2014天利38套中考数学试卷及答案（前3套） - 图文

2013年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷 解析

满分120分，考试时间120分钟

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。 ．．

1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提

出了总计约3 960亿元的投资计划。将3 960用科学计数法表示应为 A. 39.6×102 B. 3.96×103 C. 3.96×104 D. 3.96×104 答案：B

解析：科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3 960＝3.96×103 2. ?n

来源&%:zz^step#.co@m]

3的倒数是 44334A. B. C. ? D. ?

3443来源:zz*step.co#~%m@]答案：D

解析：a(a?0)的倒数为

134，所以，?的倒数是?

43a3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，

从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A.

1234 B. C. D. 555535

答案：C

解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为

4. 如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于

A. 40° B. 50°

来源^:%zzstep.co~m#*]C. 70° D. 80°答案：C

解析：∠1＝∠2＝∠4＝70°。

来@源:^中国教育%出版网

1（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 2第 1 页 共 41 页

5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得

AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于 A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 答案：B

解析：由△EAB∽△EDC，得：

CECD1020，即，解得：AB＝40 ??BEAB20AB来&源@:*zzstep^.c%om]6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

答案：A

解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。

7. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：

时间（小时） 人数 5 10 6 15 7 20 8 5 则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是

A. 6.2小时 B. 6.4小时 C. 6.5小时 D. 7小时 答案：B

解析：平均体育锻炼时间是

50?90?140?40＝6.4小时。

50来源%@:中教&^网8. 如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP

的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是

答案：A

解析：很显然，并非二次函数，排除B；

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采用特殊位置法；

当P点与A点重合时，此时AP?x?0，S?PAO?0；

当P点与B点重合时，此时AP?x?2，S?PAO?0；

AHOBP本题最重要的为当AP?x?1时，此时?APO为等边三角形，S?PAO?31＞； 44排除B、C、D.选择A.

【点评】动点函数图象问题选取合适的特殊位置，然后去解答是最为直接有效的方法 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9. 分解因式：ab2?4ab?4a=_________________ 答案：a(b?2)

解析：原式＝a(b?4a?4)＝a(b?2)

10. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式__________ 答案：y＝x2＋1

解析：此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可。

11. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则

四边形ABOM的周长为__________ 答案：20

解析：由勾股定理，得AC＝13，因为BO为直角三角形斜边上的中线，所以，BO＝6.5，由中位线，得MO＝2.5，所以，四边形ABOM的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝20

12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线：t??x?1，双曲

2221。在上取点A1，过点A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，x过点B1作y轴的垂线交于点A2，请继续操作并探究：过点A2

线y?作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点B2作y轴的垂线交于点A3，?，这样依次得到上的点A1，A2，A3，?，An，?。记点An的横坐标为an，若a1?2，则a2=__________，

a2013=__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不能取的值是__________ ．．．

答案：

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?1??1??31?解析：根据A1?2,?3?求出B1?2,?；根据B1?2,?求出A2??,?；

?2??2??22??31??32?根据A2??,?求出B2??,??；

?22??23??32??12?根据B2??,??求出A3??,??；

?23??33??12??1?根据A3??,??求出B3??,?3?；

?33??3??1?根据B3??,?3?求出A4?2,?3?；

?3?至此可以发现本题为循环规律，3次一循环，∵2013?3?670?3；

来~%#源:*&中教网∴a2013?a3??；

13??a1?11?1??a,A重复上述过程，可求出A1?a1,?a1?1?、B1?、2??1a???a,a??、1?11????a1?1???a1?a1?11?????B2??,?A?,?B?,?a?1、、3?3?1?a???、A4?a1,?a1?1?； a?1a?1a?1a?1111???1??1?由上述结果可知，分母不能为0，故a1不能取0和?1.

【点评】找规律的题目，规律类型有两种类型，递进规律和循环规律，对于循环规律类型，

多求几种特殊情况发现循环规律是最重要的. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13. 如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE。

求证：BC=AE。 解析：

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14. 计算：(1?3)0??2?2cos45??()?1。 解析：

14

?3x?x?2?16、解不等式组：?x?1

?2x?3?解析：

16. 已知x2?4x?1?0，求代数式(2x?3)?(x?y)(x?y)?y的值。 解析：

22

17. 列方程或方程组解应用题：

某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务。若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积。 解析：

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（3）∵抛物线对称轴为x?1

抛物体在2?x?3这一段与在?1?x?0这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在?2?x??1这一段位于直线l的上方 在?1?x?0这一段位于直线l的下方； ∴抛物线与直线l的交点横坐标为?1； 当x??1时，y??2x(?1)?2??4

则抛物线过点（-1，4）

当x??1时，m?2m?2?4，m?2 ∴抛物线解析为y?2x2?4x?2.

