大旋转角三维直角坐标转换的一种线性模型

4

文章编号：1672

7479（2012）06

0004

03

铁道勘察2012年第6期

大旋转角三维直角坐标转换的一种线性模型

王传江

1

王解先

2

顾建祥

1

（1.上海市测绘院，上海200063；2.同济大学，上海200092）

ALinearModelof3-DimensionalRectangularCoordinateTransformationBasedonBigRotationAngle

WANGChuanjiang1

WANGJiexian2

GUJianxiang1

对大旋转角三维直角坐标转换，在3个或3个以上公共点时，通过构建辅助公共点，以平

移量及旋转矩阵元素为参数组成线性方程，按最小二乘法完成参数计算及坐标转换，适应于任意旋转角

摘

要

的三维直角坐标转换。

关键词

大旋转角三维直角坐标转换辅助公共点

+

中图分类号：P226.3文献标识码：A

三维直角坐标转换中，采用7参数（3个平移参3个旋转参数、1个尺度参数）的Bursa－Wolf模型数、

只适用于小角度下的坐标转换，当在两坐标系统下有3个或3个以上公共点，就可解算出7个转换参数。空间大地测量、三维激光扫描、近景摄影测量的交会摄影、测量机器人自由设站以及GIS中，都遇到大量的大旋转角三维直角坐标的转换问题。

在3个或3个以上公共点不共线的情况下对大角度的空间直角坐标转换，一种方法是对非线性模型线性化，陈义等提出了以方向余弦为参数适用于任意旋转角，姚吉利等提出了罗德里格矩阵代替

［4］

方向余弦矩阵的方法。另一种通过引入反对称矩阵的空间转换方法

等方式，形成线性方程解算，姚吉利提出了3维坐标转

［5］

换7参数直接计算的模型，潘国荣等提出一种基于空间向量旋动理论的三维基准转换模型，秦世伟等提出了以转换矩阵9元素为参数的坐标转换的简便模型，但

［7］其在3个公共点时，可能导致矩阵病态。

在3个或3个以上公共点时，提出了通过构建辅

［6］

［3］

线性模型最小二乘法

11.1

数学模型

辅助公共点的计算：

A2、A3在A坐标系中坐标分设3个不共线公共点A1、

y1，z1）、A2（x2，y2，z2）、A3（x3，y3，z3），A2、有A1、别为A1（x1，

A3可形成一个空间平面，其法向量按公式（1）计算

珒珒珒ijk

→→珗n=A1A2×A1A3=x2－x1y2－y1z2－z1

x3－x1

y2－y1y3－y1

z2－z1z3－z1

y3－y1

x2－x1x3－x1

z3－z1

（1）

z2－z1

，

z3－z1

令a=c=

，b=－

x2－x1x3－x1

y2－y1y3－y1

助公共点，以平移量及旋转矩阵元素为参数组成线性方程，按最小二乘法完成参数计算及坐标转换，适用于任意旋转角的空间直角坐标转换。

收稿日期：2012－09－25

1996年毕业于武汉测绘科技大学第一作者简介：王传江（1971—），男，

大地测量专业，高级工程师。

n为方向的空间直线方程为则过A1点以法向量珗

x－x1y－y1z－z1

==（2）abc

给定一个合适的距离D，在该直线上距A1点距离为D的空间辅助点FDA1坐标按公式（3）计算

+b+c xFZA1=x1+a·D/

+b+c yFZA1=y1+b·D/

zFZA1=z1+c·D/a+b+c（3）

公共点A1在B坐标系中可按上述方法计算相对应的辅助点坐标，这里距离须考虑比例系数，则D'=（1+m）D；同样，在公共点A2处，按上述思路计算另一辅助公共点FDA2在两个坐标系中的坐标。

由坐标计算距离，通过相应距离的比较得出尺度

4］、［6］中均有详细论述，Dij为参数，在文献［设dij、Ai、Aj两点在坐标系A和坐标系B中的距离，对n个公

共点，可计算n（n－1）/2条边比例系数，尺度参数的最佳估计值为n（n－1）/2个尺度参数的平均值，尺度参数可按公式（4）计算

1+m=

换关系为

XB ΔX0

Y = ΔY +（1+m）R（ωX）× B 0 ZB ΔZ0

XA

R（ωY）·R（ωZ） YA

ZA

式中：（XA

A的坐标；（XBB的坐标；（ΔX0（ωX

ωY

YAYB

ZA）ZB）

TT

（5）

为某点在空间直角坐标系为该点在空间直角坐标系

T

(

Dij2·ΣΣn（n－1）i=1j=i+1dij

n－1n

)

