重庆市巴蜀中学2018年高三适应性月考（八，3月）数学（理）试题

重庆市巴蜀中学2018届高三适应性月考（八，3月）数学（理）

试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.若复数满足

，则复数的模为（ ）

A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得，

∴．选C． 2.已知全集，集合， ，则（ ）A. B.

C.

D.

【答案】C 【解析】 由题意得

， ，

∴，

∴

．选C． 3.在等差数列中，是函数

的两个零点，则

的前10项和等于（A.

B. 15 C. 30 D.

【答案】B 【解析】 由题意得是方程的两根，

∴

，

）

∴4.设①若②若③若

是两条不同的直线，

，则，则，则

. ； ；

．选B．

是三个不同的平面，给出下列命题：

其中真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 ①中，由条件可得②中，由条件可得③中，由条件可得

或或或

相交，故①不正确； ，故②不正确； ，故③不正确．

综上真命题的个数是0．选A．

5.甲、乙、丙、丁四个人聚在一起讨论各自的体重（每个人的体重都不一样）. 甲说：“我肯定最重”； 乙说：“我肯定不是最轻”；

丙说：“我虽然没有甲重，但也不是最轻” 丁说：“那只有我是最轻的了”.

为了确定谁轻谁重，现场称了体重，结果四人中仅有一人没有说对. 根据上述对话判断四人中最重的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】

用排除法进行说明．

①假设甲没说对，则乙、丙、丁说的正确．故最重的是乙，第二名是甲，第三名是丙，丁最轻；或者乙最重，第二名是丙，第三名是甲，丁最轻．

②假设乙没说对，则甲、丙、丁说的正确．故乙最轻，与丁最轻矛盾，故假设不成立．

③假设丙没说对，则甲、乙、丁说的正确．若丙最重，则与甲的说法；若丙最轻，，则与丁最轻．故假设不成立．

④假设丁没说对，则甲、乙、丙说的正确．若丁最重，则与甲最重矛盾；若丁排第二，则与甲、乙、丙的说法都得不到谁最轻均矛盾．故假设不成． 综上所述可得乙最重．选B．

6.已知A.

，则的展开式中的系数为（ ）

B. 15 C. D. 5

【答案】D 【解析】 由题意得故求∵

的展开式中的系数．

，

展开式的通项为

． ．选D． ，

∴展开式中的系数为

7.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（ ） A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 24种 【答案】D 【解析】

分两类求解．①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有

种；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的

．由分类加法计数原

两个景点中的一个，其余两人分别各去一个景点，故方案有理可得总的方案数为24种．选D．

8.如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】

由题意得该程序的功能是计算∵∴当当

时，时，

， ，不合题意； ，符合题意． ．选D．

的和．

∴判断框中的条件为

9.某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为，则

为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B 【解析】

由三视图可得该几何体为如图所示的三棱锥

，其中

底面

，且底面

为直

角三角形，．

故三棱锥外接球的球心在过设球半径为，则有

的中点且与底面垂直的线上，设为点，则有．故三棱锥的外接球表面积

，．

俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体为圆锥，底面圆的半径为4，高为3，母线长为5，故其侧面积

．

∴10.把

．选B．

的图象向左平移个单位（为实数），再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的

的图象，若

对

恒成立，且

，若

，

，纵坐标不变，得到

则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意可得∵∴∴又∴∴∴当

， 时，

符合题意．

，

，即

，

对

，

恒成立，

是最大值或最小值，

，故

．

∴又∴∴

．

，

或或

．

，

结合各选项可得A正确．选A． 11.已知双曲线形且外接圆的半径为A.

B.

的左、右顶点分别为

，为双曲线左支上一点，

为等腰三角

，则双曲线的离心率为（ ）

D.

C.

【答案】C 【解析】 由题意知等腰角． ∵∴∴∴

设点P的坐标为故点P的坐标为

，则．

外接圆的半径为

， ，

，

．

，

，

中，

，设

，则

，其中必为锐

由点P在椭圆上得，整理得，

∴点睛：

．选C．

本题将解三角形和双曲线的性质结合在一起考查，综合性较强，解题时要抓住问题的关键和

要点，从所要求的离心率出发，寻找双曲线中之间的数量关系，其中通过解三角形得到点

间的关系，最后根据

P的坐标是解题的突破口．在得到点P的坐标后根据点在椭圆上可得离心率的定义可得所求． 12.已知

在点

处的切线方程为

，

，

的前项和为，则下列选项正确的是（ ） A. C. 【答案】A 【解析】 由题意得∴∴设∴∴令∴设∴∴令∴

综上选A． 点睛：

本题将函数问题和数列问题结合在一起，综合考查学生运用知识解决问题的能力，对于数列

，则在

，则

上单调递增， ，即

， ，

，故

．

，则在

，则

上单调递减， ，即

， ，

，故，

．

， ，解得

，

．

，

B. D.

中的不等式问题，一般的解法要借助于函数的单调性进行解决．为此并结合题意需要构造两个函数来解决问题，在得到函数的单调性后通过取特殊值的方法转化为数列的问题处理，解决此类问题需要学生具有较强的观察能力和分析问题的能力．

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知

满足约束条件

（

），则

的最大值为_______.

