最新 考研数学三历年真题及答案（2003-2013年）

2003年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是_____. x若x?0,??0,（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2?________. （3）设a>0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则I???f(x)g(y?x)dxdy=_______.

?0,其他，D（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵 A?E???T， B?E?1??T， a其中A的逆矩阵为B，则a=______.

（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为________.

（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n??1n时，Yn??Xi2依概率收敛于______.

ni?1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) x(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ ] （2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. [ ] （3）设pn?an?an2，qn?an?an2，n?1,2,?，则下列命题正确的是

(A) 若

?an?1?n条件收敛，则

?pn?1?n与

?qn?1?n都收敛.

(B) 若

?an?1?n绝对收敛，则

?pn?1?n与

?qn?1?n都收敛.

(C) 若

?an?1??n条件收敛，则

?pn?1??n与

?qn?1??n敛散性都不定.

(D) 若

?an?1n绝对收敛，则

?pn?1n与

?qn?1n敛散性都不定. [ ]

?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.

(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ ] （5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是

(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关.

(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0.

(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ ]

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立.

(C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. [ ] 三、（本题满分8分） 设 f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.

12

四 、（本题满分8分）

?2f?2f122设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又??1g(x,y)?f[xy,(x?y)],求222?u?v?2g?2g?. ?x2?y2五、（本题满分8分） 计算二重积分 I??(xe??D2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.

其中积分区域D={(x,y)x2?y2??}.

六、（本题满分9分）

x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.

2nn?1?n七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件： f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.

(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式. 八、（本题满分8分）

设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.

九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组

?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn其中

?0,?0,?0, ?0,?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系. 十、（本题满分13分） 设二次型

222f(x1,x2,x3)?XTAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，

中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b的值；

(2) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为

?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2

其他;??0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

十二、（本题满分13分）

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为

X~??0.30.7??，

??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

?12?2003年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

1???xcos,若x?0,（1）设f(x)?? 其导函数在x=0处连续，则?的取值范围是??2. x若x?0,??0,【分析】 当x?0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】 当??1时，有

11???1??xcos?x??2sin,若x?0, f?(x)?? xx若x?0,?0,?显然当??2时，有limf?(x)?0?f?(0)，即其导函数在x=0处连续.

x?0（2）已知曲线y?x3?3a2x?b与x轴相切，则b2可以通过a表示为b2? 4a6 .

【分析】 曲线在切点的斜率为0，即y??0，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到b2与a的关系.

【详解】 由题设，在切点处有

2 y??3x2?3a2?0，有 x0?a2.

又在此点y坐标为0，于是有

30?x0?3a2x0?b?0,

222故 b2?x0(3a2?x0)?a2?4a4?4a6.

【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. （3）设a>0，f(x)?g(x)???a,若0?x?1,而D表示全平面，则I???f(x)g(y?x)dxdy= a2 .

?0,其他，D【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当0?x?1,0?y?x?1时，被积函数才不为零，因此实

际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.

【详解】 I? =a??f(x)g(y?x)dxdy=

D0?x?1,0?y?x?1??a2dxdy

22?dx?01x?1xdy?a2?[(x?1)?x]dx?a01.

【评注】 若被积函数只在某区域内不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

（4）设n维向量??(a,0,?,0,a)T,a?0；E为n阶单位矩阵，矩阵 A?E???T， B?E?其中A的逆矩阵为B，则a= -1 .

【分析】 这里??T为n阶矩阵，而?T??2a2为数，直接通过AB?E进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】 由题设，有

1??T， a1??T) a11 =E???T???T???T???T

aa11 =E???T???T??(?T?)?T

aa1 =E???T???T?2a??T

a1 =E?(?1?2a?)??T?E,

a11于是有 ?1?2a??0，即 2a2?a?1?0，解得 a?,a??1. 由于A<0 ,故a=-1.

2a（5）设随机变量X 和Y的相关系数为0.9, 若Z?X?0.4，则Y与Z的相关系数为 0.9 .

AB?(E???T)(E?【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为

cov(Y,Z)?cov(Y,X?0.4)?E[(Y(X?0.4)]?E(Y)E(X?0.4) =E(XY)?0.4E(Y)?E(Y)E(X)?0.4E(Y) =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且DZ?DX.

于是有 cov(Y,Z)=

cov(Y,Z)DYDZ=

cov(X,Y)DXDY??XY?0.9.

【评注】 注意以下运算公式：D(X?a)?DX，cov(X,Y?a)?cov(X,Y).

（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本，则当n??11n时，Yn??Xi2依概率收敛于 .

2ni?1【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量X1,X2,?,Xn，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：

p1n1n ?Xi??EXi(n??).

ni?1ni?122【详解】 这里X12,X2满足大数定律的条件，且EXi2?DXi?(EXi)2=,?,Xn1121?()?，因422此根据大数定律有

1n1n12 Yn??Xi依概率收敛于?EXi2?.

ni?1ni?12

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f?(0)存在，则函数g(x)?f(x) x(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ] 【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 limg(x)?limx?0x?0f(x)f(x)?f(0)?lim?f?(0)存在，故x=0为可去间断点. x?0xx?0x?1,x?0,可排除(A),(B),(C) 三项，故??x?0,x?0,【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=应选(D).

【评注2】 若f(x)在x?x0处连续，则limx?x0f(x)?A?f(x0)?0,f?(x0)?A..

x?x0（2）设可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，则下列结论正确的是

(A) f(x0,y)在y?y0处的导数等于零. （B）f(x0,y)在y?y0处的导数大于零. (C) f(x0,y)在y?y0处的导数小于零. (D) f(x0,y)在y?y0处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】 可微函数f(x,y)在点(x0,y0)取得极小值，根据取极值的必要条件知fy?(x0,y0)?0，即

f(x0,y)在y?y0处的导数等于零, 故应选(A).

【评注1】 本题考查了偏导数的定义，f(x0,y)在y?y0处的导数即fy?(x0,y0)；而f(x,y0)在x?x0处的导数即fx?(x0,y0).

【评注2】 本题也可用排除法分析，取f(x,y)?x2?y2，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有

f(0,y)?y2，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).

（3）设pn??an?an2，qn??an?an2?，n?1,2,?，则下列命题正确的是

(A) 若

?an?1n条件收敛，则

?pn?1n与

?qn?1n都收敛.

(B) 若

?an?1?n绝对收敛，则

?pn?1?n与

?qn?1?n都收敛.

(C) 若

?an?1??n条件收敛，则

?pn?1??n与

?qn?1??n敛散性都不定.

(D) 若

?an?1n绝对收敛，则

?pn?1n与

?qn?1n敛散性都不定. [ B ]

【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若

?an绝对收敛，即?an收敛，当然也有级数?an收敛，再根据pn?n?1n?1n?1???an?an2，

qn?an?an2及收敛级数的运算性质知，

?pn?1?n与

?qn?1?n都收敛，故应选(B).

?abb???（4）设三阶矩阵A?bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有 ????bba??(A) a=b或a+2b=0. (B) a=b或a+2b?0.

(C) a?b且a+2b=0. (D) a?b且a+2b?0. [ C ] 【分析】 A的伴随矩阵的秩为1, 说明A的秩为2，由此可确定a,b应满足的条件. 【详解】 根据A与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有

abb2 bab?(a?2b)(a?b)?0，即有a?2b?0或a=b.

bba但当a=b时，显然秩(A)?2, 故必有 a?b且a+2b=0. 应选(C).

