数学建模练习题

数学建模习题

题目1

1.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g装的每支1.5元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1.试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1） 分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他

成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

（2） 给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但

是随着w的增加c减小的程度变小，解释实际意义是什么。 解答：

（1） 分析：生产成本主要与重量w成正比，包装成本主要与表面积s成正比，

其他成本也包含与w和s成正比的部分，上述三种成本中都包含有与w,s

均无关的成本。又因为形状一定时一般有为

（2） 单位重量价格

,故商品的价格可表示

（α，β，γ为大于0的常数）。

,显然c是w的减函数。说明大

包装比小包装的商品更便宜，曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装

的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品。 函数图像如下图所示：

题目2

2.在考虑最优定价问题时设销售期为T，由于商品的损耗，成本q随时间增长，设

将销售期分为,

,β为增长率。又设单位时间的销售量为

和

(p为价格)。今

.求

,

两段，每段的价格固定，记为,

的最优值，使销售期内的总利润最大。如果要求销售期T内的总销售量为

再求,的最优值。

解答：

由题意得：总利润为

,

=

+

=

由=0，，可得最优价格

,

设总销量为

，

在此约束条件下

的最大值点为

,

题目3

3.某商店要订购一批商品零售，设购进价,售出,订购费c0(与数量无关)，随机需求量r的概率密度为p(r)，每件商品的贮存费为(与时间无关)。问如何确定订购量才能使商店的平均利润最大，这个平均利润是多少。为使这个平均利润为正值，需要对订购费c0加什么限制？ 解答：

设订购量为u，则平均利润为

u的最优值满足

最大利润为.为使这个利润为正值，应有

.

题目4

4.雨滴匀速下降，空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比，试确定雨速与雨滴质量的关系。 解答：

雨滴质量m，体积V，表面积S与某特征尺寸l之间的关系为，可得=，而

，

。雨滴在重力和空气阻力的作用下以匀速v降落，所以

.由以上关系得

.

题目5

5.某银行经理计划啊用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益如表1所示。按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制： 1） 政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

2） 所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

3） 所购证券的平均到期年限不超过5年。 表1 证券信息 证券名称 证券种类 信用等级 到期年限 到期税前收益/% A 市政 2 9 4.3 B 代办机构 2 15 5.4 C 政府 1 4 5 D 政府 1 3 4.4 E 市政 5 2 4.5 问：（1）若该经理有1000万元资金，应如何投资？ （2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理如何操作？ （3） 在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改

变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？ 解答：

（1） 设投资证券A,B,C,D,E的金额分别为

限制和1000万元资金约束，列出模型

（百万元），按照规定、

s.t.

，即

，即

用LINGO求解得到：证券A,C,E分别投资2.182百万元，7.364百万元，0.454百万元，最大税后收益为0.298百万元。 （2） 由（1）的结果中影子价格可知，若资金增加100万元，收益可增加0.0298

百万元。大于以2.75%的利率借到100万元资金的利息，所以应借贷。投资方案需将上面模型第二个约束右端改为11，求解得到：证券A,C,E分别投资2.40百万元，8.10百万元，0.50百万元，最大税后收益为0.3007百万元。

（3） 由（1）结果中目标函数系数的允许范围（最优解不变）可知，证券A的

税前收益可增加0.35%，故若证券A的税前收益增加为4.5%，投资不应改变；证券C的税前收益可减少0.112%（按50%的税率纳税），故若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应该改变。

题目6

6.某公司将4种不同含硫量的液体原料（分别记为甲、乙、丙、丁）混合生产两种产品（分别记为A,B）。按照生产工艺的要求，原料甲、乙、丁必须首先倒入混合池中混合，混合后的液体再分别为原料丙混合生产A,B。已知原料甲、乙、丙、丁的含硫量分别为3%，1%，2%，1%，进货价格分别为6,16,10,15（千元/t）；产品A,B的含硫量分别不能超过2.5,1.5（%），售价分别为9,15（千元/t）。根据市场信息，原料甲、乙、丙的供应没有限制，原料丁的供应量最多为50t；产品A,B的市场需求量分别为100t，200t。问应如何安排生产？ 解答： 设

分别是产品A中是来自混合池和原料丙的吨数，

分别是产品B中来

.

自混合池和原料丙的吨数；混合池中原料甲、乙、丁所占的比例分别为优化目标是总利润最大，即

约束条件为：

1） 原料最大供应量限制：2） 产品最大需求量限制：3） 产品最大含硫量限制： 对产品A，对产品B，类似可得4)其他限制：

，即

用LINGO求解得到结果为：数值为450.

