高等数学不定积分讲义

第 3、4 次课 4 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：不定积分的概念与性质 教学要求：1. 理解不定积分的概念 2. 理解不定积分的性质；3. 熟记基本积分表。 重 点：不定积分的性质和基本积分表 难 点：不定积分的概念 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 不定积分的概念 （25） 2. 不定积分的性质 （30） 3. 基本积分表 （30） 4. 习题 （90） 课后作业 参考资料 不定积分的概念与性质

1、复习13个基本导数公式. 2、原函数与不定积分的概念.

（1）定义1 在区间I上，如果可导函数F?x?的导函数为f(x)，即对任一x?I，都有

F'?x??f(x)或dF(x)=?f(x)dx， 那么函数F?x?就称为f(x)(或f?x?dx)在区间I上的原函数.?

（2）原函数存在定理 如果函数f(x)在区间I上连续, 那么在区间I上存在可导函数

F?x?, 使对任一x ?I 都有F ?(x)?f(x).

注： 1、如果函数f(x)在区间I上有原函数F?x?, 那么f(x)就有无限多个原函数.

F(x)?C都是f(x)的原函数. (其中C是任意常数)?

2、f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果?(x)和F?x?都是f(x)的原函数,则

?(x)?F?x??C(C为某个常数).

简单地说就是,连续函数一定有原函数.??

定义2 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为f(x)(或?f(x)dx)在区间I上的不定积分. 记作 ?f(x)dx, 其中记号?称为积分号, f(x)称为被积函数,

?f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量.?

3、例题讲解.

例1 因为sinx是cosx的原函数,?所以?cosxdx?sinx?C.?

因为x是1的原函数, 所以 ?1dx?x?C.?

2x2x例2. 求函数f(x)?1的不定积分?

x解：当x?0时，(ln x)??1，?1 dx?lnx?C(x?0).??

xx当x?0时，[ln(x)]??1?(?1)?1，?1 dx?ln(?x)?C(x?0).合并上面两式,得到 ?xxx?x dx?ln|x|?C(x?0).??

2例3. 求xdx.

1??x3?x3x3222?C. 解 由于???x，所以是x的一个原函数，因此?xdx?33?3?'4、变式练习

5、积分曲线? 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线,从不定积分的定义,即可知下述关系?

d[?f(x)dx]?f(x)? 或 d[?f(x)dx]?f(x)dx.

dx'又由于F(x)是F?x?的原函数,所以?F?(x)dx?F(x)?C或记作?dF(x)?F(x)?C.

6、基本积分表（略）.

例4. ?13dx??x?3dx?1x?3?1?C??12?C.?

?3?12xx x例5. ?2xdx??5x2dx7?1122?x?C?x2?C?2x3x?C.

5?177257、不定积分的性质.

性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 ?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx.?

这是因为, [?f(x)dx??g(x)dx]??[?f(x)dx]??[?g(x)dx]??f(x)?g(x).

性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即 ?kf(x)dx?k?f(x)dx(k是常数,k?0)? 例6. ?x(x?5)dx??525(x211?5x2)dx.

51 ??x2dx??5x2dx??x2dx?5?x2dx 22 ?x2?5?x2?C.

7373例7. ?(x?1)3x3?3x2?3x?1dx?(x?3?3?1)dx dx???xx2x2x2dx?1x2?3x?3ln|x|?1?C. ??xdx?3?dx?3?1dx??12x2xx8.变式练习

(1)

?xdx2x (2)

3(?x?1x（2x?x2）dx )dx (3)?(4)

?3x4?3x2?1x2x(x?3)dx (5)?dx (6)?dx 22x?11?xx13432-+-）dx (8)?(?)dx (9)?xxxdx (7)（?2xx3x4(10)?1x2(1?x2)dx (13)

?cot2xdx

1?x21?x2?e2x?1 (11)ex?1dx

(12)?3xexdx 第 5 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第一类换元积分法 教学要求：1. 掌握第一类换元积分法 重 点：第一类换元积分法 难 点：凑微分 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 第一类换元积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

第 7 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：第二类换元积分法 教学要求：1. 理解第二类换元积分法 重 点：第二类换元积分法 难 点：第二类换元积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 第二类换元积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

第二类换元积分法

1、复习第一类换元积分法. 2、第二类换元法.