【评注】 n（n?2)阶矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间有下列关系：

?n,r(A)?n,? r(A*)??1,r(A)?n?1,

?0,r(A)?n?1.?（5）设?1,?2,?,?s均为n维向量，下列结论不正确的是

(A) 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s

线性无关.

(B) 若?1,?2,?,?s线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0.

(C) ?1,?2,?,?s线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.

(D) ?1,?2,?,?s线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ]

【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.

【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks,都有 k1?1?k2?2???ks?s?0，则

?1,?2,?,?s必线性无关，因为若?1,?2,?,?s线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks,使得

k1?1?k2?2???ks?s?0，矛盾. 可见（A）成立.

(B): 若?1,?2,?,?s线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有

k1?1?k2?2???ks?s?0. (B)不成立.

(C) ?1,?2,?,?s线性无关,则此向量组的秩为s；反过来，若向量组?1,?2,?,?s的秩为s，则

?1,?2,?,?s线性无关，因此(C)成立.

(D) ?1,?2,?,?s线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.

综上所述，应选(B).

【评注】 原命题与其逆否命题是等价的. 例如，原命题：若存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立，则?1,?2,?,?s线性相关. 其逆否命题为：若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks，都有k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关. 在平时的学习过程中，应经常注意这种原命题与其逆否命题的等价性.

（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件

(A) A1,A2,A3相互独立. (B) A2,A3,A4相互独立.

(C) A1,A2,A3两两独立. (D) A2,A3,A4两两独立. [ C ]

【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.

【详解】 因为

1111，P(A2)?，P(A3)?，P(A4)?，

22421111且 P(A1A2)?，P(A1A3)?，P(A2A3)?，P(A2A4)?P(A1A2A3)?0，

4444P(A1)?可见有

P(A1A2)?P(A1)P(A2)，P(A1A3)?P(A1)P(A3)，P(A2A3)?P(A2)P(A3)，

P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A2A4)?P(A2)P(A4).

故A1,A2,A3两两独立但不相互独立；A2,A3,A4不两两独立更不相互独立，应选(C).

【评注】 本题严格地说应假定硬币是均匀的，否则结论不一定成立.

三 、（本题满分8分） 设 f(x)?1111??,x?[,1). ?xsin?x?(1?x)2试补充定义f(1)使得f(x)在[,1]上连续.

【分析】 只需求出极限limf(x)，然后定义f(1)为此极限值即可. ?x?112【详解】 因为

lim[f(x)=lim??x?1x?1111??] ?xsin?x?(1?x)lim? =

1?1?1?1x?1?(1?x)?sin?x

(1?x)sin?x????cos?x

?sin?x?(1?x)?cos?x =

???x?1lim??2sin?x =?lim

??x?1??cos?x??cos?x?(1?x)?2sin?x11? =

1?.

由于f(x)在[,1)上连续，因此定义

f(1)?121?，

使f(x)在[,1]上连续.

【评注】 本题实质上是一求极限问题，但以这种形式表现出来，还考查了连续的概念.在计算过程中，也可先作变量代换y=1-x，转化为求y?0?的极限，可以适当简化.

12

四 、（本题满分8分）

?2f?2f122设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又??1g(x,y)?f[xy,(x?y)],求222?u?v?2g?2g?. ?x2?y2【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：g?f(u,v)，u?xy,v?12(x?y2)，直接利用复2?2f?2f合函数求偏导公式即可，注意利用?.

?u?v?v?u【详解】

?g?f?f， ?y?x?x?u?v?g?f?f?x?y. ?y?u?v22?2g?2f?f2?f2?f故 ， ?y?2xy?x??u?v?x2?u2?v2?v22?2g?2f?f2?f2?f?x?2xy?y?. 222?v?u?v?y?u?v22?2g?2g22?f22?f所以 ?2?(x?y)2?(x?y)2 2?x?y?u?v =x2?y2.

【评注】 本题考查半抽象复合函数求二阶偏导. 五 、（本题满分8分） 计算二重积分 I??(x??eD2?y2??)sin(x2?y2)dxdy.

其中积分区域D={(x,y)x2?y2??}.

【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：x?rcos?,y?rsin?，有 I?e? =e?令t?r2，则 I??e???(xe??D2?y2)sin(x2?y2)dxdy

2?2?0d????0re?rsinr2dr.

?0e?tsintdt.

?t记 A??esintdt，则

0

A????0e?tintde?t

?0 =?[e?tsint =???e?tcostdt]

0???0costde?t

?0 =?[e?tcost =e???1?A. 因此 A???e?tsintdt]

0?1(1?e??)， 2 I??e?2(1?e??)??2(1?e?).

【评注】 本题属常规题型，明显地应该选用极坐标进行计算，在将二重积分化为定积分后，再通过换元与分步积分（均为最基础的要求），即可得出结果，综合考查了二重积分、换元积分与分步积分等多个基础知识点.

六、（本题满分9分）

x2n求幂级数1??(?1)(x?1)的和函数f(x)及其极值.

2nn?1?n【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按

通常方法求极值.

【详解】

f?(x)??(?1)nx2n?1??n?1?x. 1?x2上式两边从0到x积分，得

f(x)?f(0)??由f(0)=1, 得

f(x)?1?t1dt??ln(1?x2). ?01?t22x1ln(1?x2),(x?1). 2令f?(x)?0，求得唯一驻点x=0. 由于

1?x2 f??(x)??, 22(1?x) f??(0)??1?0，

可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.

【评注】 求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形，然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.

七、（本题满分9分）

设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在(??,??)内满足以下条件：

f?(x)?g(x)，g?(x)?f(x)，且f(0)=0, f(x)?g(x)?2ex.

(3) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (4) 求出F(x)的表达式.

【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.

【详解】 (1) 由

F?(x)?f?(x)g(x)?f(x)g?(x)

=g2(x)?f2(x)

=[f(x)?g(x)]2?2f(x)g(x) =(2ex)2-2F(x), 可见F(x)所满足的一阶微分方程为

F?(x)?2F(x)?4e2x.

?2dx2dx(2) F(x)?e?[4e2x?e?dx?C]

? =e?2x[4e4xdx?C]

? =e2x?Ce?2x.

将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是

F(x)?e2x?e?2x.

【评注】 本题没有直接告知微分方程，要求先通过求导以及恒等变形引出微分方程的形式，从题型来说比较新颖，但具体到微分方程的求解则并不复杂，仍然是基本要求的范围.

八、（本题满分8分）

设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在??(0,3)，使f?(?)?0.

【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c?[0,3)，使得f(c)?1?f(3)，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于

f(0)?f(1)?f(2)?1，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最

3终用介值定理可以达到目的.

【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是

m?f(0)?M， m?f(1)?M， m?f(2)?M. 故

f(0)?f(1)?f(2)?M.

3由介值定理知，至少存在一点c?[0,2]，使

f(0)?f(1)?f(2)f(c)??1.

3m? 因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在??(c,3)?(0,3)，

使f?(?)?0.

【评注】 介值定理、微分中值定理与积分中值定理都是常考知识点，且一般是两两结合起来考. 本题是典型的结合介值定理与微分中值定理的情形.

九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组

?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax112233nn?? ?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??????????????a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xn其中

?0,?0,?0, ?0,?ai?1ni?0. 试讨论a1,a2,?,an和b满足何种关系时，

(1) 方程组仅有零解；

(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.

