第四章 印度与阿拉伯的数学

第四章印度与阿拉伯数学

4.1 印度数学

1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振．

印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324一前185)、笈多王朝(320—540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下．公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪一3世纪)．公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占．这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景．

如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．

印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪)．

4.1.1古代《绳法经》

由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少．印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上．不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值：

??4(1?18?18?2989?18?20?6?18?29?6?8)2?3.0883,

2此外还用到??3.004和??4()?3．16049的近似值．在关于正方形祭坛的计

算中取

2?1?13?13?4?13?4?34?1．414 215 686。

由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度人用算术方法给出了求解公式．

耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过有一些公元前5世纪一2世纪的注释．其中出现了许多计算公式，如圆周长C?10r，弧长l?

4.1.2“巴克沙利手稿”

a?6h等．

221

关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”．其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号，如减号，状如今天的加号，“12-7”记成“12 7+”．巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码，其中用点表示0：

表示零的点号后来逐渐演变为圆圈，即现在通用的“0”号，这一过程至迟于公元9世纪已完成。有一块公元876年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”．瓜廖尔数系为：

用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算．“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法．早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号．后来(公元前3世纪)巴比伦人引进了一个专门记号表示空位，玛雅20进制记数中也有表示空位的零号(形状像一只贝壳或眼睛)，但无论是巴比伦还是玛雅的零号都仅仅用来表示空位而没有其他功能，更不被看作是一个单独的数．印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号．到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个特殊的数．婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗的著作中都有关于零的运算的记述．

印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色．当然关于印度零号的来源，学术界尚在探讨，但无论如何，零号的发明是对世界文明的杰出贡献．

4.1.3“悉檀多时期的印度数学”

悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体 系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114一约1185)等．

（一）阿耶波多

阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)

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成为今天的习惯，同时他以半径的

13438 作为度量弧的单位，实际是弧度制度量

的开始．他还给出了第一象限内间隔为3o45’的正弦差值表．印度第—个正弦表是在年代距阿耶波多不远的天文著作《苏利耶历数全书》(Sūrya Siddhānta,佚名，约5世纪)中出现的．

阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法．

(二)婆罗摩笈多

婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵．他已明确把0作为一个数来处理，《婆罗摩修正体系》中比较完整地叙述了零的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零．??零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”．最后这句话是印度人提出以零为除数问题的最早记录．婆罗摩笈多将零作为一个数进行运算的思想，被后来的印度数学家所追随，9世纪马哈维拉和施里德哈勒都接受了这一传统．婆罗摩笈多对负数也有明确的认识，提出了正负数的乘除法则．他曾利用色彩名称来作为未知数的符号，并给出二次方程的求根公式．婆罗摩笈多最突出的贡献是给出今天所谓佩尔(Pell)方程ax2?1?y2(a是非平方数)的一种特殊解法，名为“瓦格布拉蒂”．

婆罗摩笈多在《肯德卡迪亚格》中利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表，给出下面的插值公式：

sin(??xh)?sin??x2[?sin???sin(??h)?x22?sin(??h)

2r1,r2,?,rn?分别表示一、二阶差分)，婆罗(其中h?15°,x?1,?sin(??h)与

摩笈多在几何方面的杰出成果是获得了边长为a,b,c,d的四边形的面积公式：

S?(p?a)(p?b)(p?c)(p?d) [p?(a?b?c?d]/2].

实际上，这一公式仅适合于圆内接四边形，婆罗摩笈多并未认识到这一点．后来马哈维拉由这一公式出发，将三角形视为有一边为0的四边形，从而获得海伦公式．12世纪的婆什迦罗曾经对婆罗摩笈多的四边形公式提出过质疑．

(三)马哈维拉

7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变．耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(The Ganita-Sāra-Sangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5)三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算．基本是对以往数学内容的总结和推广，书中给出了一般性的组合数Cn公式，而且给出椭圆周长近似公式：C?

k24b?16a.因其有很多

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22问题和方法与中国《九章算术》相同或相近，从而有人认为他受到过《九章算术》或中国其他算书的影响。

与马哈维拉同时代的施里德哈勒(Sridhara，9世纪)撰写的《计算概要》(Ganita-Sara)也是一本日用数学著作，内容基本与马哈维拉的《计算方法纲要》一致．

(四)婆什迦罗

婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》．关于《莉拉沃蒂》书名，有一个美丽动人的传说：莉拉沃蒂是婆什迦罗女儿的名字(Līlāvatī，原意是“美丽”)，占星家预言她终身不能结婚．也是占星家的婆什迦罗为女儿预占吉日，他把一个底部有孔的杯子放入水中，让水从孔中慢慢渗入，杯子沉没之时，也就是他女儿的吉日来临之际．女儿带着好奇观看这只待沉的杯子，不想颈项上一颗珍珠落入杯中，正好堵塞了漏水的小孔，杯子停止了继续下沉，这样注定莉拉沃蒂永不能出嫁．婆什迦罗为了安慰女儿，把他所写的算书以她的名字命名，以使她的名字随同这本书一起流芳百世．该书后来在莫卧儿帝国的帝王阿克巴(Akbar，1556—1605在位)的授意下，由菲济(Fyzi)译成波斯文．这个传说来源于菲济的记载．

