2016年中考数学必做36道压轴题合订本（含变式训练）

2016中考必做的36道压轴题及变式训练 第1题 夯实双基“步步高”，强化条件是“路标”

【例1】（2013北京，23,7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx2?2mx?2?m?0?

与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B． （1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；

（3）若该抛物线在?2?x??1这一段位于直线l的上方，并且在2?x?3这一段位于直线AB的下方，

求该抛物线的解析式．

链接：（2013南京，26,9分）已知二次函数y=a(x?m)?a(x?m) (a、m为常数，且a?0)． （1）求证：不论a与m为何值，该函数的图像与x轴总有两个公共点；

（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D． ①当△ABC的面积等于1时，求a的值；

②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

2

变式：（2012北京，23,7分）已知二次函数y??t?1?x?2?t?2?x?23在x?0和x?2时的函数值相等． 2（1）求二次函数的解析式；

（2）若一次函数y?kx?6的图象与二次函数的图象都经过点A（-3，m），求m和k的值；

（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n?n?0?个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y?kx?6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．

第2题 “弓形问题”再相逢，“殊途同归”快突破

【例题】（2012湖南湘潭，26，10分）如图，抛物线y?ax?与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）． （1）求抛物线的解析式；

（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

]23x?2?a?0?的图象与x轴交于A、B两点，2（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

【变式】（2011安徽芜湖，24，14分）平面直角坐标系中，ABOC如图放置，点A、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到A'B'OC'． （1）若抛物线过点C，A，A'，求此抛物线的解析式； （2）ABOC和A'B'OC'重叠部分△OC'D的周长；

（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：点M在何处时△AMA'的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标．

????

第3题 “模式识别”记心头，看似“并列”实“递进”

【例题】（2012河南，23，11分）如图，在平面直角坐标系中，直线y?1x?1与抛物线y?ax2?bx?32交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D． （1）求a，b及sin?ACP的值； （2）设点P的横坐标为m．

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；

②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个三角形的面积之比为9:10？若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由．

【变式一】（2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y?x2?bx?3的图象经过点P（﹣2，5）． （1）求b的值并写出当1?x?3时y的取值范围；

（2）设P1（m，y1）、P2（m+1，y2）、P3（m+2，y3）在这个二次函数的图象上． ①当m=4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；

②当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．

【变式二】（2013重庆，25题，12分）如图，已知抛物线y?x?bx?c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1?6S2，求点P的坐标．

2

第4题 “准线”“焦点”频现身，“居高临下”明“结构”

【例题】（2012四川资阳，25，9分）抛物线y?12x?x?m的顶点在直线y?x?3上，过点F（－2，2）4的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B． （1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值； （2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB； （3）若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝

100，求点M的坐标． 9

【变式一】（2010湖北黄冈，25，15分）已知抛物线y?ax?bx?c?a?0?顶点为C（1，1）且过原点O．过

2抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；

5作垂线，垂足为M，连FM（如图）． 4（2）在直线x=1上有一点F（1，），求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并证明此时△PFM为正三角形；

（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM=PN恒成立？若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

34

【变式二】（2012山东潍坊，24,11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，0)、B(2，0)、C(0，－1)三点，过坐标原点O的直线y?kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2．

（1）求抛物线对应二次函数的解析式； （2）求证以ON为直径的圆与直线l1相切；

（3）求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．

第5题 莫为“浮云”遮望眼，“洞幽察微”探指向

【例题】（2012浙江宁波，26，12分）如图，二次函数y=ax+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；

（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为2

45，求点M的坐标． 5

【变式一】（2010湖南邵阳，25，12分）如图，抛物线y??12x?x?3与x轴相交于点A、B，与y轴相4交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F． （1）求直线BC的解析式；

（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P． ①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围； ②若r?由．

45，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理5

【变式二】（2012广东省，22，9分）如图，抛物线y?点C，连接BC、AC． （1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．

123x?x?9与x轴交于A、B两点，与y轴交于22

第6题 分类讨论“程序化”，“分离抗扰”探本质

【例题】（2011贵州遵义，27，14分）已知抛物线y=ax+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C．

（1）求抛物线y=ax+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标； （2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．

2

2

【变式一】（2012山东枣庄，25，10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为（﹣1，0）．B点在抛物线y?121x?x?2图象上，过22点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为﹣3．

