2.2 导数的概念及其几何意义 课件1 (北师大选修2-2)

变化率与导数

1.1.3导数的几何意义

变化率与导数

先来复习导数的概念定义：设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx 0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 f ( x0 )或y 即: , |x x 作 f ( x0 x) f ( x0 ) y f ( x0 ) lim lim . x 0 x x 0 x0

变化率与导数

例1:设f ( x) x 2 , 求f ' ( x), f ' ( 1), f ' (2)思路：先根据导数的定义求f ' ( x), 再将自变量 的值代入求得导数值。 解：由导数的定义有

f ( x x) f ( x) ( x x) 2 x 2 f ' ( x)= lim lim x 0 x 0 x x x(2 x x) lim 2x x 0 x

f ' ( 1)=f ' ( x) x 1 2 ( 1) 2 f ' (2) f ' ( x) x 2 2 2 4

变化率与导数

例2:求函数y x在x 1处的导数。解： y 1 x 1 y 1 x 1 1 x x 1 x 1 x 0

lim

1 1 1 x 1 2

1 y ' x 1 2

变化率与导数

下面来看导数的几何意义:如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的y y=f(x) Q

任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.则 : MP x , MQ y, y tan . x y 请问： 是割线PQ的什么? xO Pβ

Δy M x

Δx

斜 率!

变化率与导数

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况. yy=f(x) Q

割 线 T 切线

P

x

o

变化率与导数

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.初中平面几何中圆的切线的定义：直线和圆有唯一公共点时， 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点 叫做切点。

割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切，并不一定只有一个公共点。设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 x) f ( x0 ) y lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x'

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

变化率与导数

变化率与导数

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 x ) f ( x 0 ) 解 : k lim y x 0 Q x (1 x ) 2 1 (1 1) lim 2 x 0 x y = x +1 2 x ( x ) 2 lim 2. x 0 x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), x 即y=2x.1

y

M

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.

j

x

-1 O

1

变化率与导数

变化率与导数

1 3 8 y x 上 一 点 ( 2, ) P 练习:如图已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.1 1 3 3

( x x ) x 1 3 y 3 解 ： ) y x , y lim (1 lim 3 x 0 x x 0 3 x y 1 y x 3 4 1 3 x 2 x 3 x ( x ) 2 ( x ) 3 lim 3 3 x 0 x 2 1 2 2 2 lim[3 x 3 x x ( x ) ] x . 1 3 x 0

3

P

y |x 2 22 4.即点P处的切线的斜率等于4.

x

-2 -1

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

变化率与导数

归纳:求切线方程的步骤(1)求出函数在点x0处的变化率 f ( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

y f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ).无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想，丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

变化率与导数

作业: 1 1.求函数y 在x 1处的导数。 x2.

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