第6章 傅立叶变换

第6章 傅立叶变换傅立叶积分 6.2 傅立叶变换 6.3 函数及其傅立叶变换 6.4 傅立叶变换的性质 6.1

傅立叶积分主值意义下的广义积分定义1 设函数 f (t )在实轴的任何有限区间上都 可积.若极限 lim

R

R

R

f (t )dt

存在,则称在主值

) 意义下 f (t ) 在区间 ( , 上的广义积分收敛,

记为

PV . .

f (t )dt Rlim R f (t )dt

R

例1 计算 e ( j ) t dt

( 0, 为实常数)

解

e

( j ) t

dt 2 0

e ( j )t dt

2 2 ( j ) t e 0 j j

例2 设 计算积分 解

f (t ) e

t2

( t )

( 0)

F ( )

1 j t f (t )e dt , 2 dt e e 2

F ( )e j t d

F ( )

f (t )e

j t

t2

(cos t j sin t )dt( ) 2 / ( 4 )

2 1 2 1 2

0

e

t2

cos tdtj t

/ (4 )

F ( )e

1 d 2 cos td

e

e j t d 2

e

2 / ( 4 )

1 2

4 e t

/ ( 1 )

e

t 2

f (t )

( t )

从例2可以看出,函数 f (t ), F ( )存在如下关系F ( )

f (t)e

j t

dt

1 f (t ) 2

F ( ) e j t d

1 f (t ) 2

f ( )e j d e j t d

(1)

上式(1)称为函数 f (t ) 的复指数形式的傅里叶积 分公式,而等号右端的积分式称为 f (t ) 的傅里叶 积分(简称傅氏积分).

6.1.2 傅氏积分存在定理 若函数 f (t )在任何有限区间上满足狄氏 条件(即函数在任何有限区间上满足：(1) 连续或只有有限个第一类间断点(2)至多有 有限个极值点),并且在 , 上绝对可 积则有：1 2

f ( )e j d e j t d t 为连续点 t 为间断点

f (t ) f (t 0) f (t 0) 2

6.2 傅立叶变换6.2.1 傅立叶变换的概念F ( )

f (t )e j t dt

1 f (t ) 2

F ( )e j t d

F ( ) 叫做 f (t ) 的傅氏变换,象函数,可记做 F ( ) = [ f (t ) ]f (t ) 叫做 F ( ) 的傅氏逆变换,象原函数, f (t ) = 1

F ( )

1 f (t ) 2

F ( )e j t d 也叫做f

(t )的傅氏积分表达式

例3 求函数

0 f (t ) t e

t 0 t

0

( 0) 的傅氏变换

和傅氏积分表达式. (指数衰减函数)

解 F ( ) f (t )e j t dt e ( j )t dt 0

0

e

t

e

j t

1 ( j t ) dt e 0 j

1 j 2 j 2

f (t )

1 2

F ( )e j t d

1 2

j j t e d 2 2

1 2

j (cos t j sin t )d 2 2 sin t cos t cos t sin t d j d 2 2 2 2

1 2 1

0

cos t sin t d 2 2

f (0 0) f (0 0) 1 若 t 0, 上式右端为 2 2于是

0 cos t sin t d 0 2 2 2 t e

t 0 t 0 t 0

6.2.2 傅氏变换的物理意义—频谱F ( ) 称为

f (t ) 的频谱函数

其模 F ( ) 称为 f (t ) 的振幅频谱 可以证明,频谱为偶函数,即F ( ) F ( )

6.3 -函数及其傅立叶变换在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数 外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理 现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中 在一点的量(点源),或者具有脉冲性质的量.例 如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产 生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作 用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要 介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在 一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于 一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等, 就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来 加以解决.

6.3.1 函数的定义

(1)看作矩形脉冲的极限 (2) 函数的数学定义 (3)物理学家狄拉克给出的定义 满足下列两个条件的函数称为 函数： Ⅰ (t ) 0 (t 0) Ⅱ (t )dt 1

函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图

(t )1

o

t

(t t0 )如下图

定义为满足下列条件的函数(2)

(1) (t t0 ) 0 (t0 0)

(t t0 )dt 1

1

(t t0 )

o t0

t

函数的性质

(1)对任意的连续函数 f (t ) ,都有 (t ) f (t )dt =f 0 (t ) f (t ) (t ) f 0

(t t0 ) f (t )dt f t0 f t0

(t t0 ) f (t ) (t t0 )

(2) (t ) 函数为偶函数,即

( t ) (t )

(3)

t

(t )dt

u t 1 u (t ) 0 t 0 t 0

其中,

称为单位阶跃函数.反之,有

d u (t ) t dt.

函数的傅立叶变换 j t t e j t 1 由于 F ( ) = (t )e dt t 0

可见, t 与常数1构成了一个傅氏变换对,即 [ t ]=1, . -1[1]=

t

t 1

t t0 与 e j t0 也构成了一个傅氏变换对,即 t t0 e j t0

一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对例5 可以证明单位阶跃函数 的傅氏变换为 1 u (t ) 0 t 0 t 0

F ( )

1 ( ) j

u t 的积分表达式为 u t

1 1 sin t u (t ) d 0 2

1 ( ) j

例6

证明 f (t ) 1 的傅氏变换为

F ( ) 2 ( )

证明

f (t ) =

1

F ( ) j t

1 2 e j t

1 F ( )e d 2 1

2 ( )e j t d

0

所以

2 ( ) 1

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