概率论在实际生活中的应用

概率论在实际生活中的应用

论文摘要：概率论是从数量上研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对随机现象进行演绎和归纳的科学[1]。概率论的表述，能够使人们清楚直观的看清现象，理解、掌握、运用概率论知识和概率计算方法，对解决各种概率相关问题能起到促进和深化的作用。本文就概率论在经济，市场，体育，博弈，加密，保险方面的应用进行了简单的介绍，通过一些贴近生活的例子，说明了概率论的应用为生活带来了极大的便利，从数字的角度清晰的解析了问题的关键部分，也为许多问题提供了一个方法。 关键词：概率论；生活；应用

Application of probability theory in real life

Abstract：Are quantitative research in probability theory random statistical laws of a mathematical

discipline, is carried out on random phenomena of deductive and inductive science. Description of the probability theory, to make it clear and intuitive to see, understand and master, using probability theory knowledge and probability calculation methods for solving various probability-related issues can play a role in promoting and deepening. This article on probability theory in economic, market, sports, games, encryption, application of insurance to a simple introduction, through a number of examples of daily life, describes the application of probability theory to live brings great convenience, clear analysis from a digital perspective the key part of the problem, also provide a method for many of the problems.

Keywords: Probability theory；Life；Applications

引言

概率论问题的应用十分宽泛，这里就经济，交通，体育，博弈学，密码学方面进行简单的举例，通过这些贴近生活的具体实例说明概率论的方法可以为解决实际问题提供方法，为生活提供便利。

1. 概率论在经济中的应用

1.1概率论在生产中的应用

生产流程中间，出现合格产品以及不合格产品都有一定的概率，抽取部分产品，检查其中不合格品的数量，就可以推断出全部生产产品中的不合格品的数量，以及出现不合格产品的概率，进而推断出该批次产品能否投入市场。

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例1：某零件场生产出的产品有3种，规定ABC产品的不合格产品概率要分别低于0.01，0.005，0.001的时候才能出厂。某日检查第一种产品，随机抽查5个产品中有1个不合格产品。用概率的方法推测这个批次的产品能否出厂？

解: 把抽查每一个产品看成一个独立事件，可把问题看成一个典型的概率问题。 如果产品符合要求，则其不合格的概率小于0.01，令p=0.01，q=1-p=0.99。抽取5

0件产品没有不合格品的概率为P5（0）=C5（0.01）0（0.99）5=0.950990049若产品

符合要求，则抽取样品中有不合格品的概率为1- P5（0）≈0.05。因此出现不合格品应该是一个小概率事件[2]，当抽取5个出现有1个不合格产品的时候，不合格品出现的概率为0.2，这个批次的A产品不合格率超过了0.01,故这批次产品不能够直接出厂，需要继续检查。 1.2概率论在市场销售中的运用

生产商，销售商，经济活动中的各个角色在从事一定的经济活动中都需要考虑这一活动所带来的结果，通俗的来说，就是要考虑其所得的利益。那么，销售商在进货的过程中就需要考虑到市场的需求量，产品的价值等综合问题，以获取最大的利益。这里，举出一个例子。

例2：市场中每月对产品A的需求量?为10到30间的任意数值，故产品销售商每月初去进货的数量也就应该为区间[10，30]中的某一整数值。已知成功的销售出去一样产品，经销商将盈利400元。若产品的数量大于需求量，销售商会将过量的部分商品采取降价处理的措施，则这多出的这部分产品每一件将亏损200元。为了使销售商每个月的盈利期望达到10000元，则销售商每个月应该进货的数量为多少件？ 解：设进货量为a,则每个月的盈利量为

?=g（?）= 400a （a≤?≤30） = 400a （a≤?≤30） 400?-200(a-?) (?≤a≤30) 600?-200a (?≤a≤30) 期望利润为 E（?）=?301011 g（x）dx=2020?a10( 600x-200a)dx+

120?30a400adx=25（a2+28a-60）

=25(a+14)2-25×256

依题意得当a最小取值为26时取得盈利期望达到10000，所以可以获利10000的进

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货区间为[26，30]