【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.

【详解】 方程组的系数行列式

a1?ba2a3a1a2?ba3 A?a1a2a3?b???a1a2a3 =bn?1?an?an?an ???an?b(b??ai).

i?1n(1) 当b?0时且b??ai?1ni?0时，秩(A)=n，方程组仅有零解.

(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1?a2x2???anxn?0. 由

?ai?1ni?0可知，ai(i?1,2,?,n)不全为零. 不妨设a1?0，得原方程组的一个基础解系为

?1?(?aa2a,1,0,?,0)T，?2?(?3,0,1,?,0)T，?,?n?(?n,0,0,?,1)T.

a1a1a1当b???ai?1ni时，有b?0，原方程组的系数矩阵可化为

n??a1??aii?1??a1???a1????a1??a2a2??aii?1na3a3a3??aii?1na2?a2?a3?????an?? ??an???n??an??ai?i?1??an1倍）

i（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n行同乘以??ai?1nn??a1??aii?1???1? ??1?????1?a210?0?a3?an??0?0?

1?0?????0?1?? （ 将第n行?an倍到第2行的?a2倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）

??1??1? ? ?????1??010?0?01?0??????.

?00?1?00?0??由此得原方程组的同解方程组为

x2?x1，x3?x1，?,xn?x1 . 原方程组的一个基础解系为 ??(1,1,?,1)T.

【评注】 本题的难点在b???ai?1ni时的讨论，事实上也可这样分析：此时系数矩阵的秩为 n-1(存在

n-1阶子式不为零)，且显然??(1,1,?,1)T为方程组的一个非零解，即可作为基础解系.

十、（本题满分13分）

设二次型

222f(x1,x2,x3)?XTAX?ax1?2x2?2x3?2bx1x3(b?0)，

中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12. (3) 求a,b的值；

(4) 利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

【分析】 特征值之和为A的主对角线上元素之和，特征值之积为A的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.

【详解】 （1）二次型f的矩阵为

?a0b??? A?020. ????b0?2??设A的特征值为?i(i?1,2,3). 由题设，有

?1??2??3?a?2?(?2)?1，

a0b?1?2?3?020??4a?2b2??12.

b0?2解得 a=1,b= -2.

(2) 由矩阵A的特征多项式

??1

?E?A?0?20?2??20?(??2)2(??3)， 0??2得A的特征值?1??2?2,?3??3.

对于?1??2?2,解齐次线性方程组(2E?A)x?0，得其基础解系 ?1?(2,0,1)T，?2?(0,1,0)T.

对于?3??3，解齐次线性方程组(?3E?A)x?0，得基础解系 ?3?(1,0,?2)T.

由于?1,?2,?3已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将?1,?2,?3单位化，由此得

?1?(令矩阵

25,0,15)T，?2?(0,1,0)T，?3?(15,0,?25)T.

Q???1?2????3??????250151?5??10?，

2?0?5??0则Q为正交矩阵. 在正交变换X=QY下，有

?200??，

QTAQ??020????00?3??且二次型的标准形为

222 f?2y1?2y2?3y3.

【评注】 本题求a,b，也可先计算特征多项式，再利用根与系数的关系确定：

二次型f的矩阵A对应特征多项式为

??a?E?A?0?b0?b0?(??2)[?2?(a?2)??(2a?b2)]. ??2??20设A的特征值为?1,?2,?3，则?1?2,?2??3?a?2,?2?3??(2a?b2).由题设得

?1??2??3?2?(a?2)?1，

?1?2?3??2(2a?b2)??12.

解得a=1,b=2.

十一、（本题满分13分） 设随机变量X的概率密度为

?1,若x?[1,8],? f(x)??33x2

其他;??0,F(x)是X的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.

【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可.注意应先确定Y=F(X)的值域范围(0?F(X)?1)，再对y分段讨论.

【详解】 易见，当x<1时，F(x)=0; 当x>8 时，F(x)=1. 对于x?[1,8]，有 F(x)??x133t21dt?3x?1.

设G(y)是随机变量Y=F(X)的分布函数. 显然，当y?0时，G(y)=0；当y?1时，G(y)=1. 对于y?[0,1)，有

G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y} =P{3X?1?y}?P{X?(y?1)3} =F[(y?1)3]?y.

?0,若y?0,?于是，Y=F(X)的分布函数为G(y)??y,若0?y?1,

?1,若y?1.?【评注】 事实上，本题X为任意连续型随机变量均可，此时Y=F(X)仍服从均匀分布:

当y<0时，G(y)=0; 当 y?1时，G(y)=1;

当 0?y?1时，G(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y} =P{X?F?1(y)} =F(F?1(y))?y. 十二、（本题满分13分）

设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 X~??0.30.7??，

??而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).

【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能的取值，求概率时可用全概率公式进行计算.

【详解】 设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为 G(u)?P{X?Y?u}

=0.3P{X?Y?uX?1}?0.7P{X?Y?uX?2} =0.3P{Y?u?1X?1}?0.7P{Y?u?2X?2}. 由于X和Y独立，可见

G(u)= 0.3P{Y?u?1}?0.7P{Y?u?2}

=0.3F(u?1)?0.7F(u?2). 由此,得U的概率密度

?12?g(u)?G?(u)?0.3F?(u?1)?0.7F?(u?2) =0.3f(u?1)?0.7f(u?2).

【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性.

2004年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =______，b =______. xx?0e?a.

?2f(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，则??u?v11?x2xe,??x??22，则12f(x?1)dx?(3) 设f(x)???21??1,x?2?.

(4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 .

(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?DX}?_______. (6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，

把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?(A) (?1 , 0).

|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)

(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

(D) (2 , 3). [ ]

1??f(),x?0(8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a， g(x)??x，则

x????0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ ] (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则

(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ ] (10) 设有下列命题：

(1) 若

n?1??(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.

n?1?? (2) 若

n?1?un收敛，则?un?1000收敛.

n?1?

?un?1(3) 若lim?1，则?un发散.

n??unn?1 (4) 若

n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.

n?1n?1???则以上命题中正确的是

(A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). [ ] (11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是

(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a).

(B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.

[ D ]

(12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有

(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a.

(C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ ] (13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的

互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量.

[ ]

(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,

若P{|X|?x}?α, 则x等于 (A) uα. (B) u21?α2. (C) u1?α. (D) u1?α. [ ]

2三、解答题(本题共9小题，满分94分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15) (本题满分8分)

1cos2x求lim(2?). 2x?0sinxx(16) (本题满分8分)

求

??(D2222x2?y2?y)d?，其中D是由圆x?y?4和(x?1)?y?1所围成的

平面区域(如图).

(17) (本题满分8分) 设f (x) , g(x)在[a , b]上连续，且满足

?axf(t)dt??g(t)dt，x ? [a , b)，?f(t)dt??g(t)dt.

aaabbaaxbb证明：?xf(x)dx??xg(x)dx.

(18) (本题满分9分) 设某商品的需求函数为Q = 100 ? 5P，其中价格P ? (0 , 20)，Q为需求量.

(I) 求需求量对价格的弹性Ed(Ed> 0)； (II) 推导

dR?Q(1?Ed)(其中R为收益)，并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时， dP降低价格反而使收益增加.

