111111工程力学答案 高斌主编

工程力学习题答案

第一章 静力学基础知识

思考题：1. ×;2. √;3. √;4. √;5. ×;6. ×;7. √;8. √

习题一

1．根据三力汇交定理，画出下面各图中A点的约束反力方向。 解：（a）杆AB在A、B、C三处受力作用。

?????R由于力p和B的作用线交于点O。

如图（a）所示，根据三力平衡汇交定理，

可以判断支座A点的约束反力必沿 通过A、O两点的连线。

?????R （b）同上。由于力p和B的作用线

?????T解：（a）取杆AB为研究对象，杆除受力p外，在B处受绳索作用的拉力B，在A????????NN和E两处还受光滑接触面约束。约束力A和E的方向分别沿其接触表面的公法线，????N并指向杆。其中力E与杆垂直，

????N力A通过半圆槽的圆心O。 AB杆受力图见下图（a）。

交于O点，根据三力平衡汇交定理， 可判断A点的约束反力方向如 下图（b）所示。

2．不计杆重，画出下列各图中AB杆的受力图。 ????????NN(b)由于不计杆重，曲杆BC只在两端受铰销B和C对它作用的约束力B和C，

故曲杆BC是二力构件或二力体，此两力的作用线必须通过B、C两点的连线，且????????NB=?NC。研究杆AB，杆在A、B两点受到约束反力NA和NB，以及力偶m的作用而

????????NN平衡。根据力偶的性质，A和B必组成一力偶。

??????TT(d)由于不计杆重，杆AB在A、C两处受绳索作用的拉力A和C，在B点受到支

??????????NTT座反力B。A和C相交于O点，

根据三力平衡汇交定理，

????N可以判断B必沿通过

B、O两点的连线。

见图(d).

第二章

力系的简化与平衡

思考题：1. √;2. ×;3. ×;4. ×;5. √;6. ×;7. ×;8. ×;9. √.

1． 平面力系由三个力和两个力偶组成，它们的大小和作用位置如图示，长度单位为cm，求此力系向O点简化的结果，并确定其合力位置。

???RR解：设该力系主矢为R?，其在两坐标轴上的投影分别为x、y。由合力投影定

理有：

Rx??xi?1.5?3=-1.5kN

Ry??yi??2 kN R??(?xi)2?(?yi)2?2.5kN sin???yi/R???0.8cos???xi/R???0.6；

??233?

由合力矩定理可求出主矩：

???M0??M0(Fi)?3?0.3?103?1500?0.2?100?80?2000?0.5??580??m

?合力大小为：R?R'?2.5kN，方向??233

2．

580?d?M0?/R2500?0.232m?23.2cm，位于O点的右侧。

位置：???25火箭沿与水平面成角的方向作匀速直线运动，如图所示。火箭的推力F1?100kN与运动方向成??5?角。F如火箭重P?200kN，求空气动力2和它与飞

行方向的交角?。

解：火箭在空中飞行时，若只研究它的运行轨道问题，可将火箭作为质点处理。这时画出其受力和坐标轴x、y如下图所示，可列出平衡方程。 ?y?0 ；F

2?Gcos(???)?0 ?F?Gcos30?173kN 2故空气动力??F??90???952由图示关系可得空气动力与飞行方向的交角为。 4． 梁AB的支承和荷载如图，CB?AB，梁的自重不计。则其支座B的反力

大小为多少？

解：梁受力如图所示：

由

RB???MA(F)?0得：

22?1?40??4?RBsin30??4?022 R?502?1?69.7kN 解得；B?4?2?1?10?40? 5．起重机构架如图示，尺寸单位为cm，滑轮直径为d?20cm，钢丝绳的倾斜部分平行于BE杆，吊起的荷载Q?10kN，其它重量不计。求固定铰链支座A、B的反力。

解：先研究杆AD如图(a) (a) (b) 由几何关系可知：由

tan?????MA(F)?0A3310sin??CD?4，5，sin? ，

YD?800?Qsin?(800?CD)?0

?Qsin??YD?0

Y??5.875kN，YA??0.125kN

解得：D再研究整体，受力如图(b),由

?Y?0，Y?Y?0，Y?Y?Q?0 ?X?0，X?X?0

???M(F)?0，X?600?Q?800?300?10??0

ABABAB解得：BkN，AkN，BkN

6． 平面桁架的支座和荷载如图所示，求杆1，2和3的内力。 解：用截面法，取CDF部分，受力如图(b), Y?10.125X??18.5X?18.5 由 ?X?0 ，?F???MD(F)?03?0 2?aF?aF2?0，3 2F??F2F?033解得：，（压）

再研究接点C，受力如图（c） 有

??M(?FF)?0aaF1??F2??023， 4F1??F9（压） 解得：1。8.图示夹钳夹住钢管,已知钳口张角为20,问钢管与夹钳间的静摩擦因数

至少应为多少才夹得住而不至滑落?

解:取钢管为研究对象,受力如图.列出平衡方程: ?F?F?F1'cos10??N1cos80??N1'cos80??0 ①

'''N?NF?F1111根据结构的对称性及F?F知:, ②

?1?X?0，Fcos10''F?fNF?fN1111钢管处于临界状态时:, ③ cos80?f??0.176?cos10联立可解得: 既钢管与夹钳的静摩擦因数至少应为0.176才夹得住而不至滑落。

10．杆子的一端A用球铰链固定在地面上，杆子受到30kN的水平力的作用，用两根钢索拉住，使杆保持在铅直位置，求钢索的拉力

解：研究竖直杆子，受力如图示。

FT1、FT2和A点的约束力。

???M(F)?030?4?9FT2cos?sin??0由?Xi， ①

????MY(Fi)?0?6FT1?FT2cos?cos??0

，

②

?X?0，Fcos?cos??X?F?0 ③ ?Y?0，Y?Fcos?sin??30?0 ④ ?Z?0，?Fsin??Z?0 ⑤

T2AT1AT2T2A

cos??由三角关系知：59?0.486sin???0.874106106， sin??0.6，cos??0.8 ⑥

将⑥代入①得：将将

FT2?45.8kN

FT2?45.8kN代入②可得：FT1?26.7kN FT1，FT2分别代入③、④、⑤可得：

XA?8.90kN，YA?16.67kN，ZA?40.00kN

???F?8.90i?16.67j?40.00k（kN） 既NA14．已知木材与钢的静滑动摩擦因数为s，动滑轮摩擦因数为自卸货车车厢提升多大角度时，才能使重的木箱开始发生滑动？