，其余为0；目标函

题目7

7.建立耐用消费品市场销售量的模型。如果知道了过去若干时期销售量的情况，如何确定模型的参数？ 解答：

设耐用品销售量为x(t)，可用logistic模型描述x(t)的变化规律，即=kx(N-x),其中N是市场饱和量，k是比例系数，N，k，可由过去若干时期的销售量

确定，不妨设,

计。

可取

或

,则方程可离散化为

，N和k可由最小二乘法估

题目8

8.在鱼塘中投放

尾鱼苗，随着时间的增长，尾数将减少而每尾的质量将增加。

（1） 设尾数n(t)的（相对）减少率为常数；由于喂养引起的每尾鱼质量的增

加率与鱼的表面积成正比，由于消耗引起的每尾鱼质量的减少率与质量本身成正比。分别建立尾数与每尾鱼质量的微分方程，并求解。

（2） 用控制网眼的办法不捕小鱼，到时刻T才开始捕捞，捕捞能力用尾数的相

对减少量

表示，记作E，即单位时间捕获量是En(t).问如何选择T

和E，使从T开始的捕获量最大。 解答：

（1）尾数n(t)满足

得

.每尾鱼重w(t)

满足，不妨近似设w(0)=0，得.

，

（2）设t=T时开始捕捞，且单位时间捕捞率为E，则tT时有因此得

，单位时间捕捞鱼的尾数为En(t)，每尾鱼重

w(t)，所以从T开始的鱼捕捞量是

，问题为求

使y最大，可用数值法求解。

题目9

9.速度为v的风吹在迎风面积为s的风车上，空气密度是。用量纲分析方法确定风车获得的功率P与v,s,的关系。 解答： 设解得

,量纲表达式：

，故

(是无量纲常数)。

，

题目10

10.大陆上物种数目可以看做常数，各物种独立地从大陆向附近一岛屿迁移。岛上物种数量的增加与尚未迁移的物种数量有关，而随着迁移物种的增加又导致岛上物种的减少。在适当假设下建立岛上物种数的模型，并讨论稳定状况。 解答：

植物、哺乳动物、爬行动物的数量分别记作对植物生长的限制，则模型为

平衡点为P1（0，0,0），

.

.若不考虑自然资源

题目11

11.下表列出了某城市18位35-44岁经理的年平均收入（千元），风险偏好度和人寿保险额y（千元）的数据，其中风险偏好度是根据发给每个经理的问卷调查表综合评估得到的，它的数值越大就越偏爱高风险。研究人员想研究此年龄段中的经理所投保的人寿保险额与年均收入及风险偏好度之间的关系。研究者预计，经理的年均收入和人寿保险额之间存在着二次关系，并有把握的认为风险偏好度对人寿保险额有线性效应，但对于风险偏好度对人寿保险额是否有二次效应以及两个自变量是否对人寿保险额有交互效应，心中没底。

请你通过表2中的数据建立一个合适的回归模型，验证上面的看法，并给出进一步的分析。

表2 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 y 196 63 252 84 126 14 49 49 266 66.240.972.9945.057.2026.8538.1275.79x1 9 6 6 1 4 2 2 35.84 6 x2 7 5 10 6 4 5 4 6 9 序号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 y 49 105 98 77 14 56 245 133 133 37.454.346.1846.130.3652.7655.91x1 1 8 6 3 6 39.06 79.38 6 6 x2 5 2 7 4 3 5 1 8 6 解答：, 最终的回归方程为

(如模型中加入

,且项，其回归系数

置信区间均含零点)。表明只有经理们的年均收入及其二次项和风险偏好度本身

对他们投保的人寿保险额有显著影响。

题目12

12.表3给出了某工厂产品的生产批量与单位成本（单位：元）的数据，从散点图可以明显的发现，生产批量在500以内时，单位成本对生产批量服从一种线性关系，生产批量超过500时服从另一种线性关系，此时单位成本明显下降。希望你构造一个合适的回归模型全面的描述生产批量与单位成本的关系。

表3 生产批量 650 340 400 800 300 600 720 480 440 540 750 单位成本 2.48 4.45 4.52 1.38 4.65 2.96 2.18 4.04 4.2 3.1 1.5 生产批量与单位成本分别记作x和y，为表示x在500以下和以上时，y与x的

不同关系，引入一个虚拟变量D，令

，得到

建立线性回归模型

参数 参数估计值 参考置信区间 β0 6.1621 [5.0368,7.2874] β1 -0.0047 [-0.0074,-0.0020] β2 -0.0036 [-0.0076,0.0003] 当生产批量小于500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047元；当生产批量超过500时，每增加一个单位批量，单位成本降低0.0047+0.0036=0.0083元。

从散点图看，也可以拟合x的二次回归模型

.

