初中数学方程与不等式之一元一次方程知识点

初中数学方程与不等式之一元一次方程知识点

一、选择题

1．若关于x的一元一次方程x?m+2=0的解是负数，则m的取值范围是

A．m≥2B．m＞2 C．m＜2 D．m≤2

【答案】C

【解析】

试题分析：∵程x﹣m+2=0的解是负数，∴x=m﹣2＜0，解得：m＜2，故选C．

考点：解一元一次不等式；一元一次方程的解．

2．小明在某个月的日历中圈出三个数，算得这三个数的和为36，那么这三个数的位置不可能是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．【详解】

解：A、设最小的数是x．x+x+1+x+8=36，x=9．故本选项可能．

B、设最小的数是x．x+x+8+x+16=36，x=4，故本选项可能．

C、设最小的数是x．x+x+8+x+2=36，x=26

3

，不是整数，故本项不可能.

D、设最小的数是x．x+x+1+x+2=36，x=11，故本选项可能．

因此不可能的为C.

故选：C.

【点睛】

此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．

3．8×200=x+40

解得：x=120

答：商品进价为120元．

故选：B．

【点睛】

此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润=售价-进价，建立方程是关键．

4．某商品打七折后价格为a元，则原价为（）

A．a元B．10

7

a元C．30%a元D．

7

10

a元

【答案】B

【解析】

【分析】

直接利用打折的意义表示出价格即可得出答案．【详解】

设该商品原价为x元，

∵某商品打七折后价格为a元，

∴原价为：0.7x=a，

则x=10

7

a（元），

故选B．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.

5．若x=-2是方程ax-b=1的解，则代数式4a+2b-3的值为（）

A．1 B．3-C．1-D．5-

【答案】D

【解析】

【分析】

把x=-2代入ax-b=1得到关于a和b的等式，利用等式的性质，得到整式4a+2b-3的值，即可得到答案．

【详解】

解：把x=-2代入ax-b=1得：-2a-b=1，

等式两边同时乘以-2得：4a+2b=-2，

等式两边同时减去3得：4a+2b-3=-2-3=-5，

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解和代数式求值，正确掌握代入法和等式的性质是解题的关键．

6．如图所示是边长分别为60cm和80cm的两种正方形地砖，这两种地砖每平方厘米的造价相同，若边长为60cm的地砖的造价为90元，则边长为80cm的正方形地砖的造价为（）

A．120元B．160元C．180元D．270元

【答案】B

【解析】

【分析】

设边长为80cm的正方形地砖的造价为x，根据每平方厘米的造价相同列方程求出x的值即可得答案．

【详解】

设边长为80cm的正方形地砖的造价为x元，

∵两种地砖每平方厘米的造价相同，

∴

90

60608080

x

=

??

，

解得：x=160，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用，正确得出等量关系列出方程是解题关键．7．一个书包的标价为a元，按八折出售仍可获利20%，该书包的进价为（）

A．2

3

a B．

3

4

a C．

4

5

a D．

5

6

a

【答案】A 【解析】【分析】

设进价为x元，根据题意可得

8

20%

10

=-

x a x，解得2

3

x a

=，即为所求．

【详解】

设进价为x元

根据题意得：

8 20%

10

=-

x a x

∴

4 1.2

5

=

x a

∴23

x a = 故选：A

【点睛】

本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，分清已知量和未知量，根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程，解所列的方程，求出未知数的值，检验所得的解是否符合实际问题的意义．

8．下列等式变形正确的是（ ）

A ．如果0.58x =，那么x=4

B ．如果x y =，那么-2-2x y =

C ．如果a b =，那么

a b c c = D ．如果x y =，那么x y = 【答案】B

【解析】

【分析】

等式两边同时加上或减去同一个数，等式依然成立；等式两边同时除以一个不为0的数，等式依然成立；两个数的绝对值相等，其本身不一定相等，据此逐一判断即可.

【详解】

A ：如果0.58x =，那么16x =，故选项错误；

B ：如果x y =，那么22x y -=-，故选项正确；

C ：如果a b =，当0c ≠时，那么a b c c

=，故选项错误； D ：如果x y =，那么x y =±，故选项错误；

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了等式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.

