2011年高考数学基础知识再疏理（第三轮）

第一部分 集合与函数

1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.

[举例1]已知集P?{y|y?x,x?R},Q?{y|y?2,x?R}，求P?Q.

分析：集合P、Q分别表示函数y?x与y?2在定义域R上的值域，所以P?[0,??)，Q?(0,??)，

2x2xP?Q?(0,??).

(x?P)?x[举例2]函数f(x)??，其中P、M是实数集R的两个非空子集，又规定：

?x(x?M)?F(P)?{y|y?f(x)?,xP},F(?M){?y|y.给出下列四个判断： f?(x)xM（1）若P?M??，则F(P)?F(M)??；（2）若P?M??，则F(P)?F(M)??； （3）若P?M?R,则F(P)?F(M)?R；（4）若P?M?R,则F(P)?F(M)?R. 其中正确的判断有----------------------------------------------------------------------------------（ ） A、1个； B、2个； C、3个； D、4个.

分析：这是一道比较难的题，涉及到函数的概念，集合的意义.F(P)是函数y?x(x?P)的值域，F(M)是函数、（3）不正确.由函数的定义可知，函数定义域内的任y??x(x?M)的值域.取P?[0,??)，M?(??,0)可知（1）

意一个值只能与一个函数值对应，所以若P?M??，只能是P?M?{0}，此时F(P)?F(M)?{0}，（2）正确.对于命题（4）：设a?P?M,则a?P且a?M，若a?0，显然有0?F(P)且0?F(M)，所以有

F(P)?F(M)?；若a?0，由a?P则a?F(P)，由a?M，则?a?F(M).若有a?F(M)，则?a?M，R所以?a?P，则?a?F(P)，所以?a?F(P)?F(M)，则F(P)?F(M)?R.同理可证，若?a?F(P)，则有a?F(P)?F(M).（4）也正确，选B.

2、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. [举例]若A?{x|x2?a},B?{x|x?2}且A?B??，求a的取值范围.

a,a)，若

分析：集合A有可能是空集.当a?0时，A??，此时A?B??成立；当a?0时，A?(?A?B??，则a?2，有0?a?4.综上知，a?4.

注意：在集合运算时要注意学会转化A?B?A?A?B等.

3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若A?B，则x?A是x?B的充分条件；若A?B，则x?A是x?B的必要条件；若A?B且A?B即A?B，则x?A是x?B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.

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充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲?乙）”与“甲的充分条件是乙（乙?甲）”，是两种不同形式的问题. ［举例］设有集合M?{(x,y)|x2?y2?2},N?{(x,y)|y?x?2}，则点P?M的＿＿＿＿＿＿＿条件是点

P?N；点P?M是点P?N的＿＿＿＿＿＿＿条件.

分析：集合M是圆x要、必要不充分）

4、掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.

［举例］命题：“若两个实数的积是有理数，则此两实数都是有理数”的否命题是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，它是＿＿＿＿（填真或假）命题.

5、若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则有f(a?x)?f(a?x)或f(2a?x)?f(x)等，反之亦然.注意：两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数y?f(x)的图像关于直线x?a的对称曲线是函数y?f(2a?x)的图像，函数y?f(x)的图像关于点(a,b)的对称曲线是函数y?2b?f(2a?x)的图像. [举例1]若函数y?f(x?1)是偶函数，则y?f(x)的图像关于＿＿＿＿＿＿对称.

分析：由y?f(x?1)是偶函数，则有f(?x?1)?f(x?1)，即f(?1?x)?f(?1?x)，所以函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称.或函数y?f(x?1)的图像是由函数y?f(x)的图像向右平移一个单位而得到的，

2?y2?2外的所有点的集合，N是直线y?x?2上方的点的集合.显然有N?M.（充分不必

y?f(x?1)的图像关于y轴对称，故函数y?f(x)的图像关于直线x??1对称.

[举例2]若函数y?f(x)满足对于任意的x?R有f(2?x)?f(2?x)，且当x?2时f(x)?x时f(x)?＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由f(2?x)?f(2?x)知，函数y?f(x)的图像关于直线x?2对称，因而有f(x)?f(4?x)成立.x?2，则4?x?2，所以f(x)?f(4?x)?(4?x)22?(4?x).即x?2时f(x)?x?9x?20.

2?x，则当x?26、若函数y?f(x)满足：f(x?a)?f(x?a)(a?0)则f(x)是以2a为周期的函数.注意：不要和对称性相混淆.若函数y?f(x)满足：f(x?a)??f(x)(a?0)则f(x)是以2a为周期的函数.（注意：若函数f(x)满足

f(x?a)??1f(x)，则f(x)也是周期函数）

［举例］已知函数y?f(x)满足：对于任意的x?R有f(x?1)??f(x)成立，且当x?[0,2)时，f(x)?2x?1，则f(1)?f(2)?f(3)???f(2006)?＿＿＿＿＿＿.

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分析：由f(x?1)??f(x)知：f(x?2)?f[(x?1)?1]??f(x?1)?f(x)，所以函数y?f(x)是以2为周期的周期函数.f(2006)?f(2004)????f(2)?f(0)??1，

f(2005)?f(2003)????f(3)?f(1)?1，故意原式值为0.

7、奇函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0；偶函数对定义域内的任意x满足f(?x)?f(x)?0.注意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量x的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称；若函数y?f(x)是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若y?f(x)是奇函数且f(0)存在，则f(0)?0；反之不然.

［举例1］若函数f(x)?12?1x?a是奇函数，则实数a?＿＿＿＿＿＿＿；

12分析：注意到f(0)有意义，必有f(0)?0，代入得a?[举例2]若函数f(x)?ax＿＿＿＿.

2.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事半功倍.

?(b?2)x?3是定义在区间[2a?1,2?a]上的偶函数，则此函数的值域是＿＿＿＿＿＿

分析：函数是偶函数，必有(2a?1)?(2?a)?0，得a??1；又由y?f(x)是偶函数，因而b?2.即

f(x)??x?3(x?[?3,3]，所以此函数的值域为[?6,3].

8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数y?f(x)的图像关于直线x?a对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.

［举例］若函数y?f(x)是定义在区间[?3,3]上的偶函数，且在[?3,0]上单调递增，若实数a满足：

2f(2a?1)?f(a)，求a的取值范围.

分析：因为y?f(x)是偶函数，f(2a?1)?f(a)等价于不等式f(|2a?1|)?f(a)，又此函数在[?3,0]上递增，则在[0,3]递减.所以3?|2a?1|?a，解得?1?a??1?22222.

9、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数y?f(x)的图像，作出函数（注意：图像变换的本质在于变量对应关y?f(?x),y?f(|x|),y?|f(x)|,y?f(x?a),y?f(x)?a的图像.系的变换）；要特别关注y?f(|x|),y?|f(x)|的图像. ［举例］函数f(x)?|log2|2x?1|?1|的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

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分析：函数f(x)?|log2|2x?1|?1|的图像是由函数y?log12（或将函数y?log2先将函数y?logx的图像经过下列变换得到的：

2x的图像上各点的横坐标缩短到原来的再将函数y?log平移

2得到函数y?logx的图像向上平移1个单位）

22x的图像，

22x的图像作关于y轴对称得到函数y?log2|2x|的图像，再将函数y?log2|2x|的图像向右

12个单位，得到函数y?log2|2x?1|的图像，再将函数y?log2|2x?1|的图像向下平移1个单位得到函数

y?log2|2x?1|?1，最后将函数y?log2|2x?1|?1的图像在x轴下方部分翻折到x轴上方得到函数

（尤其是与x轴的交点不要搞错），f(x)?|log2|2x?1|?1|的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化从图像上可以看出此函数的单调递增区间是[?12,1)与[32,??).

需要注意的是：函数图像变化过程：y?f(x)?y?f(|x|)?y?f(|x?a|)与变化过程：而后者是先平移后再作关于直y?f(x)?y?f(x?a)?y?f(|x?a|)不同.前者是先作关于y轴对称后平移，线x?a对称.

10、研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等）、递增递减的区间、最值等. ［举例1］已知函数f(x)?是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：不等式f(x)?g(x)的解集不为空集，亦即函数y?f(x)的图像上有点在函数y?g(x)的图像的上方.

2x?1,g(x)?ax?1，若不等式f(x)?g(x)的解集不为空集，则实数a的取值范围

y 函数f(x)?2x?1的图像是x轴上方的半

1 支抛物线，函数g(x)?ax?1的图像是过点

O 1 x 2?1.（注意图中的虚线也满足题义）

l1 (0,1)斜率为a的直线.当a?[举例2]若曲线y分析：曲线y2222?1时直线与抛物线相切，由图像知：a??|x|?1与直线y?kx?b没有公共点，则k,b应当满足的条件是 .

2?|x|?1是由y?x?1(x?0)与y2??x?1(x?0)组成，它们与y轴的交点为(0,1)和(0,?1)，

y 图像如图（实线部分）.可以看出 若直线y?kx?b曲线y2?|x|?1的图像没有公共点，此 1 -1 O x 直线必与x轴平行，所以k?0，?1?b?1.

11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是：曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点. 一个函数存在反函数的充要条件是：定义域与值域中元素须一一对应，反应在图像上平行于x轴的直线与图像至多有

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一个交点.单调函数必存在反函数吗？（是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数）.还应注意的是：有反函数的函数不一定是单调函数，你能举例吗？ ［举例］函数f(x)?x＿＿＿＿＿.

分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于x轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数f(x)?x22（x?[0,1]?[3,4]），若此函数存在反函数，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿?2ax?1，

?2ax?1图像的对称轴为直线x?a知：a?0或a?4必存在反函数，0?a?1或

3?a?4必不存在反函数.当a?[1,3]时如何讨论？注意到函数在区间[0,1]上递减，在[3,4]上递增，所以只要

f(4)?f(1)或f(3)?f(0)即可.亦即

52?a?3或1?a?32.综上知，实数a的取值范围是(??,0]?

35[1,)?(,3]?[4,??). 2212、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域，反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解，而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解（关于x的）方程的过程.注意：函数的反函数是唯一的，尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.

［举例］函数f(x)?log分析：令y?log22(x2?2x?2),(x?(??,?2])的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

2y2y?(x?1)?2?1.因为x??2，所以x?1??1，则

2(x?2x?2)，则x?2x?2?22yx?1??2y?1，x??1??1.又原函数的值域为[1,??)，所以原函数的反函数为

f?1(x)??1?xx2?1(x?1).（若是从反函数表达式得2?1?0求得x?0就不是反函数的定义域）.

13、原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域；原函数与反函数的图像关于直线y?x对称；若函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，a?A,b?C,则有

?1?1f(f(b))?b,f(f(a))?a.b?f(a)?a?f?1?1(b).需要特别注意一些复合函数的反函数问题.如

y?f(2x)反函数不是y?f(2x).

?1［举例1］已知函数y?f(x)的反函数是y?f＿＿＿.

(x)，则函数y?2f?1(3x?4)的反函数的表达式是＿＿＿＿＿＿

分析：求函数的反函数是解方程的过程，即用y表示x,然后将x,y互换即得反函数的表达式.由y?2f?1(3x?4)可得

f?1(3x?4)?y2?3x?4?f(y2)?x?13[f(y2)?4].所以函数y?2f?1(3x?4)的反函数为

y?1x[f()?4]. 32第 5 页 共 47 页

?2x,x?0[举例2]已知f(x)??，若f?log2(?x),?2?x?0分析：由f?1?1(a)?3，则a?＿＿＿＿.