题目13

13.在一项调查降价折扣券对顾客的消费行为影响的研究中，商家对1000个顾客发放了商品折扣券和宣传资料，折扣券的折扣比例分别为5%，10%，15%，20%，30%，每种比例的折扣券均发放了200人，现记录他们在一个月内使用折扣券购物的人数和比例数据如表4.

折扣比例/% 5 10 15 20 30 持折扣券人数 200 200 200 200 200 表4 使用折扣券人数 32 51 70 103 148 使用折扣券人数比例 0.16 0.255 0.35 0.515 0.74 （1） 对使用折扣券人数比例先做logit变换，再对使用折扣券人数比例与折扣比例，建立普通的一元线性回归模型。

（2） 直接利用MATLAB统计工具箱中的glmfit命令，建立使用折扣券人数比例

与折扣比例的logit模型。与（1）作比较，并估计若想要使用折扣券人数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为多大？ 解答：

（1） 记x为折扣比例，

为使用折扣券人数比例，做logit变换

,普通的一元线性回归模型为,这里没有

给出误差项的形成，利用MATLAB统计工具箱中的命令regress，可算出

，通过检验，高度显著。

（2） 利用glmfit命令可以得到

拟合程度也非常好。（1）中模型表面上看起来很好，其实在做估计和检验时，需要对误差项作较强的限制，而logit回归克服了这一缺陷。 又由

,解得

，故想要使用折扣券人

,

数比例为25%，则折扣券的折扣比例应该为10%。

题目14

14.“田忌赛马”是一个家喻户晓的故事：战国时期，齐国将军田忌经常与齐王赛马，设重金赌注。孙膑发现田忌与齐王的马脚力都差不多，可分为上、中、下三等。于是孙膑对田忌说：“您只管下大赌注，我能让您取胜。”田忌相信并答应了他，与齐王用千金来赌胜。比赛即将开始，孙膑对田忌说：“现在用您的下等马对付他的上等马，拿您的上等马对付他的中等马，拿您的中等马对付他的下等马。”三场比赛完后，田忌只有一场不胜而另两场胜，最终赢得齐王的千金赌注。 （1）分析这个故事中还隐含了哪些信息，并思考合适可以建模为一个博弈问题。何时只是一个简单的单人决策问题。

（2）如果齐王和田忌约定比赛开始前双方同时决定马的出场顺序，并且以后不可改变，这个博弈是否存在纯战略纳什均衡？如果不存在，求出该博弈模型的混合战略纳什均衡。 解答：

（1） 这个故事中还隐含了以下信息：田忌的每一等级的马都不如齐王的同等级

的马，但田忌的上等马胜过齐王的中等马，田忌的中等马胜过齐王的下等马。每人每一等级的马只允许出场一次(例如每人每一等级的马只有一匹，且每匹马只允许出场一次)。此外，

1) 如果齐王的马的出场顺序总是固定的（或者出场顺序在比赛开始前

就已经决定了且不可改变），而田忌知道这一点，那么齐王的行动就已经是完全给定了，这时只有田忌需要决策，是一个简单的单决策者的决策问题，可以用一般的优化方法进行建模和求解。不妨假设齐王的马的出场顺序为（上、中、下），则田忌最优的应对行动就是（下、上、中），这与孙膑给出的战略是一致的。

2) 如果齐王的马的出场顺序并不总是固定的，每场比赛时齐王首先决

定自己派哪个等级的马出场，然后田忌才决定派自己的哪个等级的马与之对抗，是一个完全信息动态博弈。田忌必须见机行事，根据齐王出哪种马，决定自己出哪种马（孙膑给出的战略仍是田忌的最优战略）

3) 比赛开始前双方同时决定马的出场顺序并且以后不可改变。假设齐

王和田忌在决策时所拥有的信息是一样的，这时就构成一个完全信息静态博弈。

（2） 双方的行动空间为{（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下），（中、

下、上），（下、上、中），（下、中、上）}。不存在纯战略纳什均衡。混

合战略纳什均衡为：双方各以1/6概率选择6个行动之一。

题目15

15.我们经常见到报道：一些不文明现象或违法行为发生在众目睽睽之下，却无人出面阻止或干预。如果不考虑这类事件的复杂社会、道德等因素，你能否完全从数学的角度通过建立博弈模型来定量分析一下这种“人多未必势众”的现象？具体来说，希望你的模型回答下面的问题：假设有多个人正在目睹某个不文明现象或违法行为，那么当目睹人数增加时，有人出面阻止或干预的可能性是增加了还是减少了？ 解答：

