安徽省广德中学2013-2014年学度高二第二学期期中考试数学(理)

安徽省广德中学2013-2014年学度高二第二学期期中考试

数学（理）试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．

1 i( i)2

（ ）

A．

1 3i1 3i1 3i1 i

B． C． D．

4242

cosx

在(0,1)处的切线方程是（ ） 1 x

2. 函数f(x)

A．x y 1 0 B．2x y 1 0 C．2x y 1 0 D．x y 1 0 3．

(e

1

x

2x)dx等于 （ ）

A. 1 B. e - 1 C. e D. e + 1

3xx4114xx4

4.已知x>0，由不等式xx·2，x＋2＋2·2＝3， ，我们

xxx22x22xa*

可以得出推广结论：x＋n≥n＋1(n∈N)，则a＝( )

x

A．2n B．n C．3n D．n 5. 设a,b,c ( ,0),则a

2

n

111

,b ,c （ ） bca

A.都不大于 2 B.都不小于 2

C .至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2

x

6. 函数f(x) x e

的一个单调递增区间是（ ）

A． 1,0 B. 2,8 C. 1,2 D. 0,2

7. 从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为( )

A．120 B．240 C．280 D．60

8．由抛物线y＝x2－x，直线x＝－1及x轴围成的图形的面积为( )

2 B．1 345 33

9．设f′（x）是函数f（x）的导函数，将y=f（x）和y=f′（x）的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）

10.在1,2,3,4 14

中任取4个数a1,a2,a3,a4且满足a4 a3 4,a3 a2 3,a2 a1 2共有多少种不同的方法（ ）

A.35 B.70 C.50 D.105

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11.如图，是一个质点做直线运动的v—t图象，则质点在前6 s内的位移为________m.

12． 形如45132的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比与它们各自相邻的数字大，

则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为________．

13.已知点An(n，an)为函数y＝x＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为_ _____．

14.从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得到一般规律为________．

15.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且

2

在I上是减函数，则称y=f

（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x﹣（b﹣1）x+b在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16（12）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边长，z1＝a＋bi，z2＝cos A＋icos B．若复数z1·z2在复平面内对应的点在虚轴上，试判断△ABC的形状． 17．（12）已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，直线l1：x＝2，直线l2：y＝－t2＋8t(其中0≤t≤2，t为常数)，若直线l1，l2与函数f(x)的图象以及l1、l2、y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所示．

(1)求a、b、c的值；

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式．

18.（12） 已知函数f（x）=ax+bx的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直． （1）求实数a，b的值；

（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围． 19．（12）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？

20.（13）一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①，②，③，④分别是制作该作品前四步时对应的图案，按照如此规律，第n步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f(n)．

① ② ③ ④

（1）求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)的值；

（2）利用归纳推理，归纳出f(n+1)与f(n)的关系式； （3）猜想f(n)的表达式，并写出推导过程． 21．（14）已知函数f（x）=ax（a∈R），g（x）=lnx﹣1．

（1）若函数h（x）=g（x）+1﹣f（x）﹣2x存在单调递减区间，求a的取值范围； （2）当a＞0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．

32

数学（理）答案 一、选择题：

1 B 2 A 3 B 4 D 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 B

二、填空题：

11. 9 12．16 13. cn＋1<cn 14 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋ ＋(3n－2)＝(2n－1)2

15. 1

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16 (12分) 由题意知z1·z2＝(a＋bi)·(cos A＋icos B)＝(acos A－bcos B)＋(acos B＋bcos A)i， 所以acos A－bcos B＝0，且acos B＋bcos A≠0， π∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，即A＝B，或A＋B＝.

2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形

17．(12分) 【解析】(1)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)，(8,0)，并且f(x)的最大值为

16，则

a·8＋b·8＋c＝0， 4ac－b 4a16，

2

2

c＝0，

a＝－1，

解得 b＝8，

c＝0，

6分

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝－x2＋8x.