故要达到期望的利润值要求进货商进货量应为[26，30]中的任意整数值。 1.3概率论在投资中的运用

俗话说，不要把鸡蛋放在一个篮子里面。同样，这个原理也可以运用于投资中，在购买股票的时候，购买多支股票的要优于购买一支股票，这里可以用概率的方法进行解析。

例3．某公司购买了3支可以获利的独立股票，且3支股票获利的概率分别为0.7，0.5,0.4,求

（1） 任意两种股票中至少有一种能够取得收益的概率； （2） 三种股票中至少有一种能够取得收益的概率。

解：设3支独立股票获利分别获利的事件为A.B.C，那么事件A.B.C是相互独立的。且P（A）=0.7，P（B）=0.5，P（C）=0.4

（1）任意两支股票中有至少一只股票获利的概率相当于3支股票中至少有两支获利。（假设少于两支股票获利，那么3只股票中就可能随机抽取出两只不获利的股票）。任意两种股票中至少有一种能够取得利益的概率

P1=P(AB+BC+AC)=P(AB)+P(BC)+P(AC)-2P(ABC)=0.7×0.5+0.5×0.4+0.7×0.4-2×0.7×0.5×0.4=0.35+0.20+0.28-0.28=0.55 （2）三种股票中至少有一种能够取得收益的概率

P2=P（A+B+C）=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) =0.7+0.5+0.4-0.7×0.5-0.5×0.4-0.7×0.4+0.7×0.5×0.4=0.91

可见三种股票中至少有一种获利的概率达到了9成以上，即有极大的几率会获利。而两支股票至少有一支会获利的概率只比一半多一些。若想要保证能够获利，就应该选择分散投资，也就是说“不要把鸡蛋放在一个篮子里面”[3]。

2概率论在交通设施建设上的应用

随着城市人口的增加，城市车辆数目的增多，也就出现越来越严重的交通问题[4]。怎么样合理安排路线，成为了交通设施建设中的一个重要环节。而某一时间，某一路线，某一位置会面临怎样的交通状况，是可以运用概率的方法计算出来，正确的处理各种可预测的交通问题，就能为人民的生活出行营造一个舒适的环境。

例4：A城的B路口，由西而来到路口的车辆，经过十字路口时，向东行驶的概

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率是0.5，向南行驶的概率是0.25，向北行驶的概率是0.25。在C时间段60秒内十字路口由西而来的车辆约为150辆。若向东行驶的车辆最长的红灯等待时间为40秒。可通行时间为20秒。那么这20秒内需要通过多少辆车才能够避免交通的堵塞？

解：向东行驶的车辆最长等待红灯时间为40秒，可通行时间为20秒，那么在自西向东车辆等待红灯的40秒时间内将有20秒时间内自西向南和自西向北的车辆可通行。40秒内约有由西而来的车辆100辆，其中向东行驶的车辆概率为0.5。那么可以得出，向东行驶的车辆约为50辆，为了避免交通的堵塞，那么在这20秒内通过车辆的数量至少应该为50辆，相当于每秒中要通过路口的车辆为2.5辆。路口的设计行驶为8行道。所以在每秒中完全可以达到道路交通要求的标准，这样，这个路口就不会造成堵塞。

概率问题运用到交通设施建设中方便了生活的方方面面，春节期间，人们的出

行率达到一个高峰，五一，十一等节假日，人们的出行率也会有很大程度的提高，这对于铁路交通运输就会造成很大的压力。特别是春节期间，人们常常感叹一票难求。交通运输部门可以根据人们出行，以及人们返乡出行路线概率的计算，结合车辆的运输容量，增开一些班次路线的列车，可缓解交通运输的压力，为人们带来福利。而人们在制定旅行计划时，也可以运用概率的方法推算一定时间内景点的客流量，确定自己的路线和时间。