解：取木材为研究对象，受力如图所示 由

f?0.6fd?0.4，求

?X?0，F?psin??0 （1） ?Y?0，N?pcos??0 （2）

SS式中 S （3）

联立（1）、（2）、（3）可得：

F?FNtan??fS?0.6，??arctan0.6?31? 第三章 点的合成运动

判断题：

1．√；2.×;3.√

习题三

1． 指出下述情况中绝对运动、相对运动和牵连运动为何种运动？画出在图示的牵连速度。定系固结于地面；

（1）.图（a）中动点是车1， 动系固结于车2； （2）.图（b）中动点是小环M，动系固结于杆OA；

（3）.图（c）中动点是L形状的端点A，动系固结于矩形滑块M； （4）.图（d）中动点是脚蹬M，动系固系于自行车车架；

（5）.图（e）中动点是滑块上的销钉M，动系固结于L形杆OAB。 VeA M O (b)

(a) (c)

(d)

解：（1）绝对运动：向左做直线运动；相对运动：斜相上方的直线运动；牵连运动：向下直线运动。牵连速度e如图（a）。

（2）绝对运动；圆周运动；相对运动：沿OA的直线运动；牵连运动：绕O的定轴转动。牵连速度e如图（b）。

（3）绝对运动：以O为圆心，OA为半径的圆周运动；相对速度：沿BC的直线运动；牵连运动：竖直方向的直线运动；牵连运动

vvve如图（c）

（4）绝对运动：曲线运动

v（旋轮线）；相对速度：绕O的圆周运动；牵连运动：水平向右的直线运动。牵连速度e如图（d）。

（5）绝对运动：竖直方向的直线运动；相对运动：沿AB的直线运动；牵连运动：绕O的圆周运动。牵连速度e如图（e）。 (e) v?0?5rad/s转动，滑块E使刨床枕沿

OO?L?3r。试求OA水平时O1B角速度和

水平支承面往复运动。已知OA=r=15cm,14.牛头刨床急回机构如图示，轮O以角速度刨床速度。

解：（1）先求1的角速度。取滑块A为动点，动系与摇杆机架相固连。因而有：

绝对运动：滑块A相对与机架的圆周运动； 相对运动：滑块A沿槽作直线运动；

OBO1B相固连。定系与

O1B相对于机架作定轴转动。

??????????V?VeA?VrA

根据速度合成定理，动点A的绝对速度aA牵连运动：随摇杆

式中各参数为： 速度 大小 方向 ????VaA OA?W0 ???VeA 未知 ???VrA 未知 沿杆?OA杆?O1A 向上 由图示的速度平行四边形得： O1B VeA?VaAcos??O1A??0cos? 故摇杆O1B的角速度： 2wo1B1?5??1.25rad/s?VeA/o1A?w0cos?4。

（2）求刨枕速度，即滑块E的速度 取滑块E为动点，动系与摇杆1相连接，定系与机架相固连。因而有： 绝对运动：滑块E沿滑道作水平直线运动； 相对运动：滑块E沿斜滑槽作直线运动；

OBO1B相对于机架作定轴转动。 ????????????V?VeE?VrE

根据速度合成定理：aE牵连运动：随摇杆式中各参数为： 速度 大小 方向 ????VaE ????VeE O1C?WO1B ?杆O1B偏左上 ????VrE 未知 未知 水平 E?O1 由图示速度平行四边形可得： 杆CD沿铅直导槽运动。在图示位置时，∠AOC=?，试求杆CD的速度。

4?0.15?1.25O1C?wo1BV3VaE?eE??0.866m/s,方向水平相左。 sin?sin?26．L形直OAB以角速度?绕O轴转动，OA?l，OA垂直于AB；通过滑套C推动

?解：取DC杆上的C为动点，OAB为动系，定系固结在支座上。

?????????V?Ve?Vr，作出速度平行四边形，如图示： 由a OAl????Ve?OC??cos?cos? l?l?sin??tan??Va?Ve?tan?cos?cos2? l?sin??2V?Vcos? CDa即：?7．

图示平行连杆机构中，?O1A?O1B?100mm,O1O2?AB。曲柄O1A以匀角速度??2rad/s绕O1轴转动，通过连杆AB上的套筒C带动杆CD沿垂直于O1O2的导轨运动。试示当??60时杆CD的速度和加速度。

?????????V?Ve?Vr

图（a）、（b）所示。图中：a则

解：取CD杆上的点C为动点，AB杆为动系。对动点作速度分析和加速度分析，如

Ve?Va?O1A?w?200(mm/s)

Va?Ve?cos??100（mm/s）

故

?????????a?aA?O1A??400(mm/s)，因aa?ae?ar

又有：e2VCD?Va=100（mm/s）

232??400?346.4(mm/s)a?asin?ae2故： 2a?a?346.4(mm/s) CDa即：

第四章 刚体的平面运动

思考题

1．×；2.√; 3.√;4.√;5.×. 习题四

1．图示自行车的车速v?1.83m/s,此瞬时后轮角速度w?3rad/s,车轮接触点A打滑，试求点A的速度。

解：如图示，车轮在A点打滑，以O为基点。

v0?v?1.83m/s,??3=rad/s,车轮作平面运动，

??????????vA?vO?vAO

故A点速度为：

vA?vO?R??1.83?0.6604?3??0.15m/s(方向向左)

v?1.5cm/s,求图示曲

2． 图示平面机构中，滑块B沿水平轨道向右滑动，速度B柄OA和连杆AB的角速度。

解：速度分析如图示，AB作平面运动。由速度投影定理得：

vAsin??vBcos? 1.5?10?2?25?v?vcot?AB?6.25?10?3m/s 60故：6.25?10?3vA??OA??6.25?10?3rad/s 1OA??????????v?v?vBAB作出速度平行四边形如图： 由A vAB?vB/sina?1.625cm/s ?ABvAB?1.625?602?2522.5?10?2rad/s ABr?r2?303cm,OA????6rad/s时，曲柄O1B及齿??60l长r?75cm,AB长=150cm。试求、??90、03. 瓦特行星传动机构如图所示。齿轮Ⅱ与连杆AB固结。已知：1轮Ⅰ的角速度。

解：OABO1是四杆机构。速度分析如图。点P是AB杆和轮Ⅱ的速度瞬心，故：

?AB??0vAOA??PA2?AB 3??0vB?PB??AB2OA?

