Ch5静定平面桁架

Ch5静定平面桁架

§5.1桁架及组成

一.桁架的几点假设

（1）各结点都是光滑无摩擦的铰结点 （2）各杆轴均为直线，并通过铰中心

（3）荷载都作用于结点上，各杆均为二力杆 二.桁架的组成及分类

（1）简单桁架：由一个铰接三角形出发，接连添加二元体构成内部几何不变体

（2）联合桁架：由两（或几）个简单桁架按两刚片或三刚片连接规则组成几何不变体，再与基础联系。

（3）复杂桁架很难用两刚片或三刚片连接规律加以分析.

§5.2桁架内力的数值解法

对斜杆ij可求出某一分量，再求另一分量或轴力

j N

l Nxy ??ly llxly i N lx

一.结点法 零力杆

特殊平衡 N3 N1 N2 N1=-N2

N1 N4 N2 N1=N2 N3=N4

例1 求图示各杆的内力

1.自由度W?2J?B?S?2?6?8?4?0 2.几何组成（如图） P ⑦

E Ⅰ

①Ⅱ ② ③ A 4m Ⅲ 3.判断零力杆 N2?N5?0 4.结点D

N7 P D P D F ⑥ B 2m 3m ⑧ ④ ⑤ C 4m ?N8 ?X?0?Y?0 N8cos??N7cos??0P?N7sin??N8sin??0 其中sin??24?222?15cos??25 因此N7?N8??52P

5.结点E N7 P ?X?0N3cos??N7cos??0

?E ?Y?0P?N1?N3sin??N7sin??0 ? N1 N3 cos??45sin??3 559 6.结点F ?N3?PN1??P

N448

??X?0N8cos??N4cos??0 ??Y?0N6?N4sin??N8sin??0 N 4 N6 ?N554?4PN6??4P例2 试用结点法求例图2(a)所示桁架的各杆内力。 解 1．求支座反力

由于无水平外力作用，故水平反力HA?0。可由对称性判断VA?VB?2P?2．求内力

由对称性判断 NDC?NDH?0

结点C(图(b))

?Y?0YCF??P

由比例关系 NCF?2YCF??2P(压力)，XCF?YCF??P

?X?0NCD?XCF??P

结点F（图（c））?X?0,NGF?PY??N,0AF??P

结点A（图（d））?Y?0,YAG?P2?P??P 由比例关系NAG?2YAG??2PXAG?YAG??P

?X?0NAJ??XAG?P

结点G（图（e））?Y?0,YGJ?P，由比例关系NGJ?2YGJ?2PXGJ?X?0NGH?P?P?XGJ??P

3．校核。结点J（图（f））?X?P?P?P?P?Y0,??P?P?P?20结点J满足平衡条件，故知计算正确。

讨论：本例为简单衍架，按照结点法求内力的特点，先从两未知力结点开始并逆桁架组成次

? YGJ?P??

序截取结点。为了简化计算，遵循了先判断零杆、后计算的原则。

二.截面法

1简单截面法：一个截面截断任三根杆件 2特殊的截断三根以上的杆件 3两刚片构成的桁架

4三刚片构成的桁架（分别用两个截面联立求解，或采用三铰拱的方法）

例3 试求例图3(a)所示桁架指定杆件的内力。

解 本例为联合桁架，每个结点至少有三个未知力，宜用截面法求解 1． 求支座反力

由整体平衡条件求得HA?02． 求内力 Ⅰ—Ⅰ左（[图(b)]

VA?18.75kNVB?26.25kN

?MD?0N1??18.75kN(压力) N2?37.50kN

Ⅱ—Ⅱ左（图(c)）?MF?0Ⅲ—Ⅲ左 (图(d))

?Y?0Y3??18.75kN

由比例关系 N3?2Y3??26.52kN(压力)

例4 试求例图4(a)所示桁架指定杆件的内力。

解 本例为联合桁架，属于三刚片结构、不能由整体平衡条件求得全部反力。宜联合应用结点法和截面法求所需反力和指定杆件内力。 1．求水平反力

由整体平衡条件?X?0 得HB?P 2．求内力 结点B I—I左(图(b))

?Y??0 得Y??0故VAA?0

?

