复杂网络上的传播动力学

复杂网络上的传播动力学

摘要：纵观人类社会的发展，传染病一直持续不断地威胁着人类的健康，从早期的天花、麻疹，到近年来的艾滋病、非典、禽流感，每一次传染病都以极快的速度传播着并且吞噬着人类的生命财产。此外，计算机病毒在因特网上的扩散过程也是极其复杂的系统。其不安全因素有计算机信息系统自身的,也有人为的,计算机病毒的高度隐藏性、快速传播性和严重的破坏性使其成为影响计算机系统使用的最不安全的因素。近年来，真实网络中小世界效应和无标度特性的发现激起了物理学界对复杂网络的研究高潮，其中网络拓扑结构对复杂网络上动力学行为的影响是研究的焦点之一。这篇论文主要从复杂网络的拓扑结构和流行病的感染机制两个方面来探讨当前国内外传播动力学研究的现状和最新进展，指出值得进一步研究的问题。例如动态网络结构下的疾病传播行为和微观感染机制等。

关键词：复杂网络、传播动力学、疾病传播、网络免疫技术、感染机制

Abstract: Throughout the development of human society, infectious diseases has been continuously threatens human health, from the early smallpox, measles, in recent years to AIDS, SARS, avian influenza, every infectious disease in order to speed the spread of human life and property. In addition, the system of computer viruses on the Internet diffusion process is extremely complex. The unsafe factors of computer information system itself, but also for someone, highly concealed, rapid spread and serious destruction to the most unsafe factors of computer system using a computer virus. In recent years, the real network small world effect and scale-free characteristics aroused the research climax to the complex network of physics, including the impact of network topology on the dynamics on complex networks is one of the focus of the study. This paper mainly from the two aspects of infection mechanism topological structure of complex networks and epidemic to explore the current status of domestic spread dynamics research and new development, points out the problems to be further studied. For example, the spread of the disease dynamic behavior of network structure and micro mechanism of infection.

Keywords: immune complex network, transmission dynamics, disease transmission, network

1. 引言

复杂网络是指具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模网络，它是由大量的节点通过边的相互连接而构成的图。例如，英特网、生物网络、无线通讯网络、高速公路网、电力网络、流行病和谣言传播网络等都是复杂网络。传播动力学的基本研究对象是动力学模型在不同网络上的性质与相应网络的静态统计性质的联系。包括已知和未知的静态几何量。而像传染病、谣言的传播过程的研究不能像其他一些学科一样，通过在人群中做实验的方式获得数据，相关数据、资料只能从已有的报告和记录中获取，而这些数据往往不够全面和充分，很难根据这些数据准确地确定某些参数，进行预报和控制工作。因此通过合理的网络模型产生数据并在此基础上进行理论和数值研究，是当前传播动力推进创新理论探索创新实践学的重要方法。 2. 背景知识

2.1经典传播模型的简介

目前研究最为彻底,应用最为广泛的经典传染病模型是SIR模型和SIS模型。SIR模型适合于染病者在治愈后可以获得终生免疫力,或者染病者几乎不可避免走向死亡的情形。在SIR模型中,人群被划分为三类:第一类是易感人群（S）,他们不会感染他人,但有可能被传染;第二类是染病人群（I）,他们已经患病,具有传染性;第三类是移除人群（R）,他们是被治愈并获得了免疫能力,或者已经死亡的人群——不具有传染性,也不会再次被感染,即不再对相应动力学行为产生任何影响,可以看做已经从系统中移除.对于象感冒、淋病这类治愈后患者也没有办法获得免疫能力的疾病,使用SIR模型是不适宜的,这时候往往采用SIS模型,该模型与SIR模型类似,只是患者被治愈后自动恢复为易感状态。除了上述SIR和SIS模型外,针对不同传染病的特点,还有其他相应的传播模型。比如,对于突然爆发的尚缺乏有效控制的流行病,如黑死病,非典型肺炎等,在疾病爆发早期常使用SI模型进行分析；对于免疫期有限的疾病,往往利用SIRS模型进行分析；对于潜伏期不可忽略的疾病,可以引入潜伏人群的概念。 2.2 SIR模型介绍