3概率论在体育赛事中的运用

奥运会是全世界人民共同关注的一场体育盛宴，而每四年举行的奥运会中第一天总会有射击的赛事，也是中国取得开门红的重要夺金点。

例5：射击所用的靶子一般有十环，从靶心向外分别是黄色，红色，蓝色，黑色和白色，射中位置越靠近靶心，所得的环数就越高，同样，选手的得分就越高。请运用概率方法解释这一现象，为什么越靠近中心分数越高？

解:可将靶子中间的十环看成是十个同心圆，由内向外，设最小的那个圆的半径为r，那么由内向外的其余9个圆的半径分别为2r,3r,4r,5r,6r,7r,8r,9r,10r。[6]根据圆面积公式S=?r2这10个圆的面积分别?r2，4?r2，9?r2，16?r2，25?r2，36?r2，49?r2，64?r2，81?r2，100?r2。则可以得出向外每个同心圆环的面积分别为3?r2，5?r2，7?r2，9?r2，11?r2，13?r2，15?r2，17?r2，19?r2。

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假设选手每一次都不会脱靶，那么他射中每一个环的概率应该与环的面积比例相等。那么射中10环的概率为?r2/100?r2=0.01，依此类推，9环的概率为0.03，8环的概率为0.05??见下表

环数 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 概率 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.11 0.13 0.15 0.17 0.19

通过概率的方法，可以很容易看出，射中越大环数的概率越小，也就越有难度，所以也就得分越高。

体育运动是全民的活动，概率论在体育中的运用也是十分广泛的。

例6：A校和B校将进行一次乒乓球友谊赛，地点和赛事规定由B校制定。A校的李选手和B校的王选手曾经进行过许多次比赛，统计其比赛结果，A校的李选手的胜率为0.6，B校的王选手胜率为0.4。乒乓球比赛的赛事一般采用三局两胜制或者五局三胜制，那么如何制定才能让B校的胜率更大呢？

解：设某一局李选手胜为事件A，王选手胜为事件B。

若采取三局两胜制，那么王选手获胜的情况分为两种：1.前两局王选手获胜2.前两局王选手一胜一负，第3局获胜。王选手获胜的概率为

P1=P(B1B2)+P(A1B2B3)+P(B1A2B3)=0.4×0.4+2×0.6×0.4×0.4=0.352 若采取五局三胜制，那么王选手获胜的情况分为三种：1.前3局王选手获胜2.前3局王选手两胜一负，第4局获胜3.前4局王选手两胜两负，最后一局获胜。王选手获胜的概率为

P2=P（B1B2B3）+P（A1B2B3B4）+P(B1A2B3B4)+P（B1B2A3B4）+P（A1A2B3B4B5）+P（A1B2A3B4B5）+P(A1B2B3A4B5）+P（B1A2A3B4B5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1B2A3A4B5）=0.4×0.4×0.4+3×0.6×0.4×0.4×0.4+6×0.6×0.6×0.4×0.4×0.4=0.064+0.1152+0.13824=0.31744

比较P1和P2的结果，采取第一种方法，就是三局两胜制，B校的王选手获胜的概率要高一些，但是和第二种方法之间的差异不大，都只有不到0.4。这说明王选手取胜的几率比李选手低一半，其胜率并不是可以通过比赛的赛事制度就可以扭转的，这方面不能够投机取巧的。同样也说明了，想要赢得比赛的胜利，就应

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该努力训练，提高自身的能力。

4概率论在博弈学中的运用

博弈学中概率论运用的十分广泛，同样也起着十分重要的作用。

4.1赌本分配问题

例7.甲，乙两个赌徒在每一局的获胜的概率都是1/2。两人约定谁先赢得一定的局数就能得到全部的赌本，但是赌博在中途因外来因素被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：

（1）甲，乙两个赌徒都各需赢k局才能获胜；

（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜； （3）甲赌徒还需赢n局才能获胜，乙赌徒还需赢m局才能获胜[7]。 解:为了表示赌局的公平性，合理分配的赌注，就要按照甲乙两人最终获胜的概率大小来分赌本。