(19) (本题满分9分) 设级数

x4x6x8????(???x???) 2?42?4?62?4?6?8的和函数为S(x). 求：

(I) S(x)所满足的一阶微分方程； (II) S(x)的表达式. (20)(本题满分13分)

设α1?(1,2,0)T, α2?(1,α?2,?3α)T, α3?(?1,?b?2,α?2b)T, β?(1,3,?3)T, 试讨论当a,b为何值时,

(Ⅰ) β不能由α1,α2,α3线性表示;

(Ⅱ) β可由α1,α2,α3唯一地线性表示, 并求出表示式;

(Ⅲ) β可由α1,α2,α3线性表示, 但表示式不唯一, 并求出表示式. (21) (本题满分13分) 设n阶矩阵

?1??b A?????b?b?b??1?b? . ????b?1??(Ⅰ) 求A的特征值和特征向量;

(Ⅱ) 求可逆矩阵P, 使得P?1AP为对角矩阵. (22) (本题满分13分)

设A，B为两个随机事件,且P(A)?111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令 432A发生，B发生，?1,?1, Y?? X???0，A不发生，?0，B不发生.求

(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY; (Ⅲ) Z?X2?Y2的概率分布.

(23) (本题满分13分)

设随机变量X的分布函数为

??α?β??,x?α，F(x,α,β)??1?? ?x??0，x?α，?其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量;

(Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

2004年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） (1) 若limsinx(cosx?b)?5，则a =xx?0e?a1，b =?4.

【分析】本题属于已知极限求参数的反问题. 【详解】因为limsinx(cosx?b)?5，且limsinx?(cosx?b)?0，所以

x?0x?0ex?ax?0lim(ex?a)?0，得a = 1. 极限化为 limsinxx(cosx?b)?lim(cosx?b)?1?b?5，得b = ?4. xx?0e?ax?0x因此，a = 1，b = ?4. 【评注】一般地，已知limf(x)＝ A， g(x)(1) 若g(x) ? 0，则f (x) ? 0；

(2) 若f (x) ? 0，且A ? 0，则g(x) ? 0.

(2) 设函数f (u , v)由关系式f [xg(y) , y] = x + g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y) ? 0，

?2f则??u?v?g?(v)g2(v).

【分析】令u = xg(y)，v = y，可得到f (u , v)的表达式，再求偏导数即可. 【详解】令u = xg(y)，v = y，则f (u , v) =

u?g(v)， g(v)

?2fg?(v)?f1所以，，??2. ??ug(v)?u?vg(v)1211?x2xe,??x?2?22，则1(3) 设f(x)???f(x?1)dx?1??1,x?22??.

【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：x ? 1 = t，再利用对称区间上奇偶函数

的积分性质即可.

【详解】令x ? 1 = t，1f(x?1)dx?1f(t)dt?1f(x)dt

??222121?22111xexdx??1(?1)dx?0?(?)??.

222?2?1?1＝

?

【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解. (4) 二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2的秩为 2 . 【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩, 亦即标准型中平方项的项数, 于是利用初等变换

或配方法均可得到答案. 【详解一】因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2

?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3

222?211???于是二次型的矩阵为 A??12?1?,

?1?12????1?12??1?12?????由初等变换得 A??03?3???03?3? ,

?03?3??000?????从而 r(A)?2, 即二次型的秩为2.

【详解二】因为f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)2

?2x1?2x2?2x3?2x1x2?2x1x3?2x2x3 113x2?x3)2?(x2?x3)2 222322?2y1?y2,

211其中 y1?x1?x2?x3, y2?x2?x3.

22?2(x1?所以二次型的秩为2.

(5) 设随机变量X服从参数为λ的指数分布, 则P{X?222DX}?

1. e【分析】 根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案. 【详解】 由于DX?1, X的分布函数为 λ2x?0,x?0.

?1?e?λx,F(x)???0,故

P{X?DX}?1?P{X?DX}?1?P{X?}?1?F()?1λ1λ1. e【评注】本题是对重要分布, 即指数分布的考查, 属基本题型.

(6) 设总体X服从正态分布N(μ1,σ2), 总体Y服从正态分布N(μ2,σ2),

X1,X2,?Xn1和 Y1,Y2,?Yn2分别是来自总体X和Y的简单随机样本, 则

22n2?n1???(Xi?X)??(Yj?Y)?i?1j?1?? E???n1?n2?2??????σ2.

【分析】利用正态总体下常用统计量的数字特征即可得答案.

1n21n122【详解】因为 E[(Yj?Y)2]?σ2, (Xi?X)]?σ, E[??n2?1j?1n1?1i?1故应填 σ2.

【评注】本题是对常用统计量的数字特征的考查.

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） (7) 函数f(x)?(A) (?1 , 0).

|x|sin(x?2)在下列哪个区间内有界. 2x(x?1)(x?2)

(B) (0 , 1).

(C) (1 , 2).

x?a?(D) (2 , 3). [ A ]

x?b?【分析】如f (x)在(a , b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f (x)

在(a , b)内有界.

【详解】当x ? 0 , 1 , 2时，f (x)连续，而limf(x)??x??1?sin2sin3，limf(x)??，

?418x?0x?0?limf(x)?sin2，limf(x)??，limf(x)??，

x?2x?14所以，函数f (x)在(?1 , 0)内有界，故选(A).

【评注】一般地，如函数f (x)在闭区间[a , b]上连续，则f (x)在闭区间[a , b]上有界；如函数f (x)在开区间(a , b)内连续，且极限limf(x)与limf(x)存在，则函数f (x)在开区间(a , b)内有界.

x?a?x?b? (8) 设f (x)在(?? , +?)内有定义，且limf(x)?a，

x??

1??f(),x?0，则 g(x)??x??0,x?0(A) x = 0必是g(x)的第一类间断点. (B) x = 0必是g(x)的第二类间断点.

(C) x = 0必是g(x)的连续点.

(D) g(x)在点x = 0处的连续性与a的取值有关. [ D ] 【分析】考查极限limg(x)是否存在，如存在，是否等于g(0)即可，通过换元u?x?01， x可将极限limg(x)转化为limf(x).

x?0x??【详解】因为limg(x)?limf()?limf(u)= a(令u?x?0x?0u??1x1)，又g(0) = 0，所以， x

当a = 0时，limg(x)?g(0)，即g(x)在点x = 0处连续，当a ? 0时，

x?0x?0limg(x)?g(0)，即x = 0是g(x)的第一类间断点，因此，g(x)在点x = 0处的连续性

与a的取值有关，故选(D).

【评注】本题属于基本题型，主要考查分段函数在分界点处的连续性. (9) 设f (x) = |x(1 ? x)|，则

(A) x = 0是f (x)的极值点，但(0 , 0)不是曲线y = f (x)的拐点. (B) x = 0不是f (x)的极值点，但(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. (C) x = 0是f (x)的极值点，且(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点.

(D) x = 0不是f (x)的极值点，(0 , 0)也不是曲线y = f (x)的拐点. [ C ] 【分析】由于f (x)在x = 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况，

考查f (x)在x = 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况.

【详解】设0 < ? < 1，当x ? (?? , 0) ? (0 , ?)时，f (x) > 0，而f (0) = 0，所以x = 0是f (x)

的极小值点. 显然，x = 0是f (x)的不可导点. 当x ? (?? , 0)时，f (x) = ?x(1 ? x)，f??(x)?2?0， 当x ? (0 , ?)时，f (x) = x(1 ? x)，f??(x)??2?0，所以(0 , 0)是曲线y = f (x)的拐点. 故选(C).

