2018东城区高中数学（理）一模试卷及答案

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）

高三数学 （理科）

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）若集合A?{x|?3?x?1}，B?{x|x??1或x?2}，则A（A）{x|?3?x?2} （C）{x|?1?x?1} （2）复数z?B?

（B）{x|?3?x??1} （D）{x|1?x?2}

i在复平面上对应的点位于 1?i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）已知a,b?R，且a?b，则下列不等式一定成立的是

（A）a2?b2?0 （C）

11??0 ab （B）cosa?cosb?0

（D）e?a?e?b?0

（4）在平面直角坐标系xOy中，角?以Ox为始边，终边与单位圆交于点(,)，则

3455tan(???)的值为

（A）

4 32433 （B） （C）? （D）?

344（5）设抛物线y?4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是 （A）1 （B）2 （C）3 （D） 4 （6）故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”、“明代御窑瓷器展”、“历代青绿山水画

展”、“赵孟頫书画展”. 某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个，且至少参观一个画展，则不同的参观方案共有

（A）6种 （B）8种 （C）10种 （D）12种 （7）设{an}是公差为d的等差数列，Sn为其前n项和，则“d?0”是“?Sn?为递增数列”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

1

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

（8）某次数学测试共有4道题目，若某考生答对的题大于全部题的一半，则称他为“学习

能手”，对于某个题目，如果答对该题的“学习能手”不到全部“学习能手”的一半，则称该题为“难题”.已知这次测试共有5个“学习能手”，则“难题”的个数最多为 （A）4 （B）3 （C）2 （D）1

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（ 9 ）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 若a2?c2?b2?ac，则B= ． （10）在极坐标系中， 圆??2cos?的圆心到直线?sin??1的距离为 ． ?x?y≤0,?（11）若x,y满足?x?y≤4,则z?2x?y的最大值为 ．

?x≥1,?（12）某几何体的三视图如图所示，该几何体 的表面积为____________.

b=ac，则b=c”是假命题的一（13）设平面向量a,b,c为非零向量．能够说明“若a鬃组向量a,b,c 的坐标依次为 ．

（14）单位圆的内接正n(n?3)边形的面积记为f(n)，则f(3)?_________；下面是关于

f(n)的描述:

①f(n)?n2?sin； ②f(n)的最大值为?；③f(n)?f(n?1)；④2nf(n)?f(2n)?2f(n).

其中正确结论的序号为__________.（注：请写出所有正确结论的序号）

2

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题13分）

已知函数f(x)?sin2x?2sinxcosx?cos2x. (Ⅰ) 求f(x)的最小正周期；

(Ⅱ) 求f(x)在[0,?2]上的最大值和最小值.

3

（16）（本小题13分）

从高一年级随机选取100名学生，对他们的期中考试的数学和语文成绩进行分析，成绩如图所示.

（Ⅰ）从这100名学生中随机选取一人，求该生数学和语文成绩均低于60分的概率； （Ⅱ）从语文成绩大于80分的学生中随机选取两人，记这两人中数学成绩高于80分的人数

为x，求x的分布列和数学期望E(x)；

（Ⅲ）试判断这100名学生数学成绩的方差a与语文成绩的方差b的大小.（只需写出结论）

4

（17）（本小题14分）

如图1，在边长为2的正方形ABCD中，P为CD中点，分别将PAD，PBC沿PA，

PB所在直线折叠，使点C与点D重合于点O，如图2. 在三棱锥P?OAB中，E为PB的中

点．

（Ⅰ）求证：PO?AB；

（Ⅱ）求直线PB与平面POA所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角P?AO?E的大小.

图1 图2

（18）（本小题13分）

5

x2y23已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的离心率为，且过点A(2，0)．

ab2 (Ⅰ) 求椭圆C的方程；

1

(Ⅱ) 设M，N是椭圆C上不同于点A的两点，且直线AM，AN的斜率之积等于－4. 试问直线MN是否过定点？若是，求出该点的坐标；若不是，请说明理由．

（19）（本小题14分）

已知函数f(x)?ex?a(x?1).

（I）若曲线y?f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为0，求a的值； （II）若f(x)?0恒成立，求a的取值范围；

（III）证明：当a?0时，曲线y?f(x)(x?0)总在曲线y?2?lnx的上方.

（20）（本小题13分）

在n?n(n?2)个实数组成的n行n列的数表中，aij表示第i行第j列的数，记

ri?ai1?ai2??ain (1＃in)，cj?a1j?a2j??anj(1?j?n).若

aij?{?1,0,1}(1＃i,j记Hn??r1,r2,n). 且r1,r2,,rn,c1,c2,则称此表为“n阶H表”.,cn两两不等，

,rn,c1,c2,,cn?.