（1）由于在这种情况下，甲乙两人都需要赢k局才能获胜，而且每一局甲乙两人的赢率是一样的，甲乙两人所处的地位是对称的，所以甲乙两人最终获胜的概率都是1/2，甲获得全部赌本的1/2，乙获得全部赌本的1/2。

（2）甲赌徒还需要再赢2局，乙赌徒还需要再赢3局，那么最多再进行4局就能够分出胜负，设Ai表示如果再继续赌下去的第i局中为甲获胜，i=1，2，3，4，则甲最终获胜的概率P1=P(A1A2)+P(A1A2 A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3A4)+P

（A1A2A3A4）+P（A1A2A3A4)=（1/2）2+2×(1/2)3+3×(1/2)4=11/16

所以甲赌徒最终获胜的概率为11/16，乙赌徒获胜的概率为5/16，赌本的分配应当为甲分得全部赌本的11/16，乙分得全部赌本的5/16。

（3）甲赌徒还需要赢n局，乙赌徒还需要赢m局，那么最多再赌n+m-1局必分胜负，则存在有2n?m?1种可能的情况，如果甲最终获胜了:那么在这n+m-1局种甲赢

1m?1了n局，那么乙最多只能赢m-1局，则共有C0n?m?1+Cn?m?1+??+Cn?m?1种情况，设

1m?1 a=C0+C+??+Cn?m?1n?m?1n?m?1

b=C

mn?m?1+C

m?1n?m?1+??+C

n?m?1n?m?1

[8]

a+b=2

n?m?1 —6—

则甲最终获胜的概率为P2=

a2n?m?1 乙最终获胜的概率为P3=

b2n?m?1

根据甲乙赢的概率来公平分赌本的话，所以甲得全部赌本的a/2n?m?1，乙得全部赌本b/2n?m?1。 4.2赌博中的庄家盈利

赌博中庄家常常给赌徒制造一种幻觉性心理，让赌徒觉得自己有很大的赢率，实际上这种心理是不切实际的。可以通过概率的方法来解释这一现象的不实际性。

例8．新年前夕，人们采办年货的时候，总会有一些人摆出小赌摊，这个赌摊的主人准备了一个红色的袋子，袋子从外面是看不到里面的，赌摊的主人准备了8个黑色的小球和8个白色的小球，将这些球都放入袋子里面，并规定是这样的，想要来尝试的人需要交1元钱，然后从袋子里面摸出5个小球。如果摸到的是5个黑色小球奖励20元，如果摸到的是4个黑色的小球就奖励2元，如果摸到的有3个白子则赌摊的主人会送你一个价值5角的新春“福”字，如果摸到的是其他的，主人也会送你一句新春祝福。那么

（1） 摸到能够奖励20元的小球的概率有多少呢？ （2） 能获得2元钱的概率有多少呢？

（3） 如果每天有1000人来到这个赌摊这里摸球，赌摊的主人可以得到多少钱

的收益呢？

5解:一共有16个小球，从这16个小球中间摸出5个小球的会出现的情况有C16种。5（1）其中摸出的球中5个均是白球的可能情况数为C8，由此可以得出任意摸出的555个小球为白球的概率为C8/ C16?0.0128，也就是说赢得20元的概率不到2%。

41（2）其中摸出5个球中有4个白球和1个黑球的可能性为C8C8种。那么任意摸415出的5个小球中有4个白球1个黑球的概率为C8C8/ C16?0.1282，也就是说，赢得

2元的概率为12.82%[9]。

32（3）任意摸出的5个小球中有3个白球，2个黑球的可能性为C8C8，则可以换325到新春“福”字的概率为C8C8/ C16?0.3590。如果每天有1000次参与这个赌博，

那么大约有13个人可以获得20元，有128个人可以获得2元，有359可以获得“福”

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字，也就是价值5角，也就是说赌摊的主人要支付的钱为695.5元。但是这1000个人用于尝试的钱为1000元，那么主人可以净赚300多元，可见，根据概率的方法计算，赌博中的庄家是一定会赢利的，这也说明了赌博是一种欺诈的行为。