【评注】对于极值情况，也可考查f (x)在x = 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. (10) 设有下列命题：

(1) 若

n?1??(u2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.

n?1?? (2) 若

n?1?un收敛，则?un?1000收敛.

n?1?

?un?1(3) 若lim?1，则?un发散.

n??unn?1 (4) 若

n?1?(un?vn)收敛，则?un，?vn都收敛.

n?1n?1???则以上命题中正确的是 (A) (1) (2). (B) (2) (3). (C) (3) (4). (D) (1) (4). 【分析】可以通过举反例及级数的性质来说明4个命题的正确性. 【详解】(1)是错误的，如令un?(?1)，显然，

n [ B ]

n?1?un分散，而?(u2n?1?u2n)收敛.

n?1??(2)是正确的，因为改变、增加或减少级数的有限项，不改变级数的收敛性.

?un?1(3)是正确的，因为由lim?1可得到un不趋向于零(n ? ?)，所以?un发散.

n??unn?1??11(4)是错误的，如令un?,vn??，显然，?un，?vn都发散，而

nnn?1n?1n?1?(un?vn)收敛. 故选(B).

?【评注】本题主要考查级数的性质与收敛性的判别法，属于基本题型.

(11) 设f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则下列结论中错误的是

(A) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (a). (B) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)> f (b). (C) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0. (D) 至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)= 0.

[ D ]

【分析】利用介值定理与极限的保号性可得到三个正确的选项，由排除法可选出错误选项. 【详解】首先，由已知f?(x)在[a , b]上连续，且f?(a)?0,f?(b)?0，则由介值定理，

至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?0；

另外，f?(a)?lim使得

x?a?f(x)?f(a)?0，由极限的保号性，至少存在一点x0?(a,b)

x?af(x0)?f(a)?0，即f(x0)?f(a). 同理，至少存在一点x0?(a,b)

x0?a

使得f(x0)?f(b). 所以，(A) (B) (C)都正确，故选(D).

【评注】 本题综合考查了介值定理与极限的保号性，有一定的难度. (12) 设n阶矩阵A与B等价, 则必有

(A) 当|A|?a(a?0)时, |B|?a. (B) 当|A|?a(a?0)时, |B|??a.

(C) 当|A|?0时, |B|?0. (D) 当|A|?0时, |B|?0. [ D ] 【分析】 利用矩阵A与B等价的充要条件: r(A)?r(B)立即可得.

【详解】因为当|A|?0时, r(A)?n, 又 A与B等价, 故r(B)?n, 即|B|?0, 故选(D). 【评注】本题是对矩阵等价、行列式的考查, 属基本题型.

(13) 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*?0, 若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组 Ax?b的 互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax?0的基础解系 (A) 不存在. (B) 仅含一个非零解向量.

(C) 含有两个线性无关的解向量. (D) 含有三个线性无关的解向量. [ B ] 【分析】 要确定基础解系含向量的个数, 实际上只要确定未知数的个数和系数矩阵的秩. 【详解】 因为基础解系含向量的个数=n?r(A), 而且

r(A)?n,?n,?r(A*)??1,r(A)?n?1,

?0,r(A)?n?1.?根据已知条件A*?0, 于是r(A)等于n或n?1. 又Ax?b有互不相等的解, 即解不惟一, 故r(A)?n?1. 从而基础解系仅含一个解向量, 即选(B).

【评注】本题是对矩阵A与其伴随矩阵A*的秩之间的关系、线性方程组解的结构等多个知识点的综合考查.

(14) 设随机变量X服从正态分布N(0,1), 对给定的α?(0,1), 数uα满足P{X?uα}?α,

若P{|X|?x}?α, 则x等于

?1??1??b??b??(n?1)?(n?1)b?????1(n?1)??1?b(n?1)b??b???? λ1E?A?? ?????????????????b??1?(n?1)??b?(n?1)b???1??1?11?n??n?1?1??1?1??1?????1n?1??1?1?1n?1??1?1?????????????????? ?????1?n?1?1???1?1?n?1?1???1?0?00?0?00?0????0??1??0?????0?0?1?1?n??1??n?0?n??0?????????0?n?n??0?00?0???01?1??1?0?1?????

?0?1?1?00?0??0?0解得ξ1?(1,1,1,?,1)T，所以A的属于λ1的全部特征向量为 kξ1?k(1,1,1,?,1)T (k为任意不为零的常数)． 对λ2?1?b，

??b?b??b??11?1???????b?b??b??00?0? λ2E?A?? ????????????????b?b??b??00?0?????得基础解系为

ξ2?(1,?1,0,?,0)T，ξ3?(1,0,?1,?,0)T，?,ξn?(1,0,0,?,?1)T．

故A的属于λ2的全部特征向量为

k2ξ2?k3ξ3???knξn (k2,k3,?,kn是不全为零的常数)． 2? 当b?0时，

λ?1|λE?A|?0?00?00??(λ?1)n,

λ?1??0?λ?1特征值为λ1???λn?1，任意非零列向量均为特征向量．

(Ⅱ) 1?当b?0时，A有n个线性无关的特征向量，令P?(ξ1,ξ2,?,ξn)，则

?1?(n?1)b???1?b?? P?1AP???????1?b???2? 当b?0时，A?E，对任意可逆矩阵P, 均有

P?1AP?E．

【评注】本题通过考查矩阵的特征值和特征向量而间接考查了行列式的计算, 齐次线性方程组的求解和矩

阵的对角化等问题, 属于有一点综合性的试题. 另外,本题的解题思路是容易的, 只要注意矩阵中含有一个未知参数, 从而一般要讨论其不同取值情况. (22) (本题满分13分)

设A，B为两个随机事件,且P(A)?111, P(B|A)?, P(A|B)?, 令 432A发生，B发生，?1,?1, Y?? X???0，A不发生，?0，B不发生.求

(Ⅰ) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; (Ⅱ) X与Y的相关系数 ρXY;

(Ⅲ) Z?X2?Y2的概率分布.

【分析】本题的关键是求出(X,Y)的概率分布，于是只要将二维随机变量(X,Y)的各取值对转化为随机事件A和B表示即可．

【详解】 (Ⅰ) 因为 P(AB)?P(A)P(B|A)?P(AB)11， 于是 P(B)??， 12P(A|B)6则有 P{X?1,Y?1}?P(AB)?1， 121， 61P{X?0,Y?1}?P(AB)?P(B)?P(AB)?，

12P{X?1,Y?0}?P(AB)?P(A)?P(AB)?P{X?0,Y?0}?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]?( 或 P{X?0,Y?0}?1?即(X,Y)的概率分布为：

Y 2， 31112???)， 126123 0 1 X 0 1

(Ⅱ) 方法一：因为 EX?P(A)?

