上海大学高数第八章无穷级数

第八章 无穷级数

一、基本要求：

1.理介常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件； 2.掌握几何级数,P—级数的敛散性；

3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法； 4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法；

5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系； 6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；

7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法；

8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和； 9.了解泰勒公式、泰勒级数；掌握e,sinx,?0,??,ln?1?x?及?1?x?的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些

x?简单的函数展成幂级数；

10.了解幂级数在近似计算中的简单应用；

11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理；

12.会将定义在???,??,???,??及?0,??,?0,??上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。

二、主要内容： 1.

内容提要：

1.数项级数的定义：

（1）设有数列?un?,n?1,2,3,?,则u1?u2???（2）u1?u2???un??un?1?n称作以u1为首项,以un为近项的无穷级数。

?uk?1nk?sn称作无穷级数?un的前n 项的部分和。

n?1?（3）若limsn?s,则称级数

n???un?1?n收敛于s,s称为级数

?un?1?n的和,即

?un?1?n?s；若limsn不存在,则称级数?un发散,

n???n?1即

?un?1?n的和不存在。

（4）一般项数列?un?与部分和数列?sn?关系：un?sn?sn?1

2.数项级数的性质： （1）级数

?u1?n收敛的必要条件是：limun?0,当limun?0或limun不存在时,

n??n??n???un?1?n必发散。

（2）设k是非零常数,则级数（3）

?ku

n?1

??

n

与

?un?1?n的敛散性相同。

?un?1??n中增加、改变或去掉有限项后,敛散性不变。

（4）设

?un?1n?s,?vn??,则??an?bn???an??bn?s??

n?1n?1n?1n?1???（5）收敛级数任意加括号后所得级数都收敛,且其和不变；发散级数去括号后仍发散。

3.正项级数收敛判别法：

（1）比较判别法： 设当n?v时,有0?un?vn,若

?v1?n收敛,则

?u1??n收敛；若

?u1?n发散,则

?v1?n发散。

?un比较判别法的极限形式 若lim??(0?????),且?vn收敛,则?un收敛；

n??v11n??unun 若lim???0或lim???,且?vn,则?un发散。

n??vn??v11nn敛散性已知的常用级数

?aqn?0??n 当q?1时收敛,q?1时发散；

1 当p?1时收敛,p?1时发散； ?pnn?1?1p?1时收敛,p?1时发散。 ?p 当

nlnnn?2????un?1?? 则当??1时,?un收敛；当??1时,?un发散,此时limun?0； （2）比值判别法： 若limn??n??u11n 则当??1时,此判别法不能判定。

（3）根值判别法： 若limnun?? 则当??1时,

n???u1?n收敛；当??1时,

?u1?n发散,此时limun?0；

n?? 则当??1时,此判别法不能判定。 （4）积分判别法： 设函数f?x?在?1,???单调下降且非负,则级数（5）正项级数收敛的充分必要条件：部分和数列?sn?有界。