【点评】本题第(3)问主要难点在于对数形结合的认识和了解，要能够观察到直线l与直线

AB关于对称轴对称，

∵抛物线在2?x?3这一段位于直线AB的下方，

∴关于对称轴对称后抛物线在?1?x?0这一段位于直线l的下方； 再结合抛物线在?2?x??1这一段位于直线l的上方;

从而抛物线必过点??1,4?.

来源:@中%#&教网^]

24．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=?（0????60?），将线段BC绕点B逆时针旋转

60°得到线段BD。

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含?的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明； （3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求?的值。 1解析：【解析】（1）30???

2（2）△ABE为等边三角形

证明连接AD、CD、ED

∵线段BC绕点B逆时针旋转60?得到线段BD 则BC?BD，?DBC?60? 又∵?ABE?60?

1∴?ABD?60???DBE??EBC?30???

2且△BCD为等边三角形.

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在△ABD与△ACO中 ?AB?AC??AD?AD ?BD?CD?∴△ABD≌△ACD（SSS）

11∴?BAD??CAD??BAC??

22∵?BCE?150?

11∴?BEC?180??(30???)?150???

22A在△ABD与△EBC中 ??BEC??BAD???EBC??ABD ?BC?BD?DEBC∴△ABD≌△EBC（AAS） ∴AB?BE

∴△ABE为等边三角形

（3）∵?BCD?60?，?BCE?150?

∴?DCE?150??60??90? 又∵?DEC?45?

∴△DCE为等腰直角三角形 ∴DC?CE?BC ∵?BCE?150?

(180??150?)∴?EBC??15?

21而?EBC?30????15?

2∴??30?

【点评】本题是初中数学重要模型“手拉手”模型的应用，从本题可以看出积累掌握常见模

型、常用辅助线对于平面几何的学习是非常有帮助的.

25．对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，

使得∠APB=60°，则称P为⊙C 的关联点。 已知点D（

11，），E（0，-2），F（23，0） 22（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D，E，F中，⊙O的关联点是__________；

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②过点F作直线交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。

解析：【解析】(1) ①D、E；

② 由题意可知，若P点要刚好是圆C的关联点； 需要点P到圆C的两条切线PA和PB之间所夹

的角度为60?；

由图1可知?APB?60?，则?CPB?30?，

BC?2BC?2r；

sin?CPB∴若P点为圆C的关联点；则需点P到圆心的距离d满足0?d?2r；

P由上述证明可知，考虑临界位置的P点，如图2；

点P到原点的距离OP?2?1?2； 过O作x轴的垂线OH，垂足为H；

OF23Btan?OGF???3； AOG2C∴?OGF?60?；

连接BC，则PC?∴OH?OG?sin60??3；

图1OH3； ?OP2∴?OPH?60?；

∴sin?OPH?易得点P1与点G重合，过P2作P2M?x轴于点M； 易得?P2OM?30?； ∴OM?OP2?cos30??3；

从而若点P为圆O的关联点，则P点必在线段P1P2上；

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yG(P1)HP2OMFx图2

∴0?m?3；

(2) 若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段EF的中点； 考虑临界情况，如图3； 即恰好E、F点为圆K的关联时，则KF?2KN?EF?2； ∴此时r?1；

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，

这个圆的半径r的取值范围为r?1.

E图3KN12yFx

【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开

头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于2倍半

径的点.

了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.

2013年北京市中考数学试题难点解析

2013 年北京市中考试卷数学试题整体难度较 2012 年有所下降。从近四年（2009-2012）北京中考数学试题的难易程度可以看出北京市中考数 学整体大小年的规律。2013 年北京中考数学平均分预计将较去年有所提升。

本套试卷在保持对基础知识的考察力度上，更加重视对数学思想方法和学生综合素质能 力的考察，体现了“实践与操作，综合与探究，创新与应用”的命题特点，与中考考试说明 中 C 级要求相呼应。

一、试题的基本结构：

整个试卷五道大题、25个题目，总分120分。

其中包括选择题（共8个题目，共32分）、

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填空题（共4个题目，共16分）、

解答题（包括计算题，证明题、应用题和综合题；共13个

题目，共72分）。 1. 题型与题量 选择题 题数 8

2. 考查的内容及分布

从试卷考查的内容来看，几乎覆盖了数学《课程标准》所列的主要知识点，并且对初中数学的主要内容都作了重点考查。 中国教育出&版~%网填空题 分值 32 题数 4 分值 16 13 解答题 题数 分值 72 内容 分值 数与代数 60 图形与空间 47 统计与概率 13