2 31 6 1 121 12111，EY?P(B)?，E(XY)?，

1264

11，EY2?P(B)?，

6453， DX?EX2?(EX)2?，DY?EY2?(EY)2?16161 Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?，

24EX2?P(A)?所以X与Y的相关系数 ρXY?Cov(X,Y)DX?DY?115?15． 15方法二： X, Y的概率分布分别为

X 0 1 Y 0 1

3151 P 446631151则EX?,EY?，DX?，DY=, E(XY)=,

164636121故 Cov(X,Y)?E(XY)?EX?EY?，从而

24 P ?XY?Cov(X,Y)DX?DY?15. 15(Ⅲ) Z的可能取值为：0，1，2 ．

P{Z?0}?P{X?0,Y?0}?2， 3P{Z?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?0,Y?1}?P{Z?2}?P{X?1,Y?1}?即Z的概率分布为：

Z P 1， 41， 120 1 2 112 3412【评注】本题考查了二维离散随机变量联合概率分布，数字特征和二维离散随机变量函数的分布等计算问题，属于综合性题型 (23) (本题满分13分)

设随机变量X的分布函数为

??α?β??,x?α，F(x,α,β)??1?? ?x??0，x?α，?其中参数α?0,β?1. 设X1,X2,?,Xn为来自总体X的简单随机样本,

(Ⅰ) 当α?1时, 求未知参数β的矩估计量;

(Ⅱ) 当α?1时, 求未知参数β的最大似然估计量; (Ⅲ) 当β?2时, 求未知参数α的最大似然估计量.

【分析】本题是一个常规题型, 只要注意求连续型总体未知参数的矩估计和最大似然估计都须已知密度函

数, 从而先由分布函数求导得密度函数. 【详解】 当α?1时, X的概率密度为

?β?,x?1， f(x,β)??xβ?1

??0，x?1，(Ⅰ) 由于

EX??????xf(x;β)dx??x?1??βxβ?1dx?β, β?1令

βX, ?X, 解得 β?β?1X?1X. X?1所以, 参数β的矩估计量为 β?(Ⅱ) 对于总体X的样本值x1,x2,?,xn, 似然函数为

?βn,xi?1(i?1,2,?,n),? L(β)??f(xi;α)??(xx?x)β?1

12ni?1?0,其他.?n当xi?1(i?1,2,?,n)时, L(β)?0, 取对数得 lnL(β)?nlnβ?(β?1)对β求导数，得

nd[lnL(β)]n ???lnxi，

dββi?1?lnxi?1ni,

nd[lnL(β)]n令 ???lnxi?0， 解得 β?dββi?1n?lnxi?1n，

i于是β的最大似然估计量为

?? βn?lnxi?1n．

i( Ⅲ) 当β?2时, X的概率密度为

?2α2? f(x,β)??x3,x?α，??0，x?α，

对于总体X的样本值x1,x2,?,xn, 似然函数为

n L(β)??i?1?2nα2n,xi?α(i?1,2,?,n),?f(xi;α)??(x1x2?xn)3

?0,其他.?当xi?α(i?1,2,?,n)时, α越大，L(α)越大, 即α的最大似然估计值为

??min{x1,x2,?,xn}, α??min{X1,X2,?,Xn}． 于是α的最大似然估计量为 α

2005年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

2x= . 2x??x?1（2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为______.

（1）极限limxsin（3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)?________. （4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a=_____. （5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则 P{Y?2}=______.

（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= ， b= .

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰好有两个不同的零点. (A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ ] （8）设I1?2222222,,cosx?yd?I?cos(x?y)d?I?cos(x?y)d?,其中 23??????DDDD?{(x,y)x2?y2?1}，则

(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.

(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ ]

（9）设an?0,n?1,2,?,若

??an?12n

?n发散，

?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是

?

? (A)

?an?12n?1收敛，

?a

n?1

?

发散 . （B）

?a

n?1

2n

收敛，

?an?12n?1发散.

(C)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛. (D)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛. [ ]

（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是

??22??（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.

22(A) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.

[ ]

（11）以下四个命题中，正确的是

(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.

(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ ]

（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A*?AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

(A)

13. (B) 3. (C) . (D)

333. [ ]

（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ ]

（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是

1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ ]

4444(A) (20?三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?).

1?e?xx（16）（本题满分8分）

22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y. 22xy?x?y（17）（本题满分9分） 计算二重积分

??xD2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

（18）（本题满分9分） 求幂级数

?(n?1?1?1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). 2n?1（19）（本题满分8分）

设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组

?x1?2x2?3x3?0,? （i） ?2x1?3x2?5x3?0,

?x?x?ax?0,23?1和

（ii） ?x1?bx2?cx3?0,? 2?2x1?bx2?(c?1)x3?0,同解，求a,b, c的值.

（21）（本题满分13分）

设D???AT?CTC?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?B??E(I) 计算PDP，其中P??m?o?A?1C??； En?（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵，并证明你的结论. （22）（本题满分13分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,

其他.?0,求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II） Z?2X?Y的概率密度fZ(z). ( III ) P{Y?11X?}. 22（23）（本题满分13分）

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?2)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

（III）若c(Y21?Yn)是?2的无偏估计量，求常数c.

2005年考研数学（三）真题解析

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）极限limxsin2xx??x2?1= 2 . 【分析】 本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可. 【详解】 lim2xx??xsinx2?1=limx??x2xx2?1?2. （2） 微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解为 xy?2. 【分析】 直接积分即可.

【详解】 原方程可化为 (xy)??0，积分得 xy?C， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.

（3）设二元函数z?xex?y?(x?1)ln(1?y)，则dz(1,0)? 2edx?(e?2)dy .

【分析】 基本题型，直接套用相应的公式即可. 【详解】

?z?x?ex?y?xex?y?ln(1?y),

?z?xex?yx?1?y?1?y, 于是 dz(1,0)?2edx?(e?2)dy.

（4）设行向量组(2,1,1,1)，(2,1,a,a)，(3,2,1,a)，(4,3,2,1)线性相关，且a?1，则a= 【分析】 四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.

【详解】 由题设，有

2111 21aa321a?(a?1)(2a?1)?0, 得a?1,a?112，但题设a?1，故a?2.

4321

12 .

（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X, 再从1,2,?,X中任取一个数，记为Y, 则

P{Y?2}=

13 . 48【分析】 本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.

【详解】 P{Y?2}=P{X?1}P{Y?2X?1}+P{X?2}P{Y?2X?2} +P{X?3}P{Y?2X?3}+P{X?4}P{Y?2X?4} =

111113?(0???)?. 423448（6）设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为

X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1

已知随机事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .

【分析】 首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5, 其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.

【详解】 由题设，知 a+b=0.5

又事件{X?0}与{X?Y?1}相互独立，于是有 P{X?0,X?Y?1}?P{X?0}P{X?Y?1}， 即 a=(0.4?a)(a?b), 由此可解得 a=0.4, b=0.1

二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）

（7）当a取下列哪个值时，函数f(x)?2x3?9x2?12x?a恰好有两个不同的零点.

(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. [ B ]

【分析】 先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.

【详解】 f?(x)?6x2?18x?12=6(x?1)(x?2)，知可能极值点为x=1,x=2，且

f(1)?5?a,f(2)?4?a，可见当a=4时，函数f(x) 恰好有两个零点，故应选(B). （8）设I1???cosDx2?y2d?,I2???cos(x2?y2)d?,I3???cos(x2?y2)2d?,其中

DDD?{(x,y)x2?y2?1}，则

(A) I3?I2?I1. （B）I1?I2?I3.

(C) I2?I1?I3. (D) I3?I1?I2. [ A ] 【分析】 关键在于比较x2?y2、x2?y2与(x2?y2)2在区域D?{(x,y)x2?y2?1}上的大小. 【详解】 在区域D?{(x,y)x2?y2?1}上，有0?x2?y2?1，从而有

?2?1?x2?y2?x2?y2?(x2?y2)2?0

由于cosx在(0,?) 上为单调减函数，于是 2 0?cosx2?y2?cos(x2?y2)?cos(x2?y2)2 因此

??cosDx2?y2d??22cos(x?y)d????D?222cos(x?y)d?，故应选(A). ??D（9）设an?0,n?1,2,?,若

??an?12n

n发散，

?(?1)n?1?n?1an收敛，则下列结论正确的是

?

