2014年数学建模作业题

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

数学模型课程期末大作业题

要求:

1）选题方式：共53题，每个同学做一题，你要做的题目编号是你的学号mod53所得的值+1。(例如：你的学号为119084157，则你要做的题为mod(119084157,53)+1=48)。

2）该类题目基本为优划问题，要求提交一篇完整格式的建模论文，文字使用小四号宋体，公式用word的公式编辑器编写，正文中不得出现程序以及程序冗长的输出结果，程序以附录形式附在论文的后面，若为规划求解必须用lingo集合形式编程，其它可用Matlab或Mathmatica编写。

3）论文以纸质文档提交，同时要交一份文章和程序电子文档，由班长统一收上来，我要验证程序。 1、生产安排问题

某厂拥有4台磨床，2台立式钻床，3台卧式钻床，一台镗床和一台刨床，用以生产7种产品，记作p1至p7。工厂收益规定作产品售价减去原材料费用之余。每种产品单件的收益及所需各机床的加工工时（以小时计）列于下表（表1）：

表1 产 品 收 益 磨 垂直钻孔 水平钻孔 镗 刨 p1 10 0.5 0.1 0.2 0.05 0 p2 6 0.7 0.2 0 0.03 0 p3 8 0 0 0.8 0 0.01 p4 4 0 0.3 0 0.07 0 p5 11 0.3 0 0 0.1 0.05 p6 9 0.2 0.6 0 0 0 p7 3 0.5 0 0.6 0.08 0.05 各种产品各月份的市场容量如下表（表2）： 表2 产 品 一月 二月 三月 四月 五月 六月 p1 500 600 300 200 0 500 p2 1000 500 600 300 100 500 p3 300 200 0 400 500 100 p4 300 0 0 500 100 300 p5 800 400 500 200 1000 1100 p6 200 300 400 0 300 500 p7 100 150 100 100 0 60 每种产品存货最多可到100件。存费每件每月为0.5元。现在无存货。要求到6月底每种产品有存货50件。

工厂每周工作6天，每天2班，每班8小时。 不需要考虑排队等待加工的问题。

在工厂计划问题中，各台机床的停工维修不是规定了月份，而是选择最合

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适的月份维修。除了磨床外，每月机床在这6个月中的一个月中必须停工维修；6个月中4台磨床只有2台需要维修。扩展工厂计划模型，以使可作上述灵活安排维修时间的决策。停工时间的这种灵活性价值若何？

注意，可假设每月仅有24个工作日。

2、安排问题：

在某给定区域内均匀分布若干个几何形状相同的小区域（小区域为边长a的正三角形）。在每个区域中心安排一个寻呼台，管理部门将拿出一贯频域区间由于安排这些寻呼台，这个频域区间被规则地分成若干频域区间，分别被依次标号为：1、2、3、……，每一个寻呼台被分配给一个具有标号的频率小区间，只要不相互干扰，标号相同的频域小区间可以被分配多个寻呼台使用，为了避免干扰，在安排过程中，应满足以下要求： 1）、距离为2a以内的两个寻呼台的编号至少必须相差2，在4a以内的寻呼台编号不能相同； 2）、除1）以外并考虑三角形区域在三个方向任意延伸的情况； 3）、除条件 1），2）外，但要求距离在2a以内的寻呼台编号至少相差R，此时能够得到什么结果？

请你在上述各种情况条件下建立数学模型，确立需要的频域区间的最小长度，即要求给出各种不同分配方案中所使用的最大编号达到最小。

3、电梯问题

某办公大楼有十一层高，办公室都安排在7，8，9，10，11层上．假设办公人员都乘电梯上楼，每层有60人办公．现有三台电梯A、B、C可利用，每层楼之间电梯的运行时间是3秒，最底层(一层)停留时间是20秒，其他各层若停留，则停留时间为10秒．每台电梯的最大的容量是10人，在上班前电梯只在7，8，9，10，11层停靠．为简单起见，假设早晨8∶00以前办公人员已陆续到达一层，能保证每部电梯在底层的等待时间内(20秒)能达到电梯的最大容量，电梯在各层的相应的停留时间内办公人员能完成出入电梯．当无人使用电梯时，电梯应在底层待命．请问：

把这些人都送到相应的办公楼层，要用多少时间？

怎样调度电梯能使得办公人员到达相应楼层所需总的时间尽可能的少？ 请给出一种具体实用的电梯运行方案．

4、食品加工问题

一项食品加工工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记为V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油均从市场采购。现在（一月份）和未来半年中，市场价格（元/吨）如下表所示： 油 V1 V2 O1 O2 O3 月份 一 1100 1200 1300 1100 1150 二 三

1300 1100 1300 1400 1100 1300 900 1000 1150 950 2

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四 五 六 1200 1000 900 1100 1200 1000 1200 1500 1400 1200 1100 800 1250 1050 1350 成品油售价1500元/吨。 植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精练植物油200吨，非植物油250吨。精练过程中没有重量损失。精练费用可以忽略。 每种原料油最多可存储1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精练的原料油不能贮存。

对成品油限定其硬度在3与6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示： 油 V1 V2 O1 O2 O3 硬度 8.8 6.1 2.0 4.2 5.0 假设硬度是线性地混合的。 为了使公司获得最大利润，应该取什么样的采购加工方案。

现存有5种原料油每种500吨。要求在六月底仍然有这么多存货。 研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2x%；3月份植物油价上升4x%；其余月份保持这种线性的上升势头。对于不同的x值（直到20），就方案的变化及对总利润的影响，作出全面计划。 对于食品加工问题，附加下列条件： （1） 每个月最多使用3种原料油；

（2） 在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨； （3） 如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。

扩展食品加工模型，以包含这些限制条件，并求出新的最优解。

5、生产计划

某厂有4台磨床，2台立钻，3台水平钻，1台镗床和1台刨床，用来生产7种产品，已知生产单位各种产品所需的有关设备台时以及它们的利润如表所示： 单件所需台时 ( 表1 ) 产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 设备 收益 10 6 8 4 11 9 3 磨 0.5 0.7 0 0 0.3 0.2 0.5 垂直钻孔 0.1 0.2 0 0.3 0 0.6 0 水平钻孔 0.2 0 0.8 0 0 0 0.6 镗孔 0.05 0.03 0 0.07 0.1 0 0.08 刨 0 0 0.01 0 0.05 0 0.05 从1月到6月份，下列设备需进行维修：1月—1台磨床，2月—2台水平钻，3月—1台镗床，4月—1台立钻，5月—1台磨床和1台立钻，6月—1台刨床和1台水平钻，被维修的设备在当月内不能安排生产。又知从1月到6月份市场对上述7种产品最大需求量如表所示： ( 表2 )

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产品 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 月份 一月 500 1000 300 300 800 200 100 二月 600 500 200 0 400 300 150 三月 300 600 0 0 500 400 100 四月 200 300 400 500 200 0 100 五月 0 100 500 100 1000 300 0 六月 500 500 100 300 1100 500 60 当月销售不了的每件每月贮存费为0.5元，但规定任何时候每种产品的贮存量均不得超过100件。现在无库存，要求6月末各种产品各贮存50件。若该厂每月工作24天，每天两班，每班8小时，假定不考虑产品在各种设备上的加工顺序，要求：

（a）该厂如何安排计划，使总利润最大；

（b）在什么价格的条件下，该厂可考虑租用或购买有关的设备。

6、配送问题

一公司有二厂,分处A,B两市,另外还有4间具有存贮机构的库房,分别在P,Q,R和S市.公司出售产品给6家客户c1,c2??c6,由各库房或直接由工厂向客户供货.

配送货物的费用由公司负担单价见下表: 表一:

供货者

A市厂 B市厂 P库房 Q库房 R库房 S库房

P库房 0.5 ---- Q库房 0.5 0.3 R库房 1.0 0.5 S库房 0.2 0.2 客房C1 1.0 2.0 ---- 1.0 ---- ---- 客房C2 ---- ---- 1.5 0.5 1.5 ---- 客房C3 1.5 ---- 0.5 0.5 2.0 0.2 客房C4 2.0 ---- 1.5 1.0 ---- 1.5 客房C5 ---- ---- ---- 0.5 0.5 0.5 客房C6 1.0 ---- 1.0 ---- 1.5 1.5 注:单位元/吨;划”—“表示无供货关系.