3. 每道题目所考查的知识点 题型 题号 1 2 选 择 题 3 4 5 6 7 8 填 空 题 9 10 11 12 13 解 答 题 一 解 答 题 二 解 答 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 考查知识点 科学记数法 有理数的概念（倒数） 概率 平行线的性质 相似三角形 轴对称、中心对称 平均数 圆中的动点的函数图像 因式分解（提公因式法、公式法） 抛物线的解析式 矩形、中位线 函数综合找规律（循环规律） 三角形全等证明 实数运算（0次幂、-1次幂、绝对值、特殊角三角函数） 解一元一次不等式组 代数式化简求值（整体代入） 列分式方程解应用题 一元二次方程（判别式、整数解） 梯形中的计算（平行四边形判定、梯形常用辅助线作法、特殊三角形的性质） 圆中的证明与计算（三角形相似、三角函数、切线的性质） 统计图表（折线统计图、扇形统计图、统计表） 操作与探究（旋转、从正方形到等边三角形的变式、全等三角形） 代数综合（二次函数的性质、一次函数的图像对称、二次函数的图像对称、数形结合思想、二次函数解析式的确定） 第 15 页 共 41 页

题 三

24 25 几何综合（等边三角形、等腰直角三角形、旋转全等、对称全等、倒角） 代几综合（“新定义”、特殊直角三角形的性质、圆、特殊角三角形函数、数形结合） 二、命题主要特点：

第 8、12、22、23、24、25 题依旧是比较难的题型，其他题型属于基础或者中档题。近四年北京中考数学试题这几道题考查分布： 题型\\年份 2010 2011 2012 2013 第 8 题 （创新题） 立体图形展开图 动点函数图象 动点函数图象 动点函数图象 第 22 题 （操作与探究） 轴对称、正方形 平移、等积变换 正方形、等边三 几何坐标化、 角形、全等三角 方 程与方程组 形 第 23 题 （综合题） 第 24 题 （综合题） 第 25 题 （综合题）

（代数综合） （代数综合） （代数综合） （代数综合） 二次函数、一次 二次 反比例函数、旋 二次函数、一 一次函数、函数、等腰直角 图形对称 转、恒等变形 次 函数、一元二函数、三角形、数形结 数形结合 次 方程、函数图合 象 平移、数形结合 （代几综合） （几何综合） （几何综合） （几何综合） 二次函数、等腰 旋转、等腰直角 轴对称、等腰三 等边三角形、等 直角三角形、分 三角形、等边三 角形、倒角 腰直角三角形、 类讨论、数形结 角形、直角三角 旋转、倒角 合 形、平行四边形 （代几综合） （几何综合） （代几综合） （代几综合） 一次函数、圆、 等腰三角形、轴 “新定义”、一次 一次函数、圆、 平行四边形、分 对称、倒角 函数、圆、相似 特殊直角三角形 类讨论 特点一、题目总体难度降低，23题代数综合和25题代几综合等压轴题理解题意仍有一定难度，以体现试卷区分度，但试题总体难度相较去年有大幅下降。

特点二、题型设置上较以往有微调，例如第1、2题位置调整；第18题的一次函数综合体换成了一元二次方程；第19题回归对梯形的考察；第20题第(1)问没有考察切线的证明等。

特点三、试题内容上趋于稳定，没有“偏难怪”题，除了25题中的新定义“关联点”之外，其他题都较为常规，较好的体现了“稳中求变”的命题主导思想。

特点四、从试卷中最直观反应出的是阅读量的减小，去年中考第25题占了一整页纸，阅读占了很大比重，今年题型仍然新颖，但阅读量明显减少。

特点五、计算量大幅下降，去年计算题19题、20题是几何计算题，有一定的难度，计算量普遍大，但今年的19题、20题不论解题难度还是计算难度都骤降。

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特点六、填空第12题考察循环规律，与前2年的递进规律类型有所不同，当然如果重视观察能力和精确作图能力，也可以很容易发现四次变化后回到A1。