MF?0,N1?22P?MD?0,N2??22P

讨论

在截面I—I以左的隔离体上，包含三个未知力：VA,N1,N2。其中N1,N2为两平行力。选择垂直于N1,N2的投影轴，建立独立的投影方程，求得YA和VA后，则易求解N1和N2。 例5试求例图5（a）所示桁架指定杆件的内力 解 本例为联合桁架．由铰E、虚铰O1和O2联结基础和两个简单桁架形成，属于三刚片结构。 1．求反力VC及YBI

Ⅰ—Ⅰ以上（图(b)）将轴力NBI平移至O2

?MO1?05YBI?6VC?11P?0（1）

Ⅱ—Ⅱ以上（图(C)）将轴力NBI平移至F

?ME?02YBI?3VC?4P?0（2）

P3YBI??32P

联立求解式（1）、（2）得：VC?2．求轴力

Ⅱ—Ⅱ以右?Y?0Y1?2P?YBI?VC?P6Y1?VC?2P?YBI?0

26,N1?2Y1?P

P3Ⅲ—Ⅲ以右（图略）?Y?0由比例关系得N2?2Y2??Y2??VC??

23P

讨论： 计算本例的关键问题是先求出反力VC和在刚片之间起约束作用的杆件BI的内力分量YBI，由此可顺列求得其余杆件内力。 例6 试求例图6(a)所示桁架指定杆件内力。

解 本例为联合杵架，属于主从结构。ABDEFG为基本部分，JHC为附属部分，判断零杆示于图中。 1．求VC和N1

附局部分JHC(图(b))?Y?02．求N2,N3,N4

VC?15kN,?MH?0N1?15kN

?Ⅱ-Ⅱ以上(图(c))

X?0DX2?10,故N2?NEA??22.5kN52?x2?11.18kN

?M?0Ⅲ-Ⅲ以左(图(d))

?Y?0Y?M?0F4??7.5,故N4?N3?20kN5Y4??16.77kN

例7 试求例图7(a)所示桁架指定杆件内力

解 本例为联合桁架，为三刚片结构。如用结点法求内力，则任取一个结点都包含三个未知力，若用截面法，则任作一般截面都截到四根杆件，无法直接求得N1和N3。现作闭合截面I—I，则所截四根杆件中，除NCE之外，其余三杆均交于结点C(图(b))：

?MC?0XGE?ahP，Ⅱ-Ⅱ以上(图(c))?X?0XDF?XGE?ahP

结点D（图（d））?Y?0N1??Y??FD结点E（图（e））?Y?0N2??Y??EGhX?PFDahX??PEGa

讨论 本例通过选取闭合截面I—I先求得辅助杆GE的内力分量XGE，然后据此求得指定杆件的内力。在有些情况下，选取闭合截面可直接求得指定杆件内力。

例2—21 试利用对称性求例图2—21(a)所示桁架指定杆件的内力。

解：将荷载分解为正对称与反对称两组（图（b）、（c）），分别计算正对称与反对称情况下的杆件内力，然后叠加。 1．正对称情况

??0 荷载为正对称时，位于对称轴位置的四杆无荷载K形结点上N2结点A(图d)

?Y?0X?0YAD??P2故X?AD?P

54YAD??58P

结点D(因e) 2．反对称情况

?N1???X58AD荷载为反对称时，与对称轴成正交的杆件内力N1???0 结点D(图f)

45?X?0XAD?XDE?Y?045XYAD?YDE?P2

P2将YAD?X和YDE?AD23XDE代人上式，则有1544P

AD?23XDE?

联立求解得XAD?XDE?结点E(图g)

?X?0????XDE??X21544P???N252????X215588P

3． 求最终内力N1?N1??N1???讨论

58P??N2????N2?N215588P

??0。 1．在对称荷载作用下，位置对称的杆件内力同号、等值、据此判断N22．在反对称荷载作用下，位置对称的杆件内力异号、等值，据此判断与对称轴重合或正交的杆件为零杆，所以N1???0。

例2—22 试计算例图2—22(a)所示组合结构，作弯矩图

解：1.求支座反力。由整体平衡条件求得VA??2．求CD杆轴力和铰F的约束力

,ND?PⅠ-Ⅰ右（图（b））?MF?0CX??0H,F43P???VB??NBD??43PHA??P???