某些客户表示喜欢由某厂或某库房供货.计有:

C1-------- A市厂 C2-------- P库房 C5--------Q库房

C6--------R库房或S库房

A市厂月供货量不能超过150千吨,B市厂月供货量不能超过200千吨.各库房月最大流通量千吨数为: 表二: 库房 P Q R S 受货者

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流通量 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为(单位:千吨): 表三: 客户 C1 C2 C3 C4 C5 C6 要求货量 50 10 40 35 60 20 公司希望确定以下事项: (1) 如何配货,总费用最低?

(2) 增加工厂和库房的生产能力对配送费用的影响是什么?

(3) 费用单价,工厂和库房生产能力以及客户对供货量的最低要求等,各微小变化对配货方案的影响是什么?

(4) 能不能满足客户对供货者的喜好选择?如果满足,会引起配送费用提高多少?

7、牧场管理

有一块一定面积的草场放牧羊群，管理者要估计草场能放牧多少羊，每年保留多少母羊羔，夏季要储存多少草供冬季之用 为解决这些问题调查了如下背景材料： ⑴本地环境下这一品种草的日生长率为： 季节 冬 春 夏 秋 生长率（g/m2） 0 3 7 4 ⑵ 羊的繁殖率 通常母羊每年产1—3只羊羔，5岁后被卖掉。为保持羊群的规模可以买进羊羔，或者保留一定数量的母羊。每只母羊的平均繁殖率为 年龄 0—1 1—2 2—3 3—4 4—5 产羊羔数 0 1.8 2.4 2.0 1.8 3—4 0.80 ⑶ 羊的存活率 不同年龄的母羊的自然存活率（指存活一年）为 年龄 1—2 2—3 存活率 0.98 0.95 ⑷ 草的需求量 母羊和羊羔在各个季节每天需要的草的数量（kg）为： 季节 冬 春 夏 秋 母羊 2.10 2.40 1.15 1.35 羊羔 0 1.00 1.65 0 注：只关心羊的数量，而不管它们的重量，一般在春季产羊羔，秋季将全部公羊和部分母羊卖掉，保持羊群数量不变。

8、立方填充问题

27个立方体空盒,排成3×3×3的三维阵列,如图1所示.

如果三个盒在同一条水平线上,或同一条垂直线上,或同一条对角线上,则认为是三盒一线.这样的线共有49条;水平线18条,垂直线9条,水平面对角线6条,垂直面对角线12条,对角面对角线4条.

现在有13个白球—0,14个黑球—x,每个盒中放入一球.如何投放,使有单一色球的线数最少?

对一般n×n×n的三维阵列进行讨论，并对4×4×4，求解上列类似的问题

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9疏散问题

甲市一家大公司由5个部门（A、B、C、D、E）组成。现要将它的几个部门迁出甲市，迁至乙市或丙市。除去因政府鼓励这样做以外，还有用房便宜、招工方便等好处。对这些好处已作出数量估价，所值每年万元数如下表： 部门 A B C D E 迁市 乙 5 10 15 10 20 丙 10 20 15 15 15 然而，疏散之后个部门间的通讯费用将增加。部门间每年通讯量如表：

部门 B C D E A 0 1000 1500 0 B 1400 1200 0 C 0 2000 D 700

不同城市间单位通讯量的费用如下表（单位：元） 市 甲 乙 丙 甲 100 130 90 乙 50 140 丙 50 试求各个部门应置于何市，使年费用最少？ 10、农场计划

英国某农场主有81英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛。每头幼牛需用0.27英亩土地供养，每头奶牛需用0.4英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。

一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养130头牛，超过此数

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每多养一头，每年要多花费200英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有32.4英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组8.1英亩，亩产2.7吨；第二组12.1英亩，亩产2.2吨；第三组8.1英亩，亩产2吨；第四组4.1英亩，亩产1.6吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。

养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须10小时；种一英亩甜菜每年须35小时。

其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年37.1英镑；种甜菜每亩每年24.7英镑；劳动费用现在每年为4000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.20英镑。

任何投资支出都从10年期贷款得到。贷款年利率15%，每年偿还本息总和的1/10，十年还清。每年货币的收支之差不能为负植。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。

应如何安排5年的生产，使收益最大？

11、销售问题

一家大公司有二个分部D1和D2。该公司的业务是向零售商供应石油产品和酒精。

现在要将零售商划分给二个分部，由分部向属于它的零售商供货。这种划分要尽可能地使分部D1占有40%的市场，D2占有60%。零售商共23家，记作M1到M23。其中M1至M8在1区，M9至M18在2区，M19至M23在3区。有好的发展前途的零售商作为A类，其余为B类。各零售商目前估计占有的销售额，及所据有的货点数给出在表1（见附表）中。要求对分部D1和D2的这一划分。在下述七个方面，都接近于40/60比例，具体说，在每个方面，D1所占份额在35%至45%之间，当然D2所占份额在65%至55%之间。这七个方面是： （1） 货点总数；

（2） 酒精市场占有份额；

（3） 区1的油品市场占有份额； （4） 区2的油品市场占有份额； （5） 区3的油品市场占有份额； （6） A类零售商数； （7） B类零售商数。

第一步目标是根据七个方面都接近于40/60比例的要求找一个可行解，也就是说看这种划分法是否存在，如果存在，找出一种分法。

进一步，如果存在多种划分法的话，按下列两种目标分别求最优解： 目标（i）划分的七个方面的百分数对40/60的偏差总和最小； 目标（ii）最大偏差为最小。 附表： 油品市场区 零售商 M1 M2 （106加仑） 9 13 货点 11 47 酒精市场(106加仑） 34 411 分类 A A 7

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2 3 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 M19 M20 M21 M22 M23 14 17 18 19 23 21 9 11 17 18 18 17 22 24 36 43 6 15 15 25 39 47 25 10 26 26 54 18 51 20 105 7 16 34 100 50 21 11 19 14 10 21 82 157 5 183 14 215 102 21 54 0 6 96 118 112 535 8 53 28 69 65 27 A B A A B B B A B B B B A B B B B A B B B 12、农产品定价

某国政府要为其牛奶、奶油和奶酪等奶制品定价。所有这些产品都直接或间接国家的原奶生产。原奶首先要分离成脂肪和奶粉两种组份，去掉供生产出口产品和农场消费的产品的部分后，余下的共有60万吨脂肪和70万吨奶粉，可用于生产牛奶、奶油和两种奶酪，供国内全年消费。 各种产品的百分数组成分见下表： 成分 脂肪 奶粉 水 产品 奶粉 4 9 87 奶油 80 2 18 奶酪1 35 30 35 奶酪2 25 40 35

往年的国内消费和价格如下表： 产品 奶粉 奶油 奶酪1 奶酪2 消费量（千吨） 4820 320 210 70 价格（元/吨） 297 720 1050 815 价格的变化会影响消费要求。为表现这方面的规律性，定义需求的价格伸缩性E： E?需求降低百分数

价格提高百分数各种产品的E值，可以根据往年的价格和需求变化情况的统计数据，用数理统计

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方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性概念。从产品A到B的交叉伸缩性E12定义作 E12?A需求提高百分数

B价格提高百分数奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的E21值，同样可以凭数据用统计方法求出。

已经求出牛奶、奶油、奶酪1和奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4，以及E12=0.1，E21=0.4。

试求4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。 然而，政策不允许某种价格指标上升。这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。