（I）请写出一个“2阶H表”；

（II）对任意一个“n阶H表”，若整数??[?n,n]，且??Hn，求证：?为偶数； （III）求证：不存在“5阶H表”.

6

北京市东城区2017-2018学年度第二学期高三综合练习（一）

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）B （2）B （3）D （4）A （5）C （6）C （7）D （8）D 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） （9）

? （10）1 3（11）6 （12）12?23

（13）(1,0),(0,1),(0,-1)（答案不唯一） （14）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为f(x)?sinx?2sinxcosx?cosx

2233；①③④ 4 ?2sinxcosx?(cosx?sinx)?sin2x?cos2x ?22?2sin(2x?).

4 所以f(x)的最小正周期为

(Ⅱ) 因为0＃x所以-当2x-当2x-2???. ……………………………………7分 2p. 2p3p?. 44p?2x4pp3p=，即x=时，f(x)取得最大值2； 428pp=-，即x=0时，f(x)取得最小值-1. 44?2所以f(x)在[0,]上的最大值为2，最小值为-1. ………………………13分

（16）（共13分）

解：（I）由图知，在被选取的100名学生中，数学和语文成绩均低于60分的有9人，所以从100名学生中随机选取一人，该生数学和语文成绩均低于60分的概率为

9?0.09. 100……………………………………………………………………………………3分

7

（Ⅱ）由图知，语文成绩大于80分的学生优10人，这10人中数学成绩高于80分的有4人，所以x的所有可能取值为0，1，2.

2112C6C4C6C4182,，所以x的分布列为 P(x=0)=2=,P(x=1)==P(x=2)==22C103C1015C1015x p 0 1 2 82 151518241?2?故x的数学期望E(x)=0?. ……………………………10分 315155（Ⅲ）由图判断，a>b. …………………………………………13分

（17）（共14分）

证明：（Ⅰ）在正方形ABCD中，P为CD中点，PD?AD,PC?BC， 所以在三棱锥P?OAB中，PO?OA，PO?OB. 因为OAOB?O，所以PO?平面OAB.

因为AB?平面OAB,所以PO?AB. ……………………4分 （Ⅱ）取AB中点F，连接OF，取AO中点M，连接BM. 过点O作AB的平行线OG.

因为PO⊥平面OAB，所以PO⊥OF，PO⊥OG. 因为OA＝OB，F为AB的中点， 所以OF⊥AB. 所以OF⊥OG.

如图所示，建立空间直角坐标系O－xyz.

13

A(1，3，0)，B(－1，3，0)，P(0，0，1)，M(，，0)．

22因为BO＝BA，M为OA的中点，所以BM⊥OA.

因为PO⊥平面OAB，PO?平面POA，所以平面POA⊥平面OAB. 因为平面POA∩平面OAB＝OA，BM?平面OAB， 所以BM⊥平面POA.

1 3uuur33

因为BM＝(，－，0)．所以平面POA的法向量m＝(3，－1，0).

22uurBP＝(1，－3，1)．

设直线BP与平面POA所成角为α，

8

=m×uuBPr则sina=cosuuruur15mBP=5. 所以直线BP与平面POA所成角的正弦值为

15

5

. ………………10分 （Ⅲ）由(Ⅱ)知E??131??131???2,2,2??，OE????2,2,，OA?1,3,0???2?????. 设平面OAE的法向量为n，则有 ???OA?n?0,??x?3??n?0. 即?y?0, ?OE???x?3y?z?0.令y??1，则x?3，z?23. 即n??3,?1,23?.

所以cosm,n?m?n2m?n?2?4?12.

由题知二面角P－AO－E为锐角，所以它的大小为p3. ……………………………14分（18）（共13分）

?a?2,解：（I）由已知有???a2?b2?a?2,?a?3解得2.??b?1. 椭圆C的方程为x24?y2?1. ……………………………4分 （II）若直线MN斜率存在，设直线MN方程为y?kx?n.

?y?kx?n,由???x2消去y，得(1?4k2)x2?8knx?4n2?4?0. ?4?y2?1,当??0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，

x8kn4n2则x?41?2??1?4k2………..①，x1x2?1?4k2………..②. 由kAM?ky1x?2?y2x?2??1AN?4以及y1?kx1?n，y2?kx2?n整理，得 12(1?4k2)x1x2?(4nk?2)(x1?x2)?(4?4n2)?0.

9

将①，②代入上式，整理，得n?2kn?0，解得n?0或n??2k.