9．某书店推出一种优惠卡，每张卡售价为50元，凭卡购书可享受8折优惠，小明同学到该书店购书，他先买购书卡再凭卡付款，结果省了10元。若此次小明不买卡直接购书，则他需要付款（ ）

A ．380元

B ．360元

C ．340元

D ．300元 【答案】D

【解析】

【分析】

此题的关键描述：“先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元”，设出未知数，根据题中的关键描述语列出方程求解．

【详解】

解：设小明同学不买卡直接购书需付款是x 元，

则有：50+0.8x=x-10

解得：x=300

即：小明同学不凭卡购书要付款300元．

故选：D ．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．

10．某商店销售一批服装，每件售价150元，可获利25％，求这种服装的成本价．设这种服装的成本价为x 元，则得到方程（ ）

A ．0150250x =?

B ．0251500

x ?= C ．

0015025x x

-= D ．0150250x -= 【答案】C

【解析】

【分析】 等量关系为：成本×（1+利润率）=售价，把相关数值代入即可

【详解】 解：设这种服装的成本价为x 元，那么根据利润=售价-成本价，

可得出方程：150-x=25%x ；

15025%x x

-= 故应选C

11．在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在234111112222

+++++…中，“…”代表按规律不断求和，设234111112222x +++++???=．则有112

x x =+，解得2x =，故2341111122222+++++???=．类似地2461111333

++++???的结果为（ ） A ．43 B ．98 C ．65 D ．2

【答案】B

【解析】

【分析】 设2461111333x ++++???=，仿照例题进行求解． 【详解】 设2461111333x +

+++???=， 则246224611111111113333333??++++???=+++++??? ???

， 2113

x x ∴=+， 解得，98

x =

， 故选B ．

【点睛】 本题考查类比推理，一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键．

12．小元步行从家去火车站，走到 6 分钟时，以同样的速度回家取物品，然后从家乘出租车赶往火车站，结果比预计步行时间提前了3 分钟．小元离家路程S(米)与时间t(分钟)之间的函数图象如图，从家到火车站路程是( )

A ．1300 米

B ．1400 米

C ．1600 米

D ．1500 米

【答案】C

【解析】

【分析】 根据图象求出小元步行的速度和出租车的速度，设家到火车站路程是x 米，然后根据题意，列一元一次方程即可．

【详解】

解：由图象可知：小元步行6分钟走了480米

∴小元步行的速度为480÷6=80（米/分）

∵以同样的速度回家取物品，

∴小元回家也用了6分钟

∴小元乘出租车（16－6－6）分钟走了1280米

∴出租车的速度为1280÷（16－6－6）=320（米/分）

设家到火车站路程是x 米 由题意可知：

62380320

x x -=?+ 解得：x=1600

故选C ．

【点睛】

此题考查的是函数的图象和一元一次方程的应用，掌握函数图象的意义和实际问题中的等量关系是解决此题的关键．

13．下列等式的变形中，正确的有（ ）

①由53x =得53x =

；②由a=b 得，-a=-b ；③由a b c c =得a b =；④由m n =得m 1n = A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 【答案】B

【解析】

【分析】

本题需先根据等式的性质对每一选项灵活分析，即可得出正确答案.

【详解】

①若53x =，则35

x =故本选项错误 ②若由a=b 得，-a=-b ，则-a=-b 故本选项正确

③由a b c c

=，说明c ≠0，得a b =故本选项正确 ④若m n =≠0时，则

m 1n =故本选项错误 故选:B

【点睛】

本题考查了等式的基本性质，在已知等式等号两边同时加减或乘除等式是否仍然成立.