（1）定理1 设x???t?是单调的、可导的函数? 并且???t??0? 又设f [??t?]???t?具有原函数F?t?? 则有换元公式?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?F[??1(x)]?C? 其中

t???1?x?是

x???t?的反函数? 这是{F[??1(x)]}??F?(t)dtdx?f[?(t)]??(t)1dx?f[?(t)]?f(x)?

dt3、例题讲解.

例1. 求?a2?x2dx(a>0)?

解: 设x?asinx，? ?2?t? ?2? 那么a2?x2?a2?a2sin2t?acost?

dx?acostdt? 于是?a2?x2dx??acost?acostdt?a2?cos2tdt?a2(12t?14sin2t)?C?

因为t?arcsinx, sin2t?2sintcost?2x?a2?x2aaa? 所以

?a2?x2dx?a2(12t?14sin2t)?C?a22arcsinxa?12xa2?x2?C.

例2 求

?dx4x2?9.

解 原式?1d(2x)2?(2x)2?32?12ln2x?4x2?9?C. 例3 求

?dx

1?ex.解 为了消去根号，设1?ex?t，则x?ln(t2?1),dx?2tt2?1dt.所以 ?dx1?ex??2tt(t2?1)dt?2?1?11?t2?1dt????t?1?t?1??dt ?lnt?1t?1?C?ln1?ex?11?ex?1?C.

4、变式练习.

为因

１）

?x11?x2dx ２）?sinxdx

３）

?x2?4x2dx ４）?dx,(a?0)

22xa?x５）

?dx ６）

?dx

(x2?1)3７）?dx x?1?x21?2x?dx1?1?x2

８）

第 8 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：分部积分法1 教学要求：1. 掌握分部积分法 重 点：分部积分法 难 点：分部积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 分部积分法理论 （25） 2. 练习 （65） 课后作业 参考资料

分部积分法

1、提出问题：求解?xexdx（让学生试着求解）. 2、分部积分公式.

设函数u?u(x)及v?v(x)具有连续导数.那么,两个函数乘积的导数公式为 (uv)??u?v?uv?,移项得 uv??(uv)??u?v.

对这个等式两边求不定积分? 得?uv?dx?uv??u?vdx??或?udv?uv??vdu?

这个公式称为分部积分公式? 思路分析：严格按照“‘反、对、幂、三、指’顺序，越靠后的越优先纳入到微分号下凑微分。”的原则进行分部积分的练习。

3、例题讲解.

x例1 求xedx.

?解 设u?x,dv?exdx,那么du?dx,v?ex.于是

?xedx??xde?xx?xex??exdx?xex?ex?C.

例2 求 xlnxdx.

11,v?x2. x21211212原式?xlnx??xdx?xlnx?x?C.

2224'解 令u?lnx,v?x,则u?'x例3 求esinxdx.

?xxxx解 设u?sinx,v??e.u??cosx,v?e.则原式?esinx?ecosxdx.

?再令u?cosx,v??e.则u???sinx,v?e.

xxx 故原式?esinx?ecosx?esinxdx.

xx?xxe(sinx?cosx)?C. 故esinxdx?12?说明: 也可设u?e,v?为为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 注：(1)

x?f(x)dx凑微分?udv公式uv??vdu?uv??vudx.

?f(x)dx易积分.

''(2)vudx应较

?(3)熟悉了分部积分的步骤后，可以不明确写出u,dv，而是直接用公式来做.

例5 求xcosxdx.

解 cosxdx?xdsinx?xsinx?sinxdx?xsinx?cosx?C.

2x例6 求xedx.

????2x2x2xx22xx2xx解 xedx?xde?xe?edx?xe?2xedx?xe?2xde

?????2xxx2xxx ?xe?2xe?2edx?xe?2xe?2e?C

? ?ex?x2?2x?2??C.

