2016届高考数学理科一轮复习（北师大版）题库第5章第3讲平面向量的数量积

第3讲 平面向量的数量积

一、选择题

1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( )

A.5 C．25

B.10

D．10

解析 ∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B

2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( )

2A.2 C．0

1B.2 D．－1

解析 ∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C

3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ( )． A．4

B．3

C．2

D．0

解析 由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D

4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为( ) A．60° C．120°

B．30° D．150°

解析 由a＋b＋c＝0得c＝－a－b，

∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|，

又a·c＝a·(－a－b)＝－|a|2－a·b 3＝－|a|2－|a||b|cos 60°＝－2|a|2.

设a与c的夹角为θ， a·c

则cos θ＝|a||c|＝3＝－2，

|a|·3|a|3－2|a|2

∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D

→＝(2,2)，OB→＝(4,1)，在x5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量OA

→·→有最小值，则P点的坐标是 ( )．

轴上取一点P，使APBPA．(－3,0)

B．(2,0)

C．(3,0)

D．(4,0)

解析 设P点坐标为(x,0)，

→＝(x－2，－2)，BP→＝(x－4，－1)． 则AP

→·→＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1) APBP＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1. →·→有最小值1. 当x＝3时，APBP∴此时点P坐标为(3,0)，故选C. 答案 C

α·β6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝β·b满足|a|≥|b|>0，

β.若平面向量a，

?n?π??

a与b的夹角θ∈?0，4?，且ab和ba都在集合?2|n∈Z ?中，则ab＝

????

5

D.2

( )．

1A.2

B．1

3

C.2

α·βa·b|a|·|b|cos θ|b|cos θ

解析 由定义αβ＝β2可得ba＝a2＝|a|2＝|a|，由|a|≥|b|>0，及θ∈π?|b|cos θ|b|cos θ1a·b|a|·|b|cos θ?

?0，4?得0<<1，从而＝，即|a|＝2|b|cos θ.ab＝＝2＝|a||a|2b|b|2??π?|a|cos θ21?22

0，??＝2cosθ，因为θ∈，所以

→→

7．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；→·→的最大值为________． DEDC

→，→为基向量，→＝λAB→(0≤λ≤1)，→＝AE→－AD→＝λAB→－AD→，解析 以ABAD设AE则DE→＝－AD→，所以DE→·→＝(λAB→－AD→)·→)＝－λAB→·→＋AD→2＝－λ×0＋1＝CBCB(－ADAD→＝AB→，所以DE→·→＝(λAB→－AD→)·→＝λAB→2－AD→·→＝λ×1－0＝λ≤1，1.又DCDCABAB→·→的最大值为1. 即DEDC答案 1 1

π

8．在平行四边形ABCD中，∠A＝3，边AB、AD的长分别为2、1.若M、

→||CN→||BM→→

N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则AM·AN的取值范围是

→→|BC||CD|________．

解析 建立平面直角坐标系，如图． ?5?13?3?

则B(2,0)，C?，?，D?，?.

?22??22?

BMCN?λ?53?3?

令BC＝CD＝λ，则M?＋2，λ?，N?－2λ，?.

2?2??2?2

?λ??5?3→→＋2－2λ????＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴∴AM·AN＝2·2

????4→·→∈[2,5]．

AMAN答案 [2,5]

9．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2

＋|c|2的值是________．

解析 由已知a·c－b·c＝0，a·b＝0，|a|＝1， 又a＋b＋c＝0，∴a·(a＋b＋c)＝0，即a2＋a·c＝0， 则a·c＝b·c＝－1，

由a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0， 即a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝0， ∴a2＋b2＋c2＝－4c·a＝4，

即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4. 答案 4

10．若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________．

解析 由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b，而4a29＋b＝|2a|＋|b|≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－8，当且仅当2a＝－b时取等

2

2

2

号． 9答案 －8 三、解答题

11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝7. (1)求a，b夹角的大小； (2)求|3a＋b|的值．

解 (1)设a与b夹角为θ，(3a－2b)2＝7，即9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，

111∴a·b＝2，∴|a||b|cos θ＝2，即cos θ＝2， π又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为3.

(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13， ∴|3a＋b|＝13.

12．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)． (1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长； →－tOC→)·→＝0，求t的值． (2)设实数t满足(ABOC→＝(3,5)，AC→＝(－1,1)，则 解 (1)由题设知AB

→＋AC→＝(2,6)，AB→－AC→＝(4,4)． AB

→＋AC→|＝210，|AB→－AC→|＝42. 所以|AB

故所求的两条对角线长分别为42，210.

→＝(－2，－1)，AB→－tOC→＝(3＋2t,5＋t)．

(2)由题设知OC→－tOC→)·→＝0， 由(ABOC

得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0， 11从而5t＝－11，所以t＝－5. 13．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2

与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

2

解 由已知得e2e2＝2×1×cos 60°＝1. 1＝4，e2＝1，e1·22∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te1＋(2t2＋7)e1·e2＋7te2＝2t2＋15t＋7.

1欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－2. 设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0)，

?2t＝λ，142?∴∴2t＝7.∴t＝－2，此时λ＝－14. ?7＝tλ，14

即t＝－2时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时，t的取值范围是 ?14??141??－7，－?∪?－?. ，－

2??22??

3A3A??

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知m＝?cos 2，sin 2?，

??AA??

n＝?cos 2，sin 2?，且满足|m＋n|＝3.

??(1)求角A的大小；

→|＋|AB→|＝3|BC→|，试判断△ABC的形状． (2)若|AC

解 (1)由|m＋n|＝3，得m2＋n2＋2m·n＝3， 3AA3AA??

即1＋1＋2?cos 2cos 2＋sin 2sin 2?＝3，

??1π

∴cos A＝2.∵0

3?2π?

∴sin B＋sin?3－B?＝3×2，

??

π?3133?

即2sin B＋2cos B＝2，∴sin?B＋6?＝2.

??

2πππ5π

∵0

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