13、采矿问题

某地区有4个矿区，产同一种矿石。某采矿公司获得了这些矿在未来连续5年中的开采权。但在每年度中，该公司最多有能力开3个矿，而有一矿闲置。对于闲置的矿，如果这5年期内随后的某年还要开采，则不能关闭；如果从闲置起在这5年内不再开采，就关闭。对开采和保持不关闭的矿，公司应交付土地使用费。各矿每年土地使用额见表1第2行。各矿每年矿砂产量上限如表1第3行。不同矿所产矿砂质量不同。矿砂质量同一质量指数表示，见表1第4行。将不同矿的矿砂混合所成的矿砂，其质量指数为各组份的线性组合，组合系数为各组份在混成矿砂中所占的重量百分数。例如，等量的二矿砂混合，混成矿砂的质量指数为二组份指数的平均值。每年公司将各矿全年产出的矿砂混合，要生成具有约定质量指数的矿砂。不同年度的约定质量指数如表2所示。各年度成品矿砂售价每吨10元。年度总收入和费用开支，为扣除物价上涨价因素，以逐年9折计入5年总收入和费用中。 表1 矿 1 2 3 4 土地使用费（万元） 500 400 400 500 产量上限（万吨） 200 250 130 300 质量指数 1.0 0.7 1.5 0.5 表2 年度 1 2 3 4 5 质量指标 0.9 0.8 1.2 0.6 1.0 试问各年度应开采哪几个矿？产量应各为多少？

14、电价问题

几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中

0点至6点 15000（MW，兆瓦） 6点至9点 30000（MW，兆瓦） 9点至15点 25000（MW，兆瓦） 15点至18点 40000（MW，兆瓦）

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18点至24点 27000（MW，兆瓦）

有三种类型的发电机可投入运输。1型12台，2型10台，3型5台， 表一给出了有关的数据。 最低水平每最高水平以上每开动费类型 最低水平 最高水平 小时费用 兆瓦每小时费用 用 1 850 MW 2000 MW 1000 2 2000 2 1250 MW 1750 MW 2600 1.30 1000 3 1500 MW 4000 MW 2000 3 500 表中第2，3列分别给出各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机运转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高于最低水平运转时，每超出一兆瓦，每小时的费用。另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。

在满足估计的负载要求之外，在每开动一发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通调高运转着的发电机的输出（在最高水平界定的范围内）满足增载的要求。

试求在一天中的各段时间应使那些发电机运转，使总费用最低？

在一天中的每段时间，电力生产的边际费用各为多少？也就是说应当为电定什么价？

将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？也就是说这一供电保险性的费用如何？

15、人力计划问题

某公司正经历一系列的变化，这要影响到它在未来几年的人力需求。由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和不熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类岗位人力的需求。据估计，当前及以后三年需要的人员数如表1：

表1人数需求（单位：人） 分类 现有人数 第一年需求 第二年需求 第三年需求 不熟练 2000 1000 500 0 半熟练 1500 1400 2000 2500 熟练 1000 1000 1500 2000 为了满足以上人力需要，该公司考虑为未来三年确定1、招工；2、再培训；3、解雇和超员雇佣。；4、设半日工的计划方案。

因工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题，在招工中，受雇后不满一年就自动离职的人数特别多；工作一年以上再离职的人数就很少了。考虑到这一点，设自然减员率如表2：

表2 离职的人数比例 分类 不熟练 半熟练 熟练 工作不到一年 25% 20% 10% 工作一年以上 10% 5% 5% 10

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当前没有招工，并且现有的工人都已工作一年以上。

1． 招工 假定每年可以招工的人数有一定的限制，如表3所示：

表3 每年招工人数上限（单位：人） 不熟练 半熟练 熟练 500 800 500 2． 再培训 每年可以将200个不熟练工人培训成半熟练工人，每人每年的培训费是400元。每年将半熟练工人培训成熟练工人的人数不得超过年当时熟练工人的四分之一，培训半熟练工人成为熟练工人的费用是500元。

把工人降等级使用（即让熟练工去做半熟练工或不熟练工的工作等），虽然这样公司不需要支付额外的费用，但被降等使用的工人中有50%会放弃工作而离职（以上所说的自然离职不包括这种情况）。

3． 解雇 解雇一名的不熟练工人要付给他200元，而解雇一个半熟练或熟练 工人要付给他500元。

4． 超员雇佣 该公司总共可以额外雇用150人，对于每个额外雇用的人员，公司要付给他额外的费用如表4：

表4额外招工的费用（单位：元/年）

不熟练 半熟练 熟练 1500 2000 3000 表5 半日工的费用（单位：元/年）

不熟练 半熟练 熟练 500 400 400 11

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5． 半日工 不熟练、半熟练或熟练工人可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。每个工人的费用如表：

问题1：如果公司的目标是尽量减少解雇人员。为此，应如何运转？

问题2：如果公司的目标是尽量减少费用，能节省多少费用？导出每年每类岗位所节省的费用。

16、露天采矿

某公司获准在一块200m?200m的方形的土地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能陡于45o。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题作为长方形块的挖取问题处理。每个长方形块水平尺寸为50m?50m，铅直尺寸为25m。若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块；若俯视这5块的水平位置关系，将是如图1所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）。

这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二层最多为9块，第三层最多为4块，第四层最多为1块。不能再往深挖取。

所有这些可挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值，则各块的值如下： 第一层（地表层） 1.5 1.5 1.5 0.75 1.5 2.0 1.5 0.75 1.0 1.0 0.75 0.5 0.75 0.75 0.5 0.25 第二层（深25m处） 4.0 4.0 2.0 3.0 3.0 1.0 2.0 2.0 0.5 第三层（深50m处） 12.0 6.0 5.0 4.0 第四层（深75m处） 6.0 挖取费用随深度增加。各层的块挖取费用为： 层 一 二 三 四 块费用 3000 6000 8000 10000 挖取一块的收入同该块矿砂的值成正比；从一个值为100的块的收入为200000。

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

试建一模型以帮助决定挖取哪些块，使收入减费用之差为最大。

17、系统可靠性问题

系统由若干个部件串接而成，只要一个部件出现故障，系统就不能正常工作，为提高系统可靠性每个部件都装有备件，一旦原部件出现故障，备件就自动进入系统。显然，备件越多系统可靠性越大，但费用也越高。问题是在一定的费用下，如何配置各部件使系统的可靠性最大。

(1) 由n个部件串接的系统，当部件k配置j个备件时，该部件正常工作的概率及费用均已知，在总费用不超过定值的条件下，建立使系统的可靠性最大的模型。

(2) 设n=3且每个部件至多配置3个备件，部件k配置j个备件时正常工作的概率pkj及费用ckj如下： 备件数量j 备件数量j pkj Ckj 1 2 3 1 2 3 1 0.5 0.7 0.9 1 2 4 5 部件部件2 0.7 0.8 0.9 2 3 5 6 号k 号k 3 0.6 0.8 0.9 3 1 2 3 总费用不超过10，如何配置各部件的备件数使系统的可靠性最大。

18、配送问题

[配送问题一]：一公司有二厂，分处A、B两市，另外还有4间具有存贮机构的库房，分别在P、Q、R和S市。公司出售产品给6家客户C1,C2,...,C6，由各库房或直接由工厂向客户供货。

配送货物的费用由公司负担，单价见下表： 表一 受货者 供货者 A市厂 B市厂 P库房 Q库房 R库房 S库房

P库房 0.5 ---- Q库房 0.5 0.3 R库房 1.0 0.5 S库房 0.2 0.2 客户C1 1.0 2.0 ---- 1.0 ---- ---- 客户C2 ---- ---- 1.5 0.5 1.5 ---- 客户C3 1.5 ---- 0.5 0.5 2.0 0.2 客户C4 2.0 ---- 1.5 1.0 ---- 1.5 客户C5 ---- ---- ---- 0.5 0.5 0.5 客户C6 1.0 ---- 1.0 ---- 1.5 1.5

A市厂月供货量不能超过150千吨，B市厂月供货量不能超过200千吨。各库房的月最大流通量千吨数为 表二 库房 P Q R S 流通量 70 50 100 40 各客户每月所必须满足的供货量为（单位：千吨）

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

表三 客户 C1 C2 C3 C4 C5 C6 要求货量 50 10 40 35 60 20 公司希望确定：如何配货，总费用最低？ [配送问题二]：现假设可以在T市和V市建新库房，和扩大Q市的库房，而库房的个数又不能多于4个，必要时可关闭P市和S市的库房。