(a)?3得a?f(3)，所以a?8.

14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质（如复合函数的单调性），但证明函数单调性只能用定义，不能用关于单调性的任何性质，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：函数y?ax? [举例]已知函数f(x)?ax?bx,(a,b?0)的单调性.

1x(a?0)在x?[1,??)上是单调增函数，求实数a的取值范围.

ba分析：函数y?ax?bx“耐克”函数，由基本不等式知：当x?0时，函数的最小值是2ab，当x?,(a,b?0)称为

时等号成立.x?(0,ba]时，函数递减；x?[ba,??)时，函数递增.记住此结论在解选择、填空等小题时用起来比较

方便.函数f(x)?ax?1x(a?0)在[1,??)上递增，则

1a?1，得a?1.但若是大题推理就不能这样描述性的说明，

必需要按函数单调性的定义有严格的论证.

任设x1,x2?[1,??),且x1?x2.f(x1)?f(x2)?(x1?x2)(a?1x1x21)，由函数f(x)是单调增函数，则

f(x1)?f(x2)?0，而x1?x2?0，则a?1x1x2?0.所以a?x1x2对于x1,x2?[1,??),且x1?x2恒成立，

因

1x1x2?1，故a?1.

需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，因为“大题”需要严格的论证过程.

15、一元二次函数是最基本的初等函数，要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值，应会结合二次函数的图像求最值. ［举例］求函数f(x)?x2?2ax?1在区间[?1,3]的最值.

分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.

?10?6a(a?1)f(x)max??，f(x)min2?2a(a?1)?(a??1)?2?2a?2??1?a(?1?a?3). ?10?6a(a?1)?16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”，可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.

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特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是；一般地，不等式解集区间的端点值是对应方程的根（或增根）.

[举例1]已知关于x的不等式|ax?3|?5的解集是[?1,4]，则实数a的值为 . 分析：若是从解不等式入手，还应考虑常数a的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案：解

?a??2或8?|?a?3|?5?集端点值?1,4是方程|ax?3|?5的根.则?得?1，知a??2.

|4a?3|?5??a??2或2?［举例2］解关于x的不等式：ax2?2ax?1?0(a?R).

分析：首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当a?0时，此不等式是恒成立的，则其解集为R.当a?0时，才是二次不等式.与其对应的方程为ax22?2ax?1?0，根判别式??4a?4a.当??0，即a?1或a?0时，方

程两根为x1,2??a?aa?a2；当??0，即a?1时，方程有等根x??1；当??0，即0?a?1时，方程无

实根.结合二次函数的图像知：a?1时不等式的解集为(??,?a?a?aa2)?(?a?aa?a2,??)；当a?1时，

不等式的解集为(??,?1)?(?1,??)；当0?a?1时，不等式的解集为R；当a?0时，不等式的解集为

22(

?a?aa?a?a?,a?aa).

第二部分 不等式

17、基本不等式a?b?2ab,ab?(a?b2)要记住等号成立的条件与a,b的取值范围.“一正、二定、三相等”，“积

2定和有最小值、和定积有最大值”，利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.

［举例］已知正数a,b满足a?2b?3，则

1a?1b的最小值为＿＿＿＿＿＿.

分析：此类问题是典型的“双变量问题”，即是已知两变量的一个关系式，求此两变量的另一代数式的最值（或取值范围）问题.其解决方法一是“减元”，即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中，转化为一元函数的最值问题；另一方法是构造基本不等式.由

1a?1b?1a?2ba?2b12ba1(?)?(3??)?(3?22)，当且仅当3ab3ab32ba?ab等号成立，此时a?32?1,b?32?2.

18、学会运用基本不等式：||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|.

［举例1］若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集是R，则实数a的取值范围是＿＿；

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分析：由不等式的解集为R，则a大于|x?1|?|x?2|的最大值.由绝对值不等式的性质知：

|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1，所以a?1.

[举例2]若关于x的不等式|x?1|?|x?2|?a的解集不是空集，则实数a的取值范围是＿. 分析：|x?1|?|x?2|?|(x?1)?(x?2)|?1，知a?1.

19、解分式不等式不能轻易去分母，通常采用：移项（化一边为零）→通分→转化为整式不等式→化所有因式中的变量系数为正，（即不等式两边同除以变量系数，若它的符号不能确定即需要讨论）→“序轴标根”（注意比较各个根的大小，不能比较时即需要讨论）；解绝对值不等式的关键是“去绝对值”，通常有①利用绝对值不等式的性质②平方③讨论.特别注意：求一个变量的范围时，若分段讨论的也是这个变量，结果要“归并”. ［举例］解关于x的不等式：分析：原不等式化为：

a(x?1)x?2(a?1)x?(a?2)x?2?1(a?0).

?0?(x?2)[(a?1)x?(a?2)]?0.注意到此不等式二次项系数含有变

量，故要讨论.（1）当a?1时，不等式的解集为{x|x?2}；（2）当0?a?1时，注意到此时对应的二次函数开口向下，对应方程两根x1?2,x2?a?2a?1a?1a?2同样可得不等式的解集为(??,)?(2,??).

a?1，而

a?2?1?11?a?2，此时不等式的解集为(2,a?2a?1（3）当a?1时，)；

20、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数y?x?ax,(a?0)的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、分母同除一个式子，变分子（分母）为常数. ［举例1］已知函数f(x)?ax?322x的最大值不大于

216，又当x?[111,]时，f(x)?，求实数a的值. 428分析：f(x)??32(x?a3)?2a6，则

a26?16?a21?1f()???48?1，又此二次函数开口向下，则有??a?1.

?f(1)?1?8?2知a?1.注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值. [举例2]求函数f(x)?x?3x?6x?132在区间[?2,2]上的最大值与最小值.

分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设

x?3?t，则f(x)?tt?42?1t?4t，t?[1,5].当t?2时，t?4t取最小值4；当t?5时，t?4t取最大值

295.

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所以函数f(x)在区间[?2,2]上的最大值为涉及，要能熟练地掌握其解法.

21、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数y?f(a,x)的最值.特别注意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数. ［举例］（1）已知不等式4（2）若不等式4分析：（1）由4x14，最小值为

529.注意：此类函数的值域（最值）问题在解几的最值中经常

x?a?2?2?0对于x?[?1,??）恒成立，求实数a的取值范围.

xx?a?2?2?0对于a?(??,3]恒成立，求实数x的取值范围.

xxx?a?2?2?0得：a?2x?22x对于x?[?1,??）恒成立，因2x?12，所以2x?22x?22，

当2?2时等号成立.所以有a?22.

x（2）注意到4xx?a?2?2?0对于a?(??,3]恒成立是关于a的一次不等式.不妨设

xf(a)??2?a?(4?2)，则f(a)在a?(??,3]上单调递减，则问题等价于f(3)?0，所以

x4?3?2?2?0?2?2或2?1，则x取值范围为(??,0)?(1,??). xxx第三部分 三角函数

22、若??(0,?2)，则sin????tan?；角的终边越“靠近”y轴时，角的正弦、正切的绝对值就较大，角的终边

“靠近”x轴时，角的余弦、余切的绝对值就较大.

［举例1］已知??[0,?]，若sin??|cos?|?0，则?的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由sin??|cos?|?0且??[0,?]，即|sin?|?|cos?|知其角的终边应“靠近”y轴，所以??(［举例2］方程sinx?x的解的个数为＿＿＿＿个.

分析：在平面直角坐标系中作出函数y?sinx与y?x的图像，由函数y?sinx,y?x都是奇函数，而当x?1时

?3?4,4).

x?sinx恒成立.在x?(0,解.

同样：当x?(??2，即方程sinx?x只有一个)时，sinx?x，所以两函数图像只有一个交点（坐标原点）

??2,2)时，方程tgx?x只有唯一解x?0.

23、求某个角或比较两角的大小：通常是求该角的某个三角函数值（或比较两个角的三角函数值的大小），然后再定区间、求角（或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小）.比如：由tan??tan?未必有???；由???同样未必有

tan??tan?；两个角的三角函数值相等，这两个角未必相等，如sin??sin?；则??2k???；或

??2k?????,k?Z；若cos??cos?，则??2k???,k?Z；若tan??tan?，则

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??k???,k?Z.

［举例1］已知?,?都是第一象限的角，则“???”是“sin??sin?”的――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析：?,?都是第一象限的角，不能说明此两角在同一单调区间内.如

?13?3,6都是第一象限的角，

?3?13?6但

sin?3?sin13?6.选D.

［举例2］已知??0,??0,?????，则“???”是“sin??sin?”的―――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件. 分析：注意到由?,?,????(0,?)，则?,?可以看作是一三角形的两内角.选C.

24、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小，一定要根据角的范围来确定；能熟练掌握由tg?的值求

sin?,cos?的值的操作程序；给（一个角的三角函数）值求（另一个三角函数）值的问题，一般要用“给值”的角表示

“求值”的角，再用两角和（差）的三角公式求得.

［举例1］已知?是第二象限的角，且cos??a，利用a表示tg??＿＿＿＿＿；

分析：由?是第二象限的角，cos??a知sin??1?a，tan??22sin?cos??1?aa2.

［举例2］已知6sin分析：由6sin22??sin?cos??2cos??0,??(?2,?)，求sin(2???3)的值.

12或tan??222??sin?cos??2cos??0得：6tan??tan??2?0，则tan???23.

又??(?2,?)，所以tan???23.由万能公式得sin2??2tan?1?tan?2??1213，cos2??1?tan?1?tan?2?513.知

sin(2???3)?53?1226.

25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等，应注意运用二倍角正（余）弦公式，半角公式降次即：

sin2x?12(1?cos2x),cos2x?12(1?cos2x)；引入辅助角（特别注意

?3，

?6经常弄错）使用两角和、差的正

弦、余弦公式（合二为一），将所给的三角函数式化为y?Asin(?x??)?B的形式.函数y?|Asin(?x??)|的周期是函数y?Asin(?x??)周期的一半.

2［举例］函数f(x)?2cosx?23sinxcosx?1的最小正周期为＿＿＿＿＿；最大值为＿＿；单调递增区间为＿

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；在区间[0,2?]上，方程f(x)?1的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由f(x)?2cos2x?23sinxcosx?1?cos2x?3sin2x?2sin(2x?5?6).所以函数f(x)的最小

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正周期为?；最大值为2；单调递增区间满足2x?5?6?[2k??5?6)?12?2，

，2k???2](k?Z)，即

[k??2?3,k???6](k?Z)；由f(x)?1，则si2nx?(2x?5?6?2k???6或

2x?5?6?2k??5?6得x?k???3或x?k?(k?Z)，又由x?[0,2?]得解集为{ 注意：辅助角?的应用：asinx?bcosx?2?5?,,0,?,2?}. 33b22a?bsin(x??).其中tan??，且角?所在的象限与点

a(a,b)所在象限一致.

26、当自变量x的取值受限制时，求函数y?Asin(?x??)的值域，应先确定?x??的取值范围，再利用三角函数的图像或单调性来确定sin(?x??)的取值范围，并注意A的正负；千万不能把x取值范围的两端点代入表达式求得.

( x ) ?2 sinx ?［举例］已知函数 f x (sin x ? cos x ), ? 0 , ? ， 求f(x)的最大值与最小值

?2?分析：函数f(x)?2sin2???x?2sinxcosx?1?cos2x?sin2x?2sin(x??4)?1.由x?[0,?]，则

x??4?[??3?4,4]，sin(x??4)?[?22,1]，所以函数f(x)的最大 、最小值分别为2?1与0.