（1）求证：△BDC≌△COA；

（2）求BC所在直线的函数关系式；

（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式二】（2011四川南充，21，8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中点．

（1）求证：△MDC是等边三角形；

（2）将△MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E，MC（即MC′）同时与AD交于一点F时，点E，F和点A构成△AEF．试探究△AEF的周长是否存在最小值？如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF周长的最小值．

第7题 “两种对称”正方形，“以美启真”助破题

【例题】（2013浙江杭州，23,12分）如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件∠EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1．

（1）求证：∠APE=∠CFP；

（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，y?S1． S2 ①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值．

【变式一】（2013湖南娄底，23,9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P． （1）求证：AM=AN；

（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．

【变式二】（2013北京海淀区九上期末卷）如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1．将直线EB绕点E逆时针旋转45°，交直线AD于点M．将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k． 解答问题：

（1）①当点C与点F重合时，如图2所示，可得

AMAM的值为 ；②在平移过程中，的值为 DMDM（用含k的代数式表示）；

（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算

AM的值； DM

（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转α度，0＜α≤90，原题中的其他条件保持不变．计算值（用含k的代数式表示）．

AM的DM

第8题 对称图形为载体，特殊位置要留意

【例题】（2013四川资阳，24，12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线、（3，0）、（0，4）. y?ax2?bx?c(a?0)，与x轴的另一交点为E，连结CE，点A、B、D的坐标分别为（-2，0）（1）求抛物线的解析式；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形AECD的面积分为3∶4的两部分，求出该直线的解析式.

【变式一】（2011江苏无锡，27，10分）如图，已知O(0，0)、A(4，0)、B(4，3)．动点P从O点出发，以

每秒3个单位的速度，沿△OAB的边OA、AB、BO作匀速运动；动直线l从AB位置出发，以每秒1个单位的速度向x轴负方向作匀速平移运动．若它们同时出发，运动的时间为t秒，当点P运动到O时，它们都停止运动．

（1）当P在线段OA上运动时，求直线l与以点P为圆心、1为半径的圆相交时t的取值范围；

（2）当P在线段AB上运动时，设直线l分别与OA、OB交于C、D，试问：四边形CPBD是否可能为

菱形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由，并说明如何改变直线l的出发时间，使得四边形CPBD会是菱形．

第9题 平行线内“正方形”，构造全等“弦方图”

【例题】（2012山东滨州，25,12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上．过点A作AF⊥l3于点F，交

l2于点H，过点C作CE⊥l2于点E，交l3于点G．

（1）求证：△ADF ≌△CBE； （2）求正方形ABCD的面积；

（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S．

【变式一】（2013山东淄博，24，9分）矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=4．

（1）如图1，四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；

（2）请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．

【变式二】（2011安徽，23，14分）如图，正方形ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上.这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1?0，h2?0，h3?0）. （1）求证：h1?h3；

（2）设正方形ABCD的面积为S，求证：S?(h1?h2)2?h12； （3）若

3h1?h2?1，当h1变化时，说明正方形ABCD的面积S随h1变化的情况. 2

第10题 “并列”问题“递进”解，经典问题再追问

【例题】（2012山东德州，23，12分）如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH． （1）求证：∠APB=∠BPH；

（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；

（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

【变式】（2013辽宁锦州，25，12分）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形 ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形 的两边BC、DC于点E、F，连结EF．

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；

（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E、F分别是BC、CD边上的点，∠EAF＝BAD，连结EF，过点A作AM⊥EF于点M．试猜想AM与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．

1∠2

第11题 “伴随图形”来研究，“分类讨论”显功底

【例题】（2011辽宁本溪，26，14分）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE岁点Q运动）． （1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式； （3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？

②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

【变式】（2013湖南郴州，25，10分）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tan A=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；

（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系； （3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．

第12题 中心对称“带上路”，以美启真构菱形

【例题】（2013陕西，25，12分）

问题探究

（1）请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；

（2）如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.

问题解决

（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点，如果AB=a，CD=b，且b?a，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.