P?Y??V0,?PF43

?0

3．求杆端弯矩，作M图。求得MFE?MFG?0MEF?MGP?4PMDG?MAE根据各杆的杆端弯矩按结点平衡条件和叠加法作M图,如图（c）所示。

讨论：求解本例需分清链杆和梁式杆。轴力NCD不可以由结点D按结点法求得。

例2—23试求例图2—23(a)所示组合结构的支座反力、C铰约束力及轴力杆ED，DF的内力。

解 本例组合结构为三刚片结构，可按不同途径求解。

1．先求VB和NDF 整体(图(a))

?X?0HD?0

YDF?VB?10?0（1）

?将XD7XDF?4VB?0。F3YDF4DI—I以上(图(b))?MO1?0CHB(图c))

?MC?0代入得

5?F4Y214DFYDF?4VB?0（2）

4 0kN联立求解式(1)、式(2)，得 VB?42kNYDF?32kNN?0??结点D

X?0HC?XDF?34YDF?24kN?YVC?VB?YDF?10kN

?X?0XDE?XDF故NDE?NDF?40kN?Y?0VD??2YDF??64kN

2．先求HC和VC 整体（图（a））?X?0HD?0

CHB（图（c））?MO?40,VC?HC?025CGA（图（d））?MO135?40,VC?HC?800?3(1)

(2)

联立求解（1）、（2）得：HC=24kN VC=10kN CHB（图（c））?MD?70,HC4?VB0,?VB?HC42?kN47

NDF=53XDF=40kN

?X=0XDF-HC=0XDF=HC=24kN讨论

本例的两种计算途径具有的共同特点是，根据计算目标，选取相应的隔离体，建立只包含两个未知力的联立方程和只含一个未知力的独立方程，计算较为简捷。

求解此类结构的支座反力，均宜以简捷为原则，先作分析，确定欲先求出的计算目标和相应的隔离体。

例2—24 试求例图z—34(a)所示组合结构中各链杆的轴力，井作受弯杆件的弯矩图

解 本例为主从结构。柱CG为基本部分，折杆AD和BF为附属部分。计算顺序为

BF]ADZCG

1．求支座反力和链杆轴力

BF(图(b))

?MF=0,VB=-6( )

5FG邋Y=0,YFG=VB=-6(?)故NYFG=-10kNX=0,NFE=-4YFG=8kN33结点E(图略)?X=0,NED=NFE=8kN

AD(图(c))

?MA=0,XDG=-11kN故NDG=54XDG=-13.75kN 邋X=0,H3A=-6kNY=0,VA=YDG=4XDG=8.25kN

由于基本部分为悬臂杆，所以不需要计算支座反力。 2．作弯矩图

求出各杆杆端弯短后，作弯矩图如图(d)所示。

例2—25 试作例图2—25(a)所示结构的弯矩图，求轴力N1,N2,N3

解 本例组合结构内部按三刚片规则组成。将折杆AFE和BGE视为两等效链杆，片DE，AC，CB之间由互不平行的两对平行链扦相联。由于两虚铰为无穷远，所以，不能按通常求三刚片结构支座反力的方法求内部约束力。 1．求支座反力，由整体平衡条件，求得VA=qaVB=2qaHE=0

2．求轴力和控制截面剪力 结点D(图(b))

邋X=0,X2=X3故Y2=Y3,N2=N3Y=0,N1=2Y2(=Y3)

）

则刚（1I—I 以下(图(c))?MB=0,4QAC+2N1-2qa=0（2） AC(图(d))