?f?n?与反常积分?n?1???1f?x?dx同敛散。

4.交错级数莱布尼兹判别法： 若un?1?un,n?1,2,?且limun?0,则

n?????1?n?1?n?1un收敛,且其和小于首项u1。

5.绝对收敛与条件收敛： 若级数

?u1?1?n收敛,则级数收敛,而级数

?u1?1?n也收敛,并称此级数发散,则称此级数

?u1n?n为绝对收敛；

若级数

6.函数项级数的概念：

?un?un?u1?条件收敛。

（1）设u1?x?,u2?x?,?un?x?,?为定义在?a,b?内的函数序列,则

定义在?a,b?内的函数项级数。 （2）设xn??a,b?,若级数

??u?x??u?x??u?x????u?x??? 称为

n12nn?1n??u?x?收敛,则称x为函数项级数?u?x?的收敛点,收敛点的全体称为其收敛域；若级

n0?1?0n?1数

?u?x?发散,则称x为函数项级数?u?x?的发散点,发散点的全体称为其发散域。

n0?0nn?1n?1（3）设sn?x?为函数项级数

和函数。

7.幂级数的概念： （1）称

???u?x?的前n项和序列,若lims?x??s?x?,x??a,b?存在,则称s?x?为?u?x?的

nn?1n??n??nn?1?axnn?0??n为x的幂级数（或x0?0处的幂级数）,称

?a?x?x?n0n?0?n为x?x0的幂级数（或在x0处的幂级数）。

（2）阿贝尔定理

若级数若级数

?axnn?0?n在x?x0?x0?0?处收敛,则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数绝对收敛。 在x?x0处发散,则适合不等式x?x0的一切x使这幂级数发散。

?axnn?0?n??annn（3）幂级数?anx,则R?lim,R称为?anx的收敛半径,?anx在x?R绝对收敛；在x?R发散。

n??an?0n?0n?0n?1n??apnpnn幂级数?anx（其中p为给定自然数）,则R?plim为?anx的收敛半径,?anx在x?R绝对收敛；

n??an?0n?0n?0n?1pn?在x?R发散。其中R?0时,收敛域仅为一点x?0；R???时,收敛域为???,???；0?R???时,收敛域为一有限区间。

8. 幂级数在收敛区间??R,R?性质： （1）设

??axnn?0nn?n?A?x?,则和函数A?x?在??R,R?内连续；

（2）

?axn?0?A?x?在??R,R?内可逐项积分,逐项求导,且得到的新的级数收敛半径不变。

x?ann?1A?x?dx??x A'?x???nanxn?1 x???R,R?

n?0n?1n?1?n?（端点处敛散性可能改变）。

??0（3）设

?anx?A?x?, x?R ,??x?处处连续,则?an????x????A????x???,x???x??R。

nn?0n?0??（4）设

?axnn?0??n?A?x?,x?R1；?bnxn?B?x?,x?R2；则在x?R?min?R1,R2?上有；

n?0?n?n???an?0n?bx?ax?bx?A?x??B?x?； ???nnnnn?0n?0????n??n? ??anx???bnx????a0bn?a1bn?1???anb0?xn?A?x?B?x?。 ?n?0??n?0?n?0

9.函数的幂级数展开：

（1）函数的泰勒展开式 设f?x?在x?x0?R具有任意阶导数,且

f?n?1????n?1x?x0??0,??x0???x?x0?,0???1 lim?n???n?1?！ 则 f?x???n?0?f?n??x0?n!?x?x0?,x?x0?R

n

（2）函数的麦克劳林展开式 设f?x?在x?R具有任意阶导数,且

f?n?1????n?1x?0,???x,0???1 limn???n?1?! 则 f?x??

（3）常用函数的麦克劳林展开式

?121n11?e?1?x?x???x????xn,x???2!n!n?0n!x???1?x2n?1,x???131n2n?12?sinx?x?x?????1?x????

3!?2n?1?!n?0?2n?1?!???1?x2n,x???121n2n3?cosx?1?x?????1?x????

2!?2n?!n?0?2n?!nn?n?0?f?n?n!?0?xn,x?R

?12n4??1?x?x???x????xn,x?1 1?xn?0???1?xn?1,x?1 12131n?1n5?ln?1?x??x?x?x?????1?x????23n?1n?0n?1????1?2????1?????n?1?n?6??1?x??1??x?x???x,x?1

2!n!n

10.傅立叶级数的概念：

（1）函数在???,??上的傅立叶级数

设?的周期函数f?x?在???,??上满足狄利克莱条件：

1?除有限个第一类间断点外处处连续；

1?n?x1?n?x2?仅有有限个极值点，dx,?n?0,1,2??；bn??f?x?sindx,?n?0,1,2??则有以an??f?x?cos?????l?la0??n?xn?x?为系数所组成的三角级数，???ancos?bnsin?称为 函数f?x?的傅立叶级数。

2n?1????