杆1的角速度为：两轮齿合点M的速度和轮Ⅰ的角速度分别为：

OB?OB?1vB?3.75r1?r2rad/s vm?PM??AB，?1?vm?6r1rad/s 6.在图所示星齿轮结构中，齿轮半径均为r?12cm。试求当杆OA的角速度

??2rad/s、角加速度??8rad/s2时，齿轮Ⅰ上B和C两点的加速度。

解：（1）B为轮Ⅰ的速度瞬心，

vB?0 vA?2r?.设轮工角速度为?1

则

2r??r?1，?1?2?

d?1d???2?dtdt?2? 轮工角加速度12vB2大小：？？2r?，2r?，2r?，r ?????????????????????n?n?na?aB?aA?aA?aBA?aBA 取A为基点，对B点作加速度分析如图（b），有B方向皆如图所示：

nnn2?96(cm/s2)a?a?aBABA?2r?向AB方向投影得：

?a?0 向AB垂线方向投影得：B2n22aB?(a?B)?(aB)?96(cm/s)故；B点的加速度 ?????????????????????n?n?na?aC?aA?aA?aCA?aCA

（2）以A为基点，对C点作加速度分析如图（c）,有C大小 ？？ 2r?，2r?，2r?，4r? 方向皆如图所示

将上式分别向AB和AB垂线方向投影，得： 22?n?4r? aC?6r?2，aC 故C点加速度：n2?2aC?(aC)?(aC)?480(cm/s2) ω 8.图示小型精压机的传动机

构

，

EF在铅直位置。已知曲柄OA的转速n=120r/min,求此时压头F的速度。

OA?O1B?r?0.1m,EB?BD?AD?l?0.4m。在图示瞬时，OA⊥AD，O1D和

解：速度分析如图，杆ED及AD均作平面运动，点P是杆ED的速度瞬心，故：

VF?VE?VD 由速度投影定理，有VDcos??VA r?2?nl2?r2VA??VF??1.295m/s 60lcos?解得：

第五章 思考题

1.判断题

（1）× （2）× （3）√ （4）√ （5）√

?????????2．Fn不做功是因为在Fn方向上位移为零且速度为零Fn；瞬心上的力不做功是因为瞬心的

速度永远为零，位移产生。

3．一般平面运动的刚体上式不成立。齿轮是因为两个原因：a.均值－重力对质心。瞬心的力矩为零；b.做纯滚动。 4.相同

5.地面给运动员的反作用力，使质心产生加速度；反作用力的水平分力使运动员动能增加；产生加速度的力不一定做功。

第五章 动力学普遍定理的综合应用

说明：动量定理、动力矩定理和动能定理统称为动力学普遍定理。这些普遍定理都可以当作是对质点系中各质点的运动微分方程进行一次积分的结果。因此在求解动力学问题时，不必每次都从动力学基本方程出发，而只须直接应用普遍定理即可求解。 5.1 解：圆柱体的受力与运动分析 5.2 如图所示

由平面运动微分方程得

maC=mgsin6?0-F-FrFN-mgcos6?0=012mra=(Fr-F)r2且有F=fFN，ac=r?a 联立以上方程解得：ac=0.33g5 5.2解；分别研究重物A与鼓轮，受力与加速度 分析如图，对重物A有： m1aA=m1g-F1 对轮子有：m2a0=F2-Fs 2mra=F2r+FsR 2 aAa=R+r ， 其中 a0=R a ，F1=F2 m1g(R+r)2aA=2m1g(R+r)2+m2(R2+r)解得 5.3解：该系统初动能为零，设曲柄转过j角时的角速度为w，则有 21骣pl11w221w22÷?÷?w+?rwA+v01=M?÷?÷2桫3g22g2gj R+rw=w01v=rw00r1 式中 1 3Mjg9w+2p 解得 对时间求一阶导数且j=w解得

w=2R+ra=6Mg(2p+9w)l2 w3MwFT=rw01=g(2p+9w)l 习题五

?q=30?，b=604.如图所示机构中，已知均质杆AB长为l,质量为m，滑块A的质量不计。试求当绳子OB突然断了瞬时滑槽的约束力即杆AB的角加速度。

解：t=0时；w=0，e10

取x轴平行于斜面，故AB的运动微分方程为

malx=mgsin30?① maly=mgcos30?-N②

12lmle=Ncos30??2③ 2又因为?????????????tnal=aA+ar+ar④ ????nar=0 对④向Y轴投影得 aly=atr?cos3?0 atr=1le2 1lecos30?2 T mgcos30?N==0.266mg2?1+3cos30代入②得： aly=6gcos230?18ge==1+3cos230?13l 再代入③得： 第六章 分析力学基础

1.堆静止的质点不加惯性力，对运动的质点不一定加惯性力。 2.相同

3.第一节车厢挂钩受力最大，因 惯性力与质量成正比。 4.是理想约束，音乐书反力不做功。

5.不正确。实位移是真正实现的位移与约束条件、时间及运动的初始条件有关，而虚位移仅与约束条件有关。

6.广义力不一定都具有力的量纲。广义的力是由系统所有主动力的虚功总和除以广义虚位移而得。

7.质点在非惯性坐标系中的相对运动，拉格朗日方程 不适用。

第六章 分析力学基础

本章介绍了静力学中研究平衡问题的方法来解决动力学问题的达朗伯原理，介绍了从动力学功与能的角度来解决静力学平衡问题的虚位移原理。以及广泛用于动力学问题的拉格朗日方程。