（4）

ΔY0ΔZ0）为空间直角坐标系A

转换到空间直角坐标系B的平移参数；

ωZ）为空间直角坐标系A转换到空间直角

坐标系B的旋转参数；m为空间直角坐标系A转换到

空间直角坐标系B的尺度参数。

1

R（ωX）= 0

0

0cosωx－sinωx

010

sinωx

cosωx －sinωY

0 cosωY sinωZcosωZ

0 0 1 0

1.2空间转换的数学模型

XYZ和O'-X'设有两个空间直角坐标系分别为O-Y'Z'（如图1所示），两空间直角坐标系间有七个转换3个旋转参数和1个尺度参数）

。参数（3个平移参数、

cosωY

R（ωY）= 0

sinωY cosωZ

R（ωZ）= －sinωZ

0

图1

空间转换

R（ωX）．R（ωY）．R（ωZ）为旋转矩阵，记为R=R

（ωX）．R（ωY）．R（ωZ）。

由空间直角坐标系A到空间直角坐标系B的转

cosωXcosωzcosωYcosωZ

R= －cosωXsinωz+sinωXsinωYcosωzcosωXcosωz+sinωXsinωYsinωz

sinωXsinωz+cosωXsinωYcosωz－sinωXcosωz+cosωXsinωYsinωz

以R中9个元素为参数，将1+m乘入矩阵中各

元素中，令

a11

（1+m）R=A= a21

a31

a12a22a32

a13 a23 a33

（7）

－sinωY sinωXcosωY

cosωXcosωY

（6）

XAYAZA000000100

000XYZ000010 X1×12（8）

AAA

000000XAYAZA001 a11式中：X1×12=［a32

a33

ΔX0

ΔY0

a12

a13

T

a21a22a23a31

ΔZ0］

将（7）式代入公式（5）中，以平移3参数及旋转矩

阵9参数共12个元素为未知参数，则公式（1）可写成如下形式

XB

Y = B ZB

当有不共线3个公共点时，按公式（3）计算出2个辅助公共点，则由这5个公共点根据公式（8）可组成15个方程，按最小二乘法计算出X1×12；同上，当有n个公共点，可组成3（n+2）个方程，完成参数计算及坐标转换，计算出旋转矩阵后，由公式（6）可计算3个旋转角。

2数据验证

表2转换后的节点坐标和坐标较差

本文算法的转换后坐标xyz－17.2291.3－148.0443.7－218.3611.1－288.6446.9－217.2

13.12.4229.4－5.6329.3

－2.9

mm

为验证坐标转换模型的正确性和可靠性，采用文

3］中的数据，节点的设计坐标和实测坐标见表1，献［

3］文献［算法与本文算法分别计算的转换坐标及较差数据见表2。

表1

点号1567891011121314151617181923

X0.0289－144－144444－222－222600－300－300444－222－222289－144－1440.0

3］算法的转换后坐标点文献［

号XYZ1567891011121314151617181923

－19.5290.4－151.1－151443.4－221.7611.6－292.4446.9－220.3－217.6283.3－149.1－147－18.2

13.43.3227.7－4.5326.5－9.2426.4－0.7326.3－3358.8

－33322.63330.35325.15327.67336.67327.99330.29321.79319.3

坐标较差

ΔxΔyΔz－2.30.3－0.1

2.1

3320.5－0.90.9

3330.9－3.1－1.7－0.65321.9－0.31.1

3.2

－215.23332.1－149.4－216.63333.6－1.61.4－1.5

5328.5－3.4－2.8－0.9

0.5

1.5

4.4

－220.1－333.85328.3－218.8－335.75330.6－1.31.9－2.3

－10.77332.2430.2－1.6329.38.5

7329.1－3.8－3.8－1.29326.9

0.9

3.3

节点的设计坐标和实测坐标

Z0.0

x108521.0

实测坐标

y96611.099931.099937.099939.0

mmz101222.0101213.0101438.0100996.0101206.0101538.0100879.0101202.0101639.0100762.0101212.0101540.0100880.0101223.0101440.0100997.0101228.0