建新库房和扩建Q市库房的费用（计入利息）摊至每月为下表所列值（万元），它们的潜在的月流通量（千吨）也列于表中 表四

库房 月费用 流通量 T 1.2 30 V 0.4 25 Q（扩建） 0.3 20 关闭P市库房月省费用1万元；关闭S市库房月省0.5万元。 涉及新库房的配送费用单价（元/吨）见下表 表五

供货 A B T V 受货 T 0.6 0.4 V 0.4 0.3 C1 1.2 ---- C2 0.6 0.4 C3 0.5 ---- C4 ---- 0.5 C5 0.3 0.6 C6 0.8 0.9

问题为应建那些新库房？Q市库房应否扩建？P市和S市库房应否关闭？配运费用最小的配货方案是什么？

20、汽车保险问题

随着汽车数量的逐年增加，以及汽车普及率的逐年提高，汽车保险市场的前景越来越看好，但是，汽车数量的增加也对交通管理与安全带来了一定的负面影响，保险公司希望投保人越多越好，但是任何事物都具有两面性，若对交通事故不很好控制，投保人的增加也会造成索赔人的增加，所以，有的国家提出了安全带法规，从而较好地控制了交通事故的死亡率，使得投保人到保险公司索赔的人数有所减少。同时，政府希望保险公司降低保费，从而更好地体现社会主义保险事业利国利民的性质。

某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助。所有参保人被分为0，1，2，3四类。类别越高，从保险费中得到的折扣越多；在计算保险费时，新客户属于0类；在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别，若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类；客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

的事故数量不会减少，但事故中受伤的司机和乘务员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%~40%。假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。

保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和表2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 表1 本年度发放的保险单数 基本保险费：775元 类别 没有索赔时补续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数 贴比例（%） 0 0 1280708 384620 18264 1665328 1 25 1764897 1 28240 1764898 2 40 1154461 0 13857 1154461 3 50 8760058 0 324114 8760058 总收入：6182百万元；偿还退回：70百万元；净收入：6112 百万元； 支出：149百万元；索赔支出：6093百万元；超支：130百万元 表2 本年度的索赔款 类别 索赔人数 死亡司机人平均修理费/平均医疗费/平均赔偿费/数 元 元 元 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 823 2941 3 700872 7013 805 814 2321 总修理费：1981百万元；总医疗费：2218百万元； 总死亡赔偿费：1894百万元；总索赔费：6093百万元 21、 投入产出问题

一个包括煤炭、钢铁和运输三种产业的经济系统，生产煤炭、钢铁和提供运输服务。各产业产品以及价值计算的单位为亿元。单位产出所需要的各产业产品的投入量,以及人力的投入量(也以亿元为单位计算)见表1。第t +1年度的产出需要的是第t年度的投入。

表1 年度（t+1）单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.1 0.5 0.4 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.6 0.3 0.2 为提高生产能力，需要进一步投资。为使各产业第t+2年较第t年度多生产一单位，所需在第 t年度多产出一单位,所需在第t年度各产业产品和人力的投入量见表2。

表2

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

年度（t+2）增单位产出 煤炭 钢铁 运输 煤炭 0.0 0.7 0.9 钢铁 0.1 0.1 0.2 年度t运输 投入 0.2 0.1 0.2 人力 0.4 0.2 0.1 假设存货可以无费用的从一年转入下一年。现在(第0年)存货量和年生产能力见表3，人力的年供应量限制不超过4.7亿元。

表3

存货 生产能力 煤炭 1.5 3.0 钢铁 0.8 3.5 运输 1.0 2.8 试研究该经济系统未来五年的不同增长模式。具体说,按下述的不同目标，分别求各产业各年度的产出应为何？目标：

(1) 第5年末生产能力总量最大，同时又满足外部每年消费0.6亿元煤炭，0.6亿元钢铁和0.3亿元运输的要求(第0年除外)。

(2) 第4年和第5年总产出(不是生产能力)为最大，但忽略每年的外部消费。 (3) 在满足(1)的外部消费要求的同时，使人力需求最大（即就业机会最多）。忽略人力供应量的限制。

22、停车场收费问题

伊顿公学（Eton College）是英国的一所著名的公学，位于英格兰温莎，泰晤士河的河边。 伊顿公学学生的成绩都十分优异，也是英国王室、政界经济界精英的培训之地，被公认是英国最好的学校。目前学校有住校生4000人，走读生8000人，教师1600人，职工2400人。拥有个人汽车的人数分别占其中的77%，91%，89%和97%，则拥有汽车数分别为3080，7280，1424和2328，共计14112辆，但学校现有停车位仅9988个，供不应求。为了限制停车数量和维持正常的经费开支，实行停车许可证和年度收费政策。在这9988个停车位中，包括最近新建的两个停车平台(即学生中心停车平台)的1500个停车位，平均每个停车位的建设费用高达4000英镑。为了逐步付清这项工程的贷款，该停车平台单独设了较高的收费，除了原有的每年每车位100英镑的费用，另加收使用费每天1．50英镑。但这项收费引起了各方面，特别是学生的极大不满。有些学生宁愿把车停在1英里以外，然后步行，或者乘校车，也不愿付这1．50英镑，造成现将车停在校园内人数仅为9590人，全校停车位不足，而学生中心停车平台却远远没有停满，致使学校的停车和交通经费预算短缺100，000英镑以上，而且导致校外乱停车，使校园北部居民抱怨很大。请根附件信息，在考虑各方面因素的基础上，①从新制定学校停车规划，有利于学校的长期发展；②在现在的收费情况下，按你的规划计算停车场的盈利。

（附件1）：现有车位类型及收费情况 停车类型 数量(个) 收费（每个车位全年100英镑） 零散无限制车位 6600 只要有停车许可证（学生5500，教职工1100） 短期按天收费车位 1328 若有停车许可证，每天加收1．5英镑，否则每天加收3英镑 6

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

钥匙卡车位 800 每年加收50英镑 预定车位 600 每年加收100英镑 受限制车位 500 家庭住宅，体育协会等 临时来访车位 100 免费使用 残疾人车位 60 免费使用 合计 9988 （附件2）学校全年停车与运输资金来源包括：年度停车注册许可费115．5万英镑，钥匙卡车场收费3．5万英镑(每车每年额外收费50英镑)：特留车位6．0万英镑(每车每年额外收费100英镑)：违章收费25万英镑；学生中心停车平台收费16万英镑：一些零散收费6万英镑，以及校车收费35万英镑。

（附件3）学校全年停车与运输总花费包括：94，6英镑停车场费用；72，5万英镑停车运作费用：35万英镑校车运输费用。

23、工件的安装与排序问题

某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量与相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的体积差应尽量大，使得相邻工件体积差不小于一定值（如3 ）； Ⅲ．当工件确实不满足上述要求时，允许更换少量工件。 问题1．按重量排序算法；

问题2．按重量和体积排序算法；

问题3．当工件不满足要求时，指出所更换工件及新工件的重量和体积值范围，并输出排序结果。

请按下面两组工件数据（重量单位：g ，体积单位： ），进行实时计算：

序号 重量 体积 序号 重量 体积 1 348 101.5 1 358.5 103 2 352 102 2 357.5 103 3 347 105 3 355 103 4 349 105.5 4 351 103.5 5 347.5 106 5 355.5 103 6 347 104 6 357 102 7 330 94 7 341 96 8 329 98 8 342 96.5 9 329 100.5 9 340 95.5 10 327.5 98.5 10 344 97 11 329 98 11 342.5 95.1 12 331.5 99 12 343.5 96.5 13 348.5 104.5 13 357.5 102.5 14 347 105 14 355 103 15 346.5 107.5 15 353.5 103.5

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

16 17 18 19 20 21 22 23 24 348 347.5 348 333 330 332.5 331.5 331.5 332 104.5 104 104.5 97 97 99 98 96.5 94.5 16 17 18 19 20 21 22 23 24 356.5 356 352.5 342.5 344 339.5 341.5 341 345 103.5 103.5 104 98 96.5 98 96 96 97

