人教版八年级数学上册 分式解答题单元培优测试卷

一、八年级数学分式解答题压轴题（难）

1．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x =，试猜想：

（1）方程+=+的解；

（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．

【答案】（1）x=4；（2）x =．

【解析】

通过解题目中已知的两个方程的过程可以归纳出方程的解与方程中的常数之间的关系，利用这个关系可得出两个方程的解．

解：解方程﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：

，

化简可得：，

整理可得：2x=15﹣8，

解得：x=，

这里的7即为（﹣3）×（﹣5）﹣（﹣2）×（﹣4），

这里的2即为[﹣2+（﹣4）]﹣[﹣3+（﹣5）]；

解方程﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：

，

化简可得：，

解得：x=，

这里的11即为（﹣7）×（﹣5）﹣（﹣4）×（﹣6），

这里的2即为[﹣4+（﹣6）]﹣[﹣7+（﹣5）]；

所以可总结出规律：方程解的分子为右边两个分中的常数项的积减去左边两个分母中的常数项的积，解的分母为左边两个分母中的常数项的差减去右边两个分母中常数项的差．（1）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣，

由所总结的规律可知方程解的分子为：（﹣1）×（﹣6）﹣（﹣7）×（﹣2）=﹣8，

分母为[﹣7+（﹣2）]﹣[﹣6+（﹣1）]=﹣2，

所以方程的解为x ==4；

（2）由所总结的规律可知方程解的分子为：cd ﹣ab ，分母为（a +b ）﹣（c +d ），

所以方程的解为x =． 2．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如：76112333

+==+. 在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”.

例如：像33x x -+，23

x x -，…这样的分式是假分式；像23x -，2

3x x -，…这样的分式是真分式. 类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和（差）的形式.

例如：将分式2253

x x x +-+拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法一：解：由分母为3x +，可设2

25(3)()x x x x a b +-=+++

则由22225(3)()33(3)(3)x x x x a b x ax x a b x a x a b +-=+++=++++=++++ 对于任意x ，上述等式均成立， ∴3235a a b +=??+=-?，解得12a b =-??=-? ∴225(3)(1)2(3)(1)22133333

x x x x x x x x x x x x +-+--+-==-=--+++++ 这样，分式2253

x x x +-+就被拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. 方法二：解：

2225332(3)(3)2(3)32213333333

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+---+-+-++===--=--+++++++ 这样，分式2253

x x x +-+就拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式. （1）请仿照上面的方法，选择其中一种方法将分式2731

x x x ---拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式； （2）已知整数x 使分式225112

x x x +-+的值为整数，求出满足条件的所有整数x 的值. 【答案】（1）961

x x ---；（2）x=-1或-3或11或-15.

【解析】

【分析】

（1）先变形2731x x x ---=26691

x x x x --+--，由“真分式”的定义，仿照例题即可得出结论；

（2）先把分式化为真分式，再根据分式的值为整数确定整数x 的值．

【详解】

解：（1）2731x x x ---=26691

x x x x --+-- =

(1)6(1)91

x x x x ----- =961x x ---； （2）225112x x x +-+= 2242132

x x x x +++-+ =

2(2)(2)132

x x x x +++-+ =13212x x +-+， ∵x 是整数，225112

x x x +-+也是整数， ∴x+2=1或x+2=-1或x+2=13或x+2=-13，

∴x=-1或-3或11或-15.

【点睛】

本题考查了逆用整式和分式的加减法对分式进行变形．解决本题的关键是理解真分式的定义对分子进行拆分．

3．有甲、乙两名采购员去同一家公司分别购买两次饲料，两次购买的饲料价格分别为m 元/千克和n 元/千克，且m≠n ，两名采购员的采购方式也不同，其中甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少千克的饲料。

（1）甲、乙两次购买饲料的平均单价各是多少？（用字母m 、n 表示）

（2）谁的购买方式比较合算?