当n?0时，直线y?kx?n过(0,0)；当n??2k时，直线y?kx?n过(2,0)（舍）. 若直线MN斜率不存在，则直线AM,AN斜率互为相反数. 不妨设kAM??2111,kAN?，于是直线AM:y??(x?2)与椭圆交于M(0,1)， 222由对称性可知直线AN与椭圆交于N(0,?1). 所以直线MN也过(0,0).

综上，直线MN过定点(0,0). ……………………………13分

19）（共14分）

解：（I）函数f(x)?ex?a(x?1)的定义域为R. 因为f(x)?ex?a(x?1)，所以f'(x)?ex?a. 由f'(0)?1?a?0得a?1. ……………………………4分 （II）f'(x)?ex?a(x?R).

①当a?0时，令f'(x)?0得x?lna.

x?lna时，f'(x)?0；x?lna时，f'(x)?0.

f(x)在(??,lna)上单调递减，在(lna,+?)上单调递增.

所以当x?lna时，f(x)有最小值f(lna)?a?a(1?lna)??alna. “f(x)?0恒成立”等价于“f(x)最小值大于等于0”，即?alna?0. 因为a?0，所以0?a?1.

x②当a?0时，f(x)?e?0符合题意；

11?1??1?11③当a?0时，取x0??1?，则f(x0)?ea?a(?1??1)?ea?1?0，不符合

aa题意.

综上，若f(x)?0对x?R恒成立，则a的取值范围为[0,1]. ……………………9分

x（III）当a?0时，令h(x)?f(x)?(2?lnx)?e?lnx?2(x?0)，可求h'(x)?e?x1. x

10

111x因为h'()?e2?10?0，h'(1)?e?1?0，且h'(x)?e?在(0,??)上单调递增，

x2所以在（0，+?）上存在唯一的x0，使得h'(x0)?e0?x11?0，即ex0?，且 x0x01

x h'(x) h(x) (0,x0) ? x0 0 极小 x(x0,??) ? 则当x?x0时，h(x)存在最小值h(x0),且h(x0)?e0?lnx0?2?1?x0?2. x0因为x0?(,1)，所以h(x0)?1211?x0?2?2?x0?2?0. x0x0所以当a?0时，f(x)?2?lnx(x?0)

所以当a?0时，曲线y?f(x)(x?0)总在曲线y?2?lnx的上方. .. …………14分 （20）（共13分）

解：（I）

（II）对任意一个“n阶H表”，ri表示第i行所有数的和，cj表示第j列所有数的和 （1?i,j?n）.

1 1 0 ?1 （答案不唯一）

……………………3分

?r与?cii?1nnj均表示数表中所有数的和，所以

j?1?r??cii?1nnj.

j?1因为aij?{?1,0,1}，所以r1,r2,又因为r1,r2,所以{?,r1,r2,,rn,c1,c2,,cn只能取[?n,n]内的整数.

,rn,c1,c2,,rn,c1,c2,,cn互不相等，??[?n,n]且??Hn， ,cn}?{?n,?n?1,,?1,0,1,,n?1,n}，

11

所以???r??cii?1nnj??n?(?n?1)??(?1)?0?1++(n?1)?n?0.

j?1所以???2?r为偶数.………………………………………8分

ii?1n（III）假设存在一个“5阶H表”，则由（II）知5,?5,3,3??H5，且4?H5和?4?H5至少有一个成立，不妨设4?H5.

设r则a1j?1,a2j??1(1?j?5)，于是cj?3(1?j?5)，因而可设r3?4， 1?5,r2??5，

a31?a32?a33?a34?1，a35?0.

①若 3是某列的和，由于c5?2，故只能是前四列某列的和，不妨设是第一列，即

a41?a51?1.现考虑?3，只能是r4或r5，不妨设r4??3，即a42?a43?a44?a45??1，

由c2,c3,c4两两不等知a52,a53,a54两两不等，不妨设a52??1,a53?0,a54?1，若a55??1则

r5?0?c3；若a55?0则r5?1?c4；若a55?1则c5?0?c3，均与已知矛盾.

②若3是某行的和，不妨设r4?3，则第4行至少有3个1，若这3个1是前四个中某三个数，不妨设a41?a42?a43?1，则第五行前三个数只能是3个不同的数，不妨设

a51??1,a52?0,a53?1，则c3?3?r4矛盾，故第四行只能前四个数有2个1，第五个数

为1，不妨设a41?a42?0,a43?a44?a45?1，所以r5??3，第五行只能是2个0，3个?1或1个1，4个?1.则a51,a52,a55至少有两个数相同，不妨设a51?a52，则c1?c2与已知矛盾.

综上，不存在“5阶H表”. ………………………………………13分

12

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