高数辅导之专题十九：正项级数的敛散性判别法

专题十九

基础知识

常数项级数

?un?1?n?u1?u2???un??的部分和数列{sn}，sn?u1?u2???un。

定义1 若limsn?s，常数项级数

n???un?1?n收敛，且

?un?1??n?s； 若limsn不存在，常数项级

n??数

?un?1?n发散。（常数项级数

?un?1?n是否收敛取决于

?un?1n的部分和数列{sn}是否存在极限）

常数项级数的基本性质： 性质1若级数

?un?1?n、

?vn?1??n收敛，其和分别为u、v，k、l是常数，则级数

?(kun?1?n?lvn)亦收敛，且其和为ku?lv，亦即

?(kun?1n?lvn)?k?un?l?vn?ku?lv

n?1?n?1??推论1若级数

?un?1??n收敛，

??vn?1n?n发散，则

??(kun?1nn?lvn)发散，其中l是不为零的常数。

思考：若级数

?un?1n、

?vn?1发散，级数

??(un?1n?vn)是否一定发散？

性质2（级数收敛的必要条件）级数

?un?1收敛的必要条件是limun?0

n??推论2若limun不存在或limun?0，级数

n??n???un?1?n发散。（常用此推论证明级数发散）

常数项级数

?un?1?n?u1?u2???un??实际上是由数列{un}逐项相加得到的。数列

只与数列{un}的后面无穷多项有{un}的极限是否存在与数列{un}的前几项没有任何关系，关。常数项级数

?un?1?n的和是否存在同样与数列{un}的前几项没有任何关系，只与数列{un} 1

的后面无穷多项有关，只是如果级数

?un?1n?n收敛的话，数列{un}的前几项在级数

?un?1?n的和

中占有极大的比重。（故如果级数

?un?1?收敛，应着重注意其首项是从几开始的）

常数项级数

?un?1?n可分为正项级数、交错级数、任意项级数等，本专题介绍正项级数的敛散

性判别法。 定理1正项级数

?un?1?n（un?0）收敛的充分必要条件是其部分和数列{sn}有上界。

??定理2（比较判别法）设

?un?1n和

?vn?1n都是正项级数，且

un?vn，n?1,2,3,?

（1）若级数

?vn?1??n收敛，则级数

?un?1??n亦收敛；

（2）若级数

?un?1n发散，则级数

?vn?1n亦发散。

（实际上只要求n大于某一n0即可，不需要从1开始） 定理3（比较判别法的极限形式）设

?un?1?n和

?vn?1?n都是正项级数，且

lim??un?l

n??vn（1）若0?l???，则

?un?1nn和

?vn?1n同时收敛或同时发散；

?（2）若l?0且级数

?vn?1??收敛，则级数

?un?1?n收敛；

（3）若l???且级数

?vn?1n发散，则级数

??un?1n发散。

定理4（达朗贝尔比值判别法）设

?un?1n是正项级数，且

2

lim（1）当0???1时，级数收敛；

un?1??

n??un（2）当??1（或????）时，级数发散； （3）当??1时，级数可能收敛也可能发散。

定理5（根式判别法）设

?un?1n?n是正项级数（un?0），若limnun??，则

n??（1）当0???1时，

?un?1n?收敛；

（2）当??1时，

?un?1??发散；

（3）当??1时，

?un?1n可能收敛也可能发散。

注：应用比较判别法的关键是收集一些已知其敛散性的正项级数，并选择其中合适的一个做

为参照物。在此给出几个重要的正项级数： （1）几何级数

?aq：当|q|?1时收敛，且?aqn?nn?1n?1??a；当|q|?1时发散。 1?q（2）p级数

1：当p?1时收敛，当p?1时发散。 ?pn?1n1发散。 ?n?1n??（3）调和级数

（4）级数

1收敛。 ?2nn?1?注：其中的p级数非常非常重要，很多题目的解答均有涉及。

例题

1. 判定级数

?n(n?1)的敛散性。

n?1?1 3

n111解：lim??lim?(?)

n??n??k?1k?1k(k?1)k?1kn ?lim(1?n??1) n?1 ?1

?11故?收敛且??1。 n?1n(n?1)n?1n(n?1)?注：此方法最为一般，但也最为具有代表性，一定要掌握。

?1n1en2. 在级数?、?n、中，有哪些是收敛的？ (3?)sin?nn3n3n?2lnnn?1n?13?2?1???3331??解：对于?，由于，?发散，由比较判别法知?发散。333lnnlnnnn?2nn?2lnnn?2lnn?11?eenenenenen0??1?~()对于?n，由于，，()收敛，由比?nnn23333?23?2nnn?1n?13(1?())3??1n1en较判别法知?n收敛。对于，由于 (3?)sin?nnn33?2n?1n?1?11111lim(3?)nsinn?lim(3?)n?n?lim(1?)n n??n??n??nn3n33??1(?3n)??3)?e3?0 ?lim(1?n??3n11由级数收敛的必要条件知

1n1发散。 (3?)sin?nn3n?1?注：在判定正项级数的敛散性时，等价无穷小替换同样适用。如此题中的

en23n(1?()n)13lim?lim?1 nn??n??2ne1?()n33??1n1enen故级数?n与的敛散性相同。又如对于本题中的级数，其 (3?)sin??nnnn3n?1n?13?2n?13?与

1n1（x?0时，sinx~x） (3?)n的敛散性相同。?n3n?1? 4

3.

?(1?cosn)

n?1?1解：由于

11?cosn?1（x?0时，1?cosx~1x2） limn??122n2?11收敛，由比较判别法的极限形式知(1?cos)收敛。 ??2nn?12nn?1?4. 设q?0为常数，讨论级数解：分三种情形说明： （1）当0?q?1时，

1的敛散性。 ?n1?qn?1?lim11??1?0

n??1?qn1?0由级数收敛的必要条件知

1发散。 ?nn?11?q??111?（2）当q?1时，，由级数收敛的必要条件知发散。 ?n1?1n21?qn?1（3）当q?1时，由于

0?111n??()

q1?qnqn??111n||?1，?()收敛，由比较判别法知?收敛。 nqq1?qn?1n?1综上，当q?1时

1收敛，0?q?1时发散。 ?nn?11?q?5. 已知数列{nan}收敛，证明：由于

?n(an?2n?1?n?an?1)亦收敛，证明：?an收敛。

n?1??k(ak?2n?1k?ak?1)??kak??kak?1

k?2k?2n?1 5

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