（2）狄利克莱收敛定理（傅立叶级数收敛的充分条件）：设f?x?在???,??满足狄利克莱条件，则f?x?的傅立叶级数

在???,??上收敛，其和函数为s?x?，且

??f?x?,x为f?x?的连续点；??1 s?x?????f?x0?0??f?x0?0???,x0为f?x?的间断点；2??1f????0??f???0??,x???。?????2（3）当f?x?在???,??上是偶函数时，则f?x?在???,??上的傅立叶级数是余弦级数

a0?n?x??ancos2n?1? n?0,1,2?

?2n?x其中an??f?x?cosdx0?? 当f?x?在???,??上是奇函数时，则f?x?在???,??上的傅立叶级数是正弦级数

n?xl n?1 n?0,1,2?

?2n?x其中bn??f?x?sindx?0?（4）仅定义在?0,??上的函数f?x?可以奇延拓后展成正弦级数；也可以偶函数延拓后展成余弦级数。

?bnsin?

三、重点与难点：

（1）级数收敛，发散，条件收敛，绝对收敛的判定；

（2）幂级数的收敛半径，收敛区间，收敛域以及和函数的求法； （3）将函数展开成幂级数（包括写出收敛域）；

（4）求函数的傅立叶系数与傅立叶级数，写出傅立叶级数的和； （5）求某些数项级数的和。

典型例题：

例1：判别下列级数的敛散性： （1）

11?3?13?5???1?2n?1??2n?1??? （2）1??2?2?3?????3?2?5???????n?22??2n?1????

?（3）???11?2n?n?1?n??

解（1）

na1?11?n?2??2n?1?2n?1??,s1?1?n??ak?k?12??1?2n?1??limn??s1?1?1n?limn??2??1?2n?1???2

?所以级数其和为1n?1???2n-1??2n?1?收敛，2。

解（2）

2a??2?n?n?2n?1??limn??a?n?1n?limn????2n?1???4?0?

所以级数??n?1?n?2?2n?1??发散。

解（3）

?因为公比q?1所以等比级数?12?12n收敛;n=1? 因为p=1?112所以级数?

n?n发散；1?故级数??1?n?1?1?2n?n?发散。?

例2：判别以下级数的敛散性：

?n（1）?n4n?14?? （2）2???1??1?2nn,n?13n, （3）?, （4）,n?1nnn?lnnn?13

解（1）

n44un?4n因为??limun?1n??u?lim?n?1?4n1nn??4n?1?n4?4?1?4

由比值判别法所以级数?n4n收敛。n?1解（2）

n?u2???1?31n?3n?

3n因为?n?收敛（公比q=1<1）n=1313?由比较判别法所以级数?2+?-1?n

n收敛。n=13?5）?1pn?2n?lnn? （ 。解（3）

1?n1nnun?n因为lim=1,调和级数?发散n??1nnn=1n

n?1由比较法极限形式所以级数?n发散。n=1nn1解（4）

2nun?lnn3

因为?=limnun=limn??n??23lnnn=2>1

由根值判别法解（5）

所以级数?n=1?23nlnnn发散。f?x??

1x?lnx?p因为?+?1x?lnx?2dx?p1?1?p??lnx?pp?1??21?,p?1p?1????p?1??ln2??,p?1 ?发散由积分判别法 例3：若?所以级数?n=2?1n?lnn?,在p?1时收敛,在p?1时发散。?a?ann=1?n?0?收敛，试证：级数

（1）?an,2n=1(2)?n?1??ann,a(3)?n,n?11?an?(4)??an?an?1?n?1? 收敛。证（1）

因为?an收敛，n=1则liman?0n??即存在N2当n>N时有0?an?1所以an?an由比较判别法证（2）

级数?an2收敛。n?1?an11?1???a??ann??nn22?n2?1?1? 所以??2?an?收敛?n?12?n证（3）

?1因为?2n?1n所以?n?1???p?2?1?与?an收敛n?1?ann收敛。

因为an?0,

a故n?an1?anan收敛。?n?11?an?由?an收敛n?1?