27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角（或边）处理.有关a,b,c的齐次式（等式或不等式），可以直接用正弦定理转化为三角式；当知道△ABC三边a,b,c平方的和差关系，常联想到余弦定理解题；正弦定理应记为

asinA?bsinB?csinC?2R（其中R是△ABC外接圆半径.

2［举例］在△ABC中，a,b,c分别是?A,?B,?C对边的长.已知a,b,c成等比数列，且a的大小及

?c2?ac?bc，求?AbsinBc的值.

2分析：由a,b,c成等比数列得b?ac，则a?c22?ac?bc化成b?c?a?bc，由余弦定理得abbsinBcasinBb222cosA?b?c?a2bc222?12，?A??3.由b2?ac得

bc?，所以=?sinA?sin?3?32.

28、在△ABC中：a?b?A?B?sinA?sinB；sin(B?C)?sinA，cos(B?C)?

?cosA，cos且仅当B?B?C2?sinA2，sinB?C2?cosA2等常用的结论须记住.三角形三内角A、B、C成等差数列，当

?3.

［举例1］（1）已知△ABC三边a,b,c成等差数列，求B的范围；（2）已知△ABC三边a,b,c成等比数列，求角B的取值范围.

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分析：（1）由△ABC的三边a,b,c成等差数列，则2b?a?c，cosB?a?c?b2ac222，消去b化得

cosB?3(a?c)8ac22?14?6ac8ac?14?12.所以B?(0,?3].

（2）同样可以求得B?(0,?3［举例2］在△ABC中，若2cosBsinA?sinC，则△ABC的形状一定是――――（ ）

A、等腰直角三角形； B、直角三角形； C、等腰三角形； D、等边三角形. 分析：在三角形

ABC

中：siCn?sinA?(B)?siAncoBs?coAssiBn?2coBssiAn，则

].

siAncoBs?coAssiBn?0?sinA?(B)?0?A?B.所以△ABC是等腰三角形.

［举例3］△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB?（1）求ctgA?ctgC的值；（2）设BA?BC?分析：（1）先切化弦：ctgA?ctgC?34.

32cosAsinA，求a?c的值.

?cosCsinC?sin(A?C)sinAsinC?sinBsinAsinC.由a,b,c成等比，

b?ac?sin22B?sinAsinC，所以ctg?Actg?C1siBn.由cosB?34得sinB?74，则

ctg?Actg?C477.

s?（2）注意到BA?BC?accoB34ac?32，所以ac?2，则b2222?2.又由余弦定理得：

b?a?c?2accosB，得a?c22222?5，(a?c)?a?2ac?c?9，所以a?c?3.

29、sinx?cosx,sinx?cosx,sinxcosx这三者之间的关系虽然没有列入同角三角比的基本关系式，但是它们在求值过程中经常会用到，要能熟练地掌握它们之间的关系式：(sinx?cosx)?1?2sinxcosx.求值时能根据角的范围进行正确的取舍.

［举例1］已知关于x的方程sin2x?a(sinx?cosx)?2?0有实数根，求实数a的取值范围.

222n?coxs?t，则?sinx?2sixncoxs?cosx?1?si2nx，令six2xn?coxs)分析：由(si2si2nx?t?1，其中t?[?2,2].则关于t的方程t?at?1?0在t?[?2,22]上有解.注意到方程

2t?at?1?0两根之积为1，若有实根必有一根在[?1,1]内，只要△?0即可，得a?2或a??2.

［举例2］已知??(0,?),且sin??cos???15，则tg??＿＿＿＿＿.

分析：此类问题经常出现在各类考试中，而且错误率都比较高.原因是不能根据角所在的象限，对函数值进行正确的取舍.由

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sin??cos???15平方得2sin?cos???.

2425?0，又由??(0,?)知??(4925，

得

?2,?).则有

75.

有

si?n?0,co?s?0(sin??cos?)，所以tg???2?1?2sin?cos??s?i?nco??ssin??35,cos???4534.

30、正（余）弦函数图像的对称轴是平行于y轴且过函数图像的最高点或最低点，两相邻对称轴之间的距离是半个周期；正（余）弦函数图像的对称中心是图像与“平衡轴”的交点，两相邻对称中心之间的距离也是半个周期.

函数y?tgx,y?ctgx的图像没有对称轴，它们的对称中心为(周期.

［举例1］已知函数f(x)?sin2x，且f(x?t)是偶函数，则满足条件的最小正数t?＿＿；

分析：f(x?t)?sin(2x?2t)是偶函数，则x?0是它图像的一条对称轴.x?0时，函数取最大（小）值.sin2t??1，

k?2,0),k?Z.两相邻对称轴之间的距离也是半个

2t?k???2(k?Z).所以满足条件的最小正数t??4.

［举例2］若函数f(x)?asinx?cosx的图像关于点(??3,0)成中心对称，则a?＿＿＿.

分析：由f(x)?asinx?cosx的图像关于点(??3,0)成中心对称知f(??3)?0，a?33.

第四部分 复数

31、复数问题实数化时，设复数z?a?bi，不要忘记条件a,b?R.两复数z1?a?bi，

z2?c?di,(a,b,c,d?R)，z1?z2的条件是a?c,b?d.这是复数求值的主要依据.根据条件，求复数的值经常作

实数化处理.

［举例］若复数z满足：z?z?(z?z)i?3?i2?i，则z?＿＿＿＿＿.

22?a?b?11322i. 分析：设z?a?bi(a,b?R)，原式化为a?b?2ai?1?i，得?，求得z???222a??1?32、实系数一元二次方程若存在虚根，则此两虚根互为共轭.若虚系数一元二次方程存在实根不能用判别式判断. ［举例］若方程x2?bx?2?0(b?R)的两根?,?满足|???|?2，求实数b的值.

222分析：在复数范围内|???|?(???)不一定成立，但|(???)|?|???|一定成立.对于二次方程，韦达定理

2在复数范围内是成立的.???????b????2，|(???)2|?|b?8|?4，则b?4或b222?12，所以b??2或

b??23.

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33、|z1?z2|的几何意义是复平面上z1,z2对应点之间的距离，|z?z0|?r的几何意义是复平面上以z0对应点为圆心，

r为半径的圆.

［举例］若|z?2i|?|z?z0|?4表示的动点的轨迹是椭圆，则|z0|的取值范围是＿＿＿.

分析：首先要理解数学符号的意义：|z?2i|?|z?z0|?4表示复数z对应的动点到复数2i与z0对应的两定点之间的距离之和等于4.而根据椭圆的定义知，两定点之间的距离要小于定值4，所以有|z0?2i|?4，而此式又表示z0对应的点在以2i对应点为圆心，4为半径的圆内，由模的几何意义知|z0|?[0,6).

34、对于复数z，有下列常见性质：（1）z为实数的充要条件是z?z；（2）z为纯虚数的充要条件是z?z?0且z?0；（3）z?z?|z|；（4）|z1z2|?|z1||z2|. ［举例］设复数z满足：（1）z?24z?R,（2）|z?2|?2，求复数z.

分析：由z?4z?R,则z?4z?z?4z?(z?z)(|z|?4)?0?z?z或|z|?2.当z?z时，则z?R，由

2；当|z|?2时，可求得z?1?|z?2|?2得z?4或z?0（舍去）

第五部分 数列与极限

35、等差数列{an}中，通项an?dn?b，前n项和Sn?3i.综上知：z?4,z?1?3i.

d22n?cn（d为公差，n?N）.证明某数列是等差（比）

数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：an?1?an是常数(n?N)(

an?1an=常数，n?N)，也可以证明

连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n有：an?2?an?1?an?1?an（

an?2an?1?an?1an）.

［举例］数列{an}满足：a1?1,an?1?2anan?2(n?N).

（1）求证：数列{1an}是等差数列；（2）求{an}的通项公式.

分析：注意是到证明数列{1an1}是等差数列，则要证明

1an?1?1an是常数.而

1an?1?an?22an，所以

1an?1?1an?12.即

数列{1an}是等差数列.又

a1?1，则

1an?1?12(n?1)?n?12，所以an?2n?1.

36、等差数列前n项和、次n项和、再后n项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n项和（和不为0）、次n项和、再后n项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n项的积、次n项的积、再后n项的积仍成等比数列.

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［举例1］已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，S4?8,S8?20，则S12?＿；

分析：注意到S4,S8?S4,S12?S8是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到S12?S8?16，所以

S12?36.

［举例2］已知数列{an}是等比数列，Tn是其前n项的积，T4?5,T8?20，则T12?＿.

分析：由T4,T8T12T82T3T成等比，则(,)?T4?12，所以T12?(8)?64.

T4T8T4T8T437、在等差数列{an}中，若m?n?p?q(m,n,p,q?N)，则am?an?ap?aq；在等比数列{an}中，若

m?n?p?q(m,n,p,q?N)，则am?an?ap?aq等差（等比）数列中简化运算的技巧多源于这条性质.

［举例］数列{an}是等比数列，a4?a7??512,a3?a8?124，且公比q为整数，则a10的值为＿＿＿＿＿＿＿.

?a3?a8?124?a3?128?a3??4?a3??4??分析：由a4?a7?a3?a8得?或?，又此数列的公比为整数，所以?a?128a?a??512a??4?8?a8?128?38?8公比q??2，则a10?a8q2?512.

38、等差数列当首项a1?0且公差d?0，前n项和存在最大值.当首项a1?0且公差d?0，前n项和存在最小值.求

?an?0(?0)等差数列前n项和的最值可以利用不等式组?来确定n的值；也可以利用等差数列的前n项的和是n的二

a?0(?0)?n?1次函数（常数项为0）转化成函数问题来求解.

［举例1］若{an}是等差数列，首项a1?0,a2006?a2007?0,a2006?a2007?0，则（1）使前n项和Sn最大的自然数n是＿＿；（2）使前n项和Sn?0的最大自然数n? ；

分析：由条件可以看出a2006?0,a2007?0，可知S2006最大，则使Sn最大的自然数为2006；由a2006?a2007?0知

a1?a4012?0，S4012?然数为4012.

4012(a1?a4012)2?0，S4013?4013?a2007，所以S4013?0，则使Sn?0的最大自

［举例2］在等差数列{an}中，满足3a4?7a7且a1?0,Sn是数列前n项的和.若Sn取得最大值，则n?＿＿＿＿＿. 分析：首项、公差（比）是解决等差（比）数列的最基本出发点.等差（比）数列的运算多可以通过首项与公差（比）来解决.由3a4?7a7知3(a1?3d)?7(a1?6d)?d??433a1，则an?a1?4(n?1)a133?37?4n33a1.当n?9时an?0，当n?10时an?0，所以n?9.

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39、数列{an}是等比数列，其前n项的和Sn是关于q的分段函数Snq?1?na1?，在求和过程中若公比不??a1(1?qn),q?1?1?q?是具体数值时，则要进行讨论.

［举例1］数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，且limSn?n??1a1，求a1的取值范围.

分析：注意到等比数列的公比是不为零的常数，前n项和存在的前提条件是|q|?1，且limSn?n??a11?q，知

a11?q?1a1，

则a12?1?q，有a1?(0,1)?(1,2)，则a1?(0,1)?(1,22)

?(?2,?1)?(?1,0).

［举例2］数列{an}是等比数列，首项a1?1，公比q??1，求lim1Sn的值.

n??分析：涉及到等比数列的前n项和的问题不能直接的应用公式，要考虑到公比的取值情况.当q?1时，Sn?na1?n，

此时lim1Snn???lim1nn???0；当q?1时，Sn?1?qn1?q，则lim1Sn=

n??lim1?q1?qnn???1?q,(|q|?1)??.

