导数大题训练解析

导数:

1.已知函数f?x??xlnx. （1）求函数f?x?的极值点；

（2）若直线l过点（0，—1），并且与曲线y?f?x?相切，求直线l的方程；

（3）设函数g?x??f?x??a?x?1?，其中a?R，求函数g?x?在?1,e?上的最小值.（其中e为自然对数的底数）

【答案】 解：（1）f??x??lnx?1,x＞0.……………………1分

1,f??1

而f??x?x?x,＞0?lnx+1＞0?x＞e＜0?lnx?1＜0?0＜＜e

?f?x??0,1????1,????

所以在?e?上单调递减，在?e?上单调递增.………………3分 x?1 所以e是函数f?x?的极小值点，极大值点不存在.…………………4分

（2）设切点坐标为

?x0,y0?，则y0?x0lnx0,切线的斜率为lnx0?1,

所以切线l的方程为

y?x0lnx0??lnx0?1??x?x0?.……………………5分

又切线l过点?0,?1?，所以有?1?x0lnx0??lnx0?1??0?x0?.

解得

x0?1,y0?0.

所以直线l的方程为y?x?1.………………………………………………7分 （3）g?x??xlnx?a?x?1?，则g??x??lnx?1?a.

g??x?＜0?lnx?1?a＜0?0＜x＜ea?1,g??x?＞0?x＞

ea?1, 所以g?x?在?0,ea?1?上单调递减，在?ea?1,???上单调递增.………………8分 ①当

ea?1?1,即a?1时，g?x?在?1,e?上单调递增， 所以g?x?在?1,e?上的最小值为g?1??0.………………………………………9分

②当1＜ea?1＜e，即1＜a＜2时，g?x?在?1,ea?1??1上单调递减，在?ea,e?上单调递增.

g?x?a?1在?1,e?上的最小值为g?e??a?ea?1.……………………………………10分

1

a?1e?e,即a?2时，g?x?在?1,e?上单调递减， ③当

所以g?x?在?1,e?上的最小值为g?e??e?a?ae.………………………………11分 综上，当a?1时，g?x?的最小值为0；当1＜a＜2时，g?x?的最小值为a?ea?1；

.…………………………………………12分 当a?2时，g?x?的最小值为a?e?aef(x)?2.已知函数

12ax?2x2， g(x)?lnx.

（Ⅰ）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调函数，求a的取值范围；

（Ⅱ）是否存在正实数a，使得函数

??x??g(x)1?f?(x)?(2a?1)(,e)x在区间e内有两个

不同的零点？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

【解析】（Ⅰ）当a?0时，f(x)?2x在[1,??)上是单调增函数，符合题意．……1分

当a?0时，y?f(x)的对称轴方程为

x??2a， ?2?1y?f(x)[1,??)a由于在上是单调函数，所以，解得a??2或a?0，

综上，a的取值范围是a?0，或a??2． …………………………4分

（Ⅱ）

??x??lnx?(ax?2)?(2a?1)x，

1,e??x??0??x?因在区间(e)内有两个不同的零点,所以，

1,e2ax?(1?2a)x?lnx?0e即方程在区间()内有两个不同的实根. …………5分

2H(x)?ax?(1?2a)x?lnx (x?0)， 设

12ax2?(1?2a)x?1(2ax?1)(x?1)H?(x)?2ax?(1?2a)???xxx ………7分

? 令H(x)?0，因为a为正数，解得x?1或

x??12a（舍）

2

1x?(,1)e时, H?(x)?0, H(x)是减函数； 当

?当x?(1,e)时, H(x)?0，H(x)是增函数. …………………………8分 1,eH(x)为满足题意，只需在(e)内有两个不相等的零点, 故

?1?H(e)?0,??H(x)min?H?1??0,?H(e)?0,??

e2?e1?a?2e?1 ……………………………12分 解得

f(x)?lnx?ax?1?a?1x．

3.设函数

（Ⅰ）当a?1时，求曲线f(x)在x?1处的切线方程；

（Ⅱ）当

a?13时，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设函数

g(x)?x2?2bx?512，若对于?x1?[1，2]，?x2?[0，

1]，使f(x1)≥g(x2)成立，求实数b的取值范围.