所以证（4） 因为???a,?ann?1n?1n?1 收敛，所以??an?an?1?收敛。n?1?例4：判别以下级数的审敛性：

?xn?11??????,其中?xn?为递增有界的正数列；xn?1?n?1???2???n?1?1n0xdx;1?x?3??en!;nnn?1?n?4??1a?0?。n?1?an?1?

解（1）

因为正数列?xn?递增有界，即0?x1?x2???xn?xn?1??,所以?xn?收敛。且有0?un?1?对级数?vn,n?1?xnx?xx?x?n?1n?n?1n?vnxn?1xn?1x1sn??k?1n即un?vnxk?1?xk11??xn?1?x1?，limsn?lim?xn?1?x1?存在

n??n??xx1x11所以?vn收敛n?1??x?由比较判别法知：级数?un???1?n?收敛。xn?1?n?1n?1???解（2）

1x211设un??dx??nxdx???vn3301?x3n2n2??13?? 级数?vn??3收敛?p??1?22??n?1n?1n1n0

由比较判别法知：级数?un???n?1n?1??1n0xdx收敛。1?x解（3）

en?n?1?!nnun?1e因为??lim?lim??lim?1n?1nnn??un??n??en!?n?1??1?n?1???n?由比值判别法知：在?=1时失效，因为改用其它方法判别。enn!设un?nnnn???1????1? 因为数列??1+??是单调上升且趋于e的，即对一切n有?1???e?n????n???ue从而有n?1??1由此得出un?1?unnun?1??1???n??enn!所以limun?u1?0故级数?n发散。n??n?1n

解（4）

1分以下三种情况讨论：n1?a1111?a?1un??limun??0n??1?122un?2?0?a?13?a?1

级数??1发散。n1?an?1?1lim?limun?1?0n??1?ann??11un??1?anan1因为0??1a1级数?发散。n1?an?1?

?11级数?n收敛，故级数?收敛。na1?an?1n?1例5：判别以下级数的敛散性：

?1??n?1???1?2n?1n?1?2??n?1???1?n?1nn?2?3??n?1???1?nn?lnnnn?1 ?4????1??n?1?!n?1?n

解（1）

?n?1???1?2n?1n?1???n?1?1n?1n?12?n2?11因为lim?1,级数?n??1n?1nn?p?1?发散所以级数???1?n?11n?12发散，???1?n?1?n?11n?1122非绝对发散。

又因为lim1n?12n???0,1n?1?2?n?1?n?1?12?1由莱布尼兹判别法知：级数???1?n?1收敛n?1所以级数???1?n?1?n?1条件收敛。n?121

解（2）

?n?1???1???1?nn?2nn?1n?2n?1?1111??因为?,级数收敛公比q??1???nnnn?2222??n?1? 由比较判别法知：?级数?n?1??1?n?1n?2n收敛

所以级数?n?1??1?n?1nn?2绝对收敛。

解（3）

1设un?,n?lnn??n?lnnn?1???1?n??1,n?1n?lnn?11因为limn?lnn?lim?1,n??n??1lnn1?nn?n?11级数?发散?p?1?,n?1n???1?非绝对收敛，1由比较法极限形式知：级数?发散，级数?n?1n?lnnn?1n?lnn11又因为limun?lim?limn?0n??n??n?lnnn??lnn1?n?1?ln?1???1??n?lnn????n?1??ln?n?1??11??n?un?1?un?????0n?1?lnn?1n?lnnn?1?lnn?1n?lnn????n?1??ln?n?1?n?lnn?????????????????所以un?1?un由莱布尼兹判别法知：交错级数?所以级数???收敛，n?lnnn?1??1?n??1?nn?1n?lnn条件收敛。解（4）

??nn?1nn?1????un,??1???n?1?!n?1?n?1?!n?1n?1?n?n?n?1???n?1?!?lim?n?1??n?1??e?1,u??limn?1?lim??n?1n??un???n?2?!n??nn??n?n?2?nnn?22nn?1由比较判别法知：级数???1?非绝对收敛，n?1!??n?1由limun?1unn???1可知：当n足够大时,un?1un?1,即un?1?un,nn?1所以级数???1?发散。?n?1?!n?1?n所以limun?0,n??从而limun?0,n??