(|q|?1)?0,40、等差数列、等比数列的“基本元”是首项、公差（比），当觉得不知如何用性质求解时，可以把问题转化成“基本元”解决.学会用任意两项关系：若{an｝是等差数列，则对于任意自然数m,n有an?am?(n?m)d；若{an｝是等比数列，则对于任意的自然数m,n，有an?am?qn?m.在这两关系式中若取m?1，这就是等差（比）数列的通项公式.

［举例1］已知数列{an}是等差数列，首项a1?0，且3a5?5a7?0.若此数列的前n项和为Sn，问Sn是否存在最值？若存在，n为何值？若不存在，说明理由.

分析：对于本题来说，等差数列的基本性质用不上，可以化归为首项与公差来解决.设此数列的公差为d，则

3(a1?4d)?5(a1?6d)?0，即d??421a1，由a1?0知d?0，所以数列{an}是递减数列，故Sn有最大值

421a1)?25?4n21而无最小值.由等差数列的通项公式知：an?a1?(n?1)(?an?0，a1，当n?6时，当n?7时，

an?0.所以S6最大.综上知，当n?6时，Sn最大，不存在最小值.

[举例2]已知正项等比数列{an}中，首项a1?1，且a5?a7明理由.

分析：与举例1联系起来，这是数列中的“类比”问题.其解决的思想方法是一样的.对于单调正项数列，前n项积Tn最大

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35?1.若此数列的前n项积为Tn，问Tn是否存在最值？说

（小），则应满足??an?1?an?1?an?1(?). ?1?an?1?14364设此数列公比为q，则(a1q)?(a1q)则q?a1?1，

?421.an?a1?(a1?421)n?125?4n?a121.由a1?1知：n?6时，

an?1,n?7时，an?1.所以当n?6时，T6最大，Tn没有最小值.

[特别注意]等差数列与正项等比数列之间存在的类比关系实际上是运算上的变化，这种变化可以由等差数列与等比数列的一个性质来揭示.我们知道：若数列{an}是正项等比数列，记bn?log之若数列{an}是等差数列，记bn?manman(m?0,m?1)，则数列{bn}是等差数列.反

(m?0)，则数列{bn}是等比数列.

41、已知数列的前n项和Sn，求数列的通项公式时，要注意分段an???S1n?1?Sn?Sn?1,n?2.当a1满足

an?Sn?Sn?1,(n?2)时，才能用一个公式表示.

［举例］已知数列{an}的前n项和Sn?(a?2)n2?n?a.若{an}是等差数列，求{an}的通项公式.

分析：证明一个数列是等差数列或是等比数列，要从等差、等比数列的定义出发.等差、等比数列的性质不能作为证明的理由.

由Sn?(a?2)n2?n?a知，n?1时，a1?S1?2a?1，当n?2时，an?Sn?Sn?1?

2(a?2)n?(3?a).当n?2时，an?1?an?2(a?2)，而a2?a1?a?4.若数列{an}是等差数列，则2(a?2)?a?4，所以a?0.则an??4n?3.

42、形如：an?1?an+f(n)的递推数列，求通项用叠加（消项）法；形如：（约项）法.

［举例］数列{an}满足a1?1,an?3n?1an?1an?g(n)的递推数列，求通项用连乘

?an?1(n?2)，求数列{an}的通项公式.

分析：解决这种递推数列的思想方法实质上是等差、等比数列求通项公式的思想方法.等差数列的基本递推关系：

an?1?an?d，等比数列的递推关系：

n?1an?1an?q.

an?an?1?3an?1?an?2?3由题知：an?2?an?3?3n?2n?3???a2?a1?31???n?13(1?3)?n?1n?2?3???3??，又a1?1，所以?(n?2)相加得：an?a1?32????第 17 页 共 47 页

an?3?12n(n?2)，而a1满足此式，则an?3?12n(n?N).

43、一次线性递推关系：数列{an}满足：a1?a,an?1?b?an?c,(a,b,c是常数）是最重要的递推关系式，可以看出当b?1时，此数列是等差数列，当c?0（b?0)时，此数列是等比数列.解决此递推的方法是通过代换（令

bn?an?k)化成等比数列求解.

［举例］已知数列{an}满足：a1?1,an?1?2an?1,(n?N)，求此数列的通项公式.

分析：由an?1?2an?1得：an?1?1?2(an?1)知数列{an?1}是等比数列，首项为2，公比为2，所以an?1?2，知an?2nn?1.

44、在解以数列为模型的数学应用题时，要选择好研究对象，即选择好以“哪一个量”作为数列的“项”，并确定好以哪一时刻的量为第一项；对较简单的问题可直接寻找“项”与“项数”的关系，对较复杂的问题可先研究前后项之间的关系（即数列的递推公式），然后再求通项.

［举例］某企业去年底有资金积累a万元，根据预测，从今年开始以后每年的资金积累会在原有的基础上增长25%，但每年底要留出b万元作为奖励金奖给职工.企业计划用5年时间使资金积累翻一番，求b的最大值.

分析：与年数相关的应用题在解答过程中要注意项数与年数之间的关系，在设数列时就要指明.特别注意年底、年初的不同. 设从今年开始每年底该企业的资金积累为an万元，则a1?a(1?25%)?b?54a?b（万元），

an?1?an(1?25%)?b?为首项，

54an?b，则an?1?4b?554(an?4b).所以数列{an?4b}是以a1?4b?54a?5b54为公比的等比数列，所以an?4b?(45n?155n?1a?5b)()，an?4b?(a?5b)().由题知a5?2a，4444则4b?(1.25a?5b)(1.25)?2a，求得：b?0.13a.即b的最大值大约为0.13a.

45、常见的极限要记牢：limqn??nq?1?1,?nn??0,|q|?1，注意limq存在与limq?0是不相同的；若

n??n????不存在，|q|?1或q??1f(n)g(n).

f(n),g(n)是关于n的多项式函数，要会求limn??［举例1］求下列各式的值limn??ann?2nn2?a(a2?4)

分析：对于指数型的分式型极限，一般是分子、分母同除以幂底数绝对值较大的幂，这样可以求出极限.

2n1?()()?1a2??1. ?1；当|a|?2时，原式?lim当|a|?2时，原式?limn??n??2nan()?11?()a2an第 18 页 共 47 页

［举例2］若limn??an2?bn?23n?4?1，则a?＿＿＿＿；b?＿＿＿＿.

分析：对于分子分母是关于n的整式的分式型极限，若分子的最高的幂指数大于分母的最高的幂指数，则此式极限不存在；当分子的最高的幂指数与分母的最高的幂指数相同时，极限是分子、分母的最高次幂的系数比；当分子的最高的幂指数小于分母的最高的幂指数时，极限是零.

注意到此式极限为1是存在的，由上分析知a?0,46、理解极限是“无限运动的归宿”. ［举例］已知△ABC的顶点分别是A(0,b3?1，所以a?0,b?3.

2n),B(0,?2n),C(4?2n,0)(n?N)，记△ABC的外接圆面积为Sn，则

n??limSn?＿＿＿＿＿.

分析：本题若要先求出三角形ABC的面积后再求极限则是“漫长”的工作，注意到当n??时A、B、C点的变化，不难看出△ABC被“压扁”成一条长为4的线段，而此线段就是此三角形外接圆的直径.从而有limSn?4?.

n??第六部分 排列、组合与概率

47、解排列组合应用题是首先要明确需要完成的事件是什么，其次要分清完成该事件是分类还是分步，另外要有逐一列举思想、先选后排思想、正难则反（即淘汰法）思想.简单地说：解排列、组合问题要搞清“做什么？怎么做！”分步做时要考虑到每一步的可行性与“步”与“步”之间的连续性.尤其是排列问题，更要注意“特殊元素、特殊位置”之间的关系，一般地讲，从正面入手解决时，“特殊元素特殊照顾，特殊位置特殊考虑.”相邻问题则用“捆绑”，不邻问题则用“插空”.特别提醒：解排列、组合问题时防止记数重复与遗漏.

［举例］对于问题：从3位男同学，5位女同学这8位同学中选出3人参加学校一项活动，求至少有2位女同学的选法种数.一位同学是这样解的：先从5位女同学中选出2名有C5种选法，再在剩下的6位同学中任选一位有C6种选法，所以共有

21C5?C6种不同的选法.请分析这位同学的错误原因，并给出正确的解法.

分析：这位同学的解法中犯了计数重复的错误.不妨设女同学的编号为A、B、C、D、E，如先选的C5为A、B，再选的C6为C，和先选的为A、C，再选的为B是同一种选法.本解法中作为两种不同的结果计数，所以重复.

正确解法有两种：方法一：（分类讨论）选出的3人中至少有2名女同学，则为2女1男有C5?C3种不同选法，3位都为女同学有C5种不同选法.两种结果都能完成这件事，所以有C5?C3?C5?40种不同的选法.方法二：（去杂法）8位同学中选出3人不满足条件和选法为3男与2男1女.所有选法为C8，则满足题义的选法为：C8?C3?C3?C5. 48、简单地说：事件A的概率是含有事件A的“个体数”与满足条件的事件的“总体数”的比值.现行高考中的概率问题实际上是排列、组合问题的简单应用.

［举例］定义非空集合A的真子集的真子集为A的“孙集”，集合A?{1,3,5,7,9}的真子集可以作为A的“孙集”的概率是＿＿＿＿＿＿.

分析：本例是“即时性”学习问题.要正确理解“孙集”的定义——“真子集的真子集”.元素为n个的集合的真子集有2第 19 页 共 47 页

n332121212133321?1

个，其真子集的元素最多有n?1个.有n?1个元素的集合的真子集最多有n?2个元素.所以有n个元素的集合的“孙集”实际上是原集合中的小于等于n?2个元素的真子集.故其概率?C5?C5?C5?C52?150123?2631.

第七部分 向量

49、向量加法的几何意义：起点相同时适用平行四边形法则（对角线），首尾相接适用“蛇形法则”，

12??(AB?AC)表示

△ABC的边BC的中线向量.向量减法的几何意义：起点相同适用三角形法则，（终点连结而成的向量，指向被减向量），|AB|表示A、B两点间的距离；以a、b为邻边的平行四边形的两条对角线分别表示向量a+b、a?b（或b?a）. ［举例］已知非零向量a,b满足：|a?b|?|a?b|，则向量a,b的关系是――――（ ） A、平行； B、垂直； C、同向； D、反向.

分析：注意到向量运算的几何意义：|a?b|与|a?b|表示以a和b为一组邻边的平行四边形的两对角线的长.我们知道：对角线相等的平行四边形是矩形，从而有a?b.选B.

另一方面，本例也可以利用向量的运算来进行求解.|a?b|?|a?b|?(a?b)22?(a?b)，化简得：a?b?0，有

a?b.

50、理解单位向量、平行向量、垂直向量的意义.与非零向量a同向的单位向量a0?a|a|，反向的单位向量a0??a|a|.

［举例］已知△ABC，点P满足AP??(AB|AB|?AC|AC|),(??R)则点P的轨迹是（ ）

A、BC边上的高所在直线； B、BC边上的中线所在直线； C、?A平分线所在直线； D、BC边上中垂线所在直线. 分析：这是一道很“漂亮”的与向量相关的问题.AP??(AB|AB|?AC|AC|),(??R)，它涵盖了单位向量、向量加法的

意义、数与向量乘积的概念等.注意到

AB,AC分别是AB,AC上的单位向量，则AB|AB|?AC|AC||AB||AC|是以AB,AC上

????????AB??的单位向量为邻边的菱形的对角线上的向量，所以AP??(???|AB|轨迹是?A平分线所在直线.选C.