24、农场计划

英国某农场主有200英亩土地的农场，用来饲养奶牛。现要为五年制定生产计划。现在他有120头母牛，其中20头为不到2岁的幼牛，100头为产奶牛，但他手上已无现金，且欠别人帐20000英镑须尽早用利润归还。每头幼牛需用2/3英亩土地供养，每头奶牛需用1英亩。产奶牛平均每头每年生1.1头牛，其中一半为公牛，出生后不久即卖掉，平均每头卖30英镑；另一半为母牛，可以在生出后不久卖掉，平均每头40英镑，也可以留下饲养，养至2岁成为产奶牛。幼牛年损失5%；产奶牛年损失2%。产奶牛养到满12岁就要卖掉，平均每头卖120英镑。现有的20头幼牛中，0岁和1岁各10头；100头奶牛中，从2岁至11岁各有10头。应该卖掉的小牛都已卖掉。所有20头要饲养成奶牛。 一头牛所产的奶提供年收入370英镑。现在最多只能养160头牛，超过此数每多养一头，每年要多花费90英镑。每头产奶牛每年消耗0.6吨粮食和0.7吨甜菜。粮食和甜菜可以由农场种植出来。每英亩产甜菜1.5吨。只有80英亩的土地适合于种粮食，且产量不同。按产量可分作4组：第一组20英亩，亩产1.1吨；第二组30英亩，亩产0.9吨；第三组20英亩，亩产0.8吨；第四组10英亩，亩产0.65吨。从市场购粮食每吨90英镑，卖粮食每吨75英镑；买甜菜每吨70英镑，卖甜菜每吨50英镑。养牛和种植所需劳动量为：每头牛每年10小时；每头产奶牛每年42小时；种一英亩粮食每年须4小时；种一英亩甜菜每年须14小时。 其他费用：每头幼牛每年50英镑；产奶牛每头每年100英镑；种粮食每亩每年15英镑；种甜菜每亩每年10英镑；劳动费用现在每年为6000英镑，提供5500小时的劳动量。超过此数的劳动量每小时费用为1.80英镑。

贷款年率10%，每年货币的收支之差不能为负值。此外，农场主不希望产奶牛的数目在五年末较现在减少超过50%，也不希望增加超过75%。 应如何安排5年的生产，使收益最大？

25、制定月建造计划

某市某著名房地产公司通过对历史资料进行回归分析（即数据拟合），并结合今年上半年可能出现的影响楼盘销售的因素，预测该公司2005年上半年的销售情况如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

销售量（套） 42 32 41 67 25 29 该公司的楼盘2004年12月的销售均价为4000元/平方米，平均每套120平方米，今年上半年的售价保持不变。2004年12月末尚有49套现房未售出。商品房从规划到售出会发生下列费用：（1）建造成本，包括固定成本（主要是指购地、机器设备的折旧）和可变成本（钢材、水泥、装饰材料和人工成本等，其中人工成本在可变成本中占到大约40％），按照2004年12月份的建材价格计算，可变成本（万元）与商品房建造套数（以平均每套120平方米计算）的平房成正比，比例系数是0.5。且可变成本与建材价格上涨幅度有关，例如建材价格上涨10％，则可变成本是按前面方法计算结果的1.1倍。（2）销售费用。与当月的销售金额成正比。（3）折旧，建造好的商品房未售出的必须计提折旧，折旧分40年平均摊销，即该公司生产的商品房平均每套每月的折旧为48万元/（40×12）＝0.1万元。

2004年以来，央行和发改委出台了一系列措施平抑建材价格，但由于对建材需求结构而言，总体上求大于供的市场状况没有得到根本改善，预计今年上半年建材的价格仍会有一定的增长。预计的增长速度（以2004年12月的价格为基准）见下表： 月份 1 2 3 4 5 6 增长速度 10％ 10％ 20％ 20％ 30％ 30％ 该公司希望在上半年就把建造好的房屋全部销售完，为使利润最大化，需要制定出从2005年1月到6月每月的建造计划（即每月完成多少套，以平均每套120平方米计算）。

（1）如果公司的月建造能力没有限制，并且允许期房（即尚未建好的房屋）销售，但在6月底前全部完成交房，如何制定月建造计划？

（2）如果公司每月的建造能力限于33套（以平均每套120平方米计算），并且允许期房销售，但在6月底前要全部完成交房，又该如何制定月建造计划？

26、人力资源安排问题

“PE公司”是一家从事电力工程技术的中美合资公司，现有41个专业技术人员，其结构和相应的工资水平分布如表1所示。

表1 公司的人员结构及工资情况 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 人 数 9 17 10 5 日工资（元） 250 200 170 110 目前，公司承接有4个工程项目，其中2项是现场施工监理，分别在A地和B地，主要工作在现场完成；另外2项是工程设计，分别在C地和D地，主要工作在办公室完成。由于4 个项目来源于不同客户，并且工作的难易程度不一，因此，各项目的合同对有关技术人员的收费标准不同，具体情况如表2所示。

表2 不同项目和各种人员的收费标准 高级工程师 工程师 助理工程师 技术员 收费 A 1000 800 600 500 （元/天） B 1500 800 700 600

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

C 1300 900 700 400 D 1000 800 700 500 为了保证工程质量，各项目中必须保证专业人员结构符合客户的要求，具体情况如表3 所示：

表3：各项目对专业技术人员结构的要求 A B C D 高级工程师 1～3 2～5 2 1～2 工程师 ≥2 ≥2 ≥2 2～8 助理工程师 ≥2 ≥2 ≥2 ≥1 技术员 ≥1 ≥3 ≥1 -- 总计 ≤10 ≤16 ≤11 ≤18 说明： 表中“1～3”表示“大于等于1，小于等于3”，其他有“～”符号的同理；

项目D，由于技术要求较高，人员配备必须是助理工程师以上，技术员不能参加；

高级工程师相对稀缺，而且是质量保证的关键，因此，各项目客户对高级工程师的配备有不能少于一定数目的限制。各项目对其他专业人员也有不同的限制或要求；

各项目客户对总人数都有限制；

由于C、D两项目是在办公室完成，所以每人每天有50元的管理费开支。 由于收费是按人工计算的，而且4个项目总共同时最多需要的人数是10+16+11+18=55，多于公司现有人数41。因此需解决的问题是：如何合理的分配现有的技术力量，使公司每天的直接收益最大？并写出相应的论证报告。

27、零件装配优化 在航空工业中，特别在飞机工业制造过程中，各零部件合理装配非常有助于提高整机的性能。

现有19个零件均匀装配在一个圆盘周围，每个零件具有频率和质量，装配时要求满足以下条件：

1.相邻零件应具有频率差，且为一大一小分布；

2.相邻零件频率差应不小于6Hz，允许在不相邻的三处，相邻零件频率差不小于4Hz；

3.整个圆盘上的配重值不大于10g , 配重值计算公式为：则： a.设计满足上述要求的优化算法，并用表2中三组数据验证； b.如果数据可做局部调整（可换一个零件），分析对装配效果的影响。 表2 数据 序号 频率Hz 质量g 序号 频率Hz 质量g 序号 频率Hz 质量g 1 111 70 1 96 39 1 96 32 2 108 65 2 100 32 2 113 90 3 112 86 3 108 62 3 106 59 4 100 32 4 98 10 4 96 27

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 102 100 99 106 98 102 97 100 109 99 109 113 109 100 101 50 36 10 67 26 35 16 20 71 38 93 72 66 27 66 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110 98 98 108 110 98 98 98 96 108 109 107 108 98 102 59 32 20 74 49 5 12 30 16 80 60 52 59 39 37 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 100 96 96 105 112 97 97 97 108 96 112 111 110 97 108 48 41 25 55 63 42 25 49 60 20 62 82 84 45 47

28、货物调运

已知该地区有生产该物资的企业三家，大小物资仓库八个，国家级储备库两个，其分布情况见附件2。经核算该物资的运输成本为高等级公路2元/公里?百件，普通公路1.2元/公里?百件，假设各企业、物资仓库及国家级储备库之间的物资可以通过公路运输互相调运，请给出各个仓库应该从哪个企业调运。