??)，【解析】函数f(x)的定义域为(0，f?(x)?11?a?a?2xx （2分）

（Ⅰ）当a?1时，f(x)?lnx?x?1，∴f(1)??2， ∴f(x)在x?1处的切线方程为y??2

f?(x)?1?1?x，∴f(1)?0

（5分）

f?(x)??（Ⅱ）

x2?3x?23x2??(x?1)(x?2)3x2

（6分）

??∴当0?x?1，或x?2时，f(x)?0，当1?x?2时，f(x)?0

3

故当

a?12)； 3时，函数f(x)的单调递增区间为(1，单调递减区间为(0,1)，(2,??). （8分）

（Ⅲ）当

a?

1

（1，2)上为增函数，∴函数f(x)在[1，2]上 3时，由（Ⅱ）可知函数f(x)在

2?的最小值为f(1)?3

（9分）

若对于?x1?[1，2]，?x2?[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于

f(x)在(0,e]上的最小值

?23（*） （10分）

又

g(x)?x2?2bx?55?(x?b)2?b2?1212，x?[0,1]

[g(x)]min?g(0)??52??123与（*）矛盾

①当b?0时，g(x)在[0,1]上为增函数，

②当0?b?1时，

[g(x)]min?g(b)??b2?552?b2???12，由123及0?b?1得，

1?b?12

③当b?1时，g(x)在[0,1]上为减函数，此时b?1

[g(x)]min?g(1)?7172?2b????12123，

（11分）

1[，??）b2综上，的取值范围是

4

4.设a?R,函数f(x)?lnx?ax. （1）讨论函数f(x)的单调区间和极值; （2）已知

x1?e(e?2.71828L)和x2是函数f(x)的两个不同的零点,

求a的值并证明:

x2?e.

f?(x)?11?ax?a?xx. ……………………2分

32【解析】在区间

?0,???上,

?0,???上的增函数,无极值； …………………4分 ?①若a?0,则f(x)?0,f(x)是区间

?②若a?0,令f(x)?0得:

x?1a.

1(0,)a上, f?(x)?0,函数f(x)是增函数; 在区间

1(,??)?在区间a上, f(x)?0,函数f(x)是减函数;

11f()?ln?1??lna?10,????f(x)aa在区间上, 的极大值为.

?0,???,无极值； …………………7分

综上所述，①当a?0时,f(x)的递增区间

11(0,)(,??)a，递减区间是a③当a?0时，f(x)的是递增区间，

1f()??lna?1函数f(x)的极大值为a. ……………………9分

11a??ae?02e. ……………………10分 (2) f(e)?0,∴2，解得:f(x)?lnx?∴

3212e. ……………………11分

x53e5e3352Qf(e)???0f(e)???0222222又,,?f(e)?f(e)?0 …………………13分

5

由(1)函数f(x)在(2e,??)递减,故函数f(x)在区间(e,e)有唯一零点, 因此

3252x2?e. ……………………14分

325.设函数f?x??lnx?p?x?1?,p?R. （Ⅰ）当p?1时，求函数f?x?的单调区间；

1p?时，有g?x??0成立2（Ⅱ）设函数g?x??xf?x??p2x?x?1,?x?1?,求证：当.

?2??0,???.

【解析】（I）当p =1时，f(x)=lnx-x+1，其定义域为

f?(x)?所以

1?1x. …………2分

f?(x)?由

1?1?0x得0?x?1，

?0,1?；单调减区间为?1,???.………5分

所以f(x)的单调增区间为

22g(x)?xf(x)?p(2x?x?1)?xlnx?p(x?1), （II）由函数

?得g(x)?lnx?1?2px, …………7分

由（I）知，当p =1时，f(x)?f(1)?0，

即不等式lnx?x?1成立. …………９分

p??所以当

12时，g?(x)?lnx?1?2px?(x?1)?1?2px?(1?2p)x?0，

即g(x)在?1,???上单调递减，

从而g(x)?g(1)?0满足题意. …………12分

6

x2f(x)?e(x?ax?a)，其中a是常数. 6.已知函数

（Ⅰ）当a?1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f(x)在区间[0,??)上的最小值.

x2f(x)?e(x?ax?a)可得 【解析】（Ⅰ）由x2f'(x)?ex[?a(?