?MC=0,2QAC+Y2=0（3）

qa2,N1=2qa,Y2=Y3=qa

联立求解（1）、（2）、（3），得QAC=-结点A（图略）?Y=0,NAF=-AE（图c）?ME=0,QAF=-AEB（图略）?X=0,QBG=323232qa

qa

qa

32qa

23．绘M图。控制截面弯矩值MFA=MCB=按结点力矩平衡和叠加法作M图如图（f）所示 例2—26 试作例图2—26(a)所示结构的弯矩图。

解 本例组合结构内部为主从结构。AEGCD(或(CHFDB)为基本部分。CHFDB(或AEGCD)为附属部分。

1．求支座反力

由整体平衡条件，求得RA=-3P(?)RB3PHA=-2P

右2．求约束力和连杆轴力。CHFDB（图（c））?MD=0,XC=-P( )

?X=0,XD=-XC=P

右右?Y=0,YC+YD+3P=右右 0右右CHF（图（d））?MF=0,YC=-3P?,(Y)D0

?X=0,XF=P

?Y=0,Y=YC右 =3P将约束力反力作用于基本部分（图（b）），取出CGE（图（e）），由?ME=0,NCD=2P

?X=0,XE=P

?Y=0,YE=-P

MEA=2PaMC=3Pa

3．作M图，由已求的约束力，可求得控制截面弯矩MCE=Pa作M图如（f）所示

讨论 本例铰C和铰D为复铰，各联结三个截面。取隔离体时须注意在截开断面处正确示出内力，不能和其他杆端的内力混淆。例如，在图(c)和图(d)中未截取CD杆，所以应在C截面示出的是YC和X例2 求1，6杆内力 Ⅰ‐Ⅰ截面?MA右右C右，而不是YC和X左左C。

P Ⅰ1 3 A 9 4 Ⅱ 2 7 8 a VB 33m ??0N1??P VA?P

?X?0N10?P5 6 整体?MC?0VB?P2VB?2a?Pa?VA?2a?0

Y6?VB?P10 Ⅰ C 11 12B Ⅱ P N2 ?a 4N1 N6 2由Ⅱ-Ⅱ截面?Y?022

N10 P VA N11 N6?2Y6?P

例3 求1，2，3杆的内力

由Ⅰ-Ⅰ截面，取左段VA?P 取右段VB?0

2mC Ⅱ ① Ⅰ ?M整体

?X?MDA?0HHAB?P?0?P

② D Ⅰ ③Ⅱ P

由Ⅱ-Ⅱ截面，取右段（略图）

?0X1?3??P?6N1??22P(压)HA P A 5?2m B P HB X1??2P2 5 1 ?MC?073PX3?3??P?7N3?X1?X73X3??732

2P?3.3P(压)?X2X?0?X3?P?P?2P?52XP?0.667P

N2?2?0.745P例4 求桁架中1，2，3杆的内力 由Ⅰ-Ⅰ截面，取左部?M0?0

1O1 O2 ⅠⅡ N4?5a?Y2?9a?X2?5a?P?5a?0 X2?Y2

由Ⅱ-Ⅱ截面，取右部?M023 A 2 ?0

Ⅰ Ⅱ 6?3a 5218P

N4?5a?Y2?6a?X2?8a?0

518联立求解前几式Y2??N4?79P

P N2??N3 A N2 N4 由Ⅰ-Ⅰ截面，取左部?X?0

X1?X2?X4?P?0 X4??2932P

由A节点 N3?N4?2X2?例5 求1杆的内力 设NAC??NBC

P

C ① D A P 2?2m B 31m ?由对称性NAC?NBC

?NAC??NBC=0

由A节点NAD??NBD=0 ?N1?P 例6 确定所有零力杆 （共6根）

-P P 0 0 0 P 2P -P 0 0 0 P -P 4a 1 3a 4

例7 求各杆内力

由Ⅰ-Ⅰ截面取右部，?Y?0

S1122?P22?P22?0S11?0

Ⅰ 1 5 6 10 P y a 3 7 P 2 8 a 4 P 9 a S7?0?S3?S6?0 S4?S10?P

P2P2P2P211 a P Ⅰ P S1?S2??

S1 S5??S8?

