2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编第39章规律与探索（含答案）

2011年全国各地100份中考数学试卷分类汇编

第39章 猜想、规律与探索

一 选择题

1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”， 图A3比图A2多出4个“树枝”， 图A4比图A3多出8个“树枝”，??，照此规律，图A6比图A2多出“树枝”（ ）

A.28 B.56 C.60 D. 124

【答案】C

3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n（n是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是 ▲ ．

【答案】n(n?2)

4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形 有 个小圆. （用含 n 的代数式表示）

第1个图形

第 2 个图形 第3个图形

第 18题图

第 4 个图形

【答案】n(n?1)?4或n?n?4

5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：

① 1 × 3 - 22 = 3 - 4 = -1

2

② 2 × 4 - 3= 8 - 9 = -1 ③ 3 × 5 - 42 = 15 - 16 = -1 ④ ……

（1）请你按以上规律写出第4个算式； （2）把这个规律用含字母的式子表示出来；

（3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．

2

【答案】解：⑴4?6?52?24?25??1；

⑵答案不唯一.如n?n?2???n?1???1；

⑶n?n?2???n?1? ?n2?2n?n2?2n?1

?n2?2n?n2?2n?1

22????1.

6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答.

（1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数 的平方，第8行共有 个数； （2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有 个数；

（3）求第n行各数之和． 【解】（1）64，8，15；

（2）(n?1)2?1，n，2n?1；

（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；

2类似的，第n行各数之和等于(2n?1)(n?n?1)=2n?3n?3n?1.

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二 填空题

1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第_____个图形共有120 个。

【答案】15

2. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE，它的面积为1，取△ABC和△DEF各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图(2)中阴影部分；取△A1B1C1和△1D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E 2F 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形AnFnBnDnCnE nF n的面积为 .

【答案】

3. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：

1 4n111111111111111??1?,???,???,???,122342125633078456............ 111则+?_______?.201120122011?2012【答案】

1 1006

4. （2011广东湛江20,4分）已知：

2323A3?3?2?6,A5?5?4?3?60,A5?5?4?3?2?120,A6?6?5?4?3?360,

2?,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A7? （直接写出计算结果），53并比较A9 A10（填“?”或“?”或“=”）

【答案】?

三 解答题

1. （2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：

11111111 ＝1－； ＝－；＝－；?? 1?222?3233?434解答下面的问题：

（1）若n为正整数，请你猜想（2）证明你猜想的结论；

1＝ ；

n(n?1)1111＋＋＋?＋ . 1?22?33?42009?201011【答案】（1）? ············································································································ 1分

nn?1（3）求和：

（2）证明：

n?1n111n?1?n－＝－＝＝. ························· 3分

n(n?1)nn?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)1111111＋－＋－＋?＋－ 223342009201012009? ＝1?. ??????5分 20102010（3）原式＝1－

2. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：

如图（十）所示，在正三角形ABC中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠ACP的平分线上一点，若∠AMN=60°，求证：AM=MN。 （1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。

证明：在AB上截取EA=MC，连结EM，得△AEM。

∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN，∠2=180°-∠AMB -∠B，∠AMN=∠B=60° ∴∠1=∠2.

又∵CN、平分∠ACP，∴∠4=

1∠ACP=60°。 2∴∠MCN=∠3+∠4=120°。??????①

又∵BA=BC，EA=MC，∴BA-EA=BC-MC，即BE=BM。 ∴△BEM为等边三角形，∴∠6=60°。 ∴∠5=10°-∠6=120°。??????② 由①②得∠MCN=∠5. 在△AEM和△MCN中，

∵__________,____________,___________, ∴△AEM≌△MCN（ASA）。 ∴AM=MN.

(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A1B1C1D1”(如图)，N1是∠D1C1P1的平分线上一点，则当∠A1M1N1=90°时，结论A1M1=M1N1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明） （3）若将题中的“正三角形ABC”改为“正多边形AnBnCnDn?Xn”，请你猜想：当∠AnMnNn=______°时，结论AnMn=MnNn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明） 【答案】解：（1）∠5=∠MCN，AE=MC，∠2=∠1； （2）结论成立；

（3）

n?2?1800。 n111111?S=1??S=1??2,?, ,,23222221223343. （2011四川成都，23,4分）设S1=1?Sn=1?11 ?n2(n?1)2设S?S1?S2?...?Sn，则S=_________ (用含n的代数式表示，其中n为正整数)．

n2?2n【答案】．

n?1Sn?1?111121112?1?[?]?2?1?[]?2?== 22n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)1]2

n(n?1)=[1?111n2?2n1)+(1?)+(1?)+?+(1?)?∴S=(1?. 1?22?33?4n?1n(n?1)接下去利用拆项法

111??即可求和．

n(n?1)nn?14. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+?+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢?下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0×1+1×2+2×3+?+(n—1)×n=

1n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做： 3(1)观察并猜想：

12+22=(1+0)×1+(1+1)×2=1+0×1+2+1×2=(1+2)+(0×1+1×2) 12+22+32=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3

=1+0×1+2+1×2+3+2×3 =(1+2+3)+(0×1+1×2+2×3)

12+22+32+42=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+ =1+0×1+2+1×2+3+2×3+ =(1+2+3+4)+( ) ??

(2)归纳结论：

12+22+32+?+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+?+[1+(n—1)]n

=1+0×1+2+1×2+3+2×3+?+n+(n一1)×n

=( ) +[ = +

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