3. 如图所示双锤摆，摆锤M1、M2各重P1和P2，摆杆各长为a和b。设在M2上加一水平力F以维持平衡，不计摆杆重量，求摆杆与铅垂线所成的角φ和θ。 T1cos??p1?p2 T1sin??F （图） T2cos??F Ftan??p1?p2Fp2 T2sin??p2 tan??4. ．质量为m、长度为l的均质杆在端点O通过光滑铰链悬挂，试用拉格朗日方程建立杆的动力学微分方程。 解：选平衡位置为系统的零势能位置，

以?为广义坐标，则该系统的动能势能和拉格朗日函数为

T?系统的拉格朗日函数为 111J?2??ml2??2223 1v?mgl(1?cos?)2 代入拉格朗日方程有： 111L?T?v??ml2??2?mgl(1?cos?)232 可得动力学方程： 11d(?ml2?2)d?L?L1()??23?mglsin?dt????dt2 121ml??mglsin??032 6. 质量为m、长度为l的均质杆AB在端点A通过光滑铰链连接于半径为r、质量为M的均

质圆盘的中心，如图所示。圆盘可在水平面上纯滚动，若系统从图示位置（此时杆处于水平位置）由静止开始运动，求运动初始时刻杆与轮的角加速度。 杆解：t?0时，轮

以杆AB为研究对象 画受力图 列方程 w?w?0macx?xAmacy?mgYAmaA?xAmaCA?mg?YA?①② 112lYA??ml?ABml?AB??YA?bk2即 ③ 以轮为研究对象 列方程 'MaA?F?xA④⑤ N?YA'?01Mr2??F?r⑥ 2 1??aCA??AB?2 ⑦ ''xA?xAY?YAA； 将①和③代入②得 由于轮做纯滚动

?aCA??r 6g??5r ?AB?6g5l 8. 如图所示两等长杆AB与BC在点B用铰链连接，又在杆的D、E两点连一弹簧。弹簧的刚度系数为k，当距离AC等于a时，弹簧内拉力为零，不计各构件自重与各处摩擦。如在点C作用一水平力F，杆系处于平衡，求距离AC之值。 解：（图）

bFk?Fk'?k(x?a)l弹簧力如图：为 各力作用点横向坐标及其变分为

n xD?(l?b)cos? ?xD??(l?b)si???n xE?(l?b)cos? ?xC??(l?b)si??xC?2lcos? ?xC??2lsin??

代入虚功方程

?F?xxD?0

Fk?xD?Fk'?xE?F?xc?0 Fl2x?a?2kb 解出

第七章 拉伸与压缩

习题七

1=2kN 、P2=3kN，d1=12mm、d2=8mm，l=500mm。试求：1. 图示阶梯杆，P（1）绘轴力图；（2）最大正应力。

N1?P1?P2?5kN N?P2?3kN 2解：（1）?1?(2)N1N1?4?A1?d12 5?103?4???122?44.2MPa N2N2?43?103?4 ?2??2?A?d??82=59.7 MPa 22 ??max?59.7MPa

2. 钢杆受力P=400 kN，已知拉杆材料的许用应力[试确定a、b的尺寸。

解：根据强度条件，应有 将b?2a代入上式，解得 s]=100MPa，横截面为矩形，如b=2a,

??PP?Aa?b???? 3P400?10a?2?????2?100?106m?44.72mm 由b?2a，得 b?89.44mm 所以，截面尺寸为b?89.44mm，a?44.72mm。

6. 图示结构中，梁AB的变形及重量可忽略不计。杆①、②的横截面积均为400mm，材

2料的弹性模量均为200GN/m。已知：L=2m, l1=1.5m, l2=1m,为使梁AB在加载后仍保持水平，载荷P的作用点C与点A的距离x应为多少？ 解：对AB杆进行受力分析 2?Px?N2?L?0 P(L?x)PxN1?N2?LL 解上二式得： A?M?MB?0?0 ?N1?L?P?(L?x)?0 欲使加载后AB保持水平，应有?l1??l2 N1l1N2l2?EA??l2EA P(L?x)?l1P(2?x)?1.5P?x?1??L22 得： 解得：x?1.2m ?l1?7. 试校核图示联接销钉的剪切强度。已知P=100 kN，销钉直径d=30mm，材料的许用剪应力[t]=60MPa。若强度不够，应改用多大直径的销钉？

PQ?2 解：（1）剪切面上的剪力。 校核销钉剪切强度 100?103?4P?4Q????A2?d22???302?10?6?70.7MPa ????

所以销钉强度不合格。 （2）根据强度条件

??P?4Q?A2?d2???? d?所以

8． 木榫接头如图所示，a=b=12cm，h=35cm，h=4.5cm。p=40kN。试求接头的剪应力和挤压应力。

解：作用在接头上的剪力Q?P，剪切面积为bh

4?P4?100?1032??????2???60?106?32.57mm 40?103P?Pa???4?0.952MPa bh12?35?10 接头的剪切应力为作用在接头上的挤压力和挤压面积分别为P和bc ，

40?10?3P??j?bc12?4.5?10?4Pa=?7.41MPa 接头的挤压应力为 29. 由五根钢杆组成的杆系如图所示。各杆横截面积均为500mm，E=200 GPa。设沿对角

线AC方向作用一对20 kN的力，试求A、C两点的距离改变。 解：A铰链受力如图所示， 由平衡条件

?X?0 N?Pcos45?Y?0 Psin45?N1???0 ?0 222PN2?P22解上式得 , N?N4

由于结构对称，故有3N1?2?P?N12 B铰链受力如图，由平衡条件

?X?0 N解得

5cos45??N1?0

N5?P

N12?aN522a?4??U2EA2EA 杆系的总变形能为 应用卡氏定理，A、C两点的距离改变为 P2a(2?2)?2EA 20?103a?UPa?A??(2?2)?(2?2)?200?109?500?10?6 ?PEA?0.683?10?3a 10. 厚度为10mm的两块钢板，用四个直径为12mm的铆钉搭接，若在上、下各作用拉力P=20kN ，如图示，试求：（1）铆钉的剪应力；（2）钢板的挤压应力；（3）绘出上板的轴力图。