例6：判别以下级数的敛散性：

?1???1??nn?2n???1??n,?2??sin???n?1n?a22?,?3????1?n?1?n?1an?a?0?n

?4?111111???????aa?1a?2a?3a?4a?5n?a?0?解（1）

??1?不单调,所以不能利用莱布尼兹判别法来判敛。因为un?nn???1?nnnn???1n??1?????1??1n???1??? 但是un? ??n222n?1n?1n?1n???1?nn????1?n?1???1易知?2与?2均收敛,故?也收敛。nn?1n?1n?2n?2n?2n???1?注：本题说明交错级数的莱布尼兹判别法是交错级数收敛的充分条件。不满足该条件的交错级数也有可能收敛，本题

即为一例。 解（2）

sin?n?a?22??sin?n??????a2n?n?a?n????1?sin??n2?a2?n22?因为当n充分大时,0?

?a2所以n2?a2?n?a2un?sin?sin22n?a?n???2,???而正弦函数sinx在?0,?内是单调增加的,?2??a2?n?1???n?1?n2?un?1,收敛,且limun?limsinn??n????a2n?a?n22

?0,由莱布尼兹判别法知：级数???1?sinn?1?a2n2?a2?n即?sin?n2?a2收敛。n?1??解（3）

设un???1?n?1an,n?limn?1n??un?1n?lim?a?a,n??n?1un2?当a?1时，级数???1?n?1?n?11?当a?1时，级数???1?

n?1?an绝对收敛；nan发散；n

3?当a??1时，级数???1?n?1n?1??1?nn1???发散；n?1n?4?当a?1时，级数?n?1???1?nn?1条件收敛。

自测练习（一）

一、选择题：

??1.若级数?un?1n收敛于s,则级数??un?1n?un?1??C.收敛于2s?u1?。D.发散

A.收敛于2s2.若级数B.收敛于2s?u12?an?1?n收敛，则级数?an?1?n??。C.发散D.可能收敛也可能发散

A.绝对收敛B.条件收敛n3.幂级数?n?n?1?xn?1??的收敛区间是??。D.??11，?

A.??11，?4.若幂级数n?1B.??11，?nC.??11，??cn?x?2?在x??2处收敛，则此级数在x?5处B.绝对收敛C.发散??。

A.条件收敛D.可能收敛也可能发散5.设函数f?x?是以2?为周期的周期函数，在区间?0，2??上f?x??x2, 则f?x?的傅立叶级数在x?0处收敛于A.0

二、填空题：

?C.2?2?。D.4?2B.?21.已知limnun?k??0?,则n???un?1?n是_____________。2.级数1??111??????的敛散性为_____________。1?21?2?31?2???nn??1?n3.幂级数?x的收敛域是_____________。2n?1?2n?4.幂级数3233394x?x?x??在其收敛域上的和函数为_____________。4816???x?00?x??

???35.已知以2?为周期的函数f?x?????1?x

三、判别以下级数的敛散性：

则f?x?的傅立叶级数在x???处收敛于_____________。1.

???1?n?2?n??nn?1??2?n?1n?1??2 2.??n?n?1?5???1?????n四、设级数

?an及2n?1 ?bn都收敛，证明??an?bn?也收敛。2五、将函数f?x??

六、求幂级数

七、将f?x??1?x展开成x的幂级数，并求f5?10?。 1?x?3n?1?xnn?n在收敛域内的和函数，并求?n?3n?1???1?nn 的和。?4?x在?0,??上展开成正弦级数。 2自测练习（二）

一、选择题：

???1.设级数?an?1n2和?bn?1n2都收敛,则级数?abn?1nn??2n?。D.可能收敛也可能发散

A.绝对收敛B.条件收敛?C.发散?2.设有级数?1??n?1?3n?1?n,级数?2??sin3n?1?,则?