????AC????)所在直线是?A平分线所在直线，则P点的|AC|???51、两向量所成的角指的是两向量方向所成的角.两向量数量积a?b?|a||b|cos?a,b?；其中|b|cos?a,b?可视为向量b在向量a上的射影.

第 20 页 共 47 页

［举例1］已知△ABC是等腰直角三角形，?C＝90°，AC＝BC＝2，则AB?BC＝＿＿； 分析：特别注意的是，向量AB与BC的夹角不是△ABC的内角B， AB与BC的夹角是?B的外角.（如图）由AC?BC?2，则AB?2A 2，则 C B AB?BC?|AB|?|BC|cos3?4?22?2?(?22)??4.

［举例2］P是△ABC边BC的中线AD上异于A、D的动点， AD＝4，则PA?(PB?PC)的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿. 分析：由D是BC的中点知PB?PC?2PD，PA与

A P B

D C PD反向，它们所成角为?.设|PA|?x(0?x?4)，则

|PD|?4?x.那么PA?(PB?PC)?2PA?PD??2x(4?x)(0?x?4).所以其取值范围为[?8,0).

52、向量运算中特别注意a［举例］已知|a|?2?|a|的应用.研究向量的模常常先转化为模平方再进行向量运算.

22,|b|?1，且a,b的夹角为

?4，又OC??a?3b,OD?2a?b，求|CD|.

分析：CD?OD?OC?(2a?b)?(?a?3b)?3a?4b，则|CD|?|3a?4b|，由题知a?b?1，所以

222|CD|?(3a?4b)?9a?24a?b?16b?10.

注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解.请同学们自己完成. 53、向量的坐标运算是高考中的热点内容，要熟练掌握.已知a?{x1,y1},b?{x2,y2}则

a?b?{x1?x2,y1?y2},a?b?x1?x2?y1?y2.若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?{x2－x1,y2?y1}，

其坐标形式中是向量的终点坐标减去起点坐标.请注意：向量的坐标形式实质上是其分解形式x?i?y?j的“简记”.其中

i,j分别表示与x轴、y轴正方向同向的单位向量.与向量坐标运算最重要的两个结论：若向量

a?{x1,y1},b?{x2,y2}是非零向量则有：a?b?x1?x2?y1?y2?0；a//b?x1?y2?x2?y1?0.

［举例］设O是直角坐标原点，OA?2i?3j,OB?4i?j，在x轴上求一点P，使AP?BP最小，并求此时?APB的大小.

分析：设P(x,0)，则AP?{x?2,?3},BP?{x?4,1},则AP?BP?(x?2)(x?4)?3=

22x?6x?5?(x?3)?4，所以当x?3时，AP?BP的最小值为?4.此时AP?{1,?3}，BP?{?1,1}，

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AP,BP所夹角等于?APB，所以cos?APB?AP?BP|AP||BP|??255.所以?APB???arccos255.

54、利用向量求角时，要注意范围.两向量所成角的范围是[0,?].特别注意a?b?0不能等同于a,b所成角是锐角.当a,b同向时也满足a?b?0.

［举例1］已知△ABC，则“AB?AC?0”是“△ABC为钝角三角形”的――――（ ） A、充分不必要条件； B、必要不充分条件； C、充分必要条件； D、既不充分又不必要条件.

分析：对于△ABC，由AB?AC?0可知?A是钝角，但△ABC为钝角三角形，不一定A是钝角.选A. ［举例2］l是过抛物线y2?2px(p?0)焦点的直线，它与抛物线交于A、B两点，O是坐标原点，则△ABO

是――――――――――――――――――――――――――（ ）

A、锐角三角形； B、直角三角形； C、钝角三角形； D、不确定与P值有关.

?y2?2pxpp?22分析：由直线l过焦点F(,0)，设其方程为x?my?，联立得：?p，即：y?2pmy?p?0，

22?x?my?2?2设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1?y2??p，又x1?x2?y122p?y222p=

p24.则OA?OB?x1x2?y1y2??3p42?0，则?AOB一定是钝角.选C.

55、关注向量运算与其它知识的联系，与三角函数综合是高考中的常见题型. ［举例］已知向量a?{2cosx,1},b?{cosx,（1）若f(x)?1?3sin2x},x?R.设f(x)?a?b.

3且x?[???3,3]，求x的值；

（2）若函数y?2sin2x的图像按向量c?{m,n}(|m|?分析：

（1）由题知：

?2)平移后得到函数y?f(x)的图像，求实数m,n的值.

f(x)?2cos2x?3sin2x?cos2x?1?3sin2x?2sin(2x??6)?1，由题：

sin2(x??6)??32，又x?[???3,3]，所以x???4.

（2）函数y?2sin(2x??6)?1是由函数y?2sin2x向左平移

?12，再向上平移1个单位而得，所以

m???12,n?1.

56、关注点、函数图像（曲线）按某向量平移导致的坐标、解析式（方程）的变化；点M(x,y)按向量a?{m,n}平移

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得到点的坐标是M(x?m,y?n)；曲线C：f(x,y)?0按向量a?{m,n}平移得到曲线C//的方程为

可结合图形将函数图像（曲线）按某向量平移的问题可以先“翻f(x?m,y?n)?0.在实际应用过程中不必要死记公式，译”成向左（右）、向上（下）平移，再用函数图像变换的规律操作.

［举例1］将椭圆

(x?2)422?(y?3)322则a?＿＿＿＿； ?1对应的曲线按向量a平移后得到的曲线的方程为标准方程，

分析：椭圆

(x?2)4?(y?3)3?1的中心为(2,?3)，平移后中心为(0,0)，则点(2,?3)为向量a的起点，点(0,0)为向量a的终点，所以a?{?2,3}.

[举例2]平移坐标轴，将原点按向量a平移后，使椭圆＝＿＿＿＿＿＿＿.

(x?2)42?(y?3)32?1在新坐标系中化成为标准方程，则向量a分析：本例与上例平移方向相反.是将原点从(0,0)平移到(2,?3)，因此a?{2,?3}.

注意到曲线（函数图像）的平移坐标系不变，而坐标轴的平移是曲线（函数图像）不变.两者的方向是不同的，即向量的起点与终点恰好相反.

第八部分 空间图形

57、平面的基本性质是高考中立体几何的重点内容.要掌握平面的基本性质，特别注意：不共线的三点确定一个平面.考察点和平面的位置关系时，要注意讨论点在平面的同侧还是两侧，会根据不同的情况作出相应的图形.

［举例1］已知线段AB长为3，A、B两点到平面?的距离分别为1与2，则AB所在直线与平面?所成角的大小为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

分析：要注意到点A、B是平面?同侧还是在平面?的两侧的情况.当A、B在平面?的同侧时，AB所在直线与平面?所成角大小为arcsin13；当A、B在平面?的两侧时，AB所在直线与平面?所成角为

?2.

［举例2］判断命题：“平面?上有不共线的三点到平面?的距离相等，则平面?与平面?是平行平面”的真假. 分析：这是一个假命题.只有当这三点在平面?的同侧时，两平面才平行.

58、线面关系中三类平行的共同点是“无公共点”；三类垂直的共同点是“成角90°”.线面平行、面面平行，最终化归为线线平行.线面垂直、面面垂直，最终化归为线线垂直.

［举例］已知平面?,?，直线a,b.有下列命题：（1）

?//???????a//?；（2）??a//? ?a???a???a//b?a//b???（3）a?????//?；（4）a?????//?.其中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿.

b???b?????分析：立体几何中的符号语言所描述的问题是高考命题中的重点，基本上每年的高考在选择或填空题中都会有涉及，要充分理解符号语言所体现的几何意义.（1）体现的是两平面平行的一个性质：若两平面平行，则一个平面内的任一直线与另一平

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面平行.（2）要注意的是直线a可能在平面?内.（3）注意到直线与平面之间的关系：若两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直.且垂直于同一直线的两个平面平行.（4）根据两平面平行的判定知，一个平面内两相交直线与另一个平面平行，两平面才平行.由此知：正确的命题是（1）与（3）. 59、直线与平面所成角的范围是[0,?2]；两异面直线所成角的范围是(0,?2].一般情况下，求二面角往往是指定的二面角，

若是求两平面所成二面角只要求出它们的锐角（直角）情况即可.

［举例］设A、B、C、D分别表示下列角的取值范围：（1）A是直线倾斜角的取值范围；（2）B是锐角；（3）C是直线与平面所成角的取值范围；（4）D是两异面直线所成角的取值范围.用“?”把集合A、B、C、D连接起来得到＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：直线倾斜角的范围是[0,?)，锐角的范围是(0,?2).由此：B?D?C?A.

60、立体几何中的计算主要是角、距离、体积、面积的计算.两异面直线所成角、直线与平面所成角的计算是重点（二面角的计算文科不要求）.求两异面直线所成角可以利用平移的方法将角转化到三角形中去求解，也可以利用空间向量的方法（要在方便建立坐标系时用），特别要注意的是两异面直线所成角的范围.当求出的余弦值为a时，其所成角的大小应为

arccos|a|.

［举例］正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB中点，则异面 直线DE与BD1所成角的大小为＿＿＿＿＿＿.

分析：取CD中点F，则BF//DE.那么?D1BF是异面直线 DE与BD1所成的角（或补角）.设正方体的棱长为2，可求 得：BD1?23,BF?C1 D1 C F D 15B1 A1

5,D1F?5.在△BFD1中，求得

cos?D1BF?155A

.

E

B

，所以异面直线DE与BD1所成角的大小为arccos5对于异面直线所成角的计算，在便于建系的立体图形中（垂直关系明显：如正方体、长方体或有一侧棱与底面垂直的棱锥等）也可以利用建系的方法进行求解，

但要注意到空间坐标系的建立方法，确定好坐标轴. 建立如图坐标系，设正方体的棱长为2，则D1(2,0,2)

z C1 D1 A1 C B1 B(0,2,0)，D(2,0,0)，E(1,2,0).BD1?{2,?2,2}，

B A E DE?{?1,2,0}，设向量BD1与DE所成角为?，则

cos??BD1?DE|BD1||DE|??623?5??155y x D .所以异面直线DE与BD1所成角的大小为arccos155.

特别需要注意的是：两向量所成的角是两向量方向所成的角，它与两向量所在的异面直线所成角的概念是不一样的.本题中的向量BD1与DE所成的角大小是两异面直线DE与BD1所成角的补角.

61、直线与平面所成角的求解过程中，要抓住直线在平面上的射影，转化到直角三角形中去求解.点到平面的距离的求解可以利用垂线法，也可以利用三棱锥的体积转化.

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［举例］正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，BC1与平面ACC1A1所成角为30°.试求：（1）三棱柱ABC－A1B1C1的体积；（2）点C到平面BAC1的距离.

分析：（1）求三棱柱的体积，只要求出其高即可.由BC1与平面 ACC1A1所成角为30°，则要作出BC1在平面ACC1A1上的射影. 取AC中点E，则BE?AC，所以BE?平面ACC1A1，则EC1 是BC1在平面ACC1A1上的射影.有?BC1E=30°.由BE?知C1E?3，所以CC=26.