【答案】 【解析】

画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．平方．

表示可行域内的点

到原点距离的

由图形可得，可行域内的点A到原点的距离最大，且A点的坐标为∴答案： 14.抛物线【答案】 【解析】

由题意得抛物线的准线为∴点到抛物线的距离为

， ．

．

，且.

上一点的纵坐标为3，则点到抛物线焦点的距离为_______.

由抛物线的定义可得点到抛物线焦点的距离为． 答案： 15.数列

中，，（），则数列的通项公式为_______.

【答案】【解析】 ∵∴

，

，

∴，

∴，

又，

∴数列是首项为，公比为的等比数列，

∴，

∴答案：点睛：

．

（1）已知和的关系解题时的突破口是当时，这一结论的灵活应用，然后

根据所求的问题转化为的问题或的问题解决． （2）本题中，在得到

后还需要通过构造的方法得到

，逐步得

到等比数列16.三角形分别交【答案】 【解析】

，然后通过等比数列的通项公式可得数列中一点满足于点

，若

，则

，

的长度为1，

的通项公式．

边上的中点与的连线

的长度为_______.

设由题意得∴又 ∴

， ．即

，则

，

．

,

的长度为．

答案：

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17.在

. （1）若（2）若【答案】（1）【解析】 试题分析： （1）由

及正弦定理得，故

解得

．然后根据余弦定理及

，设

可得

，故可得，再由

可得，可得

，于是

，

；（2）

，求

的值；

中，角

所对的边分别为

，已知

，

，且

，求实数的取值范围. .

．（2）由题意得

，求得的取值范围后根据函数的单调性可得实数的取值范围．

试题解析： （1）∵ ∴

由正弦定理得∴又∴

，，

，

.

，

，

，

∴．

，

由余弦定理得又∴∴又∴∴

，

． 或，

， （舍去），

，

（2）由（1）得为锐角，故又∴ 设∵ ∴ ∴

， ，

在

上单调递减，

，

， ，

．

∴ ，

.

∴ 实数的取值范围为

18.某营养协会对全市18岁男生的身高作调查，统计显示全市18岁男生的身高服从正态分布部介于

，现某校随机抽取了100名18岁男生的身高分析，结果这100名学生的身高全到

之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组

，得到如图所示的频率分布直方图.

，第二组

，…，第六组

（1）若全市18岁男生共有人，试估计该市身高在以上的18岁男生人数；

（2）求的值，并计算该校18岁男生的身高的中位数（精确到小数点后三位）； （3）若身高

以上的学生校服需要单独定制，现从这100名学生中身高在

以上的

同学中任意抽取3人，这三人中校服需要单独定制的人数记为，求的分布列和期望. 附：

，则，则，则

； .

；（2）

,

；

【答案】（1）【解析】 试题分析：

；（3）分布列见解析，.

（1）根据正态分布得到在得高在

，故，从而可得身高

以上的18岁男生人数．（2）根据频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1可求，然后根据中位数的意义可求得中位数的估计值．（3）由频率分布直方图可得身内的为人，身高在

内的为人．从而可得随机变量的所有可能取值，

并根据古典概型求得对应的概率，于是可得分布列，从而可得期望． 试题解析： (1)由题意得∴

∴可估计该市身高在(2)由频率分布直方图可得∴

.

，

以上的18岁男生人数为,

,

（人） ，

设中位数为，则

∴即中位数为

.

．

内的人数为

人，

人，

（3）由题意得身高在身高在

内的人数为

由题意得随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．

，

，

，

故的分布列如下： ∴点睛：

.

0 1 ，

2 3 （1）利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法

①中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．

②平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和． ③众数：最高的矩形的中点的横坐标．

（2）对于正态分布，一定要注意三个特殊区间上的概率．解题时关键要会利用正态曲线的对称性求解随机变量在一些特殊区间上取值的概率． 19.如图，在正四棱锥

中，底边

，侧棱

，为侧棱

上的点.

（1）若（2）若

平面，求二面角的余弦值的大小；

平面

，若存在，求

的值；

，侧棱上是否存在一点，使得

若不存在，试说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，【解析】 试题分析：

（1）根据题意可建立空间直角坐标系，然后根据两平面法向量夹角的余弦值求得二面角的余弦值．（2）先假设存在满足题意的点使得向量，由试题解析： （1）如图，连接两两垂直． 以为坐标原点，

分别为

轴，建立如图所示的空间直角坐标系

.

