黑龙江哈师大附中2013届高三第三次月考数学（理）试题

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1．已知全集U＝R，集合A＝{x|lgx≤0}，B＝{x|2≤1}，则?U（A∪B）＝

A．（－∞，1）

（ B ）

B．（1，＋∞）

112x

C．（－∞，1] D．[1，＋∞）

2．设a?log12，b?log33，c?()210.3，则

A．a＜b＜c （ B ）

B．a＜c＜b

C．b＜c＜a D．b＜a＜c

3． 若数列?an?满足a1?2,an?1an?an?1则a2013值为

A．2

acosA2（C ） B．

?12 C．-1

?ccosC2D．3

4．在?ABC中，若

bcosB2，则?ABC的形状是

（ B ）

A．等腰三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．等腰直角三角形

5．若y?f(x)(x?R）是奇函数,则下列各点中,在曲线y=f（x）上的点是

A．(a,f(?a)) C．（-lga,-f（lg1))

a（ D ）

x

B．(?sin?,?f(?sin?)) D．（ -a,-f（a））

6．已知a是函数f（x）＝2?log1x的零点，若02

（ B）

B．f（x0）<0 D．f（x0）的符号不确定

A．f（x0）＝0 C．f（x0）>0

＋b2a7． 已知x>0、y>0，x、a、b、y成等差数列，x、c、d、y成等比数列，则 的最小值是

cd

（ D ）

A．0 B．1 C．2 D．4

8．函数y＝cos（ωx＋φ）（ω>0,0<φ<π）为奇函数，该函数的部分图象如右图所表示， A、B

分别为最高与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为

（ C ）

2

A．x＝

ππ

B．x＝

2C．x＝1 D．x＝2

2

9．若两曲线y＝x2与y＝cx3（c>0）围成图形的面积是，则c的值为

3

A．2

（ B ） 1

B．

2

C．3

1D． 3

10．若函数f（x）＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间（k－1，k＋1）内不是单调函数，则

实数k的取值范围是

A．(,)

2213（ D ） B．(1,)

23C．(,]

2213D．[1,)

23sinA2cosC＋cosA11．在△ABC中，＝是角A、B、C成等差数列的

cosA2sinC－sinA

（ A）

A．充分非必要条件 C．必要非充分条件

n?1 B．充要条件 D．既不充分也不必要条件

12．已知函数f(x)?x(n?N*)的图象与直线x?1交于点P，若图象在点P处的切线与x

轴交点的横坐标为xn，则log2013x1＋log2013x2＋…＋log2013x2012的值为

（ B ）

B．－1 D．1

A．1－log20132012 C．-log20132012

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．知sin(?2??)?32,?0?????，则tan?= 33 ．

2214． 已知tan??2，则sin??sin?cos??4cos?= -25 ．

15． 给出下列命题：

①函数y?sin(

5?2?2x)是偶函数；

②函数y?sin(x??4225??③直线x?是函数y?sin(2x?)图象的一条对称轴；

84)在闭区间[???,]上是增函数；

④将函数y?cos(2x??3)的图象向左平移

?3单位，得到函数y?cos2x的图象；

其中正确的命题的序号是 ① ③ ．

Fn，216．定义：F（x，y）＝yx（x>0，y>0），已知数列{an}满足：an＝（n∈N*），若对任意正

F2，n整数n，都有an≥ak（k∈N，k为常数）成立，则ak的值为__

*

89______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）

等差数列?an?中，Sn为前n项和，已知S5?40,a5?14 （1）求数列?an?的的通项公式； （2）设bn?an?13n,求数列?bn?的前n项和Tn．

17．解：（1）设首项a1，公差d则

5?4??5a1?d?40解得a1?2,d?3?an?2?(n?1)?3?3n?1?2 6分 ??a1?4d?14

bn?3n?1?13n （2）

Tn?1(2?3n?1)n2?3(1?1?1313n)?3n?n?122?12?3n 12分

18．（本题满分12分）

已知各项均为正数的等比数列?an?中，S3?21,a3?12 （1）求数列?an?的的通项公式； （2）求数列?nan?的前n项和．

12

分 19．（本题满分12分）

已知向量m＝（sinωx＋cosωx，3cosωx），n＝（cosωx－sinωx,2sinωx），其中ω>0，函数

π

f（x）＝m·n，若f（x）相邻两对称轴间的距离为．

2（1）求ω的值，并求f（x）的最大值及相应x的集合； （2）在△ABC中，a、b、c分别是 A． 的面积S＝53，b＝4，f（A）＝1，求边a的长． 解：（1）f(x)?cos2?x??T?2?2?3sin2?x?2sin(2?x?B．C所对的边，△ABC