【答案】（1）

2m n +元/千克；2mn m n +元/千克；（2）乙的购货方式合算． 【解析】

【分析】

（1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价；

（2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式

的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算．

【详解】

（1）根据题意列得：甲采购员两次购买饲料的平均单价为800()

16002

m n m n

++

=元/千克；

乙采购员两次购买饲料的平均单价为

16002

800800

mn

m n

m n

=

+

+元/千克；

（2）

22

2()4()

22()2() m n mn m n mn m n

m n m n m n

++--

-==

+++

，

∵（m-n）2≥0，2（m+n）＞0，

∴

2

2

m n mn

m n

+

-

+

，即

2

2

m n mn

m n

+

+

，

则乙的购货方式合算．

【点睛】

此题考查了分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

4．“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源

EV500”为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为 300 元，而续航里程之比则为 1∶4．经计算新能源汽车相比燃油车节约 0.6 元/公里．

（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；

（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受 0.48 元/度的优惠专用电费．以新能源 EV500 为例，充电 55 度可续航 400 公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．

【答案】（1）燃油车0.8；新能源汽车0.2；（2）8.25%

【解析】

【分析】

（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，根据等量关系式：新能源汽车续航里程：燃油车续航里程=4∶1，列出方程，解之即可.

（2）根据总价=单价×数量可得新能源汽车400公里所需费用，再用此费用÷总公里数即可得新能源汽车每公里所需电电费；由（1）知燃油汽车每公里费用，用此费用乘以总公里数可得燃油汽车总费用，再用新能源汽车的总费用÷燃油车相同里程下的所需费用即可得答案.【详解】

解：（1）设新能源汽车续航单价为x元/公里，则燃油车续航单价为（x+0.6）元/公里，依题可得：

300 x ：

3000.6

x

+

=4：1，

解得：x=0.2，

∴燃油车续航单价为：x+0.6=0.2+0.6=0.8（元/公里），

答：新能源汽车续航单价为0.2元/公里，燃油车续航单价为0.8元/公里.

（2）依题可得新能源汽车400公里所需费用为：

0.48×55=26.4（元），

∴新能源汽车每公里所需电电费为：

26.4÷400=0.066（元/公里），

依题可得燃油汽车400公里所需费用为：

400×0.8=320（元），

∴新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为：

26.4÷320=0.0825=8.25%.

答：新能源汽车每公里所需电电费为0.066元；新能源汽车与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%.

【点睛】

本题主要考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

5．我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数.类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111

x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111

x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++. （1）下列分式中，属于真分式的是：____________________（填序号） ①21a a -+； ②21x x +； ③223b b +； ④2231

a a +-. （2）将假分式4321

a a +-化成整式与真分式的和的形式为： 4321

a a +-=______________+________________. （3）将假分式231

a a +-化成整式与真分式的和的形式： 231

a a +-=_____________+______________. 【答案】(1)③；(2)2，

521a -；(3)a ＋1＋41

a - . 【解析】

试题分析：（1）认真阅读题意，体会真分式的特点，然后判断即可；

（2）根据题意的化简方法进行化简即可；

（3）根据题意的化简方法进行化简即可.

试题解析：（1）①中的分子分母均为1次，②中分子次数大于分母次数，③分子次数小于分母次数，④分子分母次数一样，故选③.

（2）4321a a +-=42552212121a a a a -+=+---，故答案为2，5221

a +-； （3）231a a +-=214(1)(1)4111

a a a a a a -++-=+---=411a a ++-，故答案为a+1+41a -.

6．观察下列各式：111121212==-?，111162323==-?，1111123434

==-?，1111204545==-?，1111305656

==-?，… ()1请你根据上面各式的规律，写出符合该规律的一道等式：________

()2请利用上述规律计算：()

1111...1223341n n ++++=???+________ （用含有n 的式子表示）

()3请利用上述规律解方程：

()()()()111121111x x x x x x x ++=---++． 【答案】

1111426767==-? 1

n n + 【解析】

【分析】 根据阅读材料，总结出规律，然后利用规律变形计算即可求解.