，设

交

于，由题意知

平面

，又

，故

，可得

，从而可得当

平面

，然后根据题意求得平面时，

平面

.

的法

.

∵，，∴

，

.

，，

，

（1）由题意得∴∵

平面

，，

∴平面又平面∴

的一个法向量的一个法向量

， ， ，

为锐角，

由图形知二面角

∴所求二面角的余弦值为. （2）假设在棱设平面由题意得又点

，

，

上存在一点使得

， ，

，

，

平面

．在

上取点，连接

，

的法向量为

由，得，

令设则由解得∴当

，则

，

，

，

平面，

时，

平面

.

，可得

，

点睛：

（1）利用法向量求二面角或其余弦值时，在求得两法向量的夹角的余弦值后，还要根据图形判断二面角是锐角还是钝角，最后才能得到结论．

（2）立体几何中的探索性问题可通过坐标法来解，求解时要注意将所求的位置关系的问题转化为向量的共线或数量积的运算来处理． 20.设椭圆方程为

，离心率为，

是椭圆的两个焦点，为椭圆上一

点且，的面积为.

（1）求椭圆的方程； （2）已知点

，直线不经过点且与椭圆交于

两点，若直线

与直线

的斜率之和

为1，证明直线过定点，并求出该定点. 【答案】（1）【解析】 试题分析： （1）由离心率可得

，根据

的面积为得到

，进而得到

，

，然后在焦点三角形，于是得到椭圆的方

；（2）证明见解析，

.

中利用余弦定理并结合定义可得

程．（2）由题意设直线方程为系数的关系及可得过定点试题解析： (1)由题意得∵又在

，

中，由余弦定理得

，故

． ，∴，

.

可得

，联立椭圆方程后得到二次方程，由根与

，故直线方程为

，即

，

，

，

∴解得∴∴

， ． ，

.

，

，

,

∴椭圆的方程为

（2）由题意设直线方程为由

消去y整理得

∵直线与椭圆交于两点，

∴设点则

，

，

，

．

由题意得即∴

， ，

整理得∴直线方程为∴直线过定点

，

，即.

，

点睛：定点问题的解题策略 （1）直线过定点．将直线方程化为

恒成立，故直线过定点

（2）曲线过定点．利用方程为坐标的点即为所求的定点． 21.已知函数（1）若（2）设

小值，求最小值的取值范围. 【答案】（1）【解析】 试题分析： （1）根据为求

求．（2）由题意可得

不单调可得导函数在区间

在

上有解，然后通过分离参数的方法将问题转化

；（2）

.

时，

（

）.

．

对任意参数恒成立得出关于

的方程组，以方程组的

的形式，当

时与无关，即

不单调，求的取值范围；

，若

，

时，

时，

有最

上的取值范围的问题解决，然后利用基本不等式可得所

，利用导数可得

在

上单调递增，又

，故可得在上存在零点，从而可得

的值域即

．然后再利用导数求出函数

可得到所求． 试题解析： （1）∵∴ ∵∴方程∴又∴

．

．

，

. ，则

，， 单调递增，

，

，使得时，时，

，，

单调递减， 单调递增，

.

设则

，

，

，

.

，

，

时，

不单调，

在在

，（当且仅当

上有解， 上有解，

时等号才成立，故此处无等号）

，

,

∴ 实数的取值范围为（2）由题意得∴设又∵∴又∴存在且当当∴

∴ 又∴ 故

在上单调递减，

， .

最小值的取值范围为．

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.

选修4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标坐标系

中，曲线的参数方程为

（为参数），以坐标原点

.

为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程（1）当

时，交于

两点，求

；

的最大值.

（2）已知点【答案】（1）【解析】

，点为曲线上任意一点，求；（2）

.

试题分析：（1）第（1）问，先把直线的参数方程化为普通方程，再解圆里的三角形得到弦长得到|AB|的值.（2）先写出试题解析： （1）消去得：由

得：

，

，圆心为

，

. ，

，

∴

的最大值为

.

， ，半径

，

的三角函数表达式，再利用三角函数求它的最大值.

圆心到直线的距离

，∴

（2）设点

，则，又

选修4-5：不等式选讲 23.设（1）若

，解关于的不等式

.

；

（2）求证：【答案】(1) 【解析】

或

.

；（2）证明见解析.

试题分析：（1）第（1）问，直接利用零点讨论法解三角绝对值不等式证明. 试题解析： （1）当①当②当③当

时，时，时，时，

或

.

，∴

, ；

（2）第（2）问，利用

，∴无解； ，∴

，

综上所述，（2）证明：

，

当且仅当

时取等号.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n966.html