解：（1）铆钉的剪应力 P 由题分析可得，每个铆钉剪切面上的剪力为4 20?103QP?4??=?2??122?10?6?44.23MPa A4??d所以 （2）钢板的挤压应力

?j?P?Aj4?td 20?103?4?10?12?10?6?41.67MPa Pj（3）上板的轴力图

11．求图示结构中杆1、2的轴力。已知EA、P、h，且两杆的EA相同。 解：物块A受力如图

?X?0

P?N1?N2?cos30??0 ①

由图可知系统变形协调关系为 ?L2??L1?cos30? N2?L2N1?L1?cos30?EA即 EA L2?2h，L1?3h代入上式 3N2?N14 ② 得：N?0.606P N2?0.455P 将②式代入①式，解得 1将

第八章 轴的扭转

判断题：

1. 传动轴的转速越高，则轴横截面上的扭矩也越大。(错)

2. 扭矩是指杆件受扭时横截面上的内力偶矩，扭矩仅与杆件所收的外力偶矩有关，而与杆件的材料和横截面的形状大小无关。(对)

3圆截面杆扭转时的平面假设，仅在线弹性范围内成立。(错)

4. 一钢轴和一橡皮轴，两轴直径相同，受力相同，若两轴均处于弹性范围，则其横截面上的剪应力也相同。(对)

5. 铸铁圆杆在扭转和轴向拉伸时，都将在最大拉应力作用面发生断裂。(错)

6.木纹平行于杆轴的木质圆杆，扭转时沿横截面与沿纵截面剪断的可能性是相同的。(错) 7. 受扭圆轴横截面之间绕杆轴转动的相对位移，其值等于圆轴表面各点的剪应变。(错)

习题八

1．直径D=50mm的圆轴，受到扭矩T=2.15kN.m的作用。试求在距离轴心10mm处的剪应力，并求轴横截面上的最大剪应力。 T??T???322.15?103?10?10?3?32??4I?35MPa ??504?10?12P??D解： 3T2.15?10?16?max??WP??0.053?87.6MPa 截面上的最大剪应力为：???4．实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器连在一起，已知轴的转速n=1.67r/s，传递功率N=7.4kW，材料的[t]=40MPa，试选择实心轴的直径d1和内外径比值为1/2的空心轴的外径D2。

解：轴所传递的扭矩为 T?9550N7.4?9550?n1.67?60?705N.m

由实心轴强度条件： ?max?T16T?W???d13???? 16?7053???????40?106?44.8mm 16T16?7053?????(1??4)??40?106?(1?0.54)?45.7mm 16T可得实心圆轴的直径为 d1?3空心圆轴的外径为： D2?35．机床变速箱第Ⅱ轴如图所示，轴所传递的功率为N=5.5 kW,转速n=200r/min，材料为45钢，[]MPa，试按强度条件设计轴的直径。

解：轴所传递的扭矩为 t=40T?9549N5.5?9549n200?263N.m 由圆轴扭转的强度条件 ?max?可得轴的直径为 T16?T?W???d3???? 16T16?2633?????40?106???32.2mm 取轴径为d?33mm d?36. 某机床主轴箱的一传动轴，传递外力偶矩T=5.4N.m，若材料的许用剪应力[?q=0.5[]G=80GN/m, /m，试计算轴的直径。

2t]=30MPa，

解：由圆轴扭转的强度条件

?max?T16?T?W???d13???? 16?5.43???????30?106?9.7mm 16T可得轴的直径为 d1?3由圆轴刚度条件 Q?可确定圆轴直径 T18032T180???G?d24????? GIP?4180?T?32180?5.4?3242?G??????80?109??2?0.5?16.7mm 所以取直径d?16.7mm d2?7．驾驶盘的直径f=520mm，加在盘上的力P=300N，盘下面竖轴的材料许用应力

[t]=60MPa。（1）当竖轴为实心轴时，试设计轴的直径；（2）如采用空心轴，且试设计轴的内外直径；（3）比较实心轴和竖心轴的重量。

解：方向盘传递的力偶矩

a=dD=0.8，m?P???300?520?10?3?156N.m

（1）由实心轴强度条件 ?max?T16T?W??d3???? 16?1563???????60?106?23.6mm 16T得轴的直径： d?3(2)空心轴的外径为： 16T16?1563?????(1??4)??60?106?(1?0.84)?28.2mm d?D???28.2?0.8?22.6mm D?3W实（3）

W空?A实A空?d2实D2空?d2空?1.96 8．直杆受扭转力偶作用如图所示，做扭矩图并写出解：（1）

Tmax。 NAB?20?10?5?5kN.m NBC??10?5??15kN.m NCD??5kN.m Tmax?15kN.m （2） T1??20kN.m T2??20?10??10kN.m

T3?20kN.m Tmax?20kN.m

第九章 梁的弯曲

判断题：

1. 梁发生平面弯曲时，梁的轴线必为载荷作用面内的平面曲线。（对） 2. 最大弯矩必定发生在剪力为零的横截面上。（错）

3梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和。而与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和。（对）

4. 两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图也不一定相同。（错）

5. 纯弯曲时，梁变形后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。（错） 6. 平面弯曲时，中性轴垂至于载荷作用面。（对）

7. 若梁上某一横截面上弯矩为零，则该截面的转角和挠度必也为零。（错）

8. 若梁上某一段内各截面上的弯矩均等于零，则该段梁的挠曲线必定是一直线段。（对） 9. 两梁的横截面、支承条件以及承受载荷均相同，而材料不同，则两梁的挠曲线方程相同。（错）

10. 不论载荷怎样变化，简支梁的最大挠度可以用梁的中点挠度来代表。（错）

习题九 1．设P、q、M0、l、a均为已知，如图所示试列出各题的剪力方程和弯矩方程式，绘出Q、M图并出max值和（a）解：AB段： QMmax值。 Q(x)??P (0?x?L) M(x)??Px (0?x?L) BC段： Q(x)??P (L?x?2L) M(x)?2PL?Px (L?x?2L) max （b）解：AB段 Q(x)??qx Qmax?PM?PL (0?x?L)2 1M(x)??qx22 L(0?x?)2 9Q(x)??qx?qL8 BC段 L3L(?x?)22 199M(x)??qx2?qLx?qL22816 L3L(?x?)2 2Qmax?5qLM8 max1?qL28 2．绘出图示各梁的剪力图和弯矩图，求出（a）解：根据平衡方程求支反力 Qmax和Mmax，并用微分关系对图形进行校核。

