-量子力学中的力学量 lt

第三章例题剖析

L21 一刚性转子转动惯量为I，它的能量的经典表示式是H?，L为角动量，求与此对应

2I的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数。 （1）转子绕一固定轴转动 （2）转子绕一固定点转动

???i?[解]：（1）Lz? ??22????(?)?E?(?)，or ?能量的本征方程： H?(?)?E?(?) 22I??2IE2引入 ??2

?由波函数的单值性 ?(2???)??(?)

n2?2?En?，??Aein?

2I1其中 A?

2??2L?（2） H?，在球极坐标系中 2I??(?,?)?E?(?,?) 体系的能量算符本征方程：H其中??2IE，以上方程在0????的区域内存在有限解的条件是?必须取l(l?1)，2?(l?0,1,2,?)，即 ??l(l?1) l?0,1,2,?

于是方程的形式又可写成 此方程是球面方程，其解为

2IE，可解得体系的的能量本征值 ?132 氢原子处于 ??r,?,????321?r,?,????211?r,?,??

44由??l(l?1)及??状态，求：

（1）归一化波函数

（2）能量有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值；

（3）角动量平方有无确定值？如果没有，求其可能值和取这些可能值的概率，并求平均值； （4）角动量的z分量有无确定值？如果有，求其确定值。 解：（1）求归一化波函数

（2） 能量无确定值

可能取值：E3??概率：C32?es41811022,E2??2?es482

?C2?23 10平均值：E?C3E3?C217?es4E2?? 2144 （3）角动量平方无确定值

可能取值：2?2?1?概率： C3221??1?1?22

3 1012222222平均值： L?C2?6??C1?2??

5?C2? （4）有确定值。其值为。

3．求粒子处在态Ylm时角动量的x分量和角动量y分量的平均值Lx,Ly；并证明：

[解] (方法一)：

（1）先证明两个普遍的关系： 可以用两种方法来证明。

110（a）从角动量算符L所满足的对易关系出发：

???L?????Lzx?LxLz???Ly???????或 ?LyLz?LzLy?i?Lx ????????LxLy?LyLx?i?Lz由一式与二式乘i后相加减可得：

?(L??iL?)?(L??iL?)(L???) 或 Lzxyxyz?(L??iL?)对Ylm运算得： 用算符Lzxy?和L?,L?,L?均可对易，故有： 另外，注意到Lxyz2?2(L??iL?)Y?(L??iL?)L?2Y?l(l?1)?2(L??iL?)Y 所以 Lxylmxylmxylm?的本征函数，?的本征函数，??iL?)Y既是L从上面二式可见(L本征值为(m?1)?，又是Lzxylm2??iL?)Y，具有Yl,m?1的形式。 本征值为l(l?1)?，亦即(Lxylm2??iL?)Y?C?Y令 (Lxylml,m?1 ??iL?)*Y?C*Y*?1 它的共轭复式是(Lxylm?lm*二式相乘，对?,?积分，再注意到Yl,m的正交性，得：

（b）用直接求微分的方法证明 而 Ylm?(l?m)!(2l?1)mPl(cos?)eim?；

4?(l?m)!dm其中 p(cos?)?sin?pl(cos?) md(cos?)mlmm?dm?1??iL?)y???msin?co?故 (Lspl(co?s) xylmmd(co?s)???iL?也有 同样，对Lxydm?1dm其中 sin?pl(cos?)?2mcos?pl(cos?)

d(cos?)m?1d(cos?)m2可证明如下：

因为勒襄德多项式pl(cos?)?pl(?)满足方程 对上式求微商m?1次后得到

dm?1dmpldm?1dm?1或 (1??)p?2m??m(m?1)m?1p1?l(l?1)m?1pl?0 m?1lmd?d?d?d?2dm?1dmpldm?1故有(1??)p?2m???(l?m)(l?m?1)m?1pl m?1lmd?d?d?（2）现在来求Lx和Ly

2注意到Ylm的正交性，亦即

*??令 Lx?iLy?Ylm(Lx?iLy)Ylmsin?d?d?

?同理可知 Lx?iLy?0 故 Lx?02Ly?0

?1?21??)Y?(Lx?iLylm? 2??Y?L??(L??iL?)Y?（3）Lxlmxxylm?21?1??(l?m)(l?m?1)?(l?m?2)(l?m?1)Yl,m?2?(l?m)(l?m?1)Ylm?22?2??21?1??(l?m)(l?m?1)?(l?m)(l?m?1)Ylm?(l?m?1)(l?m?2)Yl,m?2?注22?2?意到Ylm的正交性，得：

?22(l?l?m2) 同理可证： Ly?2?22222故 (?Lx)?Lx?Lx?(l?l?m)

22(方法二)：在固定z轴不变的情况下，进行坐标旋转，把原来的y轴变为x轴，仍然保

?,L?持右旋坐标，这时?角不变，唯一的改变是?变为??，注意到x和y的对称性，不难由Lxy22在球坐标中的算符表示式看出Lx?Ly

而 Lx?Ly?0

讨论：①为了证明Lx?0;Ly?0，我们还可以用下面两种简单方法：

?的本征态，则有 （a）设Ylm(?,?)为Lz?L????而 Lyz?LzLy?i?Lx

1??*???L??1?*L??LyLz?LzylmyLzYlmd???YlmLzLyYlmd? ?i?i??L????同理，因为Lzx?LxLz?i?Ly，可以证明 Ly?0

故Lx?（b）利用测不准来证明Lx?0,Ly?0

??????L???L?,B??L?,C? 令 Ayyx?,B?,B?都是厄密算符，A?的对易关系为： 则显然A就是角动量分量之间所必须满足的对易关系

C2利用(?A)?(?B)?得出

4?的本征态，在本征态中测量力学量Lz有确定值，即力学量Lz在由于态Ylm(?,?)是Lz22Ylm(?,?)态在平均平方偏差(?Lz)2必须为零。故有(?Lz)2?0

?2(Lx)2要保证不等式(?Ly)?(?Lz)?成立，考虑到(Lx)2为非负的数，所以必须是

4Lx?0。

?L??L?L??i?L?，也可以证明L?0 同理，只须利用L22zxxzyy22②在(方法二)中，不从物理上考虑，直接从对易关系出发，也很容易证明Lx?Ly

??L?L???注意到 i?Lxyz?LzLy

??1(L?L???即 Lxyz?LzLy)

i??2?1(L?L??????得：L左乘 LxxyLz?LxLzLy) xi???1(L?L???利用 Lyzx?LxLz)

i????得：L右乘Lyy21????L??(LzLxLy?LxzLy)

i?L2L2?L2比较 L2y。 x和y可见，x再利用Lx?Ly?0，按照方法二的讨论，很容易证明。

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