2x) ] ………………………………………2分 .

当a?1时,f(1)?e ,f'(1)?4e. ………………………………………4分

y?e?4e?x?1?所以 曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为，

即y?4ex?3e. ………………………………………6分

x2f'(x)?e[x?(a?2)x]?0， （Ⅱ）令

解得x??(a?2)或x?0. ………………………………………8分 当?(a?2)?0，即a??2时，在区间[0,??)上，f'(x)?0，所以f(x)是[0,??)上的增函数.

所以f(x)的最小值为f(0)＝?a; ………………………………………10分 当?(a?2)?0，即a??2时,

f'(x),f?x?随x的变化情况如下表

x f'(x) f(x) 0 0 (0,?(a?2)) ?(a?2) 0 (?(a?2),??) + ↗ - ↘ f(0) f(?(a?2)) f(?(a?2))?a?4ea?2.

由上表可知函数f(x)的最小值为

7

exf(x)?1?ax2，其中a为正实数. 7.设

a?（1）当

43时，求f(x)的极值点；

?13?,??f(x)2（2）若为?2?上的单调函数，求a的取值范围.

ax?f?(x)?【解】∵

2?2ax?1?ex22?1?ax?， ……………………2分

a?（1）当

1344x2?8x?3?0?x1?,x2?22， 3时，若f?(x)?0，则

x f??x?f?x?x1?

1????,??2? ?

12

0 极大值

?13??,??22?

32

0 极小值

?3??,????2?

?

递增

?

递减

?

递增

∴

13x2?2是极大值点， 2是极小值点； ……………………6分

（2）记

g?x??ax2?2ax?1，则

g?x??a?x?1???1?a?2，

?13??13?,,?????fx??f(x)222?上的单调函数，则∵为?在?2?上不变号，

ex∵

?1?ax?22?0?13?x??,?g?x??0g?x??0?22?恒成立，………10分 ，∴或对

?1?4g???0a?g?1??0?0?a?1或3， 由或?2?a?43. …………………13分

∴a的取值范围是0?a?1或

8

8.设函数

f(x)=x2+bln(x+1)． （Ⅰ）若函数y?f(x)在定义域上是单调函数，求b的取值范围；

n（Ⅱ）若b??1，证明对于任意的n?N?，不等式?f(1)?1?1k?1k23?133???1n3． f?(x)?2x?b?2x2?2x?b(x??1)【答案】（I）解：x?1x?1

要使f(x)在(?1,??)上为单调函数只须在(?1,??)上f?(x)?0或f?(x)?0恒成立， 1若2x2?2x?b?0b??2(x?21，

2)?2 t??2(x?111在(?1,??)上

2)2?2有最大值2 b?1∴只须

2则f?(x)?0

121若2x2?2x?b?0b??2(x?)?，

22 t??2(x?11在(?1,??)上

2)2?2无最小值故满足f?(x)?0的b不存在. b?1由上得出当

2时，f(x)在(?1,??)上为单调函数.

（II）b??1时，f(x)?x2?ln(x?1) 设g(x)?f(x)?x3?x2?ln(x?1)?x3

g?(x)?2x?13x3?(x?1)22x?1?3x??x?1

当x?0时g?(x)?0 ∴函数g(x)在(0,??)上为减函数

g(0)?0 ∴当x?(0,??)时，g(x)?g(0)?0

x2?ln(x?1)?x3恒成立 f(x)?x3

9

1k?N??(0,??) ∴k x?