5概率论在密码学中的运用

随着电脑的普及，电子文件所占的比重越来越大，在广泛使用的同时，怎样保证其安全性和可靠性呢？这就出现了常见的加密文件。加密文件中密码的存在极大的加强了文件的安全性，采用加密措施的文件，其被破译出来的可能性很小。这一点可以通过概率计算的方法加以验证。

例9：某加密文件的密钥长度为10，其中每一位的密钥可能为26个英文字母中的任意一个，且区分大小些，也可能为[0，9]区间内的任意整数。若采取穷举攻击的方法破译密码，设尝试一个组合的时间为0.1秒，当破译时间超过7天则该文件破译所花费的带价将高于文件本身的价值，破译者将选择放弃破译。那么这个加密文件是否有破译的价值呢？若是破译者已知密钥的前5位为同一个英语字母，而后5位为数字，那么这份文件是否存在破译的价值？

解：26个英语字母区分大小写，共有52种可能性[10]。加上十个数字，那么任意一位有62种可能性。这个加密文件的密钥长度为10，那么密码组合的可能性为

101911C162× C62×??× C62=62=52036560683837093888≈5.2×10

10个

一天为24个小时，为86400秒，由此可得破译出这个密码大约需要6×1011天。这说明破译出这个密码是一个小概率事件，其花费的代价远远大于文件本身的价值，所以破译者会放弃破译，文件的安全性得到了保障。

若是破译者已知密钥的前5位为英语字母，而后5位为数字，则其组合的可能性

6111为C152×C10× C10×??× C10=5.2×10 所以破译这个密码需要6天，那么这个

5个

文件是可以尝试去破译的。

6概率论在保险中的运用

保险是一项使投保人和保险公司能够同时取得利益的活动，投保人缴纳一定数额的保险金，如果遇到投保范围内的问题时，保险公司将支付投保人数倍甚至更多的金

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额，能够在一定程度上帮助投保人解决问题。若是投保人没有出现问题时，其缴纳的保险金是不予以退还的。一般情况下，投保人遇到问题的概率是相对稳定的，那么保险公司就需要确定合理的赔率来保证公司的盈利，这就涉及到了概率的应用。 例10:有10000名条件背景基本相同的人参加了某保险公司的一项人寿保险，该公司的规定是，每一位投保人在年初的时候需要交纳200元的保险金，若是在这一年的时间范围内不幸死亡，那么其收益人将从保险公司获得100000的赔偿金。已知，这类型的投保人的死亡率为0.001.那么该保险公司开展这项业务获利的概率为多少？至少获利500000的概率为？

解:设X为10000名投保人在一年内死亡的人数，保险公司这一项人寿保险业务一年的总收入为10000×200=2000000（元）。投保人一年内死亡的概率为0.001，于是有n=10000，p=0.001两者差异较大，所以用?=np=10的泊松分布进行近似计算。 当X＞20时，保险公司就会亏损，因此只要X＜20时，该项将获利，其概率为

10k?10

P（X＜20）≈?e=0.998

k?0k!20这说明保险公司的这一项业务盈利的概率达到了99.8%，也就是说亏损的可能性是极小的。

保险公司在这项业务上面至少可以获利500000就相当于X≤15。其概率为

10kP（X≤15）≈? e?10=0.951

k?0k!15这说明保险公司在这一项业务上有95.1%的概率获利达到500000，该保险公司设置保险赔偿的金额是合理的。 小结

概率论在生活中已经得到了广泛的应用，为方方面面带来了便利[11]，同样也合理的解释了许多现象，解决了很多问题，本文仅就其中五个方面举出了一些例子，以说明其应用，相信随着科技的发展，概率论必将在生活中有越来越多的应用。

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参考文献：

[1]袁卫，庞浩，曾五一[M].统计学．高等教育出版社.2004

[2]廖炜炜，张伟.运用概率与数理统计对经济分析的探讨[J].北方经贸.2009（4） [3]蔡宣三.决策与经济计划最优化.清华大学出版社[M]1982

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n5rg.html