【变式一】（2012陕西，25，12分）如图，正三角形ABC的边长为3+3．

（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N'，且使正方形E'F'P'N'的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E'F'P'N'的边长；

（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．

【变式二】（2011湖北武汉，24，10分）

（1）如图，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC边长，AQ交DE于点P．求证：

DPPE=； BQQC

（2）如图2，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； ②如图3，求证：MN2?DM?EN．

第13题 “定义”悟出基本图，解后反思“圆外圆”

【例题】（2013北京，25，8分）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义： 若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点． 已知点D?，?，E（0，-2），F（23，0）． （1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范．

?11??22?【变式一】（2013福建泉州，25，12分）如图，直线y??3x?23分别与x、y轴交于点B、C，点A(-2，0)，P是直线BC上的动点． （1）求∠ABC的大小；

（2）求点P的坐标，使∠APO=30°；

（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在不同位置时，使∠APO = 30°的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点 P的个数有几个？若改变，指出点 P的个数情况，并简要说明理由． ．．．．

【变式二】（2012江苏南京，27，10分）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB为⊙O上关于A、B的滑动角． （1）已知∠APB是?O上关于点A、B的滑动角． ① 若AB为⊙O的直径，则∠APB= ； ② 若⊙O半径为1，AB=2，求∠APB的度数．

（2）已知O2为?O1外一点，以O2为圆心作一个圆与?O1相交于A、B两点，∠APB为?O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交?O2于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．

第14题 “旋转变换”迷人眼，“见微知著”深追问

【例题】（2012浙江义乌，23，10分）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

【变式一】（2011安徽，22，12分）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针

旋转，旋转角为?(0°＜?＜180°)，得到△A1B1C．

A A1 A A1 A E B

C

A1

? C D B

C ? ? P B

B1 图1

图2

B1

B1 图3

（1）如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； 【证】

（2）如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； 【证】

（3）如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．

【变式二】（原创题）如图，边长为2的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，以D为圆心，DB的长为半径作弧交CA延长线于E，连接DE、BE． （1）求证：△BDE是等边三角形；

（2）以点D为中心，把△CDE顺时针旋转?角（0????360?）得到△C'DE'． ①当??30?时，连接AC'，求tan?BAC'的值；

②当DE'、AB所在直线夹角为15°时，求?所有可能的度数；

③若点P是边C'D上任意一点，在旋转过程中，试探究BP有没有最大（小）值？如果有，直接写出最大（小）值；如果没有，说明理由．

第15题 构造全等获突破，道是“无圆”却“有圆”

【例题】（2012青海，27题，10分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点， ∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F． 请你认真阅读下面关于这个图的探究 片段，完成所提出的问题．

探究1：小强看到图1后，很快发现AE=EF．这需要证明AE和EF所在的两个三角形 全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个直角三角形，一个钝角三角形）．考虑到点E

是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M，连接EM后尝试着去证明△AEM≌△EFC 就行了．随即小强写出了如下的证明过程： 证明：如图2，取AB的中点M，连接EM．

∵∠AEF=90°，

∴∠FEC+∠AEB=90°， 又∵∠EAM+∠AEB=90°， ∴∠EAM=∠FEC．

∵点E、M分别为正方形的边BC和AB的中点， ∴AM=EC．

∵△BME是等腰直角三角形， ∴∠AME=135°，

又∵CF是正方形外角的平分线， ∴∠ECF=135°，

∴△AEM≌△EFC（ASA）, ∴AE=EF． （2）探究2：小强继续探索，如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立．请你证明这一结论．

（3）探究3：小强进一步还想试试，如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件不变，那么结论AE=EF是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看．若不成立请你说明理由．

【变式一】（2013浙江湖州，24题，14分）如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2），当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）

【变式二】（2013内蒙古呼和浩特，23题，9分）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F， （1）FC的值为 ；

EF（2）求证：AE=EP；

（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．

第16题 精确草图获思路，勾股相似构方程

【例题】（2013上海，25题，10分）在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，连接QP（如图1）．已知AD?13，AB?5，设AP?x，

BQ?y．

（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；

（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF?EC?4，求x的值．

【变式一】（改编题）在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点O在线段AD上． （1）如图1，连接OB、OC，求证：△BDO≌△CDO；

（2）已知?O与直线AB、AC都相切，切点分别为E、F，当AD=12，CD=5，OD?直线BC相切．

10时，求证：?O与3

【变式二】已知：如图1，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作?P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线l，交BC边于点E． 当点P运动到点P1位置时，直线l恰好经过点B，此时直线的解析式是y?2x?1． （1）求BC、AP1的长；