163 kN， 26RB?3kN RA?做剪力图， 弯矩图 Qmax?Mmax203kN， 64?9kN.m （b）解：根据平衡条件球求支反力 RA=做剪力图、弯矩图

2p3 pRB=3 Qmax=2p3 Mmax=pa 3．（a） (b) 1． 4. 已知图示各梁的载荷P、q，M和尺寸。（1）作剪力图和弯矩图；（2）确定max值。 和|（a） (b) Qmax值M

(c) (d) (e) (f) (g) Qmax=75pMmax=pa2 2 Qmax=30kn Mmax=1k5n m Qmax=qa Mmax=12qa2 (h) 5. 设梁的剪力图如图所示，试作弯矩图及载荷图。已知梁上设有作用集中力偶。 (a) (b) Qmax=qa1Mmax=qa22 8 b2???10MPa,试确定此梁横6. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l=4m, h3,q=10kN/m, ??截面尺寸。

解：梁的最大弯矩发生在固定端截面上，

121ql=(创1042)=80knm22 m80′103s== [s]1wbh26梁的强度条件 Mmax=6创80106￡[s]3创680 10332232h3()mh×hb=h62创10103代入上式得3将， 所以 h=416mm，8．T字形截面梁的截面尺寸如图所示，若梁危险截面承受在铅垂对称平面的正弯矩M=30kNm,试求：（1）截面上的最大拉应力和压应力；（2）证明截面上拉应力和压应力之和，而其组成的合力矩等于截面的弯矩。

解：（1）计算T字形截面对形心轴的惯性矩 b=2h=277mm3 50?1503150?5032??50?150?50??50?150?502IZ1212 44?5312.5?10mm 最大拉应力发生在截面最下边缘 ?tmaxM?y130?103?75?10?3??Iz5312.5?104?10?12?42.35MPa 最大压应力发生在截面最上边缘 ?cmaxM?y230?103?125?10?3??Iz5312.5?104?10?12?70.59MPa 0.125（2）证明：①中性轴上侧压力之和为 FC????0M?yM?0.050.125M?0.05?dy?ydy??3.90625?10?4?0IZIZIZ 中性轴下侧拉力之和为 0.025Ft?00.075M?yM?y?0.05dy???0.15?dy0.025IZIZ 0.075M?0.0250.05ydy?0.15ydy????0?0.025?IZ? M??3.90625?10?4IZ ?Fc?Ft 所以截面上拉力之和等于压力之和。

②截面上合力矩为 ?0.1250220.125My0.075MyMy2?0.05?dy??0.05dy??0.15dy00.025IzIzIz ?M?0.05?10?9?1062500Iz 所以合力矩等于截面上的弯矩。 9. T形截面的铸铁悬臂梁及其承载情况如图示，材料的许用拉应力?应力?c?，试求梁的许可载荷?解：梁的弯矩图如图， 弯矩的两个极值分别为

0.05?10?9?1062500?M?5312.5?104?10?12?M ?t??40MPa，许用压

??80MPap?

?1?0.8P，

截面对形心轴的惯性矩为

?2?0.6P

?50?2003?150?5032Iz???50?200?53.6??50?150?71.42?12?12?mm4 ?10180cm4 根据弯曲正应力强度条件 ?max?由A截面的强度要求确定许可荷载。 由抗拉强度要求得 6?81??t?Iz140?10?10180?10P????0.8y10.89.64?10?2N?52.8KN

Mymax????Iz 由抗压强度要求得 6?81??c?Iz180?10?10180?10P????0.8y20.815.36?10?2N?66KN

由C截面的强度要求确定许可载荷： 由抗拉强度得：

P?1??t?Iz140?106?10180?10?8???0.6y20.615.36?10?2N?44.1KN

显然C截面的压应力大于拉应力，不必进行计算。

许用载荷为 P?44.1KN

10．矩形截面的变截面梁AB如图示，梁的宽度为b,高度为2h（CD段）和h(AC、DB段许用应力为??，为使截面C、E、D上的最大应力均等于?2a应取多少？

解：由题意可得C,D,E截面的弯矩值

???，加强部分的长度

PL?MC?MD2?(2?a) PLME??22 ?max?MCME?WZ1WZ2截面上最大应力值为 欲使截面C,D,E上最大应力相等，则有

MWZ PLPL(?a)?2222?12bbh(2h)26即 6 3L2a?4 解得 EIz200?109???7.54?10?8????77.4m 4?103?64M跨度中点C的挠度。

yC????2?LAC2?77.4?77.42?0.752?3.6mm 13．用叠加法求图示各梁截面A的挠度和截面B的转角。EI为已知常数。

lm()2plpl32fA1????fA2??24EI，8EI 2EI解：（a）查表得 pl2mlpl2QB1?QA??QB2????8EI，EIEI 3由叠加原理有 pl39pl2????Q?Q?QfA?fA1?fA2B1B26EI B8EI f?fA1?fA2 （b）由图可知 A5ql4fA1?f?fA2，查表得 384EI 因A5ql41(?)fA?fA1?768EI2所以， Q?QB1?QB2，QB?QB2 由图可知 B2ql3ql31QB1?(?)QB?QB1?384EI，所以 384EI2而 第十章 组合变形

1. 已知单元体应力状态如图示（应力单位为???），试求：（1）指定斜截面上

的正应力和剪应力；（2）主应力的大小、主平面位置；（3）在单元体上画出平面位置和主应力方向；（4）最大剪应力.