?。

A.级数?1?收敛,级数?2?发散B.级数?1?发散,级数?2?收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散3.幂级数?n?1?n??x?5?2n?1n2n?4的收敛域是B.?3,7??C.??7,3??n?1?。D.??9,1?A.??2,2?4.设级数?axn?1n及?bxnn?1?n的收敛域半径都是R，级数??an?bn?xn的收敛半径为R1则必有C.R1?RD.R1?R???。

?。

A.R1?RB.R1?R?,0?x?h2?1?cosnh?15.已知函数f?x???的正弦展开式是?sinnx,该级数的和函数为s?x?,则?nn?1,h?x????01?h?1?h??h??h?A.s?0??0,s?????1B.s?0??,s?????C.s?0??0,s????1D.s?0??1,s?????12?2?2?2??2??2?

二、填空题：

1.正项级数?un,若limn?1???un?1?k,则当________时级数收敛；当_______时级数发散。n??un2.若?an?s,则??3an?4an?1??_________。n?1n?1n5nn3.幂级数?n2x的收敛域为__________。n?13?n?n?12n?14.幂级数?x的和函数为s?x??_________。n?0n!???1?

5.函数f?x??ex在?0,2?上的正弦级数的和函数为s?x?,则s?11??_________。

三、判别以下级数的敛散性：

k?n1.???1?n2n?1n??常数k?0?2??1??22.un???1?ln?1??,判别?un与?un

n?n?1n?1?n

四、 已知级数?an收敛，常数??0，证明级数???1?n?1n?1??nann??2 绝对收敛。

x五、将f?x??xe在x0?2处展开成x的幂级数。

六、求幂级数

七、将函数f?x??2?x,??1?x?1?展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求出级数

??2n?1?xn?1?n 的收敛域及其和函数。?1 的和。?2n?1n自测练习（三）

一、选择题：

1.若级数??un?1?n和?vn?1?n都发散,则???n?1?。C.??un?vn?发散D.?max?un,vn?发散n?1?

A.??un?vn?发散n?1B.?unvn发散n?12.设un??ln?n?1?n,v??n?1,2,??,则n2n?1n!n???n?1n?1n?1??n?1?。???n?1n?1n?1

A.?un收敛，?vn发散B.?un发散,?vn收敛C.?un?vn均收敛D.?un?vn均发散n?13.设幂级数?anxn在x??2处条件收敛,则该级数在x?2处必n?1??10?。

A.条件收敛2B.发散?n?1C.绝对收敛D.以上结论都不对4.设f?x??x,0?x?1,而s?x???bnsinn?x,???x???,其中bn?2?f?x?sinn?xdx,?n?1,2,???1?则s???等于?2?1A.?4?B.???。12?n?1

C.14D.125.已知A.3???1?n?1?n?1an?2,?a2n?1?5,则?an等于n?1?D.9?。

B.7?C.8二、填空题：

1.幂级数?n?2?x?1?nn?lnn的收敛域为__________。x32.已知f?x??2的麦克劳林级数是__________。x?x?21?x3.已知f?x??ln,则f?n??0??__________。

1?x4.lim?1?x??x?1?3?nx2n?1?n?__________。5.2n?1的值等于__________。?nn?12?n!?三、判别以下级数的敛散性：

ann!1.?n?常数a?0?n?1n?n???1??1222.利用关系式ln?1?x??x?x?0?x?,讨论级数?ln?1?p?的敛散性?常数p?0?。?2n?n?1???n2n四、求幂级数?x的收敛域及和函数。

n!n?1xsint1sintdt展开成幂级数，并取展开式前三项计算?dt的近似值。五、将f?x??? 00tt

六、将f?x??arcsin?sinx?展成傅立叶级数。 七、设f?x???anxn?1?n?1在?0,1?上收敛，试证?1? f???收敛。n??n?1?自测（一）

一、选择题：C，D，A，C，A。二、填空题：1.发散。 2.收敛。 3.?-1,1?。32x 4.s?x??431?x2??2 5.。2三、1.条件收敛；四、五、f?x??1?2?xnx???1,1?;f?n?1?5?,x?23。2.收敛。?0??240。34??3?x?3?,?s??1??ln。3?x3