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

29、运输问题

某货运公司拥有3辆卡车，每辆载重量均为8000kg，可载体积为9.084m3，该公司为客户从甲地托运货物到乙地，收取一定费用。托运货物可分为四类：A、鲜活类B、禽苗类C、服装类D、其他类，公司有技术实现四类货物任意混装。平均每类每kg所占体积和相应托运单价如下表：

类别 体积（m3/kg） 托运单价（元/kg） A、鲜活类 0.0012 1.7 B、禽苗类 0.0015 2.25 C、服装类 0.003 4.5 D、其他类 0.0008 1.12 托运手续是客户首先向公司提出托运申请，公司给予批复，客户根据批复量交货给公司托运。申请量与批复量均以公斤为单位，例如客户申请量为1000kg，批复量可以为0～1000kg内的任意整数，若取0则表示拒绝客户的申请。

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

问题l、如果某天客户申请量为：A类6500kg，B类5000kg，C类4000kg，D类3000kg，如果要求C类货物占用的体积不能超过B、D两类体积之和的三倍(注意：仅在问题1中作此要求)。问公司应如何批复，才能使得公司获利最大? 问题2、每天各类货物的申请总量是随机量，为了获取更大收益，需要对将来的申请总量进行预测。现有一个月的数据(见附件一)，请预测其后7天内，每天各类货物申请量大约是多少?

问题3、一般，客户的申请是在一周前随机出现的，各类申请单立即批复，批复后即不能更改，并且不能将拒绝量(即申请量减批复量)累计到以后的申请量。请根据你对下周7天中各类货物申请量的预测，估算这7天的收益各为多少?

附件一 某月申请量数据表(单位：kg)

日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1l 12 13 14 15 16 17 A类 1601 5421 1890 4439 1703 3232 376 1167 1897 3737 1807 1628 1723 2584 1551 2479 1199 B类 2845 2833 4488 4554 2928 3497 2261 6921 1391 3580 4451 2636 3471 3854 3556 2659 4335 C类 4926 2871 4447 2996 5088 2829 3893 6706 8064 3386 5317 3112 4226 4520 3494 2918 2860 D类 2239 243 2750 1484 4378 3593 2117 1873 1750 5938 1459 7757 2441 1373 2365 2660 3078 总计 11611 11368 13575 13473 14097 13151 8647 16667 13102 16641 13034 15133 11861 12331 10966 10716 11472 13

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 4148 2449 2026 1690 3374 2015 2480 850 2249 1674 3666 2029 1238 2882 4084 1999 2889 2175 2510 3409 3729 3489 3172 4568 4015 3666 5514 2008 5822 2840 2893 1121 1663 2736 4552 8794 5552 11953 9552 3636 3081 3204 1318 4083 3833 1773 2519 6050 4710 1179 2393 2579 16180 11622 13051 8737 12525 9479 9325 9834 16340 18350 14965 20390 17035 30、产的养殖与捕捞 人工养殖的水产业（如养殖场中虾的养殖），其产量的增加一般与养殖费（包括饲料、工资、技术费等）成正比。而当养殖场虾量达到养殖场最大允许虾量时，养殖费投入再大也不会使虾量增加。但若不投入养殖费，养殖场中的虾将会慢慢死去。 现考虑养殖场中某种虾的养殖与固定努力量捕捞。用x(t)表示养殖场中第t月的虾量（单位：斤），用y(t)表示第t月的月养殖费（单位：元/月）.根据以往经验和市场调查，我们有如下数据： 1）这种虾的自然死亡率为?,??0.05（1/月）； 2）环境容许的最大虾量为N，N?104（斤）； 3）在无捕捞和自然死亡的情况下，养殖场虾量x(t)的增加速度与月养殖费y(t)成正比，其比例系数是x(t)的函数；当x(t)达到N时，此函数为0；当x(t)为0时，此函数为常数?，?＝1（斤/元）； 4）虾的捕捞采用拉网式固定努力量捕捞，即每月的捕捞量与此时养殖场虾量x(t)成正比，比例系数为E.这种拉网式捕捞每次捕到的虾中出现小虾，中虾、大虾的概率分别为0.2、0.5、0.3,而捕捞成本为?,??0.1(元斤）； 5）小虾、中虾、大虾平均每斤的批发价格分别为5元，7元和10元. （1）若某人长期承包这养殖场，要求养殖场中每月的虾量都相等，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，比例系数为a,a?0.2（元/斤﹒月）。试制定捕捞策略（确定E），使虾的月利润最大，此时每月养殖场的虾量及利润各是多少？ （2）若某人承包此养殖场5年，且月养殖费y(t)与该月虾量x(t)成正比，

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

比例系数为a,又取E＝0.08（1/月）。试制定养殖策略（确定a）,使5年的总利润最大。如果初始虾量为103斤，那么使获利最大的开始捕捞的月份是多少？

（3）若某人承包此养殖场5年，每月按强度E?0.1（1/月）捕捞，试制定养殖场策略（确定养殖费y(t)）,使5年的总利润最大.

31、石油精炼

石油精炼厂将使用两种原油生产出丁烷（butane），汽油（petrol），柴油（diesel oil），以及民用燃料油（heating oil）。为生产出这些产品，需要四道工序：分离，转化，提纯，和混合。

在分离工序中将把原材料进行分馏，使其分离为丁烷（butane），石脑油（naphtha），轻柴油（gasoil），以及残渣。残渣然后将进行催化裂解以获得较轻的产品。从分馏工序得到的各种产品将进行提纯（脱硫），或通过重整工艺增加其辛烷值。最终，为获得可以出售的最终产品，精练厂需要将若干种中间产物进行混合，以满足商业产品所要求的各种属性。下图中是对此精练厂的生产过程的简单的示意。

在分馏之后，原油1 能够得到3%的丁烷，15%的石脑油，40%的轻柴油，以及15%的残渣。原油2 能够得到5%的丁烷，20%的石脑油，25%的轻柴油，以及10%的残渣。对石脑油进行重整能够得到15%的丁烷和85%的重整油（重整石脑油）。对残渣的催化裂解可以生成45%的裂解石脑油和35%的裂解轻柴油（注意，由于在此工艺中也将生成15%的气体和5%的石油焦以及其他另一种无法计入我们的例子中的残余物，因此这两个百分比之和不等于1）。汽油由三种成分混合而成：重组石脑油（重组油），丁烷，以及裂解石脑油。柴油可以通过将脱硫轻柴油，裂解轻柴油，以及裂解石脑油混合得到。民用燃料油由轻柴油及裂解石脑油组成，对其成分含量没有要求。

图6.2：石油精炼简化流图

法律规定了一些汽油和柴油的规格指标。对于汽油有三项重要指标：辛烷值，蒸汽压，以及挥发性。辛烷值是对汽油的抗爆能力的度量。蒸汽压能够反映出汽油储存过程中发生爆炸的风险，尤其在炎热气候条件下。挥发性能够决定在寒冷气候条件下发动机是否能够容易启动。空气污染法规对柴油的含硫量进行了规

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

生产多少个才能够使生产和库存成本最小化？

表格 8.4：六种类型杯子的数据 V1 V2 V3 V4 V5 V6

生产成本 库存成本 初始库存 最终库存 工人工时 机器工时 储存空间 100 80 110 90 200 140 25 28 25 27 10 20 50 20 0 15 0 10 10 10 10 10 10 10 3 3 3 2 4 4 2 1 4 8 11 9 4 5 5 6 4 9 41、物料需求规划

Minorette 公司生产两种大型儿童玩具车：蓝色集装箱卡车和红色油罐卡车。每种类型的玩具车都由13 个部件组装而成。图8.1 列出了这些部件的分解结果（也称为Gozinto 图或零件爆炸），下面的表8.6 列出了各种组件的价格。 轮子 棒材 保险杠 底盘 驾驶室 车门窗 0.30欧元 1欧元 0.20欧元 0.80欧元 2.75欧元 0.10欧元 风挡 蓝色集装箱 红色油罐 蓝色发动机 红色发动机 车头灯 0.29欧元 2.60欧元 3欧元 1.65欧元 1．65欧元 0.15欧元

