高考数学二轮专题复习与测试练习题 专题2 第3课时 平面向量与复数 文

2014高考数学（文）二轮专题复习与测试练习题：专题2 第3课时 平

面向量与复数

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)

2＋i1

1．已知i为虚数单位，复数z＝，则|z|＋＝( )

1－2izA．i C．1＋i

2

B．1－i D．－i

－

1－2i

11

＝i，|z|＋＝|i|＋＝1－i，选

zi

2＋i－2i＋i

解析： 由已知得z＝＝＝

1－2i1－2iB.

答案： B

2．(2013·海淀区期中练习)若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为( )

1

A．－

2C．－1

1B． 2D．1

1222解析： 依题意得(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝2＋2a·b＝1，所以a·b＝－，选A.

2答案： A

3．已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为( )

1＋iA．1＋2i C．2＋i

B．1－2i D．2－i

x解析： 依题意得x＝(1＋i)(1－yi)＝(1＋y)＋(1－y)i；又x，y∈R，于是有

??x＝1＋y，???1－y＝0，

解得x＝2，y＝1，则x＋yi＝2＋i，因此x＋yi的共轭复数是2－i.

答案： D

→→

4．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )

A．5 C．5

B．25 D．10

→→

解析： ∵AC·BD＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，

1→→→→1

∴AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝×5×25＝5.

22答案： C

5．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( )

2

A． 35C． 6

2B．－ 35D．－ 6

x1＋y1x2＋y2

解析： 由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向，3a＋2b＝0，即3(x1，y1)＋22x1＋y12

2(x2，y2)＝(0,0)，得x1＝－x2，y1＝－y2，故＝－.

33x2＋y23

答案： B

2

6．(2012·新课标全国卷)下面是关于复数z＝的四个命题：

－1＋i

p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，

p3：z的共轭复数为1＋i，p4：z的虚部为－1.

其中的真命题为( ) A．p1，p3 C．p2，p4 解析： ∵复数z＝

B．p1，p2 D．p3，p4

2222

＝－1－i，故|z|＝2，z＝(－1－i)＝(1＋i)＝2i，z的－1＋i

共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，综上可知p2，p4是真命题．

答案： C

→→→

7．(2013·温州适应性测试)在△ABC中，若∠A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( )

A．2 C．6

B．2 D．6

→→→→→→→2

解析： ∵AB·AC＝－1，∴|AB|·|AC|cos 120°＝－1，即|AB|·|AC|＝2，∴|BC|→→2→2→→→2→→→→→

＝|AC－AB|＝AC－2AB·AC＋AB≥2|AB|·|AC|－2AB·AC＝6，∴|BC|min＝6.

答案： C

→1→

8．(2013·哈尔滨四校联考)在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝NC，P是BN上的

2

→→2→

一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为( )

9

1A． 9C．1

1B． 3D．3

→1→→1→→→2→→2→

解析： 如图，因为AN＝NC，所以AN＝AC，AP＝mAB＋AC＝mAB＋AN，因为B、P、N239321

三点共线，所以m＋＝1，所以m＝，选择B.

33

答案： B

→→

9．已知向量OA＝(cos α，sin α)，将向量OA绕坐标原点O逆时针旋转θ角得到向量→

OB(0°＜θ＜90°)，则下列说法不正确的为( )

→→→→A．|OA＋OB|＝|OA－OB| →→→→C．(OA＋OB)⊥(OA－OB)

→→→→B．|OA|＋|OB|＞|OA－OB|

→→→→

D.OA、OB在OA＋OB方向上的投影相等

→→→→→→

解析： 由题意可知以OA，OB所在线段为一组邻边，OA＋OB，OA－OB所在线段为对角线可构成边长为1的菱形，所以B，C， D正确，A错误．

答案： A

10．设e1，e2，e3，e4是某平面内的四个单位向量，其中e1⊥e2，e3与e4的夹角为45°，对这个平面内的任意一个向量a＝xe1＋ye2，规定经过一次“斜二测变换”得到向量a1＝xe3＋e4.设向量t1＝－3e3－2e4是经过一次“斜二测变换”得到的向量，则|t|是( ) 2

A．5 C．73

B．5 D．73

y解析： 因为t1＝－3e3－2e4，所以t＝－3e1－4e2.又因为e1⊥e2且e1，e2是平面内的单位向量，所以|t|＝|t|＝9|e1|＋16|e2|＋2×3×4e1·e2＝5.

