2014届高考数学：1.1.7指数与指数函数

一、选择题 1．(2013·聊城统考)若lga＋lgb＝0(其中a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象( ) A．关于直线y＝x对称 B．关于x轴对称 C．关于y轴对称 D．关于原点对称

解析：由lga＋lgb＝0可知lgab＝0，即ab＝1，所以f(x)＝ax，g(x)＝a－x.若点(x，y)在f(x)＝ax的图象上，则点(－x，y)在函数g(x)＝a－x的图象上，即两函数图象关于y轴对称． 答案：C 2．(2013·江西联考)已知函数f1(x)＝ax，f2(x)＝xa，f3(x)＝logax(其中a＞0，且a≠1)，在同一坐标系中画出其中的两个函数在第一象限内的图象，正确的是( )

A B C D

解析：不论a＞1还是0＜a＜1，三个函数的单调性应该是一致的，而在A、C、D中的两个函数的单调性显然不一致． 答案：B

11??1?a＜1，那么( ) 3．(2013·中山一模)设＜?b＜?5?5?5?A．aa＜bb＜ba B．aa＜ba＜ab

C．ab＜ba＜aa D．ab＜aa＜ba

11??1?解析：∵＜?b＜a＜1，

5?5??5?∴1＞b＞a＞0.

∴ab＜aa，且aa＜ba，故ab＜aa＜ba. 答案：D

x－2x＋34．(2013·福州二模)函数y＝2的值域是( )

2A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．(－∞，4) D．(－∞，4]

解析：令x2－2x＋3＝t，则y＝2t. ∵t＝(x－1)2＋2≥2，∴y＝2t≥22＝4. 答案：A 5．(2013·丽水二模)当x∈[－2,2]时，ax＜2(a＞0且a≠1)，则实数a的范围是( ) A．(1，2) B.?C.?

2?

?2，1?

2?

∪(1，2) D．(0,1)∪(1，2)

?2，1?

解析：x∈[－2,2]时，ax＜2(a＞0且a≠1)，

若a＞1时，y＝ax是一个增函数，则有a2＜2，可得a＜2，故有1＜a＜2， 若0＜a＜1，y＝ax是一个减函数，则有a－2＜2，可得a＞综上知a∈?

2?

∪(1，2)．

?2，1?

22，故有＜a＜1， 22

答案：C 6．(2013·哈尔滨月考)设a＝0.64.2，b＝0.74.2，c＝0.65.1，则a，b，c大小关系正确的是( ) A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a

解析：由幂函数y＝x4.2在第一象限内的单调递增的性质，可知b＞a；由指数函数y＝0.6x的单调递减性，可知a＞c，故有b＞a＞c. 答案：B 二、填空题

7．函数y＝2x＋1＋4x的值域为__________．

解析：y＝2x＋1＋4x＝(2x＋1)2－1，因为2x＞0，所以y＞0，故y∈(0，＋∞)． 答案：(0，＋∞)

8．若x＞0，则(2x＋3)(2x－3)－4x解析：原式＝(2x)2－(3)2－4x答案：－23

x2＋2x－411a9．已知loga＞0，若≤，则实数x的取值范围为__________．

2a

14321?1214321432?12(x－x)＝__________. ＝4x－33－4x＋4＝－23.

121212＋4x

11??221

解析：由loga＞0得0＜a＜1.

2

x2＋2x－41a由≤ ax＋2x－4得a≤a－1，

2∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3，或x≥1. 答案：(－∞，－3]∪[1，＋∞) 三、解答题

1

10．已知函数f(x)＝2x－. 2|x|

(1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 解析：(1)当x＜0时，f(x)＝0；

1

当x≥0时，f(x)＝2x－.

2x1

由条件，可知2x－＝2，

2x

即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±2. ∵2x＞0，∴2x＝1＋2. ∴x＝log2(1＋2)．

11

(2)当t∈[1,2]时，2t(22t－)＋m(2t－)≥0，

22t2t即m(22t－1)≥－(24t－1)．

∵t∈[1,2]，∴22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)． ∴t∈[1,2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]．

故m的取值范围是[－5，＋∞)．

－2x＋b

11．(2013·信阳调研)已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数(a＞0，b＞0)．

2x＋1＋a(1)求a，b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＜－f(2t2－k)恒成立，求k的取值范围．

－2－x＋bb·2x－1

解析：(1)f(－x)＝＝，

2－x＋1＋aa·2x＋2由f(x)＝－f(－x)得，

2b·22x＋(ab－2)2x－a＝a·22x＋(2－ab)2x－2b， ∴a＝2，b＝1或a＝－2，b＝－1(舍去)， ∴a＝2，b＝1.

1－2x2－1＋2x?11

(2)f(x)＝＝＝－，

2?1＋2x?2?1＋2x?1＋2x2∴f(x)在(－∞，＋∞)上递减，

∵f(x)是奇函数，

∴f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)， ∴t2－2t＞k－2t2，

整理得3t2－2t－k＞0对t∈R恒成立，

1

∴4＋12k＜0，k＜－，

31

－∞，－?. 因此实数k的取值范围是?3??

12．(2013·潍坊联考)定义在[－1,1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1,0]时，f(x)＝R)．

(1)求f(x)在[0,1]上的最大值；

(2)若f(x)是[0,1]上的增函数，求实数a的取值范围．

1a

解析：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]，f(－x)＝－＝4x－a·2x.

4－x2－x∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝a·2x－4x，x∈[0,1]． 令t＝2x，t∈[1,2]，

aa2t－?2＋. ∴g(t)＝a·t－t2＝－??2?4a

当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(1)＝a－1； 2a?a2a

当1＜＜2，即2＜a＜4时，g(t)max＝g??2?＝4； 2a

当≥2，即a≥4时，g(t)max＝g(2)＝2a－4； 2综上所述，当a≤2时，f(x)最大值为a－1，

a2

当2＜a＜4时，f(x)最大值为，

4当a≥4时，f(x)的最大值为2a－4. (2)∵函数f(x)在[0,1]上是增函数，

1a

－(a∈4x2x

∴f′(x)＝aln2·2x－ln4·4x＝2xln2(a－2·2x)≥0， ∴a－2·2x≥0恒成立，a≥2·2x， ∵2x∈[1,2]，∴a≥2.

即a的取值范围是[2，＋∞)．

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