点集拓扑讲评：半期复习(1-3)

半期复习

主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法。

一． 研究的思路与成果 1．预备知识：

（1）集合的三种运算的定义与证明方法： 并、交、差：A∪B、A∩B、A-B

（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？

f（A∪B）＝f（A）∪f（B） f（A∩B）?f（A）∩f（B） 当f为单射时，取等号

f（A-B）?f（A）－f（B）

当f为单射时，取等号

（3）集合的并、交、差运算关于f的原象有什么特点？ 一句话：保持运算。即：

f

?1?1?1(A?B)?f?1?1(A)?f?1?1(B)

f(A?B)?f(A)?f(B)f(A?B)?f(A)?f(B)?1?1

（4）

f(f(A))?A f满时取等号

?1?1 f(f(A))?A f单时取等号 （5）等价关系、等价类的定义，作用

等价类是一种分类方法，将等价类看成一个元素，所有这样元素的集合就是原集合的商集。

（6）有限集与无限集、可数集与不可数集大不相同。

2．拓扑空间

（1）度量空间、球形邻域、开集、连续映射的定义。

（2）拓扑空间的定义（P51 def 2.2.1:满足三条性质）

拓扑空间是所有数学空间中最基础的空间（是所有数学空间的交集）它只具有开集。

（3）模仿实数空间，在拓扑空间中引进类似实数空间的性质。

定义了邻域、闭集、闭包、凝聚点、导集 定义了连续映射，并利用闭集、闭包给出了连续映射的等价命题。

（4）模仿高等代数，给出了基的概念。

（5）定义了序列及极限点。

思路：模仿实数空间，在拓扑空间中引进实数空间的性质。同时也剖析了实数空间，使我们对实数空间的认识更深刻。

因此，我们在研究各种性质时，应不断探讨：R中是否具有这种性质？与R中的相应性质有何区别？

3．从拓扑空间构造新的拓扑空间

（1）子空间的定义，子空间中开集、闭集、闭包、导集、邻域的结构。

（2）积空间及其基、子基的概念。 （3）商空间、商拓扑、商映射的定义

（4）投射、自然投射的一些性质（Th3.2.6; Th3.2.7; Th3.3.2,Th3.3.3）

二．常见证明方法 1．证明集合包含

?x?A?x?B?A?B??x?B?x?A 相等 A?B?A?B且B?A

2．证明连续映射：反射开集、闭集、邻域 3．证明开集：定理2.3.1。在连续映射下，是

否是开集的原象？开映射下，是否是开集的象？

4．证明基：定义及定理2.6.2 5.证明凝聚点;

x?d(A)??U?U x有U?(A?{x})?? 证明不是凝聚点:

x?d(A)??U?U x有U?(A?{x})??

证明闭包:

x?A??U?U x,U?A??6.证明序列收敛于x,用定义;证明序列收敛,用反证法.

limxi?x??U?U x ,i??def?M?Z?,使得当i?M时,有xi?U.

7.常在一个集合关系式的两边同取f、f包等

8．常用反证法

?1、闭

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