《莉拉沃蒂》共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章关于利率等方面的应用题；第5 章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关于立体几何的度量计算；第11章为测量问题；第12章是代数问题，包括不定方程；第13章是一些组合问题．该书中很多数学问题是用歌谣的形式给出．《算法本源》则主要是算术和代数著作，其中包括有零的运算法则的完整论述，特别是对零作除数的问题给出了有意义的解释，认为分母为零的分数“表示一个无限大量”．

婆什迦罗和其他印度数学家一样，对不定方程持有特别的兴趣，除对“库塔卡”问题外，他把婆罗摩笈多关于佩尔方程的特殊解法改造成一般性的解法。

婆什迦罗能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式，在解二次方程中能够认识并广泛使用无理数，讨论了形如a?b和a?b?c?d的无理数的平方根．

由于印度屡被其他民族征服，使印度古代天文数学受外来文化影响较深，除希腊天文数学外，也不排除中国文化的影响，然而印度数学始终保持东方数学以计算为中心的实用化特点。与算术和代数相比，印度人在几何方面的工作则显得薄弱．

4.2 阿拉伯数学

“阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8—15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作．

穆斯林在穆罕默德(Mohammed)的鼓舞下，在他死后(632)不到半个世纪的时间内征服了从印度到西班牙，乃至北非和南意大利的大片土地，到7世纪初，阿拉伯半岛基本统一。755年阿拉伯帝国分裂为两个独立王国．东部王国阿拔斯王朝，762年迁都巴格达．西部王国，则定都西班牙的哥尔多华。909年，在北非突尼斯又建立一个新的哈里发国家（哈里发，阿拉伯语音译词。继承人。特指伊斯兰教创立人穆罕默德的继承人。中世纪政教合一的阿拉伯国家和奥斯曼帝国的国家元首也称哈里发），973年迁都埃及开罗．

在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献．阿拉伯建国后，东西两个帝国的哈里发都十分重视科学与艺术事业，他们曾经从拜占庭帝国收买大量希腊人

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手稿，他们还邀请各地科学家到他们的首都从事科学研究，巴格达成为当时的科学文化中心，阿拔斯王朝在那里设立的“智慧宫”，吸引了大批学者，他们掀起了著名的翻译运动．在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文，8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文．9世纪最著名翻译家伊本·科拉(Tabit ibn Qorra，836—901)翻译了欧几里得、阿波罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作．到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文，阿拉伯学者们在广泛吸收古希腊、印度与中国的数学成果的基础上，也加上了他们自己的创造，使阿拉伯数学取得了对文艺复兴以后欧洲数学的进步有深刻影响的发展．

4.2.1 阿拉伯的代数

(一)花拉子米(代数学)

阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉伯语“al-jabr”，意为还原移项；“wa’l-muqabala”即对消之意．传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》．

《代数学》所讨论的数学问题本身大都比丢番图和印度人的问题简单，但它探讨一般性解法，因而远比丢番图的著作接近于近代初等代数。书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路．《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破.

《代数学》首先指出，该书的数学问题都是由根(x)、平方(x2)和数(常数)这三者组成．接着分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题．第1章讨论“平方等于根”的方程，即ax2?bx型方程；第2章讨论“平方等于数”的方程，即ax2?b型方程；第3章讨论“根等于数”的方程，即一次方程ax?b；第4、5、6章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：

222x?px?q,x?q?px,x?px?q 都给出了相应的求根公式．这六种方程的系数都是正数，可统一为以下一般形式

2x?px?q?0.

这样，花拉子米相当于获得一般的求根公式

x??p2??p????q. ?2?22每一问题求出正根x后，花拉子米又求出根的平方x。他明确指出，二次方程可能有两个正根，也可能有负根，但他不取负根与零根．

在以上六章内容之后，花拉子米又以几何方式证明上述各种解法的合理性。 花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类型方程．由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有明显的代数特征，不过，在使用代数符号方面，相对丢番图和印度人的工作有了退步，花拉子米用几何方式证明代数解法的传统被阿拉伯其他数学家所继承．这种几何证明方式的来源今天尚不清楚，它似乎来源于希腊人的传统，但更接近于中国古代的“出入相补”特别是宋元数学中的“条段法”。

花拉子米的另一本书《印度计算法》(Algoritmi de numero indorum)也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍了印度数码和十进制记数法，

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以及相应的计算方法．尽管在8世纪印度数码和记数法随印度天文表传入阿拉伯，但并未引起人们的广泛注意，正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码．

该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，其中Algoritmi是花拉子米的拉丁译名，现代术语“算法”(Algorithm)即源于此．

花拉子米的数学工作为艾布·卡米勒(Abu Kamil，约850—930)所继承，此人被称作“埃及的计算家”，可能是埃及人．他的《计算技巧珍本》的传播和影响仅次于花拉子米的《代数学》，许多数学问题也采自于花拉子米的书，他把埃及、巴比伦式的实用代数与希腊式理论几何结合起来，常常用几何图示法证明代数解法的合理性．其另一著作《论五边形和十边形》包括几何和代数两方面的内容，关于四次方程解法和处理无理系数二次方程是其主要特色。