?解：（1）??30斜截面上的应力： 30?5030?50?cos(2?30?)?(?20)sin(2?30?)22 =52.3??? 30?50 ???sin(2?30?)?20cos(2?30?)2 =?18.7??? ???（2）主应力和主平面 ?max?30+5030+502?()?20222 ?62.36??? 30+5030-502?min??()?20222 ?17.64??? 2?(?20)tg2??????230?50 ????31.72? （3）图 ?1?62.36??? ?2?17.64??? （4）2.图示起重机的最大起重吊重量为P=40 kN，横梁AC由两根18号槽钢组成，材料为Q235，许用应力[?]=120Mpa ，试校核横梁的强度。

解：（1）外力分析：取AC为研究对象，受力如图，小车位于AC中点，平衡条件 ?max?(30?502)?2022?22.36Mpa ?MC(F)?0: NABsin30??3.5?P?1.75?0 NAB?P?40kN ?FY?0: YC?NABsin30??P?0 PYC?2?20kN ?FX?0: XC?NABcos30??34.64kN （2）内力分析：见轴力图，弯矩图。AC梁为压，弯组合变形，危险截面位于AC中点。 Mmax?20?1.75 ?35kN.m （3） 应力分析 18号槽钢 WZ?2?152.2cm3 A?29.29?2cm2 363???34.64?10/(29.29?2?100)?35?10/(2?152.2?10)?max?????max?121??? （4）强度分析： ??121?120?120?8.3?10?3?0.83%?5%??? 满足要求 3.手摇式提升机如图示，已知轴的直径d=30mm,材料为Q235钢，试按第三强度理论求最大起重载荷Q。

解：（1）轴的外力 Q向轴简化为Q—弯曲 力偶nQ—扭轴 （2）内力—见图 危险截面位中点： ????80Mpa，M?200Mn?200Q QL4 Q?600??150Q 4Mmax?轴发生弯曲与扭转组合变形 （3）强度计算：

?xd3?M2n?M2maxWZ (2002?1502)?Q?????0.1?303 0.1?303?80Q?1502?2002 ?860N ?最大起重载为860N.

4.图示的钢制圆轴上有两个齿轮，齿轮C直径为试用第四强度理论求轴的直径。 解：（1）外力分析， 将

dc=300mm,其上作用着铅直切向力P1=5 dPkN，齿轮D的直径为D=150mm,其上作用着水平切向力2=10kN。若[?]=100Mpa，P1， P2向AB轴简化，如图 m?P1?dc300?5?22 ?750KN.mm （2）内力分析： 在m作用下轴发生扭转，在变形。 P1、P2作用下轴发生弯曲变形，所以AB轴为弯曲组合MZ: MC1?3P1?1504 ?562.5KN.mm 1MD2??562.53 ?187.5KN.mm 3M?P2?150D1My4 : ?1125KN.mm 1MC2??11253 ?375KN.mm 22M?562.5?375C M: ?676.1KN.mm 22M?1125?187.5D ?1140.5KN.mm (3) 强度运算： ?xd4?MD2?Mn2WZ???? (1140.52?7502?103)?32d???100?51.8mm 35．已知应力状态如图所示（应力单位为：MPa）。

（1）分别用图解法和解析法求（a）、(b)中指定斜截面上的应力； （2）用图解法求（c）、（d）、（e）、（f）上主应力的大小与方向 ，在单元体上画出主平面的位置，求最大剪应力。 （1）（a）解析法解： ????45MPa 50?30???sin60??8.66MPa 2 解析法求解： 50?3050?30?cos60?22 ?45???5MPa 50?45??sin90??20cos90?2 ?25MPa （2）图解法： 5050?cos90??20sin90?22 ???????1?OA?50??a????????3?OB??50??a ?max?OD1?50MPa ?????1?OA?55MPa ?????3?OB??35MPa ??????max?CD1?45MPa 2?0?27? 主平面位置 （d）解：作应力图 （e）解：作应力图 ??????OA?45MPa 1?????3?OB??45MPa ?????max?OD?45MPa 2?0?27? ??????OA?5MPa （f）1?????3?OB??85MPa ?????max?CD1?45MPa 2?0?27?

6.图示一钢质圆杆，直径D=200mm,已知A点在与水平线60方向上的正应变??60?4.1?10?4?2，试求载荷P。已知E?210GN/m, ??0.28。 解：（1）绕A点取一单元体， 应力状态如图： ?60????30?3cos120???224 ??1??cos(?60?)??224 ???（2）由广义虎克定律得： （3）载荷P： 1??60?????30????E ?2.72?3??????4E4E 4?210?103?4.1?10?4??2.72 ?126.6??? ?60??126.6???2002?126.6??P???A?39.78?105? 443M?2.5?10??m作用在直径D=60mm的钢轴上，若E?210GN/m2, n7．扭矩?D2??0.28，试求圆轴表面上任一点在与母线成??30?方向上的正应变。

解：（1）绕A点取一单元体， 应力状态如图： （2）2.5?103?103?60??????603 ??58.9??? ?30????sin2?30??58.9sin60??51??? ???60????sin??2?(?60)?? ??51??? 1?30????30????60?E（3） 51?0.28?(?51)??0.311?10?3 210?103第十一章 能量法 1．试计算图示各杆的变形能，抗拉（压）刚度EA，抗弯强度EI均为已知，其尺寸如图。

解：（a）杆的变形能 u??lN2(x)dx2EA(x) 2(?P)2lP2l3Pl???2EA2E?(2A)4EA （b）梁的变形能 梁的支反力RA?4P3， 各段弯矩值为： 1RB??P3 2．直杆受力作用如图所示。如已知杆的抗拉（压）刚度EA，抗弯刚度EI和抗扭刚度p，试用卡氏定理计算杆的轴线伸长和扭转角。

解：（a）变形能 4l?x1(0?x1?)33 4l2l?CD??x2??l(?x2?)33 31l?DB???x3(0?x3?)33 l2ll222?dx?dxMdxACCDDB33u??0??l3??02??2??2?? 3441px1)2px2?pl)2px3)2l(2l(l(?3333??0dx1??l33dx2??0dx32??2??2??3 23123?l?729?? ??C?GIp2lm2lu??2EA2GIP 线伸长 ???upl??pEA ??扭转角 ?uml??mGIp m2lm2lu??2GI2EI P（b）变形能 ?uml????mGIp扭转角 转角 3．试求图示各梁A点的挠度和B截面的转角（EI为已知常数）。