? (A)

?an?12n?1收敛，

?a

n?1

?

发散 . （B）

?a

n?1

2n

收敛，

?an?12n?1发散.

(C)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛. (D)

?(an?1?2n?1?a2n)收敛. [ D ]

【分析】 可通过反例用排除法找到正确答案.

??1【详解】 取an?，则?an发散，?(?1)n?1an收敛，

nn?1n?1但

?an?1?2n?1与

?a

n?1

?

2n

均发散，排除(A),(B)选项，且

?(an?1?2n?1进一步排除(C), 故应选(D). 事?a2n)发散，

实上，级数

?(an?1?2n?1?a2n)的部分和数列极限存在.

（10）设f(x)?xsinx?cosx,下列命题中正确的是

??22??（C） f(0)是极大值，f()也是极大值. (D) f(0)是极小值，f()也是极小值.

22(B) f(0)是极大值，f()是极小值. （B） f(0)是极小值，f()是极大值.

[ B ]

【分析】 先求出f?(x),f??(x)，再用取极值的充分条件判断即可.

【详解】 f?(x)?sinx?xcosx?sinx?xcosx，显然 f?(0)?0,f?()?0，

?2又 f??(x)?cosx?xsinx，且f??(0)?1?0,f??()????2?0，故f(0)是极小值，f()是极大值，

22?应选(B).

（11）以下四个命题中，正确的是

(A) 若f?(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （B）若f(x)在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界. （C）若f?(x)在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.

(D) 若f(x)在（0，1）内有界，则f?(x)在（0，1）内有界. [ C ]

【分析】 通过反例用排除法找到正确答案即可.

【详解】 设f(x)=

11, 则f(x)及f?(x)??2均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、xx(B); 又f(x)?x在（0，1）内有界，但f?(x)?12x在（0，1）内无界，排除(D). 故应选(C).

（12）设矩阵A=(aij)3?3 满足A*?AT，其中A*是A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵. 若a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为

(A)

13. (B) 3. (C) . (D)

333. [ A ]

【分析】 题设与A的伴随矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：

AA*?A*A?AE..

【详解】 由A*?AT及AA*?A*A?AE，有aij?Aij,i,j?1,2,3，其中Aij为aij的代数余子式，且AAT?AE?A2?A?A?0或A?1

32 而A?a11A11?a12A12?a13A13?3a11?0，于是A?1，且a11?3. 故正确选项为(A). 3（13）设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为?1,?2，则?1，A(?1??2)线性无关的充分必要条件是

(A)

?1?0. (B) ?2?0. (C) ?1?0. (D) ?2?0. [ D ]

【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一：令 k1?1?k2A(?1??2)?0，则

k1?1?k2?1?1?k2?2?2?0， (k1?k2?1)?1?k2?2?2?0. 由于?1,?2线性无关，于是有

?k1?k2?1?0, ??k2?2?0. 当?2?0时，显然有k1?0,k2?0，此时?1，A(?1??2)线性无关；反过来，若?1，A(?1??2)线性无关，则必然有?2?0(,否则，?1与A(?1??2)=?1?1线性相关)，故应选(B).

方法二： 由于 [?1,A(?1??2)]?[?1,?1?1??2?2]?[?1,?2]??1?1?， ??0?2?

可见?1，A(?1??2)线性无关的充要条件是

1?1??2?0.故应选(D).

0?2（14） 设一批零件的长度服从正态分布N(?,?2)，其中?,?2均未知. 现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x?20(cm)，样本标准差s?1(cm)，则?的置信度为0.90的置信区间是

1111t0.05(16),20?t0.05(16)). (B) (20?t0.1(16),20?t0.1(16)). 44441111(C)(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).(D)(20?t0.1(15),20?t0.1(15)). [ C ]

4444x??【分析】 总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：~t(n?1).

sn(A) (20?【详解】 由正态总体抽样分布的性质知，

x??~t(n?1)， 故?的置信度为0.90的置信区间是sn(x?1nt?(n?1),x?2111t?(n?1))，即(20?t0.05(15),20?t0.05(15)).故应选(C).

44n2三 、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

（15）（本题满分8分） 求lim(x?01?x1?).

1?e?xx 【分析】 \???\型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.

1?x1x?x2?1?e?x【详解】 lim( ?)?limx?01?e?xx?0xx(1?e?x)x?x2?1?e?x =lim 2x?0x1?2x?e?x =lim

x?02x2?e?x3 =lim?.

x?022（16）（本题满分8分）

22yx2?g2?g设f(u)具有二阶连续导数，且g(x,y)?f()?yf()，求x?y. 22xy?x?y 【分析】 先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.

【详解】 由已知条件可得

?gyyx??2f?()?f?()， ?xxyx

?2g2yyy2x1x????? ?f()?f()?f()， xyyy?x2x3x4

?g1yxxx?f?()?f()?f?()， ?yxxyyy?2g1yxxxxx2x???????f()?f()?f()?f()， 22223xyyy?yxyyy2?2g2?g所以 x ?y22?x?y2y2yx2x2yyy2xx2x=f??() f?()?2f??()?f??()?2f??()?xyyxyyyxxx=

2yyf?(). xx（17）（本题满分9分） 计算二重积分

??xD2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}.

【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可. 【详解】 记D1?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D}，

D2?{(x,y)x2?y2?1,(x,y)?D}，

于是

??Dx2?y2?1d?=???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

D1D2?0=??2d??(r2?1)rdr?012222?(x?y?1)dxdy (x?y?1)dxdy????DD1?1?1?1122=+?dx?(x?y?1)dy??2d??(r2?1)rdr=?.

0043800（18）（本题满分9分） 求幂级数

?(n?1?1?1)x2n在区间(-1,1)内的和函数S(x). 2n?1【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.

【详解】 设

S(x)??(n?1?1?1)x2n， 2n?1?12n S1(x)??x，S2(x)??x2n，

n?1n?12n?1?

则 S(x)?S1(x)?S2(x)，x?(?1,1). 由于

S2(x)??xn?1?2nx2=， 21?x

2n (xS1(x))???xn?1?x2?,x?(?1,1), 21?xt211?x因此 xS1(x)??， dt??x?ln01?t221?xx又由于 S1(0)?0，故

11?xx?1,???1?ln, S1(x)?? 2x1?xx?0.?0,?1?11?x?ln?,x?1,所以 S(x)?S1(x)?S2(x)??2x1?x1?x2

x?0.?0,?（19）（本题满分8分）

设f(x),g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0,f?(x)?0,g?(x)?0.证明：对任何a?[0,1],有

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01【分析】 可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论. 【详解】 方法一：设

F(x)??x0g(t)f?(t)dt??f(t)g?(t)dt?f(x)g(1)，

01则F(x)在[0，1]上的导数连续，并且

F?(x)?g(x)f?(x)?f?(x)g(1)?f?(x)[g(x)?g(1)]，

由于x?[0,1]时，f?(x)?0,g?(x)?0，因此F?(x)?0，即F(x)在[0，1]上单调递减.

