全国初中数学竞赛辅导(初3)第16讲 圆中的比例线段

第十六讲 圆中的比例线段

圆中的比例线段问题，一般是指圆幂定理以及与圆有关的相似形推证比例线段问题．下面先介绍一下圆幂定理，然后举几个例题，供同学们思考．

例1 (交弦定理)圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

如图3－65，⊙O中两弦AB，CD相交于P点．求证：

PA·PB=PC·PD．

PC=∠DPB，∠C=∠B．最后的条件，只要连结AC，BD即可满足，因此命题得证．

证法2 证法1是通常的想法，实际上，本题若换个想法：证明PA·PB为一定值，则可用勾股定理证明．为此作OE⊥AB于E，连OA，且过P作直径GH(图3－66)，则

AP·PB=(AE-PE)(AE+PE)

=AE2-PE2

=(OA2-OE2)-(OP2-OE2)

=OA2-OE2-OP2+OE2

=OA2-OP2

=(OA+OP)(OA-OP) =PH·PG(定值)． 同理，CP·DP=PH·PG(定值)．所以

PA·PB=PC·PD．

推论 弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两线段的比例中项．

如图3－67，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于P．求证：PC2=PA·PB． 证明留给读者．

例2(切割线定理) 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项．

如图3－68，PC切⊙O于C，割线交⊙O于A，B．求证：PC2=PA·PB．

△PCA∽△PBC， ①

为此，只须连结AC，BC，则有

∠ACP=∠CBP，∠P=∠P，

故①成立．

证法1 请读者写出．

证法2 仿例1之证法2的方法，利用勾股定理证明本题． 作OH⊥AB于H，连OA，OP，OC(图3－69)．因为PC切圆O于C，所以△PCO中，∠C=90°，所以

PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2 =PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2

=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA．

推论从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．

图3－70中，PAB，PCD是⊙O的两条割线．求证：

PA·PB=PC·PD．

证明由例2可直接推出．

说明 例1、例2及其推论统称圆幂定理．为什么叫圆幂定理呢？因为在例1中PA·PB是定值，它等于定点P分过此定点的直径的两线段的积；在例2中，PA·PB也是定值，它等于由圆外定点P所引圆的切线长的平方．例1、例2的定值称作定点到圆的幂，因此，例1、例2统称圆幂定理．

例3 如图3－71，⊙O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EF=FG．

分析 由于FG切圆O于G，则有FG2=FB·FC，因此，只要证明FE2=FB·FC成立即可．

证 因为在△BFE与△EFC中有

∠BEF=∠A=∠C，

又 ∠BFE=∠EFC，

所以 FE2=FB·FC． 又FG2=FB·FC，所以

FE2=FG2，

所以 FE=FG．

例4 在图3－72中，已知CA，CB是⊙O的两条切线，A，B是切点，OC交直线AB于D，OF垂直直线CF于F，交直线AB于E．求证：OD·OC=OE·OF=OA2．

证 因为AC，BC是⊙O的两条切线，A，B为切点，所以OC⊥AB于D．又因为OF⊥CF于F，所以

∠CDE=∠EFC=90°，

所以D，C，F，E四点共圆，所以

OD·OC=OE·OF．

又在△COA中，∠CAO=90°，所以

OA2=OD·OC，

所以 OD·OC=OE·OF=OA2．

例5 如图3－73，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：

(1)BD平分∠CBE； (2)AB·BF=AF·DC．

分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出． (2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求AB·BF=AF·DC，

证 (1)因为∠CAD=∠BAD=∠FBD，∠CAD=∠CBD，所以

∠CBD=∠FBD，

所以BD平分∠CBE．

(2)在△DBF与△BAF中，因为

∠FBD=∠FAB，∠F=∠F，

AB·BF=BD·AF．

又因为BD=CD，所以

AB·BF=CD·AF．

例6 如图3－74，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD和BC相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q．求证：EP2+FQ2=EF2．

分析 本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考．证过B，C，E作圆O1，设⊙O1交EF于G，连结CG．因为

∠FDC=∠ABC=∠CGE，

所以F，D，C，G四点共圆，所以

EG·EF=EC·ED， ① FG·EF=FC·BF． ②

①+②得

EF2=EC·ED+FC·BF．

又因为EP，FQ为⊙O的切线，所以

EC·ED=EB·EA=EP2， FC·FB=FD·FA=FQ2，

所以 EF2=EP2+FQ2．

练习十六

1．已知⊙O外一点P，PA是⊙O的切线，切点为A，引割线PBD交⊙O于B，D，过D引直线DE∥PA交⊙O于E，直线BC交⊙O于M点，求证：AM=PM．

2．如图3－75．AD是⊙O的切线，D是切点，ABC是割线，DE⊥AO于E．

(1)求证：AD2=AE·AO；(2)求证：∠AEB=∠C．

3．如图3－76．在⊙O中，弦AB⊥QO于D，AQ交圆O于C，连结BC交QO于P，求证：OA2=OP·OQ．

4．如图3－77．四边形ABNM内接于圆O，BA和NM的延长线相交于P点，求证：AM·BM·PN=AN·BN·PM．

5．如图3－78．AD是△ABC的高，AE是△ABC外接圆直径，求证：AB·AC=AE·AD．

6．如图3－79．设AB为半圆直径，弦AC和BD交于E，求证：AB2=AE·AC+BE·BD． (提示：作EF⊥AB于F．)

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n8go.html