等腰三角形(专题)(含答案)

八年级复习资料

等腰三角形

知识点回顾

知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角 等腰三角形的两个底角 .

例1：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）A．30 B．40 C．45 D．36

分析：根据等边对等角的性质可知：∠ABC＝∠C，∠BDC＝∠C，∠BAD＝∠ABD．因此就有∠ABC＝∠C＝∠BDC，因此若设∠A＝x，则有∠BAD＝∠ABD＝x，∠BDC＝∠ABC＝∠C＝2x．所以可列方程：x+2x+2x＝180°可以解得x＝36°． 同步检测一：

1.在△ABC中，AB＝AC，①若∠A＝70°，则∠B＝ °，∠C＝ °②若∠B＝40°， 则∠A＝ °

2.）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ） Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65° 知识点二：等腰三角形的性质——三线合一

等腰三角形的 、 、 互相重合。 例2：如图，在△ABC中，AD＝AE，BD＝CE，求证：AB＝AC 解：过点A作AF⊥BC

∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵BD＝CE，∴BF＝CF∴AF垂直平分BC∴AB＝AC 同步检测二：

B

D

F

E

C

A

o

o

o

o

1.在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠B＝70°，BC＝10㎝，则BD＝ ，∠BAD＝ ° 知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边 在△ABC中，如果∠A＝∠B，则有 ＝

例3：如图，已知BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC交AB于E，求证：△BED是等腰三角形．

解：∵BD是∠ABC的角平分线 ∴∠ABD＝∠CBD ∵DE∥BC ∴∠CBD＝∠BDE ∴∠ABD＝∠BDE ∴BE＝DE

∴△BED是等腰三角形 同步检测三：

1.在△ABC中∠A＝50°，∠B＝80°，BC＝10㎝，则AB＝ ㎝ 知识点四：等边三角形的性质与判定

等边三角形的三条边都相等，三个角都相等且都等于 °

1

A E D B C

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都相等的三角形是等边三角形； 都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 的等腰三角形是等边三角形

例4:如图，C为线段AB上一点，△ACD，△CBE是等边三角形，AE与CD交于点M，BD与CE交于点N，AE交BD于点O．求证： ⑴AE＝BD

MEDONCB⑵∠AOB＝120° ⑶△CMN是等边三角形

A分析：⑴根据等边三角形的性质可用SAS证明△ACE≌△DCB，则得AE＝BD同时可得∠CEA＝∠CBD，⑵因此可由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得∠AOB＝∠AEB＋∠EBO＝∠AEC＋∠CEB＋∠EBO＝∠OBC＋∠CEB＋∠EBO＝∠BEC＋∠CBE＝60°＋60°＝120°⑶易知∠DCE＝60°，故只需证△MCE≌△NCB即可.

同步检测四：

1．若△ABC是等边三角形，D为AC的中点，则∠DBC＝ ° 2．下列三角形：

①有两个角等于60°的三角形；②有一个角为60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）均相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中可以确定是等边三角形的是 。 知识点五：含30°的直角三角形的性质

A在Rt△中，30°的角所对的直角边等于斜边的

E例5：如图，有一块形状为等边△ABC的空地，DE、EF为地块中的两条路，且D为AB的中

D点，DE⊥AC，EF∥AB，现已知AE＝5m，你能求出地块△EFC的周长吗？

分析：易知△EFC为等边三角形，则只需求出其边长即可。而由含30°的直角三角形的性质可求出AD＝10m，从而得AB为20m，进而得CE为15m。 同步检测五：

BBFC在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，若∠A＝30°，BC＝2㎝，则BD＝ ㎝，AD＝ ㎝

随堂检测：

AACDA1．等边三角形ABC中，D为AC的中点，延长BC到E，使CE＝CD，若AB＝10，则BE＝

BDDO第2题图ECBBFAC第6题图

C第1题图E2．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3㎝，则CD＝ ㎝ 3．等腰三角形的一个外角为140°，则这个三角形的顶角为 °． 4．等腰三角形的两边长分别为9和4，它的周长为 ．

2

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5．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10㎝，则BC＝ ㎝．

6．如图，△ABC中，AB＝AC， ∠B＝30°，EF垂直平分AB如CF＝8，则BF＝ ． 7．如图７，在Rt△ABC中，?A?90?，AB=AC＝86，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE?BE，则△CEF的面积是（ ） A． 16 B． 18 C． 66 D． 76 B

图７ A E F

C

8．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，腰长为4 cm，则其腰上的高为 cm. 9．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60o. (1)求证：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .

BAD

C第9题图

10.已知：如图， AF平分∠BAC，BC⊥AF， 垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF， AF相交于P，M．(1)求证：AB=CD；

(2)若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

同步练习：

B第1题图CA第3题图BA

CPAEDMFBDDC1．如图，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，则∠ACD＝ ，若AD＝2㎝，则△ABC的周长为 ㎝ 2．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）

A．顶角 B．顶角的一半 C．顶角的两倍 D．底角的一半

3．如图，在△ABC中 ，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，若AD＝6，则CD＝ 4．若等腰三角形的一个内角为50°，则其底角为

5．（09青海）方程x2?9x?18?0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）

3

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A．12 B．12或15 C．15 D．不能确定

6．在等腰△ABC中，AB＝AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7 B．11 C．7或11 D．7或10

7．如图，在等边△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，DE?3，则△ABC的周长是（ ）

A．6 B．9 C．18 D．24

8．如图所示，△ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长BC到E，使CE?CD，

B

A

D D E C

A

（1）用尺规作图的方法，过D点作DM?BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM?EM．

B

C

第9题图

E

9．已知：在△ABC中，AB＝AC．(1)设△ABC的周长为7，BC＝y，AB＝x(2≤x≤3)．写出y关于x的函数关系式，并在直角坐标系中画出此函数的图象；

(2)如图，D是线段BC上一点，连接AD．若∠B＝∠BAD， 求证：△ABC∽△DBA．

11．如图，已知正三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P， ①求证∠APE＝60°

②如EF⊥AD，则判断PF与PE的大小关系，并给出证明。

B

D

C

A

4

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随堂检测参考答案：

1．15；2．3；3．40°或100°；4．17或22；5.５；6．４：7．Ａ；8．23；9．证明：(1)∵AD∥BC，AB=DC ∠B=60° ∴∠DCB＝∠B＝60°

600∠DAC＝∠ACB 又∵AD=DC ∴∠DAC＝∠DCA ∴∠DCA=∠ACB＝＝300

2∴∠B+∠ACB＝90°∴AB⊥AC

（2）过点A作AE⊥BC于E∵∠B＝60°∴∠BAE＝30°又∵AB=DC＝6 ∴BE=3∴AE?AB2?BE2?36?9?33

11S梯＝(AD?BC)?AE?(6?12)?33?273 2212∵∠ACB＝30°，AB⊥AC∴BC=2AB=12∴

10．解：(1)证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=

∵D与A关于E对称，∴E为AD中点． ∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．

∠BAC．

在Rt△ACE和Rt△ABE中，（注：证全等也可得到AC=CD） ∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°， ∠CAD=∠DAB．

∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB． （注：证全等也可得到AC=AB） ∴AB=CD．

(2)∵∠BAC=2∠MPC， 又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．

∵AC=CD∴∠CAD=∠CDA∴∠MPC=∠CDA． ∴∠MPF=∠CDM． ∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．（ 注：证全等也可得到CE=BE）∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM． （ 注：证全等也可得到CM=BM）

∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，(等腰三角形三线合一) ∴∠CME=∠BME．（注：证全等也可得到∠CME=∠BME ）

∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠CME，∴∠MCD=∠F(三角形内角和)． 注：证三角形相似也可得到∠MCD=∠F

同步练习参考答案：

1．12；2．B；3．3；4．50°或65°；5．C；6．3?8．（1）作图见答案图，

（2） ?△ABC是等边三角形，D是AC的中点，

?3；6．C；7．18； A D M ?BD平分?ABC（三线合一），

??ABC?2?DBE． ?CE?CD， ??CED??CDE．

又??ACB??CED??CDE，

B C E

答案图

??ACB?2?E．又??ABC??ACB，

5

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