4、变式练习.

１）xsinxdx ２）arcsinxdx

2３）xlnxdx ４）e??????2xxsindx

222５）xarctanxdx ６）xcosxdx

??2７）lnxdx ８）

?x2cos2xdx 2

第 9 次课 2 学时

课程安排：1学期，周学时 2 , 共 48学时. 主要内容：不定积分，定积分，微分方程 本次课题：分部积分法 教学要求：1. 会应用分部积分法求积分 重 点：分部积分法 难 点：分部积分法 教学手段及教具：讲授法 讲授内容及时间分配： 1. 习题 （90） 课后作业 参考资料

分部积分法

1、复习分部积分法. 2、例题讲解.

例1 求?exsinxdx?

解 因为?exsinxdx??sinxdex?exsinx??exdsinx ?exsinx??excosxdx?exsinx??cosxdex ?exsinx?excosx??exdcosx?exsinx?excosx??exdcosx ?exsinx?excosx??exsinxdx? 所以?exsinxdx?1ex(sinx?cosx)?C?

2 例2 求?sec3xdx?

解 因为?sec3xdx??secx?sec2xdx??secxdtanx?secxtanx??secxtan2xdx ?secxtanx??secx(sec2x?1)dx?secxtanx??sec3xdx??secxdx ?secxtanx?ln|secx?tanx|??sec3xdx? 所以 ?sec3xdx?1(secxtanx?ln|secx?tanx|)?C?

2 例3 ?arccosxdx?xarccosx??xdarccosx?xarccosx??x11dx 1?x2? ?xarccosx?1?(1?x2)2d(1?x2)?xarccosx?1?x2?C?

2

解题技巧：选取u及v的一般方法：

把被积函数视为两个函数之积，按“反对幂三指”的顺序，前者为u后者为v.

例4 ?xarctanxdx?1?arctanxdx2?1x2arctanx?1?x2?12dx?1x2arctanx?1?(1?12)dx

222221?x1?x ?1x2arctanx?1x?1arctanx?C?

222例5 求In??dx? 其中n为正整数?

(x?a2)n2 解 I1??2dx2?1arctanx?C?

ax?aa 当n?1时，用分部积分法? 有

dxxx2dx?x1a2]dx? ??2(n?1)?2(n?1)[??(x2?a2)n?1(x2?a2)n?1?(x2?a2)n?(x2?a2)n?1(x2?a2)n(x2?a2)n?1x?2(n?1)(In?1?a2In)? 即 In?1?22n?1(x?a)于是?? In?1[2x2n?1?(2n?3)In?1]? 2a(n?1)(x?a)2以此作为递推公式? 并由I1?例6 求?exdx?

1xarctan?C即可得In? aa 解 令x?t ? 则 ? dx?2tdt? 于

?exdx?2?tetdt?2et(t?1)?C?2ex(x?1)?C?

?exdx??exd(x)2?2?xexdx?2?xdex?2xex?2?exdx ?2xex?2ex?C?2ex(x?1)?C?? 例7

2

?x2?a2dx(a?0).

解 设u?x2?a2,v??1,则u??x2xx2?a2,v?x.

?x2?a2dx?xx2?a2??(x2?a2)?a2x2?a2x2?a2dx

?xx2?a2??dx

dxx2?a2?xx2?a2??x2?a2dx?a2?.

1a222ln(x?x2?a2)?C. 所以原式?xx?a?22 注：（第一换元法与分部积分法的比较）共同点是第一步都是凑微分

令?(x)?u ?f[?(x)]??(x)dx??f[?(x)]d?(x)?f(u)du? ?u(x)v?(x)dx??u(x)dv(x) ?u(x)v(x)??v(x)du(x)?

3、变式练习.

１）

??xexex?1x5dxdxarctanexdx?sin(2x)?2sinx2x?e 2) ３）

４）

45sinxcosxx?xdxdxdxx3?1 ５）?x8?1 ６）?sinx?cosx

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n973.html