第5章+振动和波动习题解答

5-1 一个弹簧振子m?0.5kg，k?50Nm，振幅A?0.04m，求 (1) 振动的角频率、最大速度和最大加速度；

(2) 振子对平衡位置的位移为x = 0.02m时的瞬时速度、加速度和回复力； (3) 以速度具有正的最大值的时刻为计时起点，写出振动方程。 解：（1）??k50??10m0.5(rads)

vmax??A?10?0.04?0.4(m/s)amax??A?10?0.04?4(m/s)(2) 设x?Acos(?t??)，则

222

dxd2xv????Asin(?t??) a?2???2Acos(?t??)???2x

dtdt当x=0.02m时，cos(?t??)?1/2,sin(?t??)??3/2，所以

v?0.2?3?0.346(m/s)a??2(m/s2)F?ma??1(N)(3) 作旋转矢量图，可知：???

π 2π x?0.04cost(?10

2)5-2 弹簧振子的运动方程为x?0.04cos(0.7t?0.3)(SI)，写出此简谐振动的振幅、角频率、频率、周期和初相。

A=0.04(m)????0.7(rad/s)???0.3(rad)解：

???2π?0.11(Hz)T?1

??8.98(s)5-17 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，两个振动的振动方程为

πx1?0.04cos(2t?)(SI)

6πx2?0.03cos(2t?)(SI)

6求合振动的振幅和初相。 解：A?2A12?A2?2A1A2cos(?2??1)?42?32?2?4?3?cos?3?6.08(cm)

?3?sin(?)A1sin?1?A2sin?266?4.70 ??arctan?arctan??A1cos?1?A2cos?24?cos?3?cos(?)665-20 质量为4536kg的火箭发射架在发射火箭时，因向后反冲而具有反冲能量，这能量由发射架压缩一个弹簧而被弹簧吸收。为了不让发射架在反冲终了后作往复运动，人们使用一个阻尼减震器使发射架能以临界阻尼状态回复到点火位置去。已知发射架以10ms的初速向后反冲并移动了3m。试求反冲弹簧的劲度系数和阻尼减震器提供临界阻尼时的阻力系数。

解：已知 m=4536kg，v0=10m/s，A=3m 反冲时，反射架动能转换成弹簧弹性势能

4?sin??1212kv010mv0?kA，得????0 22mA32mv04536?102k?2??50400(N/m) 2A3临界阻尼时???0，由???2m有，阻力系数：

??2m?0?2?4536?10?30240(kg/s) 35-23 有一沿x轴正方向传播的平面简谐横波，波速u =1.0ms，波长λ = 0.04ｍ，振幅A = 0.03ｍ，若从坐标原点O处的质元恰在平衡位置并向y轴负方向运动时开始计时，试求

(1) 此平面波的波函数；

(2) x1=0.05ｍ处质元的振动方程及该质元的初相位。 解：（1）由题知：u=1m/s,??0.04m,所以

??2????2??0.01?50?(rad/s)

0.04O处质点的振动方程为：y0?0.03cos(50?t?所以，波函数为:y?0.03cos(50?t?50?x?(2)当x1=0.05ｍ时，代入波函数有

?2)

?2)

y?0.03cos(50?t?2?)?0.03cos50?t

初相位??0或-2?。

5-27 图示为t = 0时刻的平面简谐波的波形，求

(1) 原点的振动方程； (2) 波函数； (3) P点的振动方程； (4) a、b两点的运动方向。 解：（1）原点振动方程：

习题5-27 图

πy0?0.04cos(?t?)2(m)

2πu由图可知，??0.4m，所以??所以：y0?0.04cos(πt??(m)

?2π?0.082?π(rad/s)

0.4525π)2π)(m) 22π23(3) yp?0.04cos(πt?5π?0.4?)?0.04cos(πt?π)5252(2)波函数y?0.04cos(πt?5πx?(4) a:向下 b:向上

25(m)

5-30 图示为t?0时刻沿x轴正方向传播的平面简谐波的波形图，其中振幅A、波长?、波速u均为已知。

(1) 求原点处质元的初相位?0； (2) 写出P处质元的振动方程； (3) 求P、Q两点相位差。

解：（1）由波形图可知，在t=0时，o点处的质点向 y 轴负向运动 ，利用旋转矢量法可得，?0?习题5-30 图

π。 2（2）原点O处质元的振动表达式可写为y0?Acos(P处质元的振动从时间上比O处质元的振动落后

2ππut?) ?2?，因此P处质元的振动表达式为 2u2π?πyp?Acos[u(t?)?]

?2u22ππut?] 得 yp?Acos[?22π2π??x???π （3）P、Q两点相位差为：?????2

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