以函数、数列、三角形、不等式等实际问题(教学案)-2017年高考数

以函数、数列、三角形、不等式等实际问题

高考实际应用题一直是高考当中的重点与难点，虽有较为清晰的数学概念分析，但是如果学生对应用题当中的数学公式的基本应用没有一个较为清晰的理解，往往会陷入到应用的“陷阱”当中.因此良好的解题思路，以及正确的解题方式，是高考数学应用解题的重点.高考实际应用问题常常在函数、数列、三角函数和三角形、不等式中体现.因此对于高考数学应用题的解题方向来看，我们应当从构建具体的思维应用模式出发. 1 与函数相关的实际应用问题

函数是高中数学的主干和核心知识，以函数知识为背景的应用题一直活跃在高考的舞台上，引入关注，随着知识的更新，函数应用问题中的模型也越来越新颖.高考函数应用问题的热点模型主要有：一次、二次函数型，三次函数型，指数、对数函数型，分段函数型等.解函数应用问题的步骤(四步八字)：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

例1 【山东省滨州市2017届第一学期高三期中】近日，某公司对其生产的一款产品进行促销活动，经测算该产品的销售量P（单位：万件）与促销费用x（单位：万元）满足函数关系

2（其中0?x?a，a为正常数）．已知生产该产品的件数为P（单位：万件）时，x?120)元/件，还需投入成本10?2P（单位：万元）（不含促销费用），产品的销售价格定为(4?PP?3?假设生产量与销售量相等．

（1）将该产品的利润y（单位：万元）表示为促销费用x（单位：万元）的函数； （2）促销费用x（单位：万元）是多少时，该产品的利润y（单位：万元）取最大值． 思路分析：（1）利润等于销售额(4?202)p减去促销费用p?3?与投入成本10?2P之px?1和由题意p?3?24?x(0?x?a)．注意标注定义域 得，将入化简得y?16?x?1x?1（2）分数函数求最值，先考虑基本不等式

y?17?(44?x?1)?17?2?(x?1)?13，注意考虑等号成立条件：当且仅当x?1x?14?x?1，即x?1．然后根据1与a大小关系进行分类讨论：当a?1时，等号成立，即x?1

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x?1利润最大；当0?a?1时，利用导数研究函数单调性y'?4?1?0，即2(x?1)y?17?(4?x?1)在?0,a?上单调递增，所以x?a时利润最大． x?1试题解析：（1）由题意得y?(4?202)p?x?(10?2p)，将p?3?代入化简得px?1y?16?4?x(0?x?a)． x?1444?x?1，，当且仅当即x?1时，?x?1)?17?2?(x?1)?13x?1x?1x?1（2）y?17?(等号成立．当a?1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当0?a?1时，

y'?44?1?0，所以y?17?(?x?1)在?0,a?上单调递增，所以x?a时，函数2(x?1)x?1有最大值，即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．综上所述，当a?1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；当0?a?1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大． 点评：解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值. 例2【山西运城2017届高三上学期期中】为了保护环境，发展低碳经济，某单位再国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y?利用的化工产品价值为100元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？

思路分析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

12x?200x?80000，且每处理一顿二氧化碳得到可2y180000?x??200，利x2x用基本不等式，可求得当x?400时平均处理成本最低；（2）先求得获利表达式

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1S??(x?300)2?35000，因为400?x?600，所以当x?400时，S有最大值?40000，

2所以至少要补贴40000.

试题解析：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

y180000180000?x??200?2x??200?200， x2x2x180000x?，即x?400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元． 2x1（2）设该单位每月获利为S，则S?100x?y?100x?(x?200x?80000)

211??x2?300x?80000??(x?300)2?35000，

22当且仅当

因为400?x?600，所以当x?400时，S有最大值?40000． 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．

点评：本题主要考查实际应用问题，考查利用基本不等式求最值的方法，考查利用二次函数性质求最值的方法.第一问成本的表达式已经给出为y?12x?200x?80000，再除以x就得2到平均成本，观察这个平均成本，发现可以利用基本不等式求最值，基本不等式求最值要注意一正二定三相等.第二问要求补贴的最小值，也即是要求亏损的最大值.先列出获利的表达式，利用配方法求得最值. 2 与数列相关的实际应用问题

在高考中，经常会遇到求增长率和利息、分期付款等实际问题，对于这类问题，常常构造等差或等比数列模型来求解.数列应用题常见模型：（1）等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an?1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn?1之间的递推关系．

例3某渔业公司年初用98万元购得一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年的捕鱼收益50万元 （1）第几年开始获利？

(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船； ②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.请问：选择哪种方案更好？

解析：（1）由题设知每年费用是以12为首项，4为公差的等差数列. 设纯收入与年数的关系为

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f(n),则f(n)?50n?[12?16???(8?4n)]?98?40n?2n2?98.获利即为f(n)?0,

由40n?2n2?98?0,得 n2?20n?49?0,解之得 10?51?n?10?51,即

2.2?n?17.1,又n?N,?n?3,4,?,17.故当n?3时即第3年开始获利;

(2)方案①,年平均收入?f(n)94949?40?2(n?),?n??2n??14,当且仅当nnnnn?7时取”=”.