设计坐标

Y

00216.50333－3330450－4500333－3330

－291.2－452.37326.5－290.3－454.87329.6－0.92.5－3.1

9322.5－3.1

－3－0.8

2.1

3327.0108819.03327.0108379.0

－216.7－336.79321.6－0.91.7－2.3

11331.7－0.30.3

227.411324.0－2.3－2.3－0.611.8

14630.6

－1

－0.6－0.1

11333.8283.6

225.111323.4－146.811.2

14630.5

－17.2

－216.53327.0108378.0

－218.811317.1－146.2－219.611318.7－0.80.8－1.6

5327.0108965.0101930.05327.0108302.0101930.05327.0108302.0101931.07327.0108126.0103938.07327.0108225.0103926.07327.0108224.0103925.09327.0108955.0105927.09327.0108290.0105916.09327.0108291.0105914.011327.0108785.0107926.0

3结论

将空间直角坐标转换问题从非线性的的形式转化为线性的、参数相关的形式，使解算公式简单明了，避免了采用非线性方程线性化迭代求解的模型对参数初值、迭代收敛等问题的考虑，经实测数据及模拟数据检验，算法解算精度较好，可靠性高。在3个或3个以上公共点的情况下，模型可完成任意角度情况下的三维对工程应用有参考意义。直角坐标的转换，

参

2005社，

［2］朱华统，杨元喜，吕志平．GPS坐标系统的变换［M］．北京：测绘出

1994版社，

［3］陈义，沈云中，刘大杰．适用于大旋转角的三维基准转换的一种简

2004，29（12）：1101便模型［J］．武汉大学学报：信息科学版，－1104

［4］姚吉利，韩保民，杨元喜．罗德里格矩阵在三维坐标转换严密解算

．武汉大学学报：信息科学版，2006，31（12）：1094中的应用［J］－1096

．测绘通报，姚吉利．3维坐标转换参数直接计算的严密公式［J］2006（5）：7－10

2009，29（6）：79－82量与地球动力学，

［7］秦世伟，谷川，潘国荣．任意旋转角坐标转换的简便模型［J］．工程

2009（6）：62－65勘察，

［8］王解先．七参数转换中参数之间的相关性［J］．大地测量与地球动

2007，27（2）：43－46力学，

［9］王保丰，徐宁，等．两种空间直角坐标系转换参数初值快速计算的

J］．宇航计测技术，2007，27（4）：20－24方法［

［10］孔祥元，郭际明，刘宗泉．大地测量学基础［M］．武汉：武汉大学

2005出版社，

216.511327.0108354.0107914.0－216.511327.0108355.0107908.00

14625.0108473.0111215.0

由表1数据按上述坐标转换公式求得的转换参数为

ΔX0 －108823.5767

ΔY = －102088.1180

0 ΔZ0 －95468.4032 （1+m）=1.0014422893

旋转矩阵R=

考文献

［1］李征航，．武汉：武汉大学出版黄劲松．GPS测量与数据处理［M］

0.00327856730.0008534979 0.9974704145

0.0001200388－0.00050476771.0075867427 ［5］ －0.01077247551.0005410665－0.0016420625 根据计算结果，本文算法可实现三维直角坐标的数据转换，表2数据表明，二者的转换精度基本一致。1，1）、（1，－1，1）、（1，1，－给定3个公共点（1，

T

1），平移参数(ΔX0ΔY0ΔZ0)及尺度参数均取1，Y、按R（ωX）．R（ωY）．R（ωZ）旋转矩阵顺序旋转，绕X、Z轴的旋转角分别在区间［0°，360°］，以10°作为步由公式（1）计算公共点的目标数据，共模拟了37×长，

37×37套文件数据，按本文模型编制的程序进行坐标转换，转换后的坐标与其真值一致。

［6］潘国荣，．大地测赵鹏飞．基于空间向量的三维基准转换模型［J］

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n8h4.html