2

y＝－t＋8t，(2)由 得x2－8x－t(t－8)＝0， 2

y＝－x＋8x

7分

∴x1＝t，x2＝8－t，

∵0≤t≤2，∴直线l2与f(x)的图象的交点坐标为(t，－t2＋8t)由定积分的几何意义知： S(t)＝ t[(－t2＋8t)－(－x2＋8x)]dx＋ 2[(－x2＋8x)－(－t2＋8t)]dx

0

2

t

x3x32t

＝[(－t＋8t)x－(－4x)]| 0＋[(－4x2)－(－t2＋8t)x]| 2t 33440＝－t3＋10t2－16t＋33

18. (12分)解：（1）∵f（x）=ax+bx的图象经过点M（1，4），∴a+b=4①式 …（1分）

2

f'（x）=3ax+2bx，则f'（1）=3a+2b…（3分） 由条件

②式…（5分）

3

2

由①②式解得a=1，b=3

322

（2）f（x）=x+3x，f'（x）=3x+6x，

2

令f'（x）=3x+6x≥0得x≥0或x≤﹣2，…（8分）

∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增

∴[m，m+1] （﹣∝，﹣2]∪[0，+∝） ∴m≥0或m+1≤﹣2 ∴m≥0或m≤﹣3

19．(12分) 【解析】用1、2、3、4、5、6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法． 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2、4、6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式． 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、4、6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．

第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1、3、6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．分

由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种 20. (13分)解：（1）图①中只有一个小正方形，得f（1）=1；

图②中有3层，以第3层为对称轴，有1+3+1=5个小正方形，得f（2）=5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1+3+5+3+1=13个小正方形，得f（3）=13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1+3+5+7+5+3+1=25个小正方形，得f（4）=25； 图⑤中有9层，以第5层为对称轴，有1+3+5+7+9+7+5+3+1=41个小正方形，得f（5）=41； （2）∵f（1）=1； f（2）=5；f（3）=13；f（4）=25；f（5）=41； ∴f（2）-f（1）=4=4×1； ∴f（3）-f（2）=8=4×2； ∴f（4）-f（3）=12=4×3； ∴f（5）-f（4）=16=4×4； …

∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．

∴f（n+1）与f（n）的关系式：f（n+1）-f（n）=4n． （3）猜想f（n）的表达式：2n2-2n+1． 由（2）可知

f（2）-f（1）=4=4×1； f（3）-f（2）=8=4×2； f（4）-f（3）=12=4×3； f（5）-f（4）=16=4×4； …

∴f（n）-f（n-1）=4×（n-1）=4n-4．

将上述n-1个式子相加，得f（n）=4（1+2+3+4+…+（n-1）） =4×

(n 1)*1+(n 1)+ 2

=2n2-2n+1．

f（n）的表达式为：2n2-2n+1．

21．(14分)

解： (1)h(x)=lnx﹣ h′(x)= ﹣ax﹣2.

﹣2x(x>0) ,

若使 h(x)存在单调递减区间，则 h′(x)= ﹣ax﹣2<0 在(0,+∞)上有解.

而当 x>0 时， ﹣ax﹣2<0 ax> ﹣2 a>

﹣ 问题转化为

a>

在(0,+∞)上有解，故 a 大于函数

在(0,+∞)上的最小值.

又

=

﹣1,

在(0,+∞)上的最小值为﹣1,所以 a>﹣1

.

(2)令 F(x)=f(x)﹣g(x)=ax﹣lnx+1(a>0) 函数 f(x)=ax 与 g(x)=lnx﹣1 的交点个数即为函数 F(x)的零点的个数. F′(x)=a﹣ (x>0) 令 F(x)=a﹣ =0 解得 x= . 随着 x 的变化，F(x) ,F(x)的变化情况如表：

当 F( )=2+lna>0,即 a=e﹣2 时，F(x)恒大于 0,函数 F(x)无零点. ②当 F( )=2+lna=0,即 a=e﹣2 时，由上表，函数 F(x)有且仅有一个零点. ③F( )=2+lna<0,即 0<a<e﹣2 时，显然 1< F(1)=a+1>0,所以 F(1)F( )<0 , 又 F(x)在(0, )内单调递减， 所以 F(x)在(0, )内有且仅有一个零点

当 x>

时，F(x)=ln

第 6 页 共 7 页

由指数函数 y=(ea)x(ea>1)与幂函数 y=x 增长速度的快慢，知存在 x0>

使得

从而 F(x0)=ln

因而 F( ) F(x0<0) 又 F(x)在( ,+∞)内单调递增， F(x)在[ ,+∞)上的图象是连续不断的曲线， 所以 F(x)在( ,+∞)内有且仅有一个零点. 因此，0<a<e﹣2 时，F(x)有且仅有两个零点. 综上，a>e﹣2,f(x)与 g(x)的图象无交点； 当 a=e﹣2 时，f(x)与 g(x)的图象有且仅有一个交点； 0<a<e﹣2 时，f(x)与 g(x)的图象有且仅有两个交点.

第 7 页 共 7 页

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n6j4.html