S6 S8 S11 P 2a?P?3a?0 例8 求桁架中1，2，3杆的内力

设2杆的内力为x，则标出桁架上相应的内力 由Ⅰ-Ⅰ截面取上部?Mx??24P

B?0x?32a?x?22a?x?P Ⅰ0 0 x 2 -x D 1 x C 0 -x x 0 a C节点 S1? S1?P22x?0

S3212-x x 3 x a a D节点 S1??x?0

3A Ⅰ4PB 14P S3??324a a a a P P

S1 D S1 x x S3 x 对称性的利用

利用对称性和反对称性的性质可将复杂的桁架计算简化 例9 利用对称性和反对称性的性质求桁架中1，2杆的内力 P/4 P Ⅱ2P O PA 2 1 a

P ⅠP P a P/2 G

ⅡB

a a a a P/2 P/2 ⅠC P/4 P P/2 a． 对称荷载N1(1)?0

由Ⅰ-Ⅰ截面取左边对O取矩 N2?2a?b．反对称荷载，B约束为零 由Ⅰ-Ⅰ截面取左边对A取矩 Y1(2)(1)P2?3a?P?a?0N2(1)??P4

(2)?2a?P?a?P2?a?0Y1(2)??34P

?N1??324P

由Ⅰ-Ⅰ截面取右边对G取矩 N2324(2)?a?P?2a?P4?3a?0?N2(2)?5P4

因此N1??PN2?P

例10 求出桁架的支反力VB和HC Ⅰ-Ⅰ取左下部分?ME?0HAⅠEAC PDⅠ0PHAa?Pa?0

?P?HC?P ?0?VB??P2整体?MA

B§5.3 各式桁架的比较

一.梁式桁架

1.抛物线形：上弦各结点位于对称的二次抛物线上，上下弦杆的水平分力各大小相等，各斜杆（及竖杆）内力均为零。

特点：弦杆内力分布均匀，用料经济，但上弦结点构造各异，施工麻烦，适宜于较大跨度的结构上采用。

2.三角形：各杆受力很不均匀，且端结点构造困难，但因适于双坡排水，故常用于较小跨度的屋盖中。

3.平行弦桁架：内力分布不均匀，但可采用较少规格的杆件与结点，利于标准化，对于各类跨度的结构仍是经济的。

4.其它桁架（折弦桁架，梯形桁架等）。 二.拱式桁架

可用于跨度较大的结构，但实际工程结构中静定的拱式桁架较少采用。主要有三铰拱式桁架，链式下承桁架，链式上承桁架。后两种的拱链结点都落在二次抛物线上。

§5.4组合结构的内力计算

组合结构的组成：两类杆件（1）梁式杆（2）二力杆（链杆） 计算图形

下撑式三铰屋架 加劲梁 悬索 悬吊式桥梁 组合结构中的链杆使梁式杆的支点间距减小或产生负向弯距，改善了受弯杆的工作状态。 注意两点：（1）联系着上述两类杆件的结点与桁架结点应予区别。

（2）由截面截断受弯杆件时，将露出三个未知力，因此应尽量使截面通过受弯杆

的端铰。

计算方法——截面法，结点法。

P P NDB NCB NCB B B C C MDB QDB Q M NCD NCD D N D

QDA MDA A

NDA （1） 区分截断杆性质（梁式杆M,Q,N）（二力杆N） （2） 区分铰结点（完全铰结点，不完全铰结点） （3） 计算步骤：先链杆后梁式杆 例1 作组合屋梁的内力图 1．计算约束反力VA?VB?6kN 2．由Ⅰ-Ⅰ截面取一半 3mVA 1kN/m Ⅰ A F D C G VBB ?MC?0VA?6?NDE?3?1?6?3?0NDE?6kN Ⅰ 4?3m E 由D结点 NDA?62kN1． 梁式杆内力 NAF??6kNNFA??6kNQAF?0QFA??3kNMNDF??6kN A F D C NDEMAF?0 ??4.5kNm MQ 3kN MFA NDA NDF D NDE