特点八、延续了去年和前年的改革方向，增加对圆的考察，例如选择题第8题、解答题第20题。解答题第25题都涉及圆的知识。

特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。

三、重难易错题目点评：

1. 易错题目 易错题号 8 12 17 2. 难题22 23 24 25

总体来看，2013年并没有出现一点儿都无从下手的题目，体现了很好的梯度，让学生上手容易拿全难，有比较好的区分度，这是北京中考命题的一大特点，相信2014年也会是这种形式。

来源:#zzst*ep.com%^@]错误原因 易被圆的对称性误导，从而误认为函数图象为对称图像 前2年均为递进规律，形成思维定势，不太容易抓住本质规律（循环规律） 分式方程应用题忘记检验 不得分原因 没看懂题，不理解图2的作用是什么 利用对称来进行数形结合练得比较少，抓不住第(3)问的关键 对重要全等模型“手拉手”不熟悉，很难发现如何构造三角形全等；倒角证明三角形全等也是本题的难点 题目没读懂，没有理解“新定义”的关键是到原点的距离要小于半径的2倍 难题题号 第 17 页 共 41 页

2013年上海市初中毕业生统一学业考试

数学试卷

（满分150分，考试时间100分钟）

考生注意：

1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）

【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】

1．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） （A） 9； （B）7 ； （C） 20 ； （D）1 ． 3

2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）

（A）x2?1?0；（B）x2?x?1?0；（C）x2?x?1?0 ；（D）x2?x?1?0．

3．如果将抛物线y?x?2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（ ） （A）y?(x?1)?2；（B）y?(x?1)?2； （C）y?x?1；（D）y?x?3．

22222

4．数据 0，1，1，3，3，4 的中位线和平均数分别是（ ）

（A） 2和2.4 ； （B）2和2 ； （C）1和2； （D）3和2．

DAEBF图1

C第 18 页 共 41 页

5．如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点， DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB = 3∶5，那么CF∶CB等于（ ）

（A） 5∶8 ； （B）3∶8 ； （C） 3∶5 ； （D）2∶5． 6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中， 能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（ ）

（A）∠BDC =∠BCD；（B）∠ABC =∠DAB；（C）∠ADB =∠DAC；（D）∠AOB =∠BOC．

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．因式分解：a2?1 = _____________．

8．不等式组?x?1?0 的解集是____________．

??2x?3?x第 19 页 共 41 页

3b2a9．计算：?= ___________．

ab

10．计算：2 (a─b) + 3b= ___________．

11．已知函数 f?x??2，那么 f2= __________．

??x?13

12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字母e的概率为___________．

13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为___________．

人数 50

甲

y(升)8040AFCDE3.52.530丙B乙丁O160240图2

图3

x(千米)图4

第 20 页 共 41 页

14．在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为___________．

15．如图3，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF = CE，AC∥DF，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是____________．（只需写一个，不添加辅助线）

16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果邮箱剩余油量 y（升）与行驶里程

x（千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时邮箱剩余油量是

__________升．

17．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__________．

A第 21 页 共 41 页

B图5

C

3

18．如图5，在△ABC中，AB?AC，BC?8， tan C = ，如果将△ABC

2沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D， 那么BD的长为__________．

三、解答题：（本大题共7题，满分78分）

（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分48分） [将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上] 19．计算：8?

12?1??0?()?1 ．

2

20．解方程组： ??x?y??2?x?xy?2y?022．

y1O1图6 x

21．已知平面直角坐标系xoy（如图6），直线 y?1x?b经 2过第一、二、三象限，与y轴交于点B，点A（2，1）在这条直线上，

第 22 页 共 41 页

联结AO，△AOB的面积等于1． （1）求b的值； （2）如果反比例函数y?k（k是常量，k?0） x的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．

22．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图7－1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图7－2所示，其示意图如图7－3所示，其中AB⊥BC，

EF∥BC，?EAB?1430，AB?AE?1.2米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．

（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计参考数据：sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75．） A

E

E

F

A

F

A B

C

E

F

图7-1 图7-2

图7-3

23．如图8，在△ABC中，?ABC=900， ?B??A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E， ACF∥AB交DE的延长线于点F． （1）求证：DE?EF；

DEF（2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的

第 23 页 共 41 页

B图8

C

延长线于点G，求证：?B??A??DGC．

24．如图9，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y?ax?bx(a?0）经过点Ay2和x轴正半轴上的点B，AO?OB= 2，?AOB?1200． （1）求这条抛物线的表达式；

（2）联结OM，求?AOM的大小；

（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．

AOBMx图

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25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，

垂足为点M，联结QP（如图10）．已知AD?13，AB?5，设AP?x，BQ?y．

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