1kf(1)?1∴

时，kk3

∴?nf(1111k?1k)?1?23?33???k3

9.设k?R，函数

f(x)?ex?(1?x?kx2)(x?0). （Ⅰ）若k?1，试求函数f(x)的导函数f?(x)的极小值；

【解】：（Ⅰ）当k?1时，函数

f(x)?ex?(1?x?x2)， 则f(x)的导数f?(x)?ex?(1?2x)，f?(x)的导数

f??(x)?ex?2. ……………2分 显然f??(ln2)?0，当0?x?ln2时，f??(x)?0；当x?ln2时，f??(x)?0， 从而f?(x)在(0，ln2)内递减，在(ln2，??)内递增. ………………………………4分 故导数f?(x)的极小值为f?(ln2)?1?2ln2 ……………………………6分

10.已知函数

f(x)?x2?alnx. （I）当a??2e时,求函数f(x)的单调区间和极值；

g(x)?f(x)?2 （II）若函数

x在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围.

解：（I）函数f(x)的定义域为(0,??). a??2e时,f?(x)?2x?2e2(x?e当

x?)(x?e)x. …………2分

当x变化时，f?(x),f(x)的变化情况如下：

x (0,e) e (e,??) f?(x) — 0 + f(x) 极小值 10

(0,e)； 由上表可知，函数f(x)的单调递减区间是 单调递增区间是(e,??). 极小值是f(e)?0.

…………6分

g(x)?x2?alnx? （II）由

2a2,得g?(x)?2x??2.xxx 2x为[1，4]上单调减函数，

2x?…………7分

g(x)?x2?alnx? 又函数

? 则g(x)?0在[1，4]上恒成立，所以不等式

2a??02xx在[1，4]上恒成立.

a? 即

2?2x2x在[1，4]上恒成立.

…………10分

?(x)? 又

2?2x2x在[1，4]为减函数，

63.2

?(x)的最小值为?(4)?? 所以

a?? 所以

63.2

…………12分

f(x)?11.已知函数

12ax?(2a?1)x?2lnx(a?R)2.

(Ⅰ)若曲线y?f(x)在x?1和x?3处的切线互相平行，求a的值； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

2g(x)?x?2x，若对任意x1?(0,2]，均存在x2?(0,2]，使得f(x1)?g(x2)，求a(Ⅲ)设

的取值范围.

f?(x)?ax?(2a?1)?解：

2x(x?0). ………………2分 a?23. ………………3分

??（Ⅰ）f(1)?f(3)，解得

11

f?(x)?（Ⅱ）

(ax?1)(x?2)(x?0). ………………5分 x①当a?0时，x?0，ax?1?0，

在区间(0,2)上，f?(x)?0；在区间(2,??)上f?(x)?0，

故f(x)的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,??). ………………6分

0?a?11②当

2?2时，a，

(1,??)在区间(0,2)和a上，f?(x)?0(2,1；在区间

a)

上f?(x)?0， (1,??)(2,1故f(x)的单调递增区间是(0,2)和a，单调递减区间是a). …………7分?1f?((x?2)2a③当

2x)?时，2x， 故f(x)的单调递增区间是(0,??). ………8分 a?120?1?2④当

时，a，

(0,11在区间a)(2,??)(,2)和上，f?(x)?0；在区间a上f?(x)?0，

(0,1故f(x)的单调递增区间是a)(1a,2)和(2,??)，单调递减区间是. ………9分

（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有f(x)max?g(x)max. ………………10分

由已知，

g(x)max?0，由（Ⅱ）可知，

a?1①当2时，f(x)在(0,2]上单调递增，

故

f(x)max?f(2)?2a?2(2a?1)?2ln2??2a?2?2ln2，

ln2?1?a?1所以，?2a?2?2ln2?0，解得a?ln2?1，故

2. ……………11分

a?12f(x)(0,1][1,2]②当

时，在a上单调递增，在a上单调递减，

12

11f(x)max?f()??2??2lnaa2a故. a?由

111lna?ln?ln??12可知2e，2lna??2，?2lna?2，

所以，?2?2lna?0，

f(x)max?0， ………………13分

综上所述，a?ln2?1.

1f(x)?lnx?ax2?bx.212．设函数

a?b?（1）当

12时，求f(x)的最大值；

1aF(x)?f(x)?ax2?bx?P(x0,y0)处切线2x，（2）令（0?x?3），其图象上任意一点1的斜率k≤2恒成立，求实数a的取值范围；

（3）当a?0，b??1，方程2mf(x)?x有唯一实数解，求正数m的值． 【解析】（1）依题意，知f(x)的定义域为（0，+∞），

2a?b?