AF FA N NFA-3kN N AF -6kN QAF VA VANAD NADQFA M 4.5kNm 例2 求图示结构各杆轴力和受弯构件的弯矩图 本结构对称，由对称性，铰C处的剪力为零。

D 10kN/m E 3m ?M?MD?0Hc?3?q?6?3HC?60kNAF 2m A D 6m C 6m B 2m G D ?0NCD?36?322?6?q?6?3

NCD?67.11kN由D结点NDF?108.2kNNDA??120.04kN

例3 求组合结构各链杆的轴力，作出受弯构件的弯矩图

?MC?0P?6?20?4?2?N?35?4

XDB?93.33kNYDB?70VC?30kNHC?93.33kNMDC?Vq

C?4?2?42??40kNm

§5.5约束代替法

对一些无法用两刚片或三刚片组成规则构成的静定结构，适用于约束代替法。思路：在原体系上撤去某个或某些约束，代之以相应的约束未知力结构的另外位置上，从而形成一个简单的体系，

这些添加进去的约束称为代替约束。

S?S1X1?S0?0 S—代替约束内力

S1X1—被撤约束力X1引起的代替约束内力 S0—由原荷载引起的代替约束的内力 例1求图示杆1，2的内力

C Hc NDF NDC VA NDA 45kNm 46.67 m3q=20kN/mP=20kN m346.67 100 4m 2m q P46.67 HC N30 VDB C 40kNm 93.33 140kN40 m30 46.67

X，将这些约束添加到该2P A 2C 1 a P a B a a a a 解法一:（a）杆件替换

将C处支撑去掉，在G点加一支撑 (b)外荷载作用在代替结构 0 N1?NGD?0由E1结点 NBE??5P

12P A E 0 P 1 A E G B ⅡD 0 E1 0 C 0 0 G1 NE1D?NED?N2?P

0Ⅰ E1 C 1 由B结点 YB?4P

?M0A?0YG?a?4P?2a?P?a?2P?3a

G 4 ⅡB 4 Ⅰ G1 PG??3P（c）单位荷载作用代替结构

由Ⅰ-Ⅰ截面取右

?ME1?02?0NDG1?a2?1?a

NDG1??MDNBE'??5

RB??4由D结点 N1??2 整体?MA1?0YG?4

15N2?0

''Ⅱ-Ⅱ ?MG?0 N2'??a?1?a?105?a?0(d)消除替代杆内力 YG?YGX1?YG?0104X?3P?0324X?34P

(e)计算1，2杆内力N1?N1X?N1?0?

N2?N2X?N2?0?P?P

102?34P??P

2P A 2 1 P C

解法二：（a）杆件替换 (b)外荷载作用在代替结构

先求出A和C端的约束反力（如图） 由Ⅰ-Ⅰ截面取左部

?MD?0

B X1

SP0?2

（c）单位荷载作用代替结构 由Ⅰ-Ⅰ截面取左部

?MD?0

S111a?2?a?12?2a?0

S111?2

(d)消除替代杆内力

S?S11X1?S0?0

X1??P

(e)计算1，2杆内力

N11?N1X01?N1?0???5P?2P?32 ?4?2??P?4N102?N2X1?N2?

??34?P??P4?P

例2 用约束代替法求1杆的内力 1． 杆件替换

2． 荷载作用下替换杆的内力 由Ⅰ-Ⅰ N0??23P N01?0

3． 单位荷载作用下的替换结构

N1??2N11??1

4． 由代替约束内力为零

N?N1X?N0??2X?23P?0

X??P3

5.1杆内力

N?N1011X?N1??1?(?P3)?0?P3（图中尺寸未注）

2 1 P B 2P PA 2 D C 3 1 4PP A 2D C 1 1 12 2B X1=1 D A1 C P B

D

0 Ⅰ 0

A

0 2PⅠ 3

0 0 P 23P

0 B

例3用约束代替法求1杆的内力 1． 杆件替换 2． 荷载作用下替换杆的内力 N1?0 01 1 1 -2C -123P 2 -10 1 -2 1 0 2 -21 1 P 1 P 1 5a 5a 23P2a 由Ⅰ-Ⅰ截面?MB?0 (N0?P)2a?45P?a N0??35P