（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；

（3）以点E为圆心作?E与x轴相切． 探究并猜想：?P和?E有哪几种不同的位置关系？并求出AP相应的取值范围．

第17题 “正笔侧锋”细解读，“拨云见日”明“指向

【例题】（2012广东广州，24题，14分）如图，抛物线y??在点B的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A、B的坐标；

（2）设点D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．

323x?x?3与x轴交于A、B两点（点A84

【变式一】（2013山东淄博，23题，9分）△ABC是等边三角形，点A与点D的坐标分别是A（4，0），D（10，0）．

（1）如图1，当点C与点O重合时，求直线BD的解析式；

（2）如图2，点C从点O沿y轴向下移动，当以点B为圆心，AB为半径的⊙B与y轴相切（切点为C）时，求点B的坐标；

（3）如图3，点C从点O沿y轴向下移动，当点C的坐标为C（0，?23）时，求∠ODB的正切值．

【变式二】（原创）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC平行于x轴，AB=6，点A的横坐标为2，反比例函数y?18?x?0?的图象经过点A、C. x（1）求点A的坐标；

（2）求点B、D所在直线的函数关系式； （3）若点P（p，?3p?12），是否存在实数p，使得S△PAB=12？若存在，请直接写出所有满足条件的p2的值；若不存在，请说明理由.

第18题 “圆的折叠”来探究，发现“等圆”能破题

【例题】（2012江西南昌，28题，12分）已知，纸片⊙O的半径为2，如图1，沿弦AB折叠操作．

?所在圆的圆心为O′ 时，求O′A的长度； （1）①折叠后的AB?经过圆心为O时，求AOB? ②如图2，当折叠后的AB的长度；

③如图3，当弦AB=2时，求圆心O到弦AB的距离； （2）在图1中，再将纸片⊙O沿弦CD折叠操作．

?与CD?所在圆外切于点P时，设点O到弦AB、CD的距离之和为d， ①如图4，当AB∥CD，折叠后的AB求d的值；

?与CD?所在圆外切于点P时，设点M为AB的中点，点N为 ②如图5，当AB与CD不平行，折叠后的ABCD的中点，试探究四边形OMPN的形状，并证明你的结论．

【变式】（2011湖南常德，25题，10分）已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆O1、O2，P是AB的中点．

?上分别取点E、F，使?AOE??BOF，则（1）如图，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在?AC、 BC12有结论①?PO1E??FO2P.②四边形PO1CO2是菱形．请给出结论②的证明；

（2）如图，若（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则（1）中的两个结论还成立吗？若成立，请给出证明；

（3）如图，若PC是⊙O1的切线，求证：AB2?BC2?3AC2．

第19题 “强化条件”要看清，思路生成有“源头”

【例题】（2011上海，25题，14分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，sin?EMP?12． 13（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；

（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．

【变式一】（2012安徽，22题，12分）如图1，在△ABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，△BDG与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c. （1）求线段BG的长； （2）求证：DG平分∠EDF;

（3）连接CG，如图2，若△BDG与△DFG相似，求证：BG⊥CG.

【变式二】（2012上海，24题，12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=EF⊥OD，垂足为F．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）； （3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．

2

1，2

第20题 “相似”与“∽”有区别，“参数运算”需细心

【例题】（2012湖北黄冈，25题，14分）如图，已知抛物线C1:y??于点B、C，与y轴相交于E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；

（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+EH最小，并求出点H的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．

1?x?2???x?m??m?0?与x轴相交m

【变式一】（2013湖南永州，25题，10分）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD．

(1)若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；

(2) 若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

(3) 若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；

(4) 若AB=m，CD=n，BD=l，请问在m、n、l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点? 两个P点? 三个P点?