当

111f(x)?lnx?x2?x2时，42，

f'(x)?

111?(x?2)(x?1)?x??x222x（2′）令f'(x)=0，

解得x?1．（∵x?0）

因为g(x)?0有唯一解，所以g(x2)?0，当0?x?1时，

f'(x)?0，此时f(x)单调递增；

当x?1时，f'(x)?0，此时f(x)单调递减。

所以f(x)的极大值为

f(1)??34，此即为最大值………4分

13

F(x)?lnx?a（2）

x，x?(0,3]，

k?F'(xx0?a0)?1x2则有

0≤2，在x0?(0,3]上恒成立， (?1x2所以a≥20?x0)max，x0?(0,3]（8′）

?1当x0?1x2x1时，20?0取得最大值2，

1所以a≥2………8分

（3）因为方程2mf(x)?x2有唯一实数解，

所以x2?2mlnx?2mx?0有唯一实数解，

设

g(x)?x2?2mlnx?2mx， g'(x)?2x2?2mx?2m则x．令g'(x)?0，x2?mx?m?0．

m?m2?4因为m?0x?m，x?0，所以12?0（舍去）， xm?m2?4m2?2，

当x?(0,x2)时，g'(x)?0，g(x)在（0，x2）上单调递减， 当x?(x2,??)时，g'(x)?0，g(x)在（x2，+∞）单调递增 当x?x2时，g'(x2)=0，g(x)取最小值g(x2)．（12′）

??g(x?x22)?0,?2?2mlnx2?2mx则?g'(x2)?0,?2?0,2既??x2?mx2?m?0.

所以2mlnx2?mx2?m?0，因为m?0，所以2lnx2?x2?1?0（*）设函数h(x)?2lnx?x?1，因为当x?0时，

h(x)是增函数，所以h(x)?0至多有一解．

14

m?m2?4m?1x?1h(1)?022因为，所以方程（*）的解为，即，

m?12．…12分

解得

13．已知函数f(x)?ax?lnx(a?R).

(Ⅰ)若a?2，求曲线y?f(x)在x?1处切线的斜率； (Ⅱ)求f(x)的单调区间；

2gx()x??2x?2（Ⅲ）设

，若对任意

x??0,1?x1?(0,??)，f(x1)?g(x2)，

均存在2，使得

求a的取值范围. 解：(Ⅰ)由已知

f?(x)?2?1(x?0)x， ………………2分

f?(1)?2?1?3.

故曲线y?f(x)在x?1处切线的斜率为3. ………………4分 (Ⅱ)

f'(x)?a?1ax?1?(x?0)xx. ………………5分

①当a?0时，由于x?0，故ax?1?0，f'(x)?0

所以，f(x)的单调递增区间为(0,??). ………………6分 ②当a?0时，由f'(x)?0，得11(0,?)(?,??)??f(x)?0aa在区间上，，在区间上f(x)?0，

x??1a.

11(0,?)(?,??)a，单调递减区间为a所以，函数f(x)的单调递增区间为.

………………8分 （Ⅲ）由已知，转化为

f(x)max?g(x)max. ………………9分

g(x)max?2 ………………10分

由(Ⅱ)知，当a?0时，f(x)在(0,??)上单调递增，值域为R，故不符合题意.

33f(e)?ae?3?2，故不符合题意.) ………………11分 (或者举出反例：存在

11(0,?)(?,??)a上单调递增，在a当a?0时，f(x)在上单调递减，

15

11f(?)??1?ln()??1?ln(?a)a?a故f(x)的极大值即为最大值，， ………13分

所以2??1?ln(?a)，

a??解得

1e3.