1 3． 单位荷载作用下的替换结构

x?12 N?111N1?12

4． 由代替杆件内力为零

N?NX?NX?3P10?1?X?35P?0

5

5.1杆内力

10N1?N1X?N1?12?3P5?0?32P10

§5.6零载法判别复杂体系的几何组成属性

检验瞬变桁架的零载法

当桁架是静定而且是几何不变时，在一组确定的荷载作用下，桁架内力只有唯一的一组确定的解答。反之，如果在一组确定的荷载作用下，桁架内力的解答可以不只一组时，则桁架必为瞬变体系。

零载法：假设一组数值为零的荷载作用在桁架上，如桁架是静定且几何不变的，则桁架各杆内力必为零，而且是唯一的零解。反之，若桁架杆件的内力不为零也能满足平衡条件，说明零解并非唯一解答，此桁架必为瞬变体系。

用零载法检验桁架是否瞬变时，常用反证法。先假设桁架的荷载为零，然后假定桁架中某一杆件的内力为不等于零的某一任意数值，检查桁架各结点是否满足平衡条件，若能满足，表明桁架还存在非零碎解，桁架为瞬变体系，若任意内力不能满足平衡条件，则表示零解是桁架的唯一解答，桁架体系是几何不变的。

例 1检验图示平面桁架是否几何不变，已知ABCD为矩形，E、F、G、H为各边中点。 1计算桁架自由度

W?2J?B?S?2?8?12?4?0

F ??D 2假设桁架上荷载为零 C用反证法，假设某杆内力不为零，现设支座B的内力为x

由对称性EF、FG、GH、HE杆内力均为零。

（因为NEF=NGH=-NFG=-NHE又NEF=NGH=NFG=NHE） 由B结点NGB?xsin?同理

NBH??xcos?

E A G ? H 第1题

?B NDG?NCE?NAE?NBG?xsin?NAH?NCF?NDF?NHB??xcos?

可见各结点均能满足平衡条件，因为x是任意数值，即x为任何值时，各结点都保持平衡，因此此桁架是瞬变体系。

例2 用零载法判别图示结构是否几何不变。 2． 自由度W?2J?B?S?2?8?12?4?0

3． 设支杆为x，1、2、3、4均为零力杆，5、6、7、8、9也为零力杆 由A得N12?N13?x2cos? ， 由B显然不平衡，因此x?0

此体系为几何不变体系。

例3 用零载法判别图示结构是否几何不变

1．自由度W?2J?B?S?2?8?12?4?0

2．上面所有杆均为零力杆，只有下弦杆不为零力杆，但它们在一直线上，在任何内力作用下均为平衡，故为瞬变体系。

x 2 1

3 α α 134

12

8 9 10 11 5

6 7

第3题 第2题 例4 用零载法判别图示结构是否几何不变 1．自由度W?2J?B?S?2?7?10?4?0

2．设某杆为x，A自动满足平衡条件，为瞬变体系。

x2xxx?? ?x ?x?x ? ??x ? ?x ? ?? A xxxx?x2x ? x?x?? 第5题

第4题 例5 用零载法判别图示结构是否几何不变

1．自由度W?2J?B?S?2?8?12?4?0

2．设AB杆的内力为x，由对称性得NBC?x 最后得出？杆矛盾，几何不变。

例6 用零载法判别图示结构是否几何不变

1．自由度W?2J?B?S?2?6?8?4?0 2．设轴力x和y

由A，B两结点?NAC,NBC 由结点C得x?y(1)

由D，E两结点?NDF,NEF 由结点F得

x?2x?2y?2与(1)式矛盾22

故为几何不变。

例7 用零载法判别图示结构是否几何不变

1．自由度W?2J?B?S?2?6?6?6?0 2．对任何结点都平衡，故为瞬变系统。

?xD2x 2 F E

y?y a x?x Aa yyB ?2 C

2 2a 2a a

第6题

xay?xy?x 2 2 2axx 2 2 a y?x2y?x x2 2a 2a 第7题

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