博弈参与人集合N={1,2，?，n}，每人的行动集合为A={0,1}，其中1为干预，0为不干预。若有人出面干预（这是参与人都希望的），设对每个参与人的价值为v（如由于不文明行为或违法行为得到阻止的心理安慰等）；若自己出面干预（这是参与人不希望的），设对每个参与人的成本为c（如遭到报复等）。可设v>c>0.假设所有参与人完全相同，每个参与人都希望最大化自己的效用v-c。如果没有人干预，每个人的效用均为0.

对每个参与人来说，如果其他人不出面干预，自己应该出面干预；如果有人出面干预，自己就不用出面干预了。因此，这个博弈存在纯战略纳什均衡：有且只有一个参与人出面干预，其他人不出面干预，从所有参与人整体上看这也是最优的方案。

但是，如果参与人之间没有信息的交流与行动上的合作，这一均衡是很难发生的，很可能要么没有人出面干预，要么有多人出面干预，这都不是纳什均衡。对这个问题，在不存在合作的情况下，假设所有参与人采用相同的战略是比较合理的，这样的战略组合如果构成纳什均衡，则称为对称纳什均衡。显然，这个博弈不存在纯战略对称纳什均衡，所以考虑混合战略对称纳什均衡：每个人的战略为以概率p采取行动1（以概率1-p采取行动0）。对一个参与者来说： 如果他出面干预（采取行动1），其效用为v-c。 如果他不出面干预（采取行动0），有两种可能：其他人也都不出面干预（可能性为

），其效用为0；其他人至少有一人出面干预（可能性为

），其效用为v。因此他不出面干预时的期望效用为

。

当出面干预与不出面干预的效用相等时，他就没有动机改变他的战略了。所以，纳什均衡满足的条件可以很简单的从等式到，即

.

得

题目16

16.同类型的商家经常会出现“扎堆”现象，形成各式各样的商品城，如“书城”、“灯具城”等。人们有时不得不跑很远的路去这类商品城，于是会抱怨：如果他们大致均匀的分布到城市的不同地点，难道不是对商家更为有利可图，也更方便顾客？请你以下面的问题为例，作出适当的假设，进行建模分析：某海滨浴场准备设立两个售货亭，以供海滩上游泳和休闲的人购买饮用水和小食品等。那么，这两个售货亭的店主将会分别将售货亭设立在哪里？ 解答：

将海滨浴场的海滩近似看成一条线段，售货亭位置的选择空间记为[0,1]区间。设两售货亭的位置分别位于

，其中点为

.假设顾客是均匀分布的。则售货亭1会吸引m左侧的顾客，售

货亭2会吸引m右侧的顾客。于是售货亭1、2的效用（份额）分别是：

。

容易证明唯一的纯战略纳什均衡为点。

.即双方“扎堆”于区间中

题目17

17.奇数个席位的理事会由三派组成，议案表决实行过半数通过方案。证明在任一派都不能操纵表决的条件下，三派占有的席位不论多少，他们在表决中的权重都是一样的。 解答：

设三派的席位分别为决，即

，于是

,记

（奇数）。任一派不能操纵表

，即任两派的席位过

半数。显然三派的权重都是一样的，各占1/3.

题目18

18.在基因遗传过程中，考虑三种基因类型：优种D（dd），混种H（dr）和劣种

R（rr）。对于任意的个体，每次用一混种与之交配，所得后代仍用混种交配，如此继续下去。构造马氏链模型，说明它是正则链，求稳态概率及由优种和混种出发的首次返回平均转移次数。如果改为每次用优种交配，再构造马氏链模型，说明它是吸收链，求由混种和劣种出发变为优种的平均转移次数。 解答： 状态定义为

，用混种交配时，转移概率矩阵为

由P2>0知，马氏链是正则链，稳定状态向量为w=(1/4,1/2,1/4).优种（D）和混种（R）出发的首次平均转移次数分别为4和2. 用优种交配时，转移概率矩阵为

，马氏链是吸收链。

由

i=1(D)的平均转移次数分别为2和3.