在传染病动力学中，主要沿用的由Kermack与McKendrick在1927年用动力学的方法建立了SIR传染病模型。直到现在SIR模型仍被广泛地使用和不断发展。SIR模型将总人口分为以下三类：易感者(susceptibles)，其数量记为S(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数；染病者(infectives)，其数量记为I(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数；恢复者(recovered)，其数量记为R(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数。设总人口为N(t)，则有N(t)=S(t)+I(t)+R(t)。

SIR模型的建立基于以下三个假设：

⑴ 不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。人口始终保持一个常数，即N(t)≡K。

⑵ 一个病人一旦与易感者接触就必然具有一定的传染力。假设t时刻单位时间内，一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数S(t)成正比，比例系数为β，从而在t时刻单位时间内被所有病人传染的人数为βS(t)I(t)。 ⑶ t时刻，单位时间内从染病者中移出的人数与病人数量成正比，比例系数为γ，单位时间内移出者的数量为γI(t)。 在以上三个基本假设条件下，

3. 传播动力学的影响

3.1经典传播模型的简介

目前研究最为彻底,应用最为广泛的经典传染病模型是SIR模型[26]和SIS模型[27].SIR模型适合于染病者在治愈后可以获得终生免疫力,或者染病者几乎不可避免走向死亡的情形[28].在SIR模型中,人群被划分为三类:第一类是易感人群（S）,他们不会感染他人,但有可能被传染;第二类是染病人群（I）,他们已经患病,具有传染性;第三类是移除人群（R）[29],他们是被治愈并获得了免疫能力,或者已经死亡的人群——不具有传染性,也不会再次被感染,即不再对相应动力学行为产生任何影响[30],可以看做已经从系统中移除.对于象感冒、淋病这类治愈后患者也没有办法获得免疫能力的疾病[31],使用SIR模型是不适宜的[32],这时候往往采用SIS模型,该模型与SIR模型类似,只是患者被治愈后自动恢复为易感状态[33].除了上述SIR和SIS模型外,针对不同传染病的特点,还有其他相应的传播模型[34].比如,对于突然爆发的尚缺乏有效控制的流行病,如黑死病,非典型肺炎等,在疾病爆发早期常使用SI模型进行分析[35];对于免疫期有限的疾病,往往利用SIRS模型进行分析[36];对于潜伏期不可忽略的疾病,可以引入潜伏人群的概念。

传统的基于微分方程的传染病模型假设人群是充分混合的[37],染病个体原则上有机会感染任何易感的个体.这种感染总是通过某种“接触”完成的[38],因此如果两个个体可能接触就在相应的节点之间连一条边[39],那么传统的模型可以看做是对疾病在一个完全连通的社会接触网络上传播行为的描述[40].但是,正如我们前面所述及的,社会接触网络具有不同于完全连通网络的结构特点[41].特别地,由统计物理学家发展出来的一些分析技术,例如逾渗理论[42]、生成函数方法[43]、平均场近似[44]等等,使得分析具有复杂结构特性的真实网络上的传播行为称为可能.事实上,社会接触网络一些公认的结构特征被证明对传播规律有重大影响,下面我们列举一些具有代表性的研究成果[45]。

3-2小世界效应对于传播动力学行为的影响.

Moore等发现,少量的长程边也可以明显增加网络中疾病易于传染的性质[46].如果把疾病得以传播开去的传染率下限（称为传播阈值）和传播时间特性（感染者数量和传播持续时间之间的关系）视作网络传播动力学中最重要的可观测量[47],则相比规则网络,小世界网络的传播阈值小,传播速度快[48].另外,很早人们就观察到在大规模的种群中,疾病的流行常常具有某种周期的特性,Kuperman[49]等最早讨论了小世界网络中的疾病传播的周期振荡[50],他们发现,当长程边数目慢慢增大时,感染个体数量的时间序列将逐步从在一个不动点上下波动变成明显的周期振荡[51].熊等通过在小世界网络的SIR模型中引入潜伏期,在不同参数设置下,分别得到短时和长时的振荡行为[52].类似地,Verdasca等从儿童传染病麻疹和百日咳的致病机理出发,系统讨论了带有潜伏期的SIR模型（SEIR模型）在小世界网络上的传播行为,也发现了明显的周期振荡[53]。 3-3 无标度性质对于传播动力学行为的影响