答案： A

11．已知点A、B、C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则关于x的方程

222x2OA＋xOB＋AC＝0的解集为( )

A．?

??－1－5－1＋5??

? C．?，22????

→→→

B．{－1} D．{－1,0}

→→2→

解析： 由条件可知，xOA＋xOB不可能和AC共线，即使x＝0时，也不满足条件，所以满足条件的x不存在，故选A.

答案： A

1

12．(2013·浙江卷)设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B＝AB，且对于边AB上任

4→→→→

一点P，恒有PB·PC≥P0B·P0C.则( )

A．∠ABC＝90° C．AB＝AC

B．∠BAC＝90° D．AC＝BC

解析： 如图，在△ABC中取BC的中点D，AB的中点E，连结CE，DP0.

→→→→→→→→→→→→2→→→2

故PB·PC＝(DB－DP)·(DC－DP)＝DB·DC－DP·(DB＋DC)＋DP＝DB·DC＋DP，同理

P0B·P0C＝DB·DC＋DP02.

→→→→→2→2

由PB·PC≥P0B·P0C得DP≥DP0，故DP0⊥AB.由作图知CE∥DP0，所以CE⊥AB，又E为

→→→→→

AB的中点，所以AC＝BC.选D.

答案： D

→→→

13．(2013·四川卷)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.

→→→

解析： 由向量加法的平行四边形法则，得AB＋AD＝AC. →→

又O是AC的中点，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO， →→→∴AB＋AD＝2AO.

→→→

又AB＋AD＝λAO，∴λ＝2. 答案： 2

→→

14．(2013·重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.

→→→→→

解析： 如图所示，由于OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，所以AB＝OB－OA＝(1，k－1)．在→→→→

矩形中，由OA⊥AB得OA·AB＝0，所以(－3,1)·(1，k－1)＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，

解得k＝4.

答案： 4

15．(2013·昆明调研测试)已知向量a，b的夹角为120°，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a－b在向量a＋b方向上的投影是________．

解析： 依题意得 (a－b)·(a＋b)＝a－b＝－3，(a＋b)＝a＋b＋2a·b＝3，即|a＋b|＝3，向量a－b在向量a＋b方向上的投影是

答案： －3

16．(2013·湖南五市十校联合检测)在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分→→

线上一点，则AO·BC＝________.

→→→→→→→→→

解析： 取BC边的中点D，连接AD，则AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＋DO·BC＝1→→1→→→→1→→

AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝ (62－102)＝－32.

222

答案： －32

π

17．(2013·石家庄模拟考试)在△ABC中，∠B＝，O为△ABC的外心，P为劣弧AC3→→→

上一动点，且OP＝xOA＋yOC(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．

222

22a－b|a＋b|

a＋b－3

＝＝－3.

3

π

解析： 如图建立直角坐标系，设圆O的半径为1，∵∠B＝，

3∴A?－＝－

??31?1??3?7π，11π

，C.设P(cos θ，sin θ)，则θ∈?6，－??，－?6?22?2??2

?，∵sin

θ??

x＋y2

，∴x＋y＝－2sin θ∈[1,2]．

答案： [1,2]

18．已知向量a＝(m，n)，b＝(p，q)，定义a?b＝mn－pq.给出下列四个结论：①a?a＝0；②a?b＝b?a；③(a＋b)?a＝a?a＋b?a；④(a?b)＋(a·b)＝(m＋q)·(n＋p)．

其中正确的结论是________．(写出所有正确结论的序号)

解析： 对于①，a?a＝mn－mn＝0，所以①正确；对于②，a?b＝mn－pq，b?a＝pq－

2

2

2

2

2

2

mn，故②不一定正确；对于③，(a＋b)?a＝(m＋p)(n＋q)－mn，a?a＋b?a＝0＋pq－mn，所

以③不一定正确；对于④，(a?b)＋(a·b)＝(mn－pq)＋(mp＋nq)＝(m＋q)·(n＋p)，故④正确．

答案： ①④

22222222

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n7ix.html