注意到 F(1)?而

?10g(t)f?(t)dt??f(t)g?(t)dt?f(1)g(1)，

011001?10g(t)f?(t)dt??g(t)df(t)?g(t)f(t)??f(t)g?(t)dt

01 =f(1)g(1)??10f(t)g?(t)dt，

故F(1)=0.

因此x?[0,1]时，F(x)?0，由此可得对任何a?[0,1]，有

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx?f(a)g(1).

01

方法二：?g(x)f?(x)dx?g(x)f(x)0aa0??f(x)g?(x)dx

0a =f(a)g(a)?

?1a0f(x)g?(x)dx，

?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx

01 =f(a)g(a)? f(a)g(a)??1aa0f(x)g?(x)dx??f(x)g?(x)dx

0?f(x)g?(x)dx.

由于x?[0,1]时，g?(x)?0，因此

f(x)g?(x)?f(a)g?(x)，x?[a,1]， 从而

?10f(x)g?(x)dx??f(a)g?(x)dx?f(a)[g(1)?g(a)]，

01?a0g(x)f?(x)dx??f(x)g?(x)dx

01 ?f(a)g(a)?f(a)[g(1)?g(a)]?f(a)g(1).

（20）（本题满分13分） 已知齐次线性方程组

?x1?2x2?3x3?0,? （i） ?2x1?3x2?5x3?0,

?x?x?ax?0,23?1和

（ii） ?x1?bx2?cx3?0,? 22x?bx?(c?1)x?0,23?1同解，求a,b, c的值.

【分析】 方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.

【详解】 方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.

对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换

1??123??10????，

1 235?01???????11a???00a?2??从而a=2. 此时，方程组（i）的系数矩阵可化为

?123??101????? 235?011， ???????112???000??故(?1,?1,1)T是方程组（i）的一个基础解系.

将x1??1,x2??1,x3?1代入方程组（ii）可得

b?1,c?2或b?0,c?1.

当b?1,c?2时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ??112??101?， ?????213??011?显然此时方程组（i）与（ii）同解.

当b?0,c?1时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有 ??101??101?， ?????202??000?显然此时方程组（i）与（ii）的解不相同.

综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解. （21）（本题满分13分） 设D???AT?CTC?为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为m?n矩阵. ?B??E(I) 计算PDP，其中P??m?o?A?1C??； En?（II）利用(I)的结果判断矩阵B?CTA?1C是否为正定矩阵，并证明你的结论.

【分析】 第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义. 【详解】 (I) 因 PT???EmT?1??CAo?，有 ?En?C??Em?B???o?Em PDP=?T?1??CATo?En???A?CT??A?1C?? En?C?A? =?T?1??oB?CAC? =??Em??o?A?1C?? En?o?A?. T?1?oB?CAC??（II）矩阵B?CTA?1C是正定矩阵.

由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵

o?A?M??. T?1??oB?CAC?又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.

因矩阵M为对称矩阵，故B?CTA?1C为对称矩阵. 对X?(0,0,?,0)T及任意的

Y?(y1,y2,?,yn)T?0，有

o?A??X?T?1TT?1 故B?CAC为正定矩阵. ???(XT,YT)??Y(B?CAC)Y?0.T?1?oB?CAC??Y?????

（22）（本题满分13分）

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???1,0?x?1,0?y?2x,

其他.?0,求：（I） (X,Y)的边缘概率密度fX(x),fY(y)； （II） Z?2X?Y的概率密度fZ(z). ( III ) P{Y?11X?}. 22【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，

即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度; 直接用条件概率公式计算即可.

【详解】 （I） 关于X的边缘概率密度

fX(x)=? =?????2x???dy,0?x?1, f(x,y)dy=?0其他.??0,?2x,0?x?1,

0,其他.?关于Y的边缘概率密度

fY(y)=??????1dx,0?y?2,?y f(x,y)dx=??2其他.??0,?y0?y?2,?1?, =? 2其他.??0,（II） 令FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}， 1） 当z?0时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?0；

2） 当0?z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z} =z?12z; 4 3) 当z?2时，FZ(z)?P{2X?Y?z}?1.

?0,z?0,?1即分布函数为： FZ(z)??z?z2,0?z?2,

4?z?2.?1,1??1?z,0?z?2,故所求的概率密度为：fZ(z)?? 2其他.??0,

（III） P{Y?11X?}?22P{X?11,Y?}322?16?3.

114P{X?}42（23）（本题满分13分）

设X1,X2,?,Xn(n?2)为来自总体N(0,?2)的简单随机样本，X为样本均值，记

Yi?Xi?X,i?1,2,?,n.

求：（I） Yi的方差DYi,i?1,2,?,n； （II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn).

（III）若c(Y1?Yn)2是?2的无偏估计量，求常数c.

【分析】 先将Yi表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn)，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计c(Y1?Yn)2，利用其数学期望等于?2确定c即可.

【详解】 由题设，知X1,X2,?,Xn(n?2)相互独立，且

EXi?0,DXi??2(i?1,2,?,n)，EX?0.

11n（I）DYi?D(Xi?X)?D[(1?)Xi??Xj]

nnj?i11 =(1?)2DXi?2nn?DXj?inj

(n?1)221n?122 =???(n?1)???.

nn2n2（II） Cov(Y1,Yn)?E[(Y1?EY1)(Yn?EYn)] =E(Y1Yn)?E[(X1?X)(Xn?X)] =E(X1Xn?X1X?XnX?X2) =E(X1Xn)?2E(X1X)?EX2

n222 =0?E[X1??X1Xj]?DX?(EX)

nj?2 =?

22121??????2. nnn

（III）E[c(Y1?Yn)2]?cD(Y1?Yn)

=c[DY1?DY2?2Cov(Y1,Yn)] =c[故 c?

n?1n?1222(n?2)??]??c?2??2， nnnnn.

2(n?2)2006年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题

一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）lim???1?n?n?1??n???n??______.

（2）设函数f(x)在x?2的某邻域内可导,且f??x??ef?x?，f?2??1，则f????2??____.

（3）设函数f(u)可微,且f??0??（4）设矩阵A??1,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微分dz2?1,2??_____.

?21??，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA?B?2E，则B? .

??12?（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间?0,3?上的均匀分布，则Pmax?X,Y??1?_______. （6）设总体X的概率密度为f?x??样本方差为S2，则ES2?____.

二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（7）设函数y?f(x)具有二阶导数，且f?(x)?0,f??(x)?0，?x为自变量x在点x0处的增量，?y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若?x?0，则

(A) 0?dy??y. (B) 0??y?dy.

(C) ?y?dy?0. (D) dy??y?0 . [ ]

（8）设函数f?x?在x?0处连续，且limh?0??1?xe????x????,X1,X2,2,Xn为总体X的简单随机样本，其

f?h2?h2?1，则

(A) f?0??0且f???0?存在 (B) f?0??1且f???0?存在

(C) f?0??0且f???0?存在 (D)f?0??1且f???0?存在 [ ] （9）若级数

?an?1n?n收敛，则级数

(A)

?an?1??收敛 . （B）

?(?1)n?1??nan收敛.

(C)

?anan?1收敛. (D)

n?1an?an?1收敛. [ ] ?2n?1（10）设非齐次线性微分方程y??P(x)y?Q(x)有两个不同的解y1(x),y2(x),C为任意常数，则该方程的

通解是

（Ａ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｂ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)?.

（Ｃ）C?y1(x)?y2(x)?. （Ｄ）y1(x)?C?y1(x)?y2(x)? [ ]

（11）设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是

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