关于规则和随机网络上流行病传播动力学研究中最重要的结论是[54]：存在有限传播阈值 ，当传染率高于此值时，疾病能够在网络中长期存在下去[55]；反之，疾病以指数的速率迅速消亡。由于疾病波及的范围（稳态时患病个体数占人群总数的比例）与传染率正相关，因此根据经典的传播理论，疾病若是持久存在，则必然波及大量个体[56]。但实证研究表明，麻疹和性传播疾病等一般仅波及少数个体但能够长期存在[57]。Pastor-Satorras和Vespignani最早对无标度网络上SIS模型阈值的存在性提出了质疑[58]，他们利用平均场近似讨论了Barabási-Albert无标度网络模型[59]上的SIS传播动力学，发现当网络规模趋于无穷大时，传播阈值将下降到零，也就是说任意传染率的流行病都有可能在网络中长期存在。由于真实的社会接触网络往往具有近似的无标度结构，该结论对于解释现实具有重大意义。很快，May和Lloyd发现无标度网络上的SIR模型也具有类似的性质[60]。需要特别指出的是，上面的研究是针对非常理想的情况，是否存在阈值，阈值在什么位置的准确判断往往还要牵涉更多复杂的因素。例如Volchenkov等人的研究表明，阈值的存在性以及染病人数比例受幂指数、传染率、选择伙伴的策略和治疗方案四个因素共同决定[61]。再比如Moreno和Vazquez考察了SIS和SIR模型在不同无标度网络上的传播行为，发现是否存在阈值的结论也需要谨慎做出，特别是要考虑不同传播模型和初始化条件[62]。另外，如果网络规模有限，则必存在有限的传播阈值[63]。上面述及的SIS模型和SIR模型主要关注的都是稳态或者终态的行为，为了考察疾病爆发时期的动力学特性，Barthélemy等人系统研究了无标度网络上的SI模型[64]，该模型假设时间足够短疾病尚处于自由传播的状态，因此只考虑易感节点染病，对染病节点的隔离、康复、获得免疫或死亡等情况通通忽略。他们发现患者数量是指数增长的，且传播的动力学结构具有层次性,一般先感染社会接触较多的个体，然后是一般个体，最后到社会接触较少的个体。

四．实验和评估

4-1建立SARS传播动力学模型

以北京SARS流行数据位基础，建立了图4-1的SARS传播动力学模型。流行模型中的参数通过北京实际的流行数据进行估计或拟合获得。

图1 图2

4-2 研究状态变量在流行期间动态变化情况

制定Ic1（模型估计的社区人群每日新增临床诊断病例数）、IA1（模型估计的医院人群每日新增临床诊断病例数）为研究点，时间范围0~100d，研究变量值随时间变化情况为图4-2，从图中可以看出Ic1、Ib1分别于流行第51天（2003年4月21日）、第52天达到高峰，这与北京实际的流行情况相似。如果在根节点左侧增加节点计算再生数，如

Rvalue:=determinant(Rmatrix),Rmatrix:=[[Rcc,Rhc],[Rch,Rhh]],Rcc:=(Root,(1-exp(-Lamda_ccl))*Sc(Rhc、Rch、Rhh计算类似于Rcc)，则可用于动态监测再生数变化，从而用来干预疫情变化趋势

图4-2

4-3 实例研究结果

实例研究发现，通过表1可发现，情景想定研究方法为干预措施效果定量评价和模型的抽象研究提供了一种非常好的手段。在实例研究中，通过对干预结果的对比，可以看出北京4月20日采取的措施对SARS疫情控制起到了关键性的作用。在第二阶段采取的措施中队控制疫情贡献最大的是改善医务人员防护水平的努力，减少累计病例达83.59%。其次是病例隔离措施，减少累计病例达56.52%。这两种措施t=87d时的总再生数R值均小于1，说明疫情已得到控制。进一步加强这两项措施效果，有助于疫情控制。

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