图8.1：组件分解（Gozinto 图）

其中轮轴，底盘，蓝色或红色驾驶室可以由此公司自己组装，也可以转包给别的公司。下表列出了自己组装和转包这些组件的成本以及此公司的产能。在组装成本中未计入购买原料的费用。

表格 8.7：转包和组装成本，组装产能 轮轴 组装好组装好蓝色卡红色油的底盘 的驾驶室 车 罐车 转包 12.75欧元 30欧元 3欧元 - - 自己组装 6.80欧元 3.55欧元 3.20欧元 2.20欧元 2.60欧元 产能 600 4000 3000 4000 5000 下个月Minorette 公司预期这两种玩具车的需求量均为3000 辆。目前库存量为0。那么Minorette 公司购买或转包这些组件的数量各为多少才能够在满足需求的同时又能够最小化生产成本？

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42、电子元件生产规划

为增加利润，一家小公司希望提高其最畅销产品的产量。这家公司的主要业务之一是生产IC 卡和电子徽章。这家公司也生产这些卡和徽章的各个元件。因此对这些元件的生产进行良好的规划就成了此工厂取得成功的决定因素。在这个例子中对这些元件的需求都来源于此公司内部，因此很容易对其进行预测。

在未来的六个月内，计划生产四种元件，型号分别为X43-M1，X43-M2，Y54-N1， Y54-N2。这些元件的产量受到产能变化的影响，并且每次产能改变后都需要重新进行控制和调整，因此会带来不可忽略的费用。因此公司希望最小化这些改变带来的费用，以及生产和库存的成本。

在下表中列出了每种产品每个时期内的需求量，生产和库存成本，初始库存量，以及最后希望保留的库存量。当产量发生变化时，需要对机器和控制系统进行重新调整。由此带来的费用与产量较前一月的改变量（提高或上升）成正比。产量每提高一个产品单位，则需要支出1 欧元；产量每降低一个产品单位，只需要支出0.50 欧元。

表格8.10：四种产品的数据 产品需求 月 1 2 3000 800 1500 1600 3 2000 800 2900 1500 4 4000 1000 1800 1000 5 2000 1100 1200 1100 6 2500 900 2100 1200 X43-M1 1500 X43-M2 1300 Y54-N1 2200 Y54-N2 1400 成本 生产 20 25 10 15 储存 0.4 0.5 0.3 0.3 库存量 初始 10 0 0 0 最终 50 10 10 10 为最小化由于产量改变引起的费用，以及生产和库存成本，应采取何种生产方案？

43、玻璃纤维生产规划

有一家公司生产玻璃纤维，产量以立方米为单位计算。这家公司希望对未来六个星期的生产进行规划。产能有一定上限，且在每个时期产能的上限都不同。规划所覆盖的整个期间的每周需求量都已知。不同时期的生产和存储的费用也不相同。下表中列出了这些数据。

表格 8.12：每周各项数据 星期 产能（m3） 需求（m3） 生产成本（欧储存成本（欧元/m3） 元/m3） 1 140 100 5 0.2 2 100 120 8 0.3 3 110 100 6 0.2 4 100 90 6 0.25 5 120 120 7 0.3 6 100 110 6 0.4 应采取怎样的生产方案才能够最小化生产和存储的总成本？

44、货车载荷平衡

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

有三节铁路货车车厢，其最大允许载重均为100 公担（1 公担=100 千克），将使用这三节车厢运输16 个箱子。下表中列出了这些箱子的重量，单位为公担。应如何将箱子分配到各个货车上，才能使每节货车实际载重均不超过最大允许载重，且使装载量最大的车厢的装载量最小？

表格9.1：箱子属性 箱子 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 34 6 8 17 16 5 13 21 箱子 9 10 11 12 13 14 15 16 重量 25 31 14 13 33 9 25 25 在建立数学规划模型之前，你可能希望了解是否可以使用这样的启发式方法对问题进行求解：在所有箱子都装到车上之前，我们选择最重的尚未装车的箱子，并将它放到实际载重最轻的货车上。

45、储存罐注入

5 艘油船抵达了一个化工厂。这些油船中装有液体载荷，这些液体不允许混合： 1200 吨苯，700 立方米丁醇，1000 立方米丙醇，450 立方米苯乙烯，1200 立方米四氢呋喃（THF）。在此化工厂里有九个不同大小的存储罐。有一些存储罐已经装有一些液体。下表列出了每储存罐的属性（单位为吨）。应将这些船中装载的液体分别装载到哪个储存罐中才能使未使用的储存罐容量最大（问题1），或怎样才能使保留未用的储存罐数目最多？

表格9.6：储存罐属性 罐子编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 容量 500 400 400 600 600 900 800 800 800 当前内容 - 苯 - - - - THF - - 体积 0 100 0 0 0 0 300 0 0 46、汽车租赁

有一家小型汽车租赁公司，此公司有94 辆可供出租的汽车，分布于10 个代理点中。每个代理点的位置都将以地理坐标X 和Y 的形式给出，单位为千米。我们假定两个代理点之间的距离约为它们之间欧氏距离（即最短距离）的1.3 倍。下表给出了各个代理点的位置坐标，以及第二天早晨汽车租赁的需求量和前一天晚上各个代理点拥有的汽车数。

表格 10.1：车辆租赁代理点信息 代理点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 X坐标 0 20 18 30 35 33 5 5 11 2 Y坐标 0 20 10 12 0 25 27 10 0 15 汽车需求量 10 6 8 11 9 7 15 7 9 12 当前拥有量 8 13 4 8 12 2 14 11 15 7 假定汽车转运的成本为每辆车每千米0.50 欧元，请找出如何在各个代理点之间调度分配汽车才能够满足各处的需求，并且使转运成本最低。

47、选择运输方式

在法国西南部有一家公司，这家公司需要将180 吨存放于仓库D1 到D4 中的化学产品运输到3 个回收中心C1，C2 和C3。仓库D1 到D4 分别储存有50，

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

40，35，和65 吨化学产品，总计为190 吨。可以选用两种运输方式：公路运输和铁路运输。仓库D1 只能通过公路向回收中心C1 和C2 进行运输，运费分别为12 欧元/吨和14欧元/吨。仓库D2 只能向回收中心C2 运输，可以选择通过铁路或公路，运费分别为12 欧元/吨和14 欧元/吨。仓库D3 可以通过公路向回收中心C2 运输（9 欧元/吨），或通过铁路或公路向回收中心C3 运输，运费分别为4 欧元/吨和5 欧元/吨。仓库D4可以通过铁路或公路向回收中心C2 运输，运费分别为11 欧元/吨和14 欧元/吨，或者通过铁路或公路向回收中心C3 运输，运费分别为10 欧元/吨和14 欧元/吨。

此公司与铁路公司签订的化学物品运输合同规定，每次运输量至少应为10 吨，最多为50 吨。除了标准的安全规章之外，对公路运输不存在其他特殊的限制。那么此公司应如何运输这180 吨化学物品才能够使总运费最低？

48、仓库位置选取

有一家大公司希望开设一些新的仓库，以向销售中心供货。每开设一个新仓库都有一些固定费用。货物将从仓库运输到附近的销售中心。每次运输的运费取决于运输的距离。这两种类型的费用非常不同：仓库开设费用属于投资支出，通常在若干年后将勾销，而运输费用属于运营成本。如何结合这两种费用不属于本书的讨论范围，我们假定这两种费用可比，为此可能需要以年为单位计算运营费用。

有12 个可以建造新仓库的位置，并且需要从这些仓库向12 个销售中心供货。

下表10.3 给出了每个仓库完全满足每个客户（销售中心）需求所需的总成本（千欧元，不是单位成本）。因此，例如从仓库1 向客户9（根据表10.5 可以看到此客户总需求量为30 吨）供货的单位成本为60000 欧元/30 吨，即2000 欧元/吨。如果无法进行送货，则对应的成本标记为无穷大∞ 。