?f(n)?40?2?14?12(万元)，即年平均收益,总收益为12?7?26?110万元,此时nn?7

方案②,f(n)??2(n?10)2?102,?当n?10时,f(n)max?102,总收益为110万元, 但方案①需7年, 方案②需10年,故应选择方案①．

点评：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论．处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)；(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系．

3 与不等式相关的实际应用问题

不等式型的数学实际应用问题，常考两种类型：一是由题意建立数学模型，设立目标函数，列出不等式组，再作出不等式组作代表的平面区域图形（即可行解区域），根据区域来求出目标函数最值，即是使用线性规划的方法求出最值；二是考查以“实际问题为背景”与函数的极值问题相结合成为高考的热点和难点，可以巧妙利用不等式模型进行处理.

例4【山西运城2017届高三上学期期中，11】某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品1件需消耗A原料2千克，B原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A，B原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲，乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ） A．1800元

B．2400元

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C．2800元 D．3100元

【答案】C

?x?2y?12?【解析】设生产甲x，乙y，依题意有?2x?y?12，目标函数z?300x?400y，作出可行

?x,y?N?域如下图所示，由图可知，目标函数在点B?4,4?取得最大值为2800.

点评：本题主要考查线性规划来解实际应用问题.考查目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题. 线性目标函数z?Ax?By?C（A,B不全为0）中，当B?0时，

y??Az?CA，这样线性目标函数可看成斜率为?，且随z变化的一组平行线，则把求zx?BBB的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点，直线在y轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线y??Ax，再平行移动这条直线，最先通过或最后通过的可行域B的顶点就是最优解.特别注意，当B?0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而增大；当B?0时，z的值随着直线在y轴上的截距的增大而减小.通常情况可以利用可行域边界直线的斜率来判断.

4 与三角函数、三角形相关的实际应用问题

三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础，高考中常会考察与三角函数有关的实际问题，需要建立三角函数模型将实际问题转化为数学问题.解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论.

例5【河北省冀州中学2017届高三（复习班）上学期第二次阶段考试】如图，某城市有一条公路从正西方AO通过市中心O后转向东偏北?角方向的OB.位于该市的某大学M与市中

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心O的距离OM?313km，且?AOM??.现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站A，在OB上设一站B，铁路在AB部分为直线段，且经过大学M.其中tan??2，cos??3，13AO?15km.

（Ⅰ）求大学M与A站的距离AM； （Ⅱ）求铁路AB段的长AB.

os??思路分析：（Ⅰ）在?AOM中，利用已知及余弦定理即可解得AM的值；（Ⅱ）由c3，13且?为锐角，可求sin?，由正弦定理可得sin?MAO，结合tan??2，可求sin?，cos?，

sin?ABO，sin?AOB，结合AO?15，由正弦定理即可解得AB的值．

试题解析：（I）在?AOM中，AO?15，?AOM??且cos??3，OM?313， 13由余弦定理得，AM?OA?OM?2OAOMcos?AOM，

222?(313)2?152?2?313?15?3?13?9?15?15?2?3?15?3?72. 13∴AM?62，即大学M与站A的距离AM为62km. （II）∵cos??32，且?为锐角，∴sin??， 1313AMOM?， sin?sin?MAO在?AOM中，由正弦定理得，

62?3132即2?，∴sin?MAO?，∴?MAO?，

4213sin?MAO∴?ABO????4，∵tan??2，∴sin??21，cos??，

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∴sin?ABO?sin(???4)?12，又?AOB????，∴sin?AOB?sin(???)?， 105ABAO?，

sin?AOBsin?ABO在?AOB中，AO?15，由正弦定理得，

即

AB15?，∴AB?302，即铁路AB段的长AB为302km. 21510点评：本题以实际生活为背景考查了解三角形的应用，属于中等题.解三角形的核心问题就是处理好边和角的关系，即如何灵活的进行边角的转化，可以选择的知识有五点需要注意：内角和定理、面积公式（特别是正弦形式）、正弦定理、余弦定理、平面基本性质.我们的思路就是对这五点知识进行整合，同时，要注意对角的范围的挖掘，以及对局部小三角形性质的挖掘成为了解题的关键.

综合上面四种题型，可以采取以下几种技巧和方法：①对实际问题进行模式识别，涉及增长率的实际问题，可以考虑数列的相关模型；关于产量、物价、路程等实际问题，通常会联系到方程、函数、不等式的相关模型；对于测量、航行，物理中的振动、摆动问题，可以从三角函数的相关知识考虑.②运用数形结合法解应用题.③运用数学的建模思维解应用题.

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