三个不等式竞赛题的再探究

2 0 1 3年 9月

案例点评

材法

三个不等式竞赛题的再探究◎陕西省咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 (特级教师 )

1 3题 1=: ( 2 0 0 3年芙圜数字樊林克题 J议Ⅱ, b, c∈R,

同样地，可以得出问题2和问题3的下界和上界问题 5:设a, b, c∈R ,且a+ b+ c= 3,试证：

试证：

( 2 a+ b+ c ) 2 ( 2 b瓣+ c+ a ) 2+ ( 2 c + a+ b ) 2≤8+.

2+ ( 6+ c) 2 6 + ( c+Ⅱ ) 2 c 2+ ( 0+ 6)

3<— 2 a 2+ (— b+ c ) 2+

+ 9

^ 2 0

v ,/

+— 2 c 2+ ( a—+ b ) 2’

c + 9

问题2: ( 2 0 0 6年北方数学竞赛题 )设a, b, C∈ R ,且n+b+ c= 3,试证：

证明：所证不等式等价于a2+

2+ (

丽 a 2+ 9 瓣 b 2+ 9 c 2+ 9 b+ c + 2 b c+ a+) + (

2+ ( 3— 0) 2 6 + ( 3— 6)≤5 .

-_ 9 + b 2+ 9+ 丽 c 2+ 9 2 c 3 - c> 3 .+ ( )

( )

) 2 c + (口+ 6)

问题3: ( 1 9 9 7年日本数学奥林匹克题 )设a, b, c∈R ,试证：

构造函数厂 ( )=

, 0< < 3 .取点P ( 0, 1 ),

Q( 3, 1 ),则割线P Q的方程为= 1,从而+

( b + c - a ) 2 ( c + a - b ) z+ ( a+ b - c ) 2>。 3.

( 6+ c) +

( c+ r上 ) + 6 ( n+ 6) + c

5

—> 1 . 2 X 2+ ( 3— - X ) 2>

( (: ) )

这三道不等式竞赛题均可以用切线方法证之，具体的证明过程留给渎者去探究，或者去查找有关的书刊.

等价于2 x ( x一 3 )< 0,对0< x< 3成立.在( )式里，取= o, b, C,叠加，知( )式成立.

在2 0 1 2年第6期《数学教学》上，其问题 8 6 0题给出了问题 1的下界估计，得到：问题4:设Ⅱ, b, C∈R ,试证：( 2 a + b+ c ) 2+( 2 b+ c

+ a ) 2+ ( 2 c + a+ b ) 22+ (b+c——

故有3< 而 a 2+ 9 + b 2+ 9 + c 2+ 9丽问题6:设Ⅱ, b, C∈R,试证：

.

)

2 b c+ a—

+ (

) 2 c 2+ ( 0+ 6)

> 4 .

c ) z _ 而+

( b+ c - a ) 2+ ( 6

。( c+。

+( a+ b - c ) 2 ) 2+ b 2 < 3 .’ ( ( z+ 6)。+ c …丽

十分有趣的是，这个不等式可以用割线方法来证明. 证明：不妨设a+ b+ c= l,则所证不等式等价于2 ( + ( 1一 r上 )。 + (一 )+ 2 b

证明：不妨设a+ b+ c= l,则所证不等式等价于( ) 1 - a+ 。(一 )2+ 1 b+ b 2+ 1 c 2t _ c2

。 (-

).

。

㈩、

1 b

+ 2

c + ( 1 C一 ) 。

构造函数/ ( )= 孥{≥ ( 0< < 1 ) .取点( 1 - 2 x ) 2< 1.

Q( 1, 1 ),则割线的方程为),= 1,从而构造函数厂 ( )= 等 , 0< < 1 .取点 P ( 0, 1 ), P(0,1),

Q ( 1, 2 ),则割线P Q的方程为y= x+ l,从而.

(料)

㈩

等价于2 x ( x一 1 )< 0,对0< 1成立.在( )式里，取= n, b, C,叠加，知( )式成立.

等价于3 x ( x一 1 )< 0,对0< x< 1成立. 在( )式里， I g￣= a, b, c,叠加得

故有等鬻+ ( c+ a丽 - b ) 2+ ( a+ b - c ) 2< 3 . _高中版中。?擞 ?

— j 2: + ( 10)+— 2— b : 1 - b 2+一 2 c— : 1 C>。+ 6+ c+ 3= 4 . + ( + (一 )—

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