?6) 2分

??,???1 4分 ?2k??在2x??6?2(k?Z)时f(x)最大值为2，相应x的集合为

???x|x?k??,k?Z? 6分 ?6??（2）?f(A)?2sin(2A??S??2?6)?1,A?(0,?)?A??3 8分

122bcsinA?23c?53,?c?5 10分

21 12分

?a?b?c?2bccosA?21,?a?20．（本题满分12分）

抛物线y?2px(p?0)上任一点Q到其内一点P(3,1)及焦点F的距离之和的最小值为

4．

2（1）求抛物线的方程；

（2）设动直线y?kx?b与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，且y1?y2的值为定值a(a?0），过弦AB的中点M作平行于抛物线的轴的直线交抛物线于点D，求?ABD的面积．

20． 解：（1）由抛物线定义，|QF|?|QP|?3??抛物线的方程为y?4x 4分

2p2?4,?p?2, 2分

?y2?4x44b44b（2）由?得y2?y?＝0，?y1?y2?,y1y2?

kkkk?y?kx?b?M(2?kb212,),D(,) 6分 22kkkk12|DM||y1?y2|?11?kb??a 8分 22k?S?ABD??|y1?y2|?16(1?kb)k22?a， 10分

?S?ABD1aa 12分 ???a?21632321．（本题满分12分）

设函数f(x)?lnx?px?1 （1）求函数f(x)的极值；

（2）当p?0时，若对任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范围；

ln2222（3）求证： ?ln3322???lnnn22?2n?n?12(n?1)2

?2n?n?12(n?1)2(n?N,n?2）． 12分

?请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如多选，则按所做的第一题计分．作答时请

写清题号．

22．（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图所示，已知D为△ABC的BC边上一点，⊙O1经过点B，D，交AB于另一点E，⊙O2

经过点C，D，交AC于另一点F，⊙O1与⊙O2交于点G． （1）求证：∠EAG=∠EFG；

（2）若⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3，AC=10，AG切⊙O2于G，求线段AG的长． 22．（1）证明 连接GD，因为四边形BDGE，CDGF分别内接于⊙O1，

⊙O2，∴∠AEG=∠BDG，∠AFG=∠CDG，

又∠BDG+∠CDG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°． 即A，E，G，F四点共圆，∴∠EAG=∠EFG． 5

分

（2）解 因为⊙O2的半径为5，圆心O2到直线AC的距离为3， 所以由垂径定理知FC=2

52?32=8，又AC=10,

∴AF=2,∵AG切⊙O2于G，∴AG2=AF·AC =2×10=20,AG=2

5． 10分

23．（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

?极坐标系中，已知圆心C(3,)，半径r=1

6（1）求圆的极坐标方程；

?3x??1?t??2(t为参数）与圆交于A,B两点，（2）若直线?求AB的中点C与点P(?1,0)1?y?t?2?的距离．

???33?3??(y?)2?1 23．解：（1）由已知得圆心C(3cos,3sin)，半径1，圆的方程为?x??662?2??2即x2?y2?33x?3y?8?0所以极坐标方程为?2?33?cos??3?sin??8?0 5分

（2）把直线方程代入圆方程得t2?(3?6)t?9?33?0,??3?0设t1,t2是方程两根

?t1?t2?3?6

所以PC?t1?t22?32?3 10分

24．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f(x)?x?3?x?2?k．

（1）若f(x)?3恒成立，求k的取值范围； （2）当k?1时，解不等式：f(x)?3x．

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