???uMl??mEI 解：（a）MAB??px MBC??px?pl M0??x 1?l02l?A?M?Mdx?(?px?pl)?(?x)dx?0ABl???? EI1?l2?pxdx??l2l(px2?plx)dx?0?? EI?7pl3?(?)6EI 求?B: ?0?1 ?B?(b)解：1?2l?l(?px?pl)(1)dx???EI ?1222?1????p?(2pl)?l?pl???2??EI pl2??(?)2EI ?MD(F)?0 5lp?3l?q?3l??MB?RC?2l?02 9RC?p???4?? ?MC(F)?0 pl??pl?pl?RD?2l?0l2 pRD????4 12M?px?qx1AC1?A2求： (0?x1?l) pMDB??RDx2??x2(0?x2?l) 4 pMBC??x3?MB(l?x3?2l) 4 10M?x0MAC?x1 BD2 1?l?12????1??xl?p2l?p?A?px?qxxdx?xxdx?x?M()dx??12??2?23B?3??0?121??0??l?EI???4??2??4?2????1?11pl3pl3p1?pl32?????2l??l3????2l??l2????4???EI?242483? 337pl?24EI 求?B： x3?1?l?x2?l2lM?0dx?M?dx?M?(?)dx3??2?lBC?0AC1?0DB?EI?2L?2l???21??x3????x2?l?p2lp7pl?0??0?x2????dx2??l(x3?MB)???MB?dx3??EI?4?4??2l??2l?? 24EI ??B?4．若已知梁的抗弯刚度EI，求图示各梁C点的挠度和B截面的转角。 （a）解：M?qlqx?x222 1x2 xlMCB0??(x?)22 l?2qlq2xq2lx?1xql?C???0(x?x)()dx??l(x?x)(?)dx?222222?EI?22MAC0? 5pl(?)384EI x0MAB?l 1?lqlq2x??B?(x?x)()dx?0??EI?22l? ?ql3?(?)24EI （b）解：4MAC??MAx?MAl MAxl x0M?AC?2 求C xlMBC???22 ll?MAMA1?2xxxll2?C?(?x)()dx?M?dx?(?x)(??)dx?0??0A2?2llEI??l222?MBC? 1?5MAl27MAl23MAl2??????EI?484816? 2Ml?A(?)16EI 10M??xAB?l 求B MA1?lx??B?(M?x)(1?)dx?0A??EI?ll? ?5．用卡氏定理求图示组合梁铰链B处左、右两截面的相对转角，并求B点的挠度（EI、C、l为已知）。

解：在中间铰B两侧加相等相反的力偶m

(1) 列弯矩方程 BA段：以B为原点： BC段： MAl(?)6EI M(RB?MC?m)l M1?m?(MC?m)xl M2?m?(MC?m)xl （2）变形能 u?1?22?Mdx?MlBA1BC2dx????2EI 22?MC?m?M?m1??l????lC?(m?)xdx?m?()xdx??0??0????2EI?ll?????? ?2l01?2EIMC?m?2?22m?2()?xdx??l?? MC?m2l3?1?2?2ml?2()??2EI?l3?? （3）相对转角 ?u1??B???m2EIM1?(?MC?ml3?2MCl24ml?4()?(?1)????l3??=3EI 再在B处加力P，弯矩方程：

MC?p)xlBA： MM2?CxlBC： 1?22u?Mdx?Mdx?l1l2??BABC?? 2EI变形能 1?lMC?22lMC22?(?p)xdx?()xdx?0l?0l?2EI??? 1?2EIB点的挠度： 3?MCMCl3?2l?(l?p)?3?l?3??? ?u?1?B??p2EI6．杆件系统如以下各图所示，两杆的截面面积A、长度l和材料E均相同。计算A点的铅直位移。

?MCl3?MCl22(?p)?(?1)?|P?0???l3???3EI

解：由图可见： NAB?NAC?P lAB?lAC?l 0p?1 再在A处加一铅直相下的单位力000N?N?1 p?1ABAC在时各杆轴力00lAC2plNABNABlABNACNAC?A???(?)EAEAEA根据莫尔定理： 7．图示各刚架，其材料相同，各杆的抗弯刚度EI如图所示，试求点A的位移和截

面C的转角。 解：利用莫尔定理：MAC?Px1， MCB?Pl?Px2 （1） 0MAC0p?1， xA点的水平位移，在A点加0?x2 ?0，MCB ?x?1?00M?Mdx?M?Mdx?lACAClCBCB???? EI1EI1?EI??l0(Pl?Px2)?x2dx2 ?Pl3Pl3??2?3??? 5Pl3?(?)6EI 0M?x1， ACA点的铅直位移：（2） 0MCB?l 1?00?y??M?Mdx?M?Mdx?lACAClCBCB??ACAB?? EI 1?l?Px1?x1dx1??l0(Pl?Px1)?ldx2?0??? EI1?Pl3Pl3?3??Pl??EI?32?? 11Pl3?(?) 6EI （3） 0MCB0M?0， ACC点的转角：?1 3Pl31l(?)?C?1dx2?0(Pl?Px2)??2EIEI R?P，MAB??Px1 b.解：AMBC??Pl?Px2 0p?1 x（1） A点的水平位移，加00??l?x2 MAB??x1，MBC?x?（2）B截面的转角： 0MAB?1?ll(?Px)?(?x)dx?(?l?x2)dx2?01110(?Pl?Px2)????? EI2Pl3?(?)3EI ?x10l，MCB?0 Pl2?x11l?B?)dx1?0(?Px1)(?3EI EIl?x0MAB?1M0??1l，CB（3）C转角： ?B?8．图示桁架各杆的材料相同，截面面积相等。在载荷P作用下，试求节点B与D间的相对位移。 解：（1）用莫尔定理求解：桁架各杆在P力作用下的轴力为： 1?l?x?l(?Px)()?(?Pl?Px)(?1)dx01022???EI?l?? 5Pl2?6EI N1?N2?N4?0 N3??P， N5?2P （2）在B、D两点沿BD连线作用 一对单位力如图，各杆轴力为： 00N10?N2?N30?N4??22 （3）B、D两点的位移： N5?1 ?BD??i?15NiNl?EAi0ii(?P)(?2)l1?2l2?(2P)?EAEA ?

(2?4)PlPl?2.712EAEA

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