【详解】

解：()11111(426767

==-?答案不唯一)； 故答案为1111426767

==-?； ()2原式1n n =

+； 故答案为1

n n + ()3分式方程整理得：

111111121111x x x x x x x -+-+-=---++， 即1221

x x =-+， 方程两边同时乘()()21x x --，得()122x x +=-，

x=，

解得：5

x=是原分式方程的解．

经检验，5

【点睛】

此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键.

7．某商场计划销售A，B两种型号的商品，经调查，用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多30元．（1）求一件A，B型商品的进价分别为多少元？

（2）若该商场购进A，B型商品共100件进行试销，其中A型商品的件数不大于B型的件数，已知A型商品的售价为200元/件，B型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？

【答案】(1)B型商品的进价为120元， A型商品的进价为150元;(2)5500元.

【解析】

分析：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；

（2）根据题意中的不等关系求出A商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.

详解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+30）元．

由题意： =×2，

解得x=120，

经检验x=120是分式方程的解，

答：一件B型商品的进价为120元，则一件A型商品的进价为150元．

（2）因为客商购进A型商品m件，销售利润为w元．

m≤100﹣m，m≤50，

由题意：w=m（200﹣150）+（100﹣m）（180﹣120）=﹣10m+6000，

∵﹣10＜0，

∴m=50时，w有最小值=5500（元）

点睛：此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.

8．某商店用1000元人民币购进水果销售，过了一段时间，又用2400元人民币购进这种水果，所购数量是第一次购进数量的2倍，但每千克的价格比第一次购进的贵了2元．（1）该商店第一次购进水果多少千克；

（2）假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售，最后剩下的20千克按标价的五折优惠销售．若两次购进水果全部售完，利润不低于950元，则每千克水果的标价至少是多少元？

注：每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差，两

批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和．

【答案】（1）该商店第一次购进水果100千克；（2）每千克水果的标价至少是15元．【解析】

【分析】

（1）首先根据题意，设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，然后根据：（1000÷第一次购进水果的重量 +2）×第二次购进的水果的重量=2400，列出方程，求出该商店第一次购进水果多少千克即可．

（2）首先根据题意，设每千克水果的标价是x元，然后根据：（两次购进的水果的重量﹣20）×x+20×0.5x≥两次购进水果需要的钱数+950，列出不等式，求出每千克水果的标价是多少即可．

【详解】

解：（1）设该商店第一次购进水果x千克，则第二次购进水果2x千克，

（1000

x

+2）×2x=2400

整理，可得：2000+4x=2400，解得x=100．

经检验，x=100是原方程的解．

答：该商店第一次购进水果100千克．

（2）设每千克水果的标价是x元，则（100+100×2﹣20）×x+20×0.5x≥1000+2400+950

整理，可得：290x≥4350，解得x≥15，∴每千克水果的标价至少是15元．

答：每千克水果的标价至少是15元．

【点睛】

此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，要熟练掌握，注意建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．

9．某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成;若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1．5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．

(1)这项工程的规定时间是多少天?

(2)为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲、乙两队合作完成该工程需要多少天?

【答案】（1）这项工程的规定时间是30天；（2）甲乙两队合作完成该工程需要18天．【解析】

【分析】

(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x 天完工，依题意列方程即可解答；（2）求出甲、乙两队单独施工需要的时间，再根据题意列方程即可.

【详解】

(1)设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x

天完工，依题意，得

: 15515

1

1.5

x x

+

+=．

解得: 30

x=，

经检验，30

x=是原方程的解，且符合题意．

答:这项工程的规定时间是30天．

(2)由(1)可知:甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，

11

1()18

3045

÷+=（天），

答:甲乙两队合作完成该工程需要18天．

【点睛】

本题考查分式方程的应用，理解题意，根据等量关系列出方程是解题的关键.

10．某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

【答案】（1）甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）共有四种方案．

【解析】

【分析】

（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．

【详解】

解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，

x=15，

经检验x=15是原方程的解．

∴40﹣x=25．

甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，

，

解得20≤y＜24．

因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，

∴y取20，21，22，23，

共有4种方案．

考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．

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