人教版九年级下册数学 27.2.3相似三角形应用举例

第二十七章相似

第6课时相似三角形应用举例

学习目标

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度问题.

知识点一：运用相似三角形的性质求线段长在实际生活中的应用

运用相似三角形的性质解决实际问题的步骤：

(1)在实际问题中构建两个三角形；

(2)根据已知条件证明这两个三角形相似；

(3)运用相似三角形的对应边成比例求未知线段的长.

对点练习

1.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高为1.5米，影子长1米，旗杆的影子长是6米，则旗杆的高度是()

A．9米B．8米

C．6米D．4米

知识点二：相似三角形的实际应用类型及方法

(1)利用相似三角形的性质测量不能直接到达的河的宽度；

(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度．

①方法1：利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度)；

②方法2：利用标杆(如测量古塔的高度)；

③方法3：利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).

对点练习

2.如图，为了测量某棵树的高度，小刚用长为2 m的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距6 m，与树距15 m，那么这棵树的高度为()

A．5 m

B．7 m

C．7.5 m

D．21 m

精典范例

【例1】如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260 cm，AB＝130 cm，球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．

(1)求证：△BEF∽△CDF；

(2)求CF的长．

【例2】如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时测得BD＝150米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的距离AB.

【例3】如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的水平距离DF＝2 m，求旗杆AB的高度．

变式练习

1.如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，求该古城墙的高度．

2.如图，为了估计河的宽度，我们在河对岸选定了一个目标点O，在近岸取点A，C使O，A，C三点共线，且线段OC与河岸垂直，接着在过点C且与OC垂直的直线上选择适当的点D，使OD与近岸所在的直线交于点B.若测得AC＝30 m，CD＝120 m，AB＝40 m，求河的宽度OA.

3.如图，某测量人员的眼睛A与标杆顶端F、电视塔顶端E在同一条直线上，已知此人的眼睛到地面的距离AB＝1.6 m，标杆FC＝2.2 m，且BC＝1 m，CD ＝5 m，标杆FC，ED垂直于地面，求电视塔的高ED.

巩固练习

1．如图，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量学校旗杆CD的高度，标杆BE 高1.5 m，测得AB＝2 m，BC＝14 m，则旗杆CD的高度是()

A．9 m B．10.5 m

C．12 m D．16 m

2．如图，测得BD＝140 m，DC＝70 m，EC＝50 m，则河宽AB为()

A．120 m B．100 m

C．75 m D．25 m

3．小新的身高是1 m，他的影子长为2 m，

同一时刻水塔的影长是32 m，则水塔的高

度是m.

4．如图，小明在打网球时，为使球恰好能过网(网高0.8米)，且落在对方区域离网5米的位置上，已知他的击球高度是2.4米，则她应站在离网米处．

5．如图是小明设计利用光线来测量某古城墙CD高度的示意图，如果镜子P与古城墙的距离PD＝12米，镜子P与小明的距离BP＝1.5米，小明刚好从镜子中看到古城墙顶端点C，小明眼睛距地面的高度AB＝1.2米，那么该古城墙的高度是多少米？

6．如图，在河两岸分别有A，B两村，现测得A，B，D在一条直线上，A，C，E在一条直线上，BC∥DE，DE＝100米，BC＝70米，BD＝30米，求A，B两村间的距离．

7．如图，直立在B处的标杆AB＝2.4 m，直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F，B，D也在同一条直线上)．已知BD＝8 m，FB＝2.5 m，人高EF＝1.5 m，求树高CD.

8．如图，将直角三角形余料截出一个矩形PMCN，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC ＝6 cm，点P，M，N分别在AB，AC，BC上，设CN＝x.

(1)试用含x的代数式表示PN;

(2)设矩形PMCN的面积为y(cm2)，

当x为何值时，y的值最大？最大

值是多少？

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