2012年10月自考线性代数真题与答案

全国2012年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184

一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共20分）

a11．设行列式

a2b1a1

1，b2a2 c1a1

1，则行列式 c2a2

D. 2

2

b1 c1

=（ ）

b2 c2

A. -1 B. 0 C. 1

2.设A是n阶矩阵，O是n阶零矩阵，且A E O，则必有（ ）

1

A. A E B. A E C. A A

D. A 1

0a0

3.A= 101 为反对称矩阵，则必有（ ）

bc0

A. a b 1,c 0 B. a c 1,b 0 C. a c 0,b 1 D. b c 1,a 0 4.设向量组 1=(2,0,0)T， 2=(0,0, 1)T，则下列向量中可以由 1， 2线性表示的是（ ） A.( 1, 1, 1)T B. (0, 1, 1)T C. ( 1, 1,0)T D. ( 1,0, 1)T 5.已知4×3矩阵A的列向量组线性无关，则r(AT)= （ ） A.1 B.2 C.3

D.4

6.设 1， 2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是（ ） A.

1－ 2 B. 1+ 2 C. 1+ 2 D.

1

211 1+ 2 22

7.齐次线性方程组

x1 x3 x4 0

的基础解系所含解向量的个数为（ ）

x2 x3 2x4 0

D.4

A.1 B.2 C.3

1 2

1A8.若矩阵A与对角矩阵D= 相似，则=（ ） 1

A.E B.A C.-E

2

D.2E

9.设3阶矩阵A的一个特征值为－3，则－A必有一个特征值为（ ） A.－9 B.－3 C.3

2

2

2

D.9

10.二次型f(x1,x2,x3)=x1 x2 x3 2x1x2 2x1x3 2x2x3的规范形为（ ）

22222

A.z1 B.z1 C.z1 -z2 z2

222

D.z1 z2 z3

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

123

11.行列式1

11的值为_________.

321

43 01 2

12.设矩阵A= ，P= ，则PAP＝_________.

21 10

13.设向量 =(1,2,1)T， =( 1, 2, 3)T，则3 -2 ＝_________. 14.若A为3阶矩阵，且|A|=

1 1

，则(3A)＝_________. 9

EO

15.设B是3阶矩阵，O是3阶零矩阵， r(B)=1，则分块矩阵 的秩为_________.

B B

16.向量组 1=(k, 2,2)T,

2=(4,8, 8)T线性相关，则数k=_________.

x1+2x2+3x3=1

17.若线性方程组 2x2+ x3= 2无解，则数 =_________.

(λ+1)x= λ

3

18.已知A为3阶矩阵， 1, 2为齐次线性方程组Ax=0的基础解系，则|A|=_________.

19.设A为3阶实对称矩阵，则数x=_________. 2=(1,2,x)T分别为A的对应于不同特征值的特征向量， 1=(0,1,1)T，

001

20.已知矩阵A= 01 1 ，则对应的二次型f(x1,x2,x3)=_________.

1 12

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

a b

21.计算行列式D=

ab

a

aa bb的值. ba b

100 112

22.设矩阵A= 210 ,B= 022 ,求满足方程AX=BT的矩阵X.

222 046

1 1 2 1

214 2

23.设向量组 1 , 2 , 3 , 4 ,求该向量组的秩和一个极大线性无关组.

3 0 6 1 4 43 1

x1 x2 x3 x4 1

24.求解非齐次线性方程组 2x1 x2 x3 x4 4.(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)

4x 3x x x 6

234 1 010

25.求矩阵A= 001 的全部特征值和特征向量.

000

26.确定a, b的值,使二次型f(x1,x2,x3) ax1 2x2 2x3 2bx1x3的矩阵A的特征值之和为1,特征值之积为－12. 四、证明题(本题6分)

27.设A，B均为n阶(n 2)可逆矩阵，证明(AB)*=B*A*．

2

2

2

全国2012年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案代码：04184

一、单项选择题（本大题共1 0小题，每小题2分，共20分）

1．B 2. C 3. B 4. D 5. C 6. D 7. B 8. A 9. A 10. C 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

21 1T

13.14. 15.4 (5,10,9) 343

22 16.-1 17.-1 18.0 19.-220.x2 2x3 2x1x3 2x2x3

11.0 12.

三、计算题（本大题共6小题，每小题 9分，共54分）

a b

21.解：D=

abab1ab

a

aa bb (2a 2b)a bb (2a 2b)0b0 2ab(a b) ba bba b0b aa

00

124 426 1

100100 100

T

22.解：(A,B) 210124 010

222226 022

100100 100100 010 124 010 124 0026 2 2 0013 1 1 100

4 则X 12

3 1 1

1 1

21

23.解：( 1, 2, 3, 4)

30

4 421 1 121 1 1

4 2 030 4 03

006 1030 4

31 00 5 3 00

2050

1 4

3 0

该向量组的秩为3，一个极大线性无关组为 1, 2, 3. 24.解：

1

(A,b) 2

4 1

0

0 1 1 11 1

1114 0

3 1 16 0

1 1 11 1

1 3 3 2 0

0000 01 1 11

1332 1332

0223

1 3 3 2 0000

x1 2x3 2x4 3

,x3,x4是自由未知量，特解 * (3, 2,0,0)T 同解方程组为

x2 3x3 3x4 2 x1 2x3 2x4

,x3,x4是自由未知量， 导出组同解方程组为

x 3x 3x34 2

基础解系 1 ( 2,3,1,0)T, 2 ( 2,3,0,1)T， 通解为 * k1 1 k2 2,k1,k2 R.

10

3

25.解：特征方程 E3 A 0 1 0，特征值为 1 2 3 0

00

1 2 3 0对应齐次线性方程组为

0 10 x1 0 x 0 00 12 0 000 x3

1 x2 0

,x1是自由未知量，特征向量为p 0 ， 同解方程组为

x3 0 0

全部特征向量为kp,k R

a0b

a 1 tr(A) a 1

26.解：对称矩阵A 020 ，易知 ，解得. 2

b 2 A 2( 2a b) 12 b0 2

四、证明题(本题6分)

27.证明：A，B均为n阶(n 2)可逆矩阵，则A AA,B BB,且AB可逆 故(AB) AB(AB)

*

1

*

1

*

1

ABB 1A 1 (BB 1)(AA 1) B*A*

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n981.html