表格 10.3：满足客户需求所需的运输成本 客户 仓1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 库 1 100 80 50 50 60 100 120 90 60 70 65 110 2 120 90 60 70 65 110 140 110 80 80 75 130 3 140 110 80 80 75 130 160 125 100 100 80 150 4 160 125 100 100 80 150 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 5 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 6 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 100 80 50 50 60 100 7 100 80 50 50 60 100 120 90 60 70 65 110 8 120 90 60 70 65 110 140 110 80 80 75 130 9 140 110 80 80 75 130 160 125 100 100 80 150 10 160 125 100 100 80 150 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 11 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 12 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 100 80 50 50 60 100 此外，对每个仓库，还有如下信息：仓库建设的固定费用（需要计入目标函数）和仓库的容量上限，这些信息都列于表10.4 中。

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

表格 10.4：仓库建设费用和容量限制 仓库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 建设3500 9000 10000 4000 3000 9000 9000 3000 4000 10000 9000 3500 费用 容量300 250 100 180 275 300 200 220 270 250 230 180 上限 表10.5 列出了各个销售中心（客户）的需求量。 表格 10.5：客户需求量数据 客户 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 需求量 120 80 75 100 110 100 90 60 30 150 95 120 任何时候都要保证满足客户需求，可以从多个仓库向同一个客户送货。应在哪些位置开办仓库才能使总的建设成本以及运输成本最低，同时仍然能够满足所有客户需求？

49、燃油运输

有一个运输商需要将一些燃油从位于S处的炼油厂运输到他的一些客户那里。这些客户分别位于A1，A2，A3，A4，A5，和A6。下表列出了每个地方的需求量升数。

表格 10.7：客户需求量（升） A1 A2 A3 A4 A5 A6 14000 3000 6000 16000 15000 5000 下面这个表中列出了炼油厂与客户之间的距离。 表格 10.8：距离矩阵（千米） S A1 A2 A3 A4 A5 A6 S 0 148 55 32 70 140 73 A1 148 0 93 180 99 12 72 A2 55 93 0 85 20 83 28 A3 32 180 85 0 100 174 99 A4e 70 99 20 100 0 85 49 A5 140 12 83 174 85 0 73 A6 73 72 28 99 49 73 0 此运输公司使用容量为39000 升的油罐车进行运输。请选择运输路线，使向所有客户运输的总里程数最少。

50、组合使用不同运输方式

有20 吨货物需要沿着一条路径运输到五个城市，可以选择三种不同的运输方式：铁路，公路，和航空运输。在三个位于路途中间的城市里可以更改运输方式，但是在相邻的两个城市之间只能采取一种运输方式。表10.9 列出了在每一对城市之间运输1 吨货物的成本。

表格 10.9：不通运输方式的成本 城市 1-2 2-3 3-4 4-5 铁路 30 25 40 60 公路 25 40 45 50

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

航空 40 20 50 45 下面的表（10.10）列出了在更换运输方式时每吨货物需要的额外支出。此支出与地点无关。 表格 10.10：更换运输工具费用

从...转换为... 铁路 公路 铁路 0 5 公路 8 0 航空 15 10 应选择怎样的运输方案才能使总成本最小？

航空 12 10 0 51、货车车队规划

有一个连锁商店从不同的汽车租赁商那里租赁货车，从而组成一支车队。此公司预测未来六个月内的货车的需求如下（表10.12）：

表格 10.12：六个月内的货车需求量 一月 二月 三月 四月 五月 六月 430 410 440 390 425 450 在一月，此连锁店有200 辆货车，这些货车的租借期将在二月底结束。 为满足需求，此连锁店可以选择三种类型的租赁合同，每个合同都将在每个月1日生效，这些合同为：三个月的租赁合同，每辆车租金总计1700 元；4 个月的租赁合同，每辆车租金总计2200 元；以及5 个月的租赁合同，每辆车租金总计2600 元。

此公司每个月应签订每种类型的合同各多少份才能够满足业务需要，并使总支出最小，且在六月结束时所有车辆租赁期都结束？

图10.4：第5 个月（五月）内仍然在租赁期的车辆

52机组编成

在第二次世界大展中，英国皇家空军（RAS）中有很多说不同语言的飞行员，飞行员所学习驾驶的飞机也不尽相同。皇家空军希望为每架飞机安排一对飞行员-副飞行员（一个机组），他们必须语言相通，并且都熟悉此机型。在我们这个例子中有8 名飞行员。下面的表中用0（最差）到20（最好）表示每名飞行员对各种语言（英语，法语，荷兰语，挪威语）的掌握程度，以及对不同类型的双座飞机（侦察机，运输机，轰炸机，战斗轰炸机，补给运输机）的驾驶经验。

表格 11.3：飞行员各项评分

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

飞行员 1 2 3 4 5 6 7 8 英语 20 14 0 13 0 0 8 8 法语 12 0 0 10 15 20 8 9 语言 荷兰语 0 20 12 0 8 11 14 12 挪威语 0 0 0 0 17 0 0 16 侦察机 18 12 15 0 0 0 8 0 运输机 10 0 9 14 15 8 12 13 机型 轰炸机 0 17 0 11 13 10 0 0 战斗轰炸机 0 0 14 0 0 12 16 0 补给运输机 0 0 0 0 12 18 0 18 只有两名飞行员对同一种语言的掌握都超过10/20，且对同一种飞机的掌握都超过10/20，这样才能组成一个机组。

问题1：是否有可能让所有飞行员都编入机组？

然后计算每个可行机组人员对其掌握得分均超过10/20 的每种类型飞机的掌握得分之和。这样我们可以定义每个机组的最高得分。例如，飞行员5 和6 对轰炸机的掌握分别为13 和10，对补给运输机的掌握分别为12 和18。因此它们组成的机组的最高得分为max(13+10, 12+18) = 30。

问题2：应如何编组才能让所有机组的得分之和最大？

53、航班着陆调度(具有时间窗口的调度问题 )

在大型机场中，飞机的降落要受到很多安全约束条件的限制。本节中将研究如何对单条跑道上的飞机降落进行调度。已经有人研究了更一般的问题，但这些问题相当复杂（动态案例，例如航班晚点，同时有多条跑道，等等），因此我们只讨论一个简单的情形。

有十个航班需要降落。每个航班都有一个最早到达时间（飞机以最高速度到达降落区域的时间）和最晚到达时间（可能受其他因素如燃油量等的影响）。在这个时间窗口内，航空公司需要选择一个目标时间，并将它作为航班到达时间公布出去。如果比此目标时间迟到或早到，则可能会引起机场秩序混乱并带来额外的费用支出。为将这些费用计入考虑，并方便进行比对，每个航班都定义了早到每分钟的惩罚和晚到每分钟的惩罚。下表列出了每个航班的时间窗口（以从当天零时起分钟数计）和惩罚值。

表格 11.4：航班时间窗口等信息 飞机 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最早到达 129 195 89 96 110 120 124 126 135 160 目标时间 155 258 98 106 123 135 138 140 150 180 最晚到达 559 744 510 521 555 576 577 573 591 657 早到惩罚 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 晚到惩罚 10 10 30 30 30 30 30 30 30 30 由于尾流影响以及飞机停留在跑道上的时间影响，在两次降落之间需要间隔一段安全时间。在表11.5 中第p 行第q 列即表示在航班p 和q 降落之间需要等待的最短时间（分钟），即便这两个航班实际上不是连续降落的。应采取何种降落调度方案才能够在使总惩罚最小，同时航班又都在指定的时间窗口中降落，并且满足两个航班降落之间的时间间隔？

表格 11.5：相邻降落之间的间隔时间矩阵

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 - 3 15 15 15 15 15 15 15 15 2 3 - 15 15 15 15 15 15 15 15 3 15 15 - 8 8 8 8 8 8 8 4 15 15 8 - 8 8 8 8 8 8 5 15 15 8 8 - 8 8 8 8 8 6 15 15 8 8 8 - 8 8 8 8 7 15 15 8 8 8 8 - 8 8 8 8 15 15 8 8 8 8 8 - 8 8 9 15 15 8 8 8 8 8 8 - 8 10 15 15 8 8 8 8 8 8 8 -

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