本题考查导数的应用以及二次方程根、“ ”等知识。

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解答：

令 1、当 即 不防设 于是

或

时，方程 ， ，得

有两个不同的实根

、

，

，从而有下表：

即此时

2、当 于是

3、当 而 故 ∴当

2 已知函数 （Ⅰ）求函数

（Ⅱ）求函数

解析：

即 即

有两个极值点；

时，方程 ，故当

时，

；当

有两个相同的实根 时，

，因此

， 无极值；

时，

，

，

为增函数。此时

时，

无极值； 有两个极值点；当

时，

无极值点。

的图象在点 的解析式；

处的切线方程为 。

的单调区间。

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（1）由个关于

（2）令

的方程。

在切线上，求得 ，再由 在函数图象上和 得两

，求出极值点， 求增区间， 求减区间。

此题考查了导数的几何意义以及利用导数求函数的单调区间。

解答 （Ⅰ）由函数

的图象在点 ，即

，

处的切线方程为

知：

∴

即 解得

所以所求函数解析式

（Ⅱ） 令 当 当

或

时， 解得

时，

所以

3 已知 （Ⅰ）求

在 内是减函数，在 内是增函数。

是函数

与 的关系表达式；

的一个极值点，其中

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