14.已知函数（II）求

f?x???x?k?ex在区间

，（I）求

f?x?的单调区间；

f?x??0,1?上的最小值。

/x/f?x?(??,k?1)f(x)?(x?k?1)ef解：（I），令(x)?0?x?k?1；所以在上递减，

在(k?1,??)上递增；

（II）当k?1?0,即k?1时，函数

f?x?在区间

?0,1?上递增，所以f(x)min?f(0)??k；

f?x?在区间

当0?k?1?1即1?k?2时，由（I）知，函数

k?1f(x)?f(k?1)??emin递增，所以；

?0,k?1?上递减，(k?1,1]上

当k?1?1,即k?2时，函数

f?x?在区间

?0,1?上递减，所以f(x)min?f(1)?(1?k)e。

f(x)?x?15.设函数

1?alnx(a?R).x

(I)讨论f(x)的单调性；

x和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k，

（II）若f(x)有两个极值点1问：是否存在a，使得k?2?a?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由． 解（I）f(x)的定义域为(0,??).

1ax2?ax?1f'(x)?1?2??xxx2

2令g(x)?x?ax?1,其判别式??a?4.

2当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增．

)上，f'(x)?0，故f(x)在(0,??)上?>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,??当a??2时, 16

单调递增．

a?a2?4a?a2?4x1?,x2?a?2时,?>0,g(x)=022当的两根为，

当

0?x?x1时， f'(x)?0；当x1?x?x2时， f'(x)?0；当x?x2时， f'(x)?0，

(0,x1),(x2,??)上单调递增，在(x1,x2)上单调递减． 故f(x)分别在

（II）由（I）知，a?2．

f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?因为

x1?x2?a(lnx1?lnx2)x1x2，所以

k?f(x1)?f(x2)lnx?lnx21?1??a?1x1?x2x1x2x1?x2

lnx?lnx2k?2?a?1xx?1．于是x1?x2

又由(I)知，12lnx1?lnx2?1lnx1?lnx2?x1?x2．亦即 x?x12若存在a，使得k?2?a.则．即

x2?1?2lnx2?0(x2?1)(*)x2

1h(t)?t??2lntx?1，所以t再由（I）知，函数在(0,??)上单调递增，而2x2?11?2lnx2?1??2ln1?0.x21这与(*)式矛盾．故不存在a，使得k?2?a.

22f(x)?alnx?x?ax，a?0 16.设函数

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；

2e?1?f(x)?ea（Ⅱ）求所有实数，使对x?[1,e]恒成立．

注：e为自然对数的底数．

22 （Ⅰ）解：因为f(x)?alnx?x?ax.其中x?0，所以

a2(x?a)(2x?a)f?(x)??2x?a??xx

由于a?0，所以f(x)的增区间为(0,a)，减区间为(a,??)

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（Ⅱ）证明：由题意得，f(1)?a?1?c?1,即a?c，由（Ⅰ）知f(x)在[1,e]内单调递增，

?f(1)?a?1?e?1,?2f(e)?a2?e2?ae?e2e?1?f(x)?e对x?[1,e]?要使恒成立，只要，解得a?e.

2f(x)?(a?1)lnx?ax?1 17.已知函数

（I）讨论函数f(x)的单调性；

（II）设a??1.如果对任意x1,x2?(0,??)，|f(x1)?f(x2)?4|x1?x2|，求a的取值范围。

a?12ax2?a?1f'(x)??2ax?f(x)xx解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .

当a?0时，f'(x)＞0，故f(x)在（0，+∞）单调增加； 当a??1时，f'(x)＜0，故f(x)在（0，+∞）单调减少；

当-1＜a＜0时，令f'(x)=0，解得

x??a?12a. x?(0,?则当

a?1a?1)x?(?,??)2a时，f'(x)＞0；2a时，f'(x)＜0. a?1a?1)(?,??)2a单调增加，在2a单调减少.

故f(x)在

(0,?（Ⅱ）不妨假设 等价于

x1?x2，而a＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而

?x1,x2?(0,??)，f(x1)?f(x2)?4x1?x2

?x1,x2?(0,??)，f(x2)?4x2?f(x1)?4x1 ①

令g(x)?f(x)?4x，则

g'(x)?a?1?2ax?4x

①等价于g(x)在（0，+∞）单调减少，即

a?1?2ax?4?0x .

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?4x?1(2x?1)2?4x2?2(2x?1)2a?2???2222x?12x?12x?1 从而

故a的取值范围为（-∞，-2].

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