中考分类 - 等腰三角形

专题:等腰三角形 1 / 6 1. 如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A(4，、0)C(0，2)，D为OA的中点．设点P是

y ?AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）． （1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等； （2）当三角形COP为等腰三角形时，求P点坐标

2.如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0）， 点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=

O P D A(4，0) C(0，2) B x （1）求抛物线的解析式；

（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．

3. 如图，直线y?3x?3交x轴于A点，交y轴于B点，过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式;

⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在， 求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M。 y ⑴求这条抛物线的解析式；

M ⑵P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

D

x B O A

C

A O C B y x 专题:等腰三角形 2 / 6 5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）．点M、N在x轴上，

点N在点M右侧，MN=2．以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°．设点M的横坐标为m．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式. （2）求点C在这条抛物线上时m的值.

（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90°后，得到对应线段DN.

①当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标.

②以DN为直角边作等腰直角三角形DNE, 当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值.

6.如图, 已知抛物线y?y12x?bx?c与y轴相交于C，与x轴相交于A、B， 2点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）. （1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形， 若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

7.如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s． 连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），

解答下列问题：当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

8.如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD?3，DC?5，AB?42，∠B?45?．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动； 动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度 的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒． （1）求BC的长．

（2）试探究：t为何值时，△MNC为等腰三角形．

B

M

N C

A D BoCA x 专题:等腰三角形 3 / 6 9．如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C． （1）求点C的坐标．

（2）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿

x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．

（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．

210.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发， 沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒. 过点P作PE⊥AB交AC于点E

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得 △CEQ是等腰三角形?请直接写出相应的t值.

11.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点D，将∠DCB绕点C按顺时针方向旋转，角的两边CD和CB与x轴分别交于点P、Q，设旋转角为?（0??≤90）．

①当?等于多少度时，△CPQ是等腰三角形？ ②设BP?t，AQ?s，求s与t之间的函数关系式．

12.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA?OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图3）． （1）求线段OA、OB的长和经过A、B、C的抛物线的关系式．

12x?bx?c与x轴交于A（1，0）、B（5，0）两点． 20)点P(m，n)是该抛物线上的一个动点（其中m?0，n?0）（2）如图4，点D的坐标为(2，，，连接DP交BC于点E．当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．y y

A O D C E B x A O

D E P C P B x 专题:等腰三角形 4 / 6 13.已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=接AF、BF．（1）求AE和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．

（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

14.已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AE⊥DE，AB=12，BE=16，F为线段BE上一点，EF=7，连接

，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连

AF．如图①，现有一张硬质纸片△GMN，∠NGM=90°，NG=6，MG=8，斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上．如图②，△GMN从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时，点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段

AE的交点，连接PQ．当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动．设运动时间为t秒，解答下列问

题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值．

（2）在整个运动过程中，是否存在点P，使△APQ是等腰三角形．若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

B F

E(N

C M B A G Q F N E

M

C D

A P G D

专题:等腰三角形 5 / 6 15.已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．

（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；

16.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点，过点E作EF//BC交CD于点F，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PM⊥EF交BC于M，过M作MN//AB交折线ADC于N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

417. 如图1，已知一次函数y＝－x＋7与正比例函数y?x的图象交于点A，且与x轴交于点B．

3（1）求点A和点B的坐标；

（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l//y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C—A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．

①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

专题:等腰三角形 6 / 6 18.已知：如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA＝2，OC＝3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连结DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为

6，那么EF＝2GO是否成立？若成5立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在成立，请说明理由．

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