（三）奥马·海亚姆与三次方程

波斯人奥马·海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人，他曾得到塞尔柱统治者马利克沙(Malik-shah，1055—1092)的重用，受命在伊斯法罕(今伊朗境内)天文台负责历法改革工作，制定了精密的哲拉里历．他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程．

希腊人门奈赫莫斯(Menaechmus，约公元前360)为解决倍立方体问题而发现了圆锥曲线，实际上它与三次方程x3?2a2相联系．阿基米德在解用平面截球，使所截得的两部分体积比为定值的问题时，导致一个三次方程：x2(a?x)?bc2.他利用两条圆锥曲线y(a?x)?ab和ax2?c2y的交点来求解．阿基米德的传统启发了阿拉伯数学家，一些人也采取这种方式解三次代数方程．奥马·海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几何解法。例如解x3?ax?b，首先将其化为x3?c2x?c2d (这里

c2?a,cd?b，按照希腊人的数学传统，a,b是线段，c正方形，cd为长方体)，

222方程x3?c2x?c2d的解就是抛物线x2?cy与半圆y2?x(d?x)交点横坐标x．他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d的半圆(如图)

过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解．这一创造，使代数与几何的联系更加密切．可惜在1851年以前，欧洲人并不了解奥马·海亚姆的这种解析几何方法．

在求高次方程的数值解上，晚期的纳西尔·丁(Nasir-Eddin，1201—1274)和阿尔·卡西(A1-Kashi，?一1429)都给出了开高次方的一般性算法．阿尔·卡西是蒙古帖木儿时代撤马尔罕天文台负责人，他在《算术之钥》中还给出了用于开方的二项式系数表，与11世纪中国贾宪的“开方作法本源图”十分相似．《算术之钥》中还有“契丹算法”(即盈不足术，当时的历史学家称中国为契丹al-Khataayn)和“百鸡问题”，后来传入欧洲．阿拉伯人代数学的确切来源并不清楚，除印度、亚历山大里亚的希腊数学外，应当还有中国数学的影响．

在使用数学符号方面，与丢番图相比阿拉伯人退步了，阿拉伯数学家没有继承丢番图的做法，始终用语言叙述他们的解法．

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4.2.2 阿拉伯的三角学与几何学

由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作．

由于天文计算的需要，阿拉伯天文学家都致力于高精度三角函数表的编制．9世纪的海拜什·哈西卜(Al-Hasib，764?—870?)在印度人的基础上制定间隔为15，的60进制正弦表，并且还编制了间隔为1′的正切表．艾布·瓦法(Abu’l-Wafa,940-997?)在哈西卜的基础上又进一步编制出间隔为10’的正弦表和正余弦表，特别是比鲁尼(A1-Biruni,973---1050)利用二次插值法制定了正弦、正切函数表．

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家．其《天文论著》(又名《星的科学》)被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果．在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切．他称正弦为ji va，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影．后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克(1561—1656)的《圆的几何》(1583)一书中．而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940—997?)最先引入的．

艾布·瓦法和比鲁尼等人进一步丰富了三角学公式．艾布·瓦法曾在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大全》继承并发展了托勒玫的《大汇编》，尽管它在天文学方面没有什么超越托勒玫的创造，但其三角学方面的成就足以彪炳史册．其中除一些精细的三角函数表外，还证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定理．比鲁尼曾经得到马蒙(Ma'mun)哈里发的支持，在乌尔根奇建造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，其《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作．他给出一种测量地球半径的方法。

比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式，后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl’的值．

如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变．1201年纳西尔·丁出生于伊朗的图斯，生活于十字军和蒙古人的侵占时代，是一位知识渊博的学者。由于蒙古伊儿汗帝国的君主旭烈兀十分重视科学文化，纳西尔·丁受到他的礼遇，他建议在马拉盖建造大型天文台，得到旭烈兀的允许和支持，其后他一直在这里从事天文观测与研究．他的天文学著作《伊儿汗天文表》(1271)是历法史上的重要著作，其中测算出岁差51〞／每年，其《天文宝库》则对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型。他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著．所谓完全四边形，即指平面上的两两相交的四条直线或球面上的四条大圆弧所构成的图形。该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理．讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C为直角)：

cosc?cosacosb;cosc?cotAcotB;cosA?cosasinB;cosA?tanbcotC; sinb?sincsinB;sinb?tanacotB.并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角相区别的一个重要标志．纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用．

与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的．例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式sin??cos??1作代数运算而求

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22解，而不是利用几何关系来推算，这是一种进步．他们和印度人一样，用弧的正弦而不用双倍弧的弦，正弦(或半弦)的单位取决于半径的单位．

与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花．最重要的例子是他们在评注《几何原本》的过程中，对第五公设引起了注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、塔比·伊本，库拉(Thabit ibn Qurra，约826---901)、伊本。海塞姆(Ibn al-Haytham,965—1040?)、奥马，海亚姆以及纳西尔·丁等人。

阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生产生了一定的影响．

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