ACBPD

【变式二】（2011山东临沂，26题，13分）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第21题 “角的等量”来探究，“把水倒掉”巧构造

1 【例题】（2012江苏南通，28题，14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点

2

B(－2，0)和C两点，O为坐标原点． （1）求抛物线的解析式；

1 7

（2）将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线，

22

若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；

（3）设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．

【变式一】（2011福建莆田，24题，12分）已知抛物线y?ax?bx?c的对称轴为直线x?2，且与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A(1，0)，C(0，?3)． （1）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A），当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式．

2

【变式二】（1）如图，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN． 求证：?ABC??ACN．

类比探究

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中结论?ABC??ACN还成立吗？请说明理由．

拓展延伸

（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角?AMN??ABC． 连接CN，试探究?ABC与?ACN的数量关系，并说明理由．

第22题 排除干扰建模型，认清“动”“静”用相似

【例题】（2013海南省，24题，14分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A（－3，0）、

B（－1，0），与y轴相交于点C（0，3），点P是该图象上的动点；一次函数y＝kx－4k （k≠0）的图象过点P交x轴于点Q． （1）求该二次函数的解析式；

（2）当点P的坐标为（－4，m）时，求证：∠OPC＝∠AQC；

（3）点M、N分别在线段AQ、CQ上，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向点Q运动，同时，点N以每秒1个单位长度的速度从点C向点Q运动，当点M、N中有一点到达Q点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

①连接AN，当△AMN的面积最大时，求t的值；

②线段PQ能否垂直平分线段MN？如果能，请求出此时点P的坐标；如果不能，请说明你的理由．

y P C N A B O M Q x

【变式一】（2011河北，26题，12分）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P．已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0），B（1，–5），D（4，0）． （1）求c，b（用含t的代数式表示）；

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S＝8．

21

【变式二】（2011重庆潼南，26题，12分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，抛物线y?x2?bx?c经过A，B两点，抛物线的顶点为D． （1）求b，c的值；

（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：

①求以点E、B、F、D为顶点的四边形的面积；

②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由．

第23题 “一路走来”遇阻碍，“变换”拂面望眼开

【例题】（2012福建福州，22，14分）如图1，已知抛物线y?ax?bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）．

2

【变式一】（2011江苏镇江，24题，7分）如图，在△ABO中，已知点A（3，3）错误！未找到引用源。、B（﹣1，﹣1）、O（0，0），正比例函数y=﹣x图象是直线l，直线AC∥x轴交直线l与点C． （1）C点的坐标为 ；

（2）以点O为旋转中心，将△ABO顺时针旋转角α（90°≤α＜180°），使得点B落在直线l上的对应点为B′，点A的对应点为A′，得到△A′OB′． ①∠α= ； ②画出△A′OB′．

（3）写出所有满足△DOC∽△AOB的点D的坐标．

【变式二】（2013江苏盐城，27题，12分）如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD． 解决问题

（1）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述（1）中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为O，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请

BF直接写出的值（用含α的式子表示出来）.

CD

第24题 “多级分类”获贯通，“相似求解”靠“双基”

【例题】（2012云南省，23题，9分）如图，在平面直角坐标系中，直线y??x?2交x轴于点P，交y轴于点A，抛物线y??1312x?bx?c的图象过点E(?1,0)，并与直线相交于A、B 两点. 2（1）求抛物线的解析式（关系式）；

（2）过点A作AC?AB交x轴于点C，求点C的坐标；

（3） 除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得?MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.

【变式一】（2012山东青岛，24题，12分）如图，在△ABC中，∠C＝90o，AC＝6cm，BC ＝8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE．点P从点D出发，沿DE方向匀速运动， 速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止 运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t(0＜t＜4)s．解答下列问题： （1）当t为何值时，PQ⊥AB？

（2）当点Q在B、E之间运动时，设五边形PQBCD的面积为ycm2，求y与t之间的函数关系式； （3）在（2）的情况下，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为

S△PQE:S五边形PQBCD?1:29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由．

【变式二】（2013江苏淮安，28题，12分）如图，在△ ABC中，∠ C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒． （1）当t= 时，点P与点Q相遇；

（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？ （3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为S平方单位． ①求S与t之间的函数关系式；

②当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

第25题 聚焦特殊三角形，切换视角“液体积”

【例题】（2013河北，26题，14分）一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些 液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图1所示）．

探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于 点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm； （2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液?S△BCQ?AB）

（3）求α的度数．(注：sin49??cos41??

33，tan37??） 44拓展 在图1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图3或图4是其正面示意图．若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y．分别就图3和图4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围．

延伸 在图4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC．继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n876.html