（2）若直接求点C到平面BAC1的距离，则需要作垂线、定垂足，比较麻烦.利用体积转化则比较简单.注意到三棱锥C—ABC1即为三棱锥C1—ABC，其体积为

C1

A1 B1

3，

E A

C B

1?22.则三棱柱的体积V=CC1?S?ABC

263，设C到平面BAC1的距离为h，则

263?13?h?S?ABC1.容易求得

S?ABC1?11，所以点C到平面BAC1的距离为

26611.

62、长方体、正方体是最基本的几何体，要熟练掌握它们中的线面关系.长方体的长、宽、高分别为a,b,c，对角线长为l，则l2?a?b?c.利用这一关系可以得到下面两个结论：（1）若长方体的对角线与三棱所成角分别为?,?,?，则

2222cos??cos2??cos??1；

22（2）若长方体的对角线与三面所成角分别为?,?,?，则cos??cos2??cos??2.

2［举例］长方体ABCD－A1B1C1D1的对角线AC1与过A点的三条棱所成的角分别为?,?,?，若??＝――――――――――――――――――――――――（ ） A、

?4,???3，则??6； B、

2?4； C、

22?3、 D、不确定.

2分析：根据cos??cos??cos??1得cos??14，则cos??12，???3.选C.

63、正方体中线面关系可以说是高考中的重点内容，相当一部分的高考题是以正方体作为载体进行命题，或是截取正方体的一部分进行命题.请特别关注正方体表面按不同形式的展开图，会由展开的平面图形想象立体图形. ［举例1］如图是一正方体的平面展开图，在这个正方体中： （1）AF与CN所在的直线平行； （2）CN与DE所在的直线异面； （3）CN与BM成60°角； （4）DE与BM所在的直线垂直.

以上四个命题中正确的命题序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

分析：将此展开图还原成正方体（如图）.可以看出：（2）、

E （3）、（4）是正确命题.

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D C M N N E D F

M

A B F C

A

B

［举例2］ABCD－A1B1C1D1是单位正方体，黑、白两只蚂蚁从点A出发以相同速度沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”.白蚂蚁爬行的路线是AA1?A1D1???，黑蚂蚁爬行的路线是AB?BB1???，在爬行过程中它们都遵循如下规则：所爬行的第n?2段与第n段所在直线必须是异面直线（其中n?N）.设黑、白两只蚂蚁都爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两个蚂蚁的距离是――――――（ ） A、1； B、

2； C、3； D、0.

D1A14 分析：注意到它们的运动规律， 都是呈周期运动，运动周期为6. 经过2007次运动，

由2007?6?334?3知， 它们运动后所停位置就是 第3次运动后所停位置. 则它们都到达C1点，所

以这两蚂蚁之间的距离为0，选D.

C1

A11D123B1C1

4

DA 5 13B12 D 6

B C

A 6

5B C

64、三棱锥顶点在底面三角形内射影为三角形的外心、内心、垂心的条件要分清楚. 外心：三侧棱相等或三侧棱与底面所成的角相等（充要条件）； 内心：三侧面与底面所成的二面角相等（充要条件）；

垂心：相对的棱垂直（充要条件）或三侧棱两两垂直（充分条件）.

［举例］三棱锥的“三侧棱与底面所成的角相等且底面是正三角形”是“三棱锥为正三棱锥”的――――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.

分析：三侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心，又底面是正三角形，则外心就是中心，知此三棱锥是正三棱锥.反之也成立，选C. 65、关注正棱锥中的几个直角三角形.

（1）高、斜高、底面边心距组成的直角三角形；（2）侧棱、斜高、底面棱长的一半组成的直角三角形；（3）底面上的边心距、底面外接圆半径、底面棱长的一半组成的直角三角形.（4）高、侧棱、底面外接圆半径组成的直角三角形.

进一步关注的是：侧棱与底面所成角、侧面与底面所成二面角的平面角都体现在这些直角三角形中.

［举例］若一正三棱锥的底面边长是a，体积为

3a123，则此三棱锥的侧棱与底面所成角的大小为＿＿＿＿；侧面与底面

所成二面角的大小为＿＿＿＿；此三棱锥的侧面积为＿＿＿＿. 分析：如图，设正三棱锥A—BCD的高为h.由题知：

A 13?34a?h?23123a，则h?a.设BC中点为E，顶点A

在底面上的射影为O.注意三角形ADO中含有侧棱与底面所 成角即?ADO与侧面底面所成二面角的平面角即?AEO.由 底面是正三角形且边长为a知EO?B E C

O D

36a,DO?33a，则

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tg?ADO?3,tg?AEO?23.所以侧棱与底面所成角大小为

?3，侧面与底面所成二面角大小为arctg23.由

AE?396a知，可求得侧面积为

394a.求侧面积也可以利用面积射影定理，由侧面与底面所成二面角正切值为

223，则此二面角的余弦值为

113，正三棱锥各侧面与底面所成的二面角都相等，则

S底S侧?113，所以S侧?394a.

266、直线与直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角在计算过程中都有射影定理.两直线所成角余弦值的大小是一直线上的线段在另一直线上的射影长（过此线段两端点向另一直线作垂线，两垂足之间的线段长，若两直线垂直，则两垂足重合，射影长为0）与原线段长的比；

［举例］如图，E是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中 点，则异面直线BE与CD1所成角的大小为＿＿＿＿＿＿. 分析：B点在直线CD1上的射影是C点，过E作EF?CD1 于F，则F是E在直线CD1上的射影.设正方体棱长为2， 则BE?D1 A1 B1 F C1

5，CF?22.设BE与CD1所成角为?，则

cos??CFBE?1010.所以BE与CD1所成角大小为arccos1010. D E B

C A 说明：利用这种方法在解选择、填空等问题时比较方便，但要注意的此法解大题时慎用.

67、特别注意有一侧棱与底面垂直且底面为正方形、直角梯形、菱形等四棱锥，关注四个面都是直角三角形的三棱锥.它们之间的线面关系也是高考命题的热点内容.

［举例1］如图三棱锥S－ABC中，SA?平面ABC，?ACB?90°，则此三棱锥的四个面中的直角三角形的个数有＿＿＿＿＿个.

分析：此三棱锥的四个面都是直角三角形.此图中有三垂线定理

S ?SA?面ABC?BC?SC）（?；线面角（?SCA是SC与平面

BC?AC?ABC所成的角，?SBA是SB与平面ABC所成的角）；二面角的 平面角（?SCA是二面角S—BC—A的平面角）等. ［举例2］如图在底面是直角梯形的四棱锥

S－ABCD中，?ABC?90°，SA?平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝（1）求四棱锥S－ABCD的体积； （2）求SC与AB所成角的大小. 分析：（1）底面积S=

A B

12.

C

z 12(AD?BC)?AB?34，V?13?S?SA?14.

S y （2）建立如图坐标系，则

S(0,01),C(1,1,0),B(0,1,0),SC?{1,1,?1},AB?{0,1,0}，

设向量SC与AB所成角为?，

B A D x C

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则cos??SC?AB|SC||AB|?33，

即SC与AB所成角的大小为arccos33.

68、对平面图形的翻折问题要有所了解：翻折后，在同一半平面内的两点、点线及两线的位置关系是不变的，若两点分别在两个半平面中，两点之间的距离一般会发生变化.要认清从平面图形到空间图形之间的联系，能够从平面图形的关系过渡到空间图形的关系，根据问题画出空间图形.

［举例］如图在正三角形ABC中，D、E、F分别是各边的中点，G、H、I分别是DE、FC、EF的中点.将三角形ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥后，BG与IH所成角的大小为――（ ）

A、

?6； B、

A ?3； C、arccos23； D、arccos33.

A B C H D G I B E F H C D

G E

I

F

分析：平面图形翻折成三棱锥后，A、B、C重合于一点，BG是△BED的中线，HI//BE.所以BG与HI所成角为69、图形的分解、组合是立几命题的新思路，学会平面到空间、空间到平面的转化. ［举例］下面的一组图形为一四棱锥S－ABCD的侧面与底面.

?6.选A.

A a a D a

a a

a

a

a 2a

2a

B a C a （1）请画出四棱锥S－ABCD的示意图，是否存在一条侧棱垂直于底面？如果存在的话，指出是示意图中的哪一条，说明理由.

（2）求出此四棱锥的体积；

（3）设E是最长侧棱的中点，F是底面正方形ABCD的边中与最长侧棱异面的边的中点，求EF与最短侧棱所成角的大小. 分析：这是一道比较新颖的立体几何题.要能根据侧面与底面 的形状先把它拼起来后，再解题.问题是从立几中解决，因此 对于作图能力有一定的要求，作不出图则无法解决. （1）如图知，侧棱SA?底面ABCD.因为侧面SAB、SAD 都是等腰直角三角形. （2）该四棱锥的体积V?S A 13a；

3E

D C F B

（3）最长侧棱是SC，E是SC中点，取底面边AB的中点为F，最短侧棱为SA.即求EF与SA所成角的大小.不难求出此角为

?4.

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第九部分 直线与圆锥曲线

70、直线的倾斜角是直线向上方向与x轴正方向所成的角，当直线是x轴或与x轴平行时，直线的倾斜角是0°，直线倾斜角的范围是[0,?).当直线与x轴不垂直时，倾斜角的正切值称为直线的斜率.

［举例］已知直线l1的斜率是＿.

33，直线l2过坐标原点且倾斜角是l1倾斜角的两倍，则直线l2的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿

分析：由l1的斜率是

33，知直线l1的倾斜角为

?6，所以直线l2的倾斜角为

?3，则l2的斜率为3，所以直线l2的议程

为y?3x.

71、若直线的倾斜角为?，直线的斜率为k，则?与k的关系是：

???tan?,??[0,)?(,?)?k?0?arctank,?22； ?＝?. k????arctank,k?0???不存在，?＝?2?［举例］已知直线l的方程为ax?by?c?0,(ab?0)且l不经过第二象限，则直线l的倾斜角大小为―――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、arctanab； B、arctan(?ab)； C、??arctanab； D、??arctanab.

分析：注意到直线l的斜率k??ab，又直线不过第二象限，则k?0，所以此直线的倾斜角为arctgk，选B.

72、常见直线方程的几种形式及适用范围要熟悉：（1）点斜式y?y0?k(x?x0)，过定点(x0,y0)与x轴不垂直；（2）斜截式y?kx?b，在y轴上的截距为b与x轴不垂直；（3）截距式

xa?yb?1，在x轴y轴上的截距分别为a,b与

坐标轴不平行且不过坐标原点.特别注意的是当直线过坐标原点（不是坐标轴）时，直线在两坐标轴上的截距也相等，直线在两坐标轴上的截距相等，则此直线的斜率为－1，或此直线过原点（4）点法向式a(x?x0)?b(y?y0)?0；（5）点方向式

x?x0u?y?y0v2。（6）一般式ax?by?c?0，其中法向量为(a,b)，方向向量为(?b,a)

2［举例］与圆(x?1)?(y?2)?1相切，且在两坐标轴上截距相等的直线有――（ ）

A、2条； B、3条； C、4条； D、5条.

分析：注意到截距与距离之间的区别，截距指的是曲线（直线）与坐标轴交点的一个坐标，它有正负（也可以是0）之分.选B.

73、求直线的方程时要特别注意直线的斜率是否存在的情况，不确定时要注意分类讨论，漏解肯定是斜率不存在的情况.要明确解析几何是“用代数方法解决几何问题”的道理，所以做解析几何问题不要“忘形”. ［举例］过点P(2,3)与坐标原点距离为2的直线方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

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分析：若仅用点斜式设出直线方程，再用点到直线的距离来求解，则会漏解，这是因为在设立方程的时候就排除了斜率存在的情况.考虑到直线x?2满足题义，故所求直线有两条，其方程为：5x?12y?26?0与x?2.