.知由i=2(H),i=3(R)出发，变为

，i=1(D)是吸收状态，

题目19

19.一家集生产、销售于一体的公司，希望生产率和贮存量都尽量稳定在预先设定的水平上，如果销售量可以预测，公司需要制订一个根据贮存量控制生产率的策略。

（1）以在一定时间T内生产率和贮存量与设定值误差的（加权）平方和最小为目标，给出泛函极值问题。

（2）设销售量为常数，求出最优解，并在T很大的情况下给出生产率和贮存量之间的关系。 解答：

（1） 记时刻t的贮存量x(t),单位时间产量（即生产率）和销售量分别为u(t)

和v(t),则

设预先给定的生产率和贮存量分别为

和

，则在时间T内u(t)和x(t)与

和

误差的（加权α）平方和最小的泛函极值为

若设t=0和T=0的贮存量为0，则

化简得

(2)当销售量

解得

（常数）时，欧拉方程为

化简得

在T很大的情况下，最后一项可忽略，于是

即生产率u可以由贮存量x直接确定。

题目20

20.遭受巨大损失：考虑由于预计全球温度会上升而导致的北极冰盖的融化对陆地的影响。特别要对由于冰盖融化在今后50年中每10年对佛罗里达州沿岸，尤其是大城市地区的影响进行建模。试提出适当的应对措施来处理这个问题。对所用数据的仔细讨论是回答本问题的重要组成部分。 解答：

仅仅北极冰盖融化对海平面的直接影响可能较小，而引起其他冰块融化的间接影响会是决定性的。可以分别对各个冰块提升海平面的影响建模，用常微分方程预测发生改变的速度。

对于小的冰盖和冰川用全球平均温度对海平面改变影响的模型，参数为融化对温度的敏感度等，对参数的不同取值计算50年后海平面的升高。对于大冰原考虑受热体积膨胀引起海平面的升高。一种计算结果是50年后升高20-30cm。 对佛罗里达州沿岸海平面升高1个单位等价于海沿岸水平损失100个单位。在最坏的情况下，到2058年几乎将损失27m陆地，会失去大多数较小的岛屿及沙滩，许多城市的港口都会遭到损失。讨论对物种和生物多样性、气候、旅游业、食品业及全球变暖的影响。

题目21

21.动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温基本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系。 解答：

假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体内热量主要通过它的表面积散失，对于一种动物其表面积S与某特征尺寸l之间的关系是

，所以饲养食物量

.

题目22

22.一家保姆服务公司专门向雇主提供保姆服务。根据估计，下一年的需求是：春季6000人日，夏季7500人日，秋季5500人日，冬季9000人日。公司新招聘的保姆必须经过5天的培训才能上岗，每个保姆每季度工作（新保姆包括培训）65天。保姆从该公司而不是从雇主那里得到报酬，每人每月工资800元。春季开始时公司拥有120名保姆，在每个季度结束后。将有15%的保姆自动离职。

（1）如果公司不允许解聘保姆，请你为公司制定下一年的招聘计划。哪些季度需求的增加不影响招聘计划？可以增加多少？

（2）如果公司在每个季度结束后允许解聘保姆，请为公司制定下一年的招聘计划。 解答：

（1） 设4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为

开始时保姆总数量分别为

人，4个季度

人。以本年度付出的总报酬最少

（即4个季度开始时保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

用LINGO求解并对结果取整。4个季度开始时公司新招聘的保姆数量分别为0，15,0,59人。 上面的模型中没有要求

取整数，是因为保姆数量较

大，可以近似看做实数处理。此外，由于非整数因子0.85的影响，如果要求

为整数，则可能使得新招聘的保姆数量远远超过实际

需要的数量，从而难以找到合理的整数解。

由以上结果中约束的松弛（或剩余）的数据知道，春季和秋季需求的增加不影响招聘计划，可以分别增加1800人日和936人日。

（2） 设4个季度开始时公司招聘的保姆数量分别为

束时解雇的保姆数量分别为别为

人，4个季度结

人，4个季度开始时保姆总数量分

人。以本年度付出的总报酬最少（即4个季度开始时

保姆总数量之和最小）为目标，则模型为

用LINGO求解并对结果取整得到，第二个季度开始时公司新招聘15人，第二个季度结束时解聘15人；第4个季度开始时新招聘72人。目标函数值为465.1218，比不允许解聘时数量略有减少。

题目23

23.对于技术革新的推广，在下列几种情况下分别建立模型：

（1）推广工作通过已经采用新技术的人进行，推广速度与采用新技术的人数成正比，推广是无限的。

（2）总人数有限，因而推广速度还会随着尚未采用新技术人数的减少而降低。

（3）在（2）的前提下考虑广告等媒介的传播作用。 解答：

设t时刻采用新技术的人数为x(t).

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