14．一轮船从甲码头到乙码头顺水航行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆水航行，用了

2.5小时．已知水流速度为3千米/时，设轮船在静水中的速度为x 千米/时，根据题意可列方程为（ ）

A ．23 2.53x x +=-

B ．2(3) 2.5(3)x x +=-

C ．23 2.53x x -=+

D ．2(3) 2.5(3)x x -=+ 【答案】B

【解析】

【分析】

顺流：速度=船在静水中的速度+水流的速度；

逆流：速度=船在静水中的速度-水流的速度．

【详解】

顺流：速度=船在静水中的速度+水流的速度；

逆流：速度=船在静水中的速度-水流的速度．

在顺流和逆流航行过程中不变的是路程：路程=速度?时间

顺流路程=()23x + 逆流路程=()2.53x -

所以：()23x +=()2.53x -，选B ．

【点睛】

掌握船在顺流和逆流时的速度计算公式，注意航行过程中不变的是路程建立等量关系即可．

15．若代数式x ＋2的值为1，则x 等于( )

A ．1

B ．－1

C ．3

D ．－3

【答案】B

【解析】

【分析】

列方程求解．

【详解】

解：由题意可知x+2=1，解得x=-1，

故选B ．

【点睛】

本题考查解一元一次方程，题目简单．

16．下列方程变形正确的是（ ）

A ．由25x +=，得52x =+

B ．由23x =，得32

x = C ．由

104

x =，得4x = D ．由45x =-，得54x =-- 【答案】B

【解析】

【分析】 根据等式的性质依次进行判断即可得到答案.

【详解】

A. 由25x +=，得x=5-2，故错误；

B. 由23x =，得32x =

，故正确； C. 由104x =，得x=0，故错误；

D. 由45x =-，得x=4+5，故错误，

故选：B.

【点睛】

此题考查等式的性质，熟记性质定理是解题的关键.

17．方程|2x+1|=7的解是（ ）

A ．x=3

B ．x=3或x=﹣3

C ．x=3或x=﹣4

D ．x=﹣4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据绝对值的意义，将原方程转化为两个一元一次方程后求解．

【详解】 解：由绝对值的意义，把方程217x ＋

＝变形为： 2x ＋1＝7或2x ＋1＝－7，解得x ＝3或x ＝－4

故选C ．

【点睛】

本题考查了绝对值的意义和一元一次方程的解法，对含绝对值的方程，一般是根据绝对值的意义，去除绝对值后再解方程．

18．如果关于x 的方程()32019a x -=有解，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．3a <

B ．3a =

C ．3a >

D ．3a ≠

【答案】D

【解析】

【分析】

根据方程有解确定出a 的范围即可．

【详解】

∵关于x 的方程（a-3）x=2019有解，

∴a-3≠0，即a≠3，

故选：D ．

【点睛】

此题考查了一元一次方程的解，弄清方程有解的条件是解本题的关键．

19．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，其中记载：“今有共买物人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译文：“几个人去购买物品，如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱问有多少人，物品的价格是多少”？设有m 人，物品价格是n 钱，下列四个等式：①8m +3＝7m ﹣4；②

=；③=;④8m ﹣3＝7m +4，其中正确的是（ ）

A ．①②

B ．②④

C ．②③

D ．③④

【答案】D

【解析】

【分析】 根据钱数可以列出相应的方程或者根据人数列出相应的方程，从而可以解答本题．

【详解】

由题意可得，

8m ﹣3＝7m +4，故①错误，④正确，

，故②错误，③正确，

故选D ．

【点睛】

本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．

20．下列解方程过程中，变形正确的是（ ）

A ．由2x-1=3得2x=3-1

B ．由255143

x x -=-得6x-5=20x-1 C ．由-5x=4得x ＝?

54 D ．由132

x x -=得2x-3x=6 【答案】D

【解析】

【分析】

根据等式的基本性质进行判断．

【详解】

A 、在2x-1=3的两边同时加上1，等式仍成立，即2x=3+1．故本选项错误；

B 、在

255143x x -=-的两边同时乘以12，等式仍成立，即6x-60=20x-12，故本选项错误；

C 、在由-5x=4的两边同时除以-5，等式仍成立，即x=-45，故本选项错误；

D 、在132

x x -=的两边同时乘以6，等式仍成立，即2x-3y=6，故本选项正确． 故选D ．

【点睛】

本题主要考查了等式的基本性质．

等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；

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