74、两直线位置关系讨论的主要依据是两直线的斜率，要注意斜率不存在时的情况.掌握点到直线的距离公式、两平行直线之间的距离公式、两直线的夹角公式.由一般式方程判断两直线之间的关系：直线l1：A1x?B1y?C1?0,(A1,B1不全为0）、l2：A2x?B2y?C2?0，（A2,B2不全为0）.则l1//l2的充要条件是A1B2?A2B1?0且A1C2?A2C1与B1C2?

B2C1至少有一个不为零；l1?l2的充要条件是A1A2?B1B2?0；l1与l2相交的充要条件是A1B2?A2B1?0.

［举例1］直线l1,l2斜率相等是l1//l2的――――――――――――――――――（ ） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件.

分析：直线l1,l2斜率相等，两直线可能重合，不一定有l1//l2；又两直线l1//l2，考虑到特殊情况，若l1,l2都与x轴垂直，则它们的斜率不存在，就谈不上斜率相等了.选D.

［举例2］直线l过点P(2,3)与以A(3,2),B(?1,?3)为端点的线段AB有公共点，则直线l倾斜角的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：直线与线段之间的关系可借助于数形结合的方法来解决，先确定出“极限”位置时直线的倾斜角（斜率），再从旋转的角度进行变化研究.kPA??1,kPB?2.若直线l与线段AB有公共点，则其斜率k存在时的取值范围是：k??1或

k?2，或其斜率不存在.因此直线l倾斜角的取值范围是[arctan2,3?4].

利用数形结合解决这类问题时，困惑的是要求的直线斜率的取值范围问题.可以这样来确定：过定点P的直线（倾斜角为?）与线段AB有公共点（PA、PB与x轴不垂直），PA、PB的倾斜角分别为?,?(???)，则?????.若直线l的斜率为k（存在的话），PA、PB的斜率分别为k1,k2(k1?k2)，当k1?k2?0时，则有k1?k?k2；当k1?k2?0时，则有k?k1或k?k2.

在解这类问题时也可以利用线性规划的有关知识来求解.设直线l的方程为f(x,y)?0，A(x1,y1),B(x2,y2)，若l与线段AB有公共点（A、B两点在直线l的两侧或有一点在直线上），则f(x1,y1)?f(x2,y2)?0；若l与AB没有公共点（A、B两点在直线l的同侧），则f(x1,y1)?f(x2,y2)?0.这样可很方便地求出直线l的斜率.

75、点A、B关于直线l对称即l是线段AB的垂直平分线，垂直是斜率关系，平分说明AB的中点在l上.特别注意：当对称轴所在直线的斜率为1或－1时，对称点的坐标可用代入的方法求得.即点(x0,y0)关于直线x?y?c?0的对称点是

(?y0?c,?x0?c)；点(x0,y0)关于直线x?y?c?0的对称点是(y0?c,x0?c).

［举例1］将一张画有直角坐标系的图纸折叠使点A(2,0)与点B(0,6)重合，若点C(3,0)与点D重合，则点D的坐标为

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＿＿＿＿＿；

分析：实际上这是一个对称的问题，对称轴是AB的垂直平分线l：x?3y?8?0，D点是C点关于直线l的对称点.求点关于直线的对称点的坐标要紧紧抓住垂直（斜率关系）平分（中点坐标）这两个方面列方程组求解.设D点的坐标为(a,b)，则

ba?3??2，且

a?322?2?b2?5?0，求得：D(433,). 55［举例2］抛物线C1：y?2x关于直线x?y?2?0对称的抛物线为C2，则C2的焦点坐标为＿＿＿＿＿＿.

分析：两抛物线关于一直线对称，则它们的焦点也关于此直线对称，只要求焦点关于此直线的对称点即可.抛物线C1的焦点坐标为(15,0)，所以C2的焦点坐标为(?2,). 2276、直线与圆的位置关系的判断主要是利用点（圆心）到直线的距离来判断.设圆C的半径是r，圆心到直线L的距离是d，当d?r时，直线L与圆C相离；当d?r时，直线L与圆C相切；当d?r时，直线L与圆C相交.求直线被圆所截的弦长可用圆半径、弦心距、弦长一半组成直角三角形来求解. ［举例

1］已知点(a,b)是圆x2?y2?r2外的一点，则直线ax?by?r2与圆的位置关系

是―――――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、相离； B、相切； C、相交且不过圆心； D、相交且过圆心. 分析：点(a,b)在圆x2?y2?r外，则a?b222?r，圆心到直线ax?by?r的距离d?22r222?r，又

a?bd?0.选C.

关注：若点(a,b)是圆x2?y2?r上的一点，则直线ax?by?r是圆过此点的切线方程；若点(a,b)是圆

222x2?y2?r外的一点，则直线ax?by?r是此圆过该点有两切线的切点弦的方程.

22［举例2］若圆O：x?y2?r上有且只有两点到直线l:3x?4y?15?0的距离为2，则圆的半径r的取值范围是

y 2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：如图：圆心O到直线l的距离为3，与直线l 距离为2的点的轨迹是与l平行且与l距离为2的两 平行直线（图中虚线l1,l2）.由题义知直线l1与圆O

l2 O 有两不同交点，而l2与圆O没有公共点.因此圆O半 径r的取值范围是1?r?5.

77、确定圆的方程可以利用圆的标准方程(x?a)2x l1 l ?(y?b)2?r，即确定圆心坐标与半径；也可以利用圆的一般方程

22x2?y22?Dx?Ey?F?0，即确定系数D、E、F.要注意的是方程x?y2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条

件是D?E2?4F?0.确定一个圆的方程需要三个互相独立的条件（因为标准方程与一般方程中都三个待定的系数）.

2［举例1］二次方程Ax?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是＿＿＿＿＿；

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分析：注意到圆的一般方程中没有xy这样的项，且二次项系数都为1.则必有B?0，且A?C?0，此时方程可以化成：

x?y?22DAx?EAy?2FA2?0.与圆的一般方程比较可以得出：(DA)?(2EA)?42FA?0.其充要条件为：

A?C?0,B?0,D?E?4AF?0.

［举例2］已知圆C被y轴截得的弦长是2，被x轴分成的两段弧长之比为1:3，求圆心C的轨迹方程.

分析：如图，设圆心C(x,y)，圆半径为r.因圆被y轴截得的线段长为2，圆心到y轴的距离为|x|，则根据直线与圆的

22位置关系，知r?x?1，

y 又圆被x轴所分成的两段弧长之比为1:3，则x轴被所截得 的弦所对的中心角为直角，圆心到x轴距离为|y|，则

22r C r r?22|y|.则x?1?2y.即所求的轨迹方程为

2O x 2y?x?1.

78、掌握圆的基本特征：圆上任意两点的垂直平分线是圆的直径所在的直线；直线平分圆的充要条件是此直线一定过该圆的圆心；与两定点连线所成角为直角的动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）等. ［举例1］直线l过定点M(4,0)与圆x＿＿＿＿；

分析：解决与圆有关的的问题要“对得起”圆.即要抓 住圆的几何特征.如图：ON?AB，M、O都是定点， 所以N在以线段OM为直径的圆上，其方程为(x?2)22?y2?4交于A、B两点，则弦AB中点N的轨迹方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿

A O y N B M x ?

22y2?4.注意到点N在圆x?y22?4内，则弦N的轨迹方程为(x?2)?y2?4（0?x?1).

［举例2］直线l过定点M(4,0)与圆x?y2?4 A O y 交于A、B两点，O是坐标原点，则△AOB面积的 最大值为＿＿＿＿＿＿＿；

分析：由圆的性质知，△AOB是等腰三角形，

B M x |OA|?|OB|?2，所以当?AOB为直角时，其面积最大，最大值为2.

［举例3］已知A是圆x2?y2?2ax?4y?6?0上任意一点，点A关于直线x?2y?1?0的对称点也在圆上，

那么实数a的值为＿＿＿＿＿.

分析：圆上的点关于直线的对称点仍然在圆上，则此直线必过圆心(a,?2)，代入知：a?3.

79、两圆之间的位置关系的判断主要是利用两圆的半径的差或和与两圆的圆心距之间的大小关系.设圆A的半径为r1，圆B

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的半径为r2（不妨设r1?r2），则有：（1）|AB|?r1?r2，两圆外离；（2）|AB|?r1?r2，则两圆外切；（3）（4）|AB|?r1?r2，则两圆内切；（5）|AB|?r1?r2，则两圆内含.关注：r1?r2?|AB|?r1?r2，则两圆相交；

两圆的位置关系也可以由两圆的公切线的条数上来分. ［举例1］已知动圆C与定圆M：(x?2)?y＿＿＿；

分析：如图：（1）当两圆外切时，设动圆的半径为r， 则|CM|?r?1，C到y轴的距离为r，则C到直 线x??1的距离|CN|?r?1，那么C到直线x??1 的距离与C到M的距离相等，所以点C的轨迹是以 M为焦点，直线x??1为准线的抛物线.其方程为：

22?1相切，且与y轴相切，则圆心C的轨迹方程是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

x??1 y N C O M x y2?6(x?12).

y （2）当两圆内切时，可得C到M的距离与C到直线

x?1的距离相等，所以此时点C的轨迹是以M为焦点，

直线x?1为准线的抛物线.其方程为：y所以圆心C的轨迹方程为：y［举例2］已知M(0,22N O 32).

3)2C M x ?2(x?232).

?6(x?12x?1 )与y?2(x?23)，一动圆I过点M与圆N：x?(y??16内切.

（1）求动圆圆心I的轨迹C的方程；

（2）经过点Q(2,0)作直线l交曲线C于A、B两点，设OP?OA?OB，当四边形OAPB的面积最大时，求直线l的方程.

分析：（1）如图，动圆I与定圆N内切，设动圆半径为r，则|IN|?4?r,|IM|?r.那么有：

2|IN|?|IM|?4，|MN|?23，所以I点的轨迹是以M、N为焦点4为长轴长的椭圆.其方程为x?y （2）由OP?OA?OB知，四边形OAPB是平行四边形.要 使得四边形OAPB面积最大，则△OAB的面积最大，注意变 化中的定值条件.△OAB的面积是△AOQ的面积与△BOQ的 面积之差.设A(x1,y1),B(x2,y2)，则S?AOB?||y1|?|y2||. 可在联立方程组时，消去变量x，保留y.

设直线l的方程为x?my?2，

M O N I 2y4?1.

x

y P A B 第 33 页 共 47 页

O Q x

?2y2?1?x?22由??(4m?1)y?16my?12?0.由 4?x?my?2?△=(16m)?4?12?(4m?1)?0，得4m?3?0. 由韦达定理得：

222y1?y2??16m4m?122,y1y2?124m?122知y1y2?0.则S?AOB?||y1|?|y2||=|y1?y2|

?(y1?y2)?4y1y2?44m?3(4m?1)22.令4m?3?t(t?0)，那么：

2S?8t(t?4)2?8t?116t?8?81216?8?2，当t?16t时等号成立.此时m2?74，即所求的直线方程为

x??72y?4.