?x?1七、f?x?????sin2nx?0?x???。42n?12n六、s?x??ln

自测（二）

一、选择题：A，B，C，C，A。二、填空题：1.k?1时收敛，k?1时发散。 2.4a1?s。?33? 3.??,?。?55? 4.x?x2?1?ex 5.?e?1。三、1.条件收敛；四、2en?3??n?12五、 2e???x?2?。?n?1?!0?2。2.?un条件收敛，?un2发散。六、 1?x?1?x?2,??1,1?。5?2?cosn??1?54七、 2?x???cosn?x??22221n?2?1?2??2n6n?1??0?1?2n?1?2cos?2n?1??x

。

自测（三）

一、选择题：C，D，C，A，C 。二、填空题：1.?2?x?0。 2.1???1?n?1????1?n?1?xn?33?1?x?1。0?2?? 3.f?x???2x2n?1?1?x?1n?12n?1 f?n??0?????0n?2k。??2?n?1?!n?2k?1 4.2。 5.??发散 ?三、1.原级数??收敛 a?e；2.原级数??发散 a?e ?条件收敛 ???绝对收敛 ?四、 s?x??x?x?1?ex???x???。?n五、 f?x?????1?n?1??2n?1?!x2n?1???x???n?0?2?1sint0tdt?0.9461。六、 4?n?1?????12sin?2n?1?x???n?1?2n?1?x???。七、 ?a1nxn?在?0，1?上收敛，?an收敛，所以an?Mn?1f??1??n????a?1?n??n????an?11nn?1?M?n?n?1???f??1??n?收敛，?f??1???n??绝对收敛，?f??1??n??收敛。 0?p?1212?p?1。p?1

例10

?1?如图所示:在一边长为2b的正三角形中挖去一倒放的等边三角形序列,从而其面积之和形成一无穷级数。

1?求这个无穷级数 2?求这个无穷级数的和，从而求出从原三角形中被挖去的总面积。?2?从点P1?1,0?作x轴的垂线,变抛物线y?x1?求OPn;2于点Q?1,1?,再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2;

然后又从P2作x轴的垂线,交抛物线于Q2,依次重复上述过程得到一系列的点P1,Q1;P2,Q2;?Pn,Qn;?2?求级数Q1P1?Q2P2??的和，其中n?n?1?为自然数。?3?设有两条抛物线y?nx2?11和y??n?1?x2?,记它们交点的横坐标绝对值为an,nn?1 ?Sn1?求这两条抛物线所围的平面图形的面积Sn;2?求级数?的和。n?1an1?2?2b?sin?3b2,23S1?132S0?b,4422

解（1）

原三角形面积S0?1332S2?3?S1??b,444

1?3??3?32S3?3?S2????S1???b,?4444????n?13?3?1?S1?S2???Sn???S1?S1?????4?4??3?2??Sn????n?1n?1?4???n?1?3?S1??????n?1?4??n?1?3?S1????n?1?4??n?132?b4

?32321b?b??3b2即所挖去小三角形面积之和为3b2。3441?4?a?切线与x轴交点为：?,0??2?解（2）

曲线y?x2上任一点?a,a2?处切线为：y?a2?2a?x?a?,?0?a?1?;111111?由OP?1,可知OP?OP?，OP?OP??OP?12132n22242n?1

2?由于QnPn?OPn????2?1?????2?2n?2

故?1?QP???nn??n?1n?1?2?2n?2?1?1?1????2?2?43解（3）

由y?nx2?11与y??n?1?x2?nn?1,其交点横坐标绝对值为：an?an1n?n?1???1?1?1?因图形关于y轴对称，所以sn?2???nx2????n?1?x2??dx0nn?1?????an?1411?2???x2?dx??? 03n?n?1?n?n?1??n?n?1??2?因此sn41???an3n?n?1??4?11????，3?nn?1?sn?441?4?从而????lim?1?。??n?1ann?13n?n?1?3n???n?1?3

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