大数定理与中心极限定理典型题解
更新时间:2023-10-30 11:02:01 阅读量: 综合文库 文档下载
第四章 大数定理与中心极限定理典型题解
1.计算器在进行时,将每个加数舍入,最靠近它的整数,设所有舍入误差相互独立且在(?0.5,0.5)上服从均匀分布,将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率是多少?
解 设第k个加数的舍入误差为Xk(k?1,2,?,1500),已知Xk在(?0.5,0.5)15001上服从均匀分布,故知E(Xk)?0,D(Xk)?.记X??Xk,由中心极限定理,
12k?1当n充分 时有近似公式
P{X?1500?01500112?x}??(x),
于是
P{x?15}?1?P{x?15}?1?P{?15?X?15}?15?0X?015?0??}15001150011500112121215?15 ?1?[?()??()]1500115001121215?1?[2?(?1]?2?(1.342)?2[1?0.9099]150012?0.1802.即误差总和的绝对值超过15的概率近似地为0.1802.
2.有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m,现在从这批木柱中地取100根,求其中至少有30根短于3m的概率.
?1?P{解 以X记被抽取的100根木柱长度短于3m的根数,则X~b(100,0.2).于是由中心极限定理得
P{X?30}?P{30?X??}30?100?0.2X?100?0.2??100?0.2??}100?0.2?0.8100?0.2?0.8100?0.2?0.830?20??(?)??()?1??(2.5)
16?1?0.9938?P{?0.0062.3.将一枚硬币投掷49次,(I)求至多出现28次正面的概率;(II)求出现20-25次正面的概率.
解 以X表示49次投掷中出现正面的次数,则有X~b(49,1).
2(I)由中心极限定理得
12)??(1)?0.8413; P{X?28}??(1149??2228?49?(II)由中心极限定理得
1120?49?2)??(2)??(1)??(?9)P{20?X?25}??(77 111149??49??2222?0.5557?0.0985?0.4572.25?49?4.某厂有同号机器100台,且独立工作,在一段时间内每台正常工作的概率为0.8.求正常工作的机器超过85台的概率.
解 设?为100台中正常工作的机器数,则?~B(100,0.8),且
np?E??80, npq?D??16.
由中心极限定理可得所求概率为
P{??85}?1?P{0???85}?1?P{?1?[?(1.25)??(?20)]?0.1056.0?80??8085?80??} 4445.一生产线生产的产品成箱包装,每箱的重量是随机的.假设每箱平均重
50kg,标准差5kg.若用最大载重量5t的汽车承运最多可以装多少箱才能保障不超载的概率大于0.977.
解 设n为每辆车所装的箱数,?i(i?1,2,?,n)是装运的第i箱的重量,且
E?i?50,D?i?25.n箱的总重量 ???1??2????n有E??50n,D??25n,由中心极限定理?近似服从正态分布N(50n,25n).现求使下面不等式成立的n:
P{??5000}?P{??50n5n?5000?50n5n1000?10n}??()?0.977
n查正态分布表得
1000?10nn?2,
从而n?98.0199,即最大可以装98箱.
6.设一大批产品中一级品率为10%,现从中任取500件,这500件中一件级品的比例与10%之差的绝对值小于2%的概率.
解 设?为所取500件中的一级品数,则?~B(500,0.1)且
E??50, D??45
由中心极限定理得
P{?500?0.1?0.02}?P{??50?10}?P{??5045?10}45
?2?(1.49)?1?0.8638.7.设一袋味精的重量是随机变量,平均值100g,标准差2g.求100袋味精的重量超过10.05kg的概率.
解 设?i(i?1,2,?100)第i袋味精的重量,100袋的总重量
???1??2????100,
而E?i?100,D?i?4,所以所求概率为
0?100?100??100?10010050?100?100??}100?2100?2100?2?1?[?(2.5)??(?500)]?1?0.99379?0.00621.P{??10050}?1?P{0???10050}?1?P{ 8.一本200页的书,每页上的错误数服从参数为0.1的泊松分布,求该书的错误数大于15个的概率.
解 设?为该书的总错误数,则E??20,D??20,于是所求概率为
0?20??2015?20??}202020
?1?[?(?1.12)??(?4.47)]?0.8686.P{??15}?1?P{0???15}?1?P{9.某射手打靶,得10分,9分,8分,7分,6分的概率分别为 0.5,0.3,0.1,0.05,0.05.现射击100次,求总分多于880分的概率.
解 设?为100次射击的总分数,依题意,E??915,D??122.75.根据中心极限定理得
P{??880}?1?P{0???915}?1?P{?1??(?3.16)?0.9992.0?915??915880?915??}122.75122.75122.75
10.一生产过程的次品率为12%,随机地自这一生产过程生产的产品中取出
120只,求次品不多余15只的概率.
解 以X记120只产品中的次品数,则X~B(120,0.12).所需求的概率为
X?120?0.1215?120?0.12?}120?0.12?0.88120?0.12?0.88
??(0.17)?0.5675.P{X?15}?P{11.某种难度很大的心脏手术成功率为0.9,对100个病人进行这种手术,以X记手术成功的人数.求P{84?X?95}.
解 依题意有
95?100?0.984?100?0.9)??()100?0.9?0.1100?0.9?0.1
??(1.67)??(?2)?0.9525?0.9772?1?0.9297.P{84?X?95}??(12.在一零件商店中,其结帐柜台替各顾客服务的时间(以分计)是相互独立的随机变量,均值为1.5,方差为1.求对100位顾客的总服务时间不多余2小时的概率.
解 以Xi(i?1,2,,100)记对第i位顾客的服务时间.按题设需求概率为
P{?Xii?1100??120}?P{100i?1Xi?100?1.5100?1?120?100?1.5}100?1
120?150??()??(?3)?0.0013.1013.某种电子元件的寿命服从数学期望为2的指数分布,各元件的寿命相互独立,随机取100只元件,求这100只元件的寿命之和大于180的概率.
解 设X为100只元件的寿命之和,则E(X)?200,D(X)?400,则所求概率为
P{X?180)?1?P{0?X?180}?1?{?1?[?(?1)??(?10)]?0.8413.0?200X?200180?200??}400400400
14.某工厂有200台同类型的机器,每台机的实际工作时间只占全部工作时
间的75%,各台机器是否工作是相互独立的,求一时刻有144至160台机器正在工作的概率.
解 设随机变量Y表示任一时刻正在工作的机器的台数,则Y服从二项分布
B(200,0.75).所以所求概率为
160?200?0.75144?200?0.75)??()200?0.75?0.25200?0.75?0.25
??(1.63)??(?0.98)?0.7849.P{144?Y?160}??(115.在次品率为的一大批产品中,任意抽取300件产品,利用中心极限定
6理计算抽取的产品中次品书在40~60之间的概率.
解 设X为300件产品中次品的件数,依题意知
1250X~B(300,),E(X)?50,D(X)?,
66利用中心极限定理得
40?60X?5060?50P(40?X?60)?P(??250250250豆丁文档最新和最
666??(1.55)??(?1.55)?2?(1.55)?1?0.8788.旧下载
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