80、椭圆的定义中要注意隐含的条件：定值大于两定点之间的距离.掌握椭圆基本量之间的关系，分清长轴、短轴、焦距、半长轴、半短轴、半焦距.椭圆最基本的几何性质是定义的逆用：“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于长轴的长”. ［举例1］已知复数z满足|z?2i|?|z?2i|?4，则z对应点的轨迹是＿＿＿＿＿＿＿；

分析：根据复数的几何意义，复数z对应点到2i与?2i对应点的距离之和为4，看似椭圆，但注意到两定点之间的距离为4.所以z对应点的轨迹是以2i与?2i对应点为端点的线段. ［举例2］设P是以F1,F2为焦点的椭圆

xa22?yb22?1(a?b?0)上的一点，若点P满足：

PF1?PF2?0,tg?PF1F2?12，则椭圆的焦距与长轴的比值为―――――――――（ ）

A、

12； B、

23； C、

13； D、

53.

?PF1F2?分析：由题知PF1?PF2，又tan12，则|PF1|?2|PF2|.由|PF1|?|PF2|?2a得

|PF1|?4a3,|PF2|?2a3.则2c?|F1F2|?25a3.则

2c2a?53.选D.

81、椭圆中一些常见的结论要记住，这对解决选择填空等客观性问题时比较方便，如：椭圆的基本量a,b,c蕴含在焦点、中心、短轴端点所构成的直角三角形中；椭圆的短轴的端点对两焦点的张角是椭圆上点与两焦点张角（与两焦点连线夹角）的最大值；短半轴、长半轴的几何意义是椭圆上点与中心距离的最小值与最大值；焦点到椭圆上点的距离的最大值与最小值分别是a?c与a?c；过椭圆焦点的弦长最大值是长轴长，最小值是垂直于长轴所在直线的弦（有时称为通径，其长

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为

2ba2）.

［举例1］一直线l过椭圆

x24?y22?1的左焦点，被椭圆截得的弦长为2，则直线l的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

分析：注意到此椭圆的通径长为2，所以此直线的方程为x??2.

［举例2］椭圆

x24?y23?1上有2007个不同的点P1,P2,?,P2007，椭圆的右焦点为F，数列

{|FPn|}n(?1,2,3,?,2007)是公差为d的等差数列，则d的取值范围是＿＿＿＿＿.

分析：注意到|PFn|的取值范围是[1,3]，若数列是递增数列，有|PF1|?1,|PF2007?3，此时0?d?是递减数列则?11003.若数列

11003yb22?d?0.所以d?[?11003,0)?(0,11003].

82、椭圆

xa22??1(a?b?0)上任意一点P与两焦点F1,F2构成的三角形可称为椭圆的焦点三角形.焦点三角形的

2周长为定值(2a?2c)，利用解三角形的方法可以得出：当?F1PF2＝?时，此三角形的面积为btan的是此结论的推导过程要掌握）.

?2（引起注意

［举例］已知点A(?2,0),B(2,0)，点C在直线y?1上满足AC?BC，则以A、B为焦点过点C的椭圆方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：注意到△ABC的面积为2，且?ACB??2，即btg2?4?2，则b?2.所以所求的椭圆方程为

y 2x26?y22?1.

另解：由图，因为△ABC是直角三角形，｜AB｜＝4，

AC?BC?AB?16，|AC|?|BC|?2S?ABC?4，

222y?1 C O B x 可求得|AC|?|BC|?26(?2a).所以所求的椭圆方程为

x26?y2A ?1.

283、双曲线的定义中的隐含条件是“两焦点之间的距离大于定值（实轴长）”，双曲线基本量之间的关系要与椭圆基本量的关系区分开来，从定义上来说椭圆与双曲线的定义是一字之差，方程是一符号之差，但两者之间的几何性质完全不同.

［举例］一双曲线C以椭圆

x24?x22?1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由题知双曲线的实轴在x轴上，可设其方程为

xa22?yb22?1.注意到双曲线的其本量关系可得：a2?2,c2?4，

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所以所求双曲线方程为

x22?y22?1.

84、渐近线是双曲线特有的几何性质，要特别注意双曲线的渐近线方程，理解“渐近”的意义.双曲线

xa22?yb22?1的渐

近线的方程为

xa22?yb22?0，与双曲线

xa22?yb22?1共渐近线的双曲线可以设成

xa22?yb22??（其中??0是待定

的系数），双曲线的焦点到双曲线的渐近线的距离是虚半轴长b.

［举例1］一双曲线与＿＿＿；

x23?y2?1有共同渐近线且与椭圆

x23?y2?1有共同焦点，则此双曲线的方程为＿＿＿＿＿

分析：由题可设所求双曲线的方程为

x232?y2??，因其焦点在x轴上，则??0.则标准式为

x23??y2??1，那么

3????2.得所求双曲线为

x23?y?12.

［举例2］若关于x的方程

2x?1?k(x?2)有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿.

分析：若从代数角度入手讨论比较麻烦.从数形结合入手， 借助于双曲线的渐近线，则很容易得解.在同一坐标系中 作出y?y x?1（双曲线x?y222?1的上半部分）与

y?k(x?2)（过定点(?2,0)的直线）的图像.如图：可

得0?k?1.

?2 O x 85、记住双曲线中常见的结论：（1）过双曲线焦点的直线被双曲线同支截得的弦长的最小值是通径（垂直于实轴的弦长），被两支截得的弦长的最小值是实轴的长；（2）双曲线焦点到同侧一支上的点的距离最小值是c?a，到异侧一支上点的距

离最小值是c?a；（3）双曲线

xa22?yb22?1的焦点为F1,F2，P是双曲线上的一点，若?F1PF2??，则△F1PF2的面积为bcot2?2（仿椭圆焦点三角形面积推导）.

［举例1］已知双曲线的方程为

x29?y216?1，P是双曲线上的一点，F1、F2分别是它的两个焦点，若|PF1|?7，则

|PF2|?＿＿＿＿＿＿；

分析：由双曲线的定义||PF1|?|PF2||?6，知|PF2|?1或13.注意P

点存在的隐含条件

|PF1|?|PF2|?|F1F2|?10，所以|PF2|?13.

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［举例2］椭圆＿＿＿＿＿；

分析：由椭圆与双曲线有公共焦点，可得6?2?a?1，所以a?3由.又由椭圆的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为

x26?y22?1和双曲线

x2a?y?1的公共焦点为F1,F2，P是它们的一个公共点，则cos?F1PF2?22tan11?F1PF2，由双曲线的焦点三角形的面积知△PF1F2的面积为cot?F1PF2，则2211121，由万能公式得cos?F1PF2?. 2tan?F1PF2?cot?F1PF2.解得tan?F1PF2?22223??|PF1|?|PF2|?26另解：也可以由?（不妨设|PF1|?|PF2|），求得|PF1|???|PF1|?|PF2|?23由|F1F2|?4，利用余弦定理可得cos?F1PF2?6?3，|PF2|?6?3，又

13.

［举例3］双曲线

x2n?y2?1(n?1)的两焦点为F1,F2,P是此双曲线上的一点，且满足|PF1|?|PF2|＝

2n?2，则△PF1F2的面积为＿＿＿＿＿＿＿＿.

分析：由题可以得出点P在椭圆

x2n?2?y2?1上，设?F1PF2??，由焦点三角形的面积公式可知对于椭圆

S?tan?2，对于双曲线S?cot?2，则必有???2，所以△PF1F2的面积等于1.

86、抛物线是高考命题中出现频率最高的圆锥曲线.仅从标准方程上，抛物线就有四种不同的形式，要注意开口方向与标准方程的关系.不要将抛物线的标准方程与二次函数的表达式相混淆.

［举例］抛物线y?4x的焦点坐标是＿＿＿＿＿；准线方程是＿＿＿＿＿. 分析：注意到方程y?4x不是抛物线的标准方程，其标准形式为x方程为y??222?14y.所以此抛物线的焦点坐标为(0,116)，准线

116.

87、记住抛物线的常见性质：（1）抛物线上任意一点到焦点距离等于它到准线的距离；（2）过抛物线的焦点与顶点的直线是抛物线的对称轴；（3）顶点、焦点、准线之间的关系；（4）过焦点与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线

y2?2px(p?0)的通径长为2p；（5）通径是过抛物线焦点的弦中长度最小的一条.

［举例1］已知抛物线的焦点为F(1,1)，对称轴为y?x，且过M（3,2），则此抛物线的准线方程为＿＿＿；

分析：若仅局限于抛物线的标准方程，此题无法解决.考虑到抛物线的性质，准线是与对称轴垂直，则其方程可设为

x?y?b?0.由抛物线的定义可知抛物线上点到焦点的距离与其到准线的距离相等，因此M(3,2)到准线距离等于

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|MF|?5，则

|5?b|2?5，则b??5?10.所以抛物线的准线为x?y?5?10?0.

［举例2］直线l过抛物线x2?4y的焦点与抛物线交于A、B两点，若A、B两点到x轴的距离之和等于3，则这样的直

线l有―――――――――――――――――（ ）

A、1条； B、2条； C、3条； D、不存在.

分析：A、B两点到x轴的距离之和为3，则A、B两点到准线y??1的距离之和为5.根据抛物线的定义可得弦长|AB|?5，此抛物线的通径为4，故满足题义的直线有2条.选B.

88、过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦称为抛物线的焦点弦.以抛物线y性质：设抛物线y22?2px(p?0)为例，焦点弦有下列常用

?2px(p?0)的焦点为F，A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两点.（1）A、B、F三点共线的充

分必要条件是y1y2??p(x1x2?2p24（2）|AB|?x1?x2?p；（3）若AB过焦点，则以AB为直径的圆与抛)；

物线的准线相切；（4）AB过焦点，则OA?OB为定值；（5）AB过焦点，则

1|AF|?1|BF|?2p.

［举例1］直线l过抛物线的焦点与抛物线交于A、B两点，O是抛物线的顶点，则△ABO的形状是――――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、直角三角形；B、锐角三角形；C、钝角三角形；D、不确定与抛物线的开口大小有关. 分析：不妨设此抛物线的方程为y2?2px，过焦点的直线l:x?my?p2?y2，代入抛物线方程得：

2y?2pmy?p22?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y2??p，x1x2?2y122p2p

?p24.OA?OB?x1x2?y1y2??34p2?0，所以?AOB为钝角.选C.

[举例2]求证：过抛物线y2?2px(p?0)焦点的所有弦长的最小值是2p.

分析：本例的证明方法很多.设其焦点弦为AB，A(x1,y1),B(x2,y2)，则由抛物线的定义知

|AB|?x1?x2?p?2x1x2?p?2p24?p?2p.当且仅当x1?x2时等号成立.此时直线AB与对称轴垂直.

89、“点差法”是解决直线与圆锥曲线位置关系中与弦的中点有关问题的常用方法.“点”是指弦端点、弦中点；“差”是指将弦端点坐标代入曲线方程作差.由点差法可以利用弦中点的坐标表示出弦所在直线的斜率.

［举例］已知点M是椭圆

xa22?yb22?1的一条不垂直于对称轴的弦AB的中点，O是坐标原点，设OM、AB的斜率分别

为k1,k2，则k1?k2＝―――――――――――――（ ）

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A、

ab22； B、

ba22； C、?ba22； D、?ab22.

分析：设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)，则

x1a22?y1b22?1，

x2a22?y2b22?1，两式作差得

(x1?x2)(x1?x2)a2?(y1?y2)(y1?y2)b2?0，又x1?x2?2x0,y1?y2?2y0，所以

y1?y2x1?x2?y0x0??ba22.

即k1?k2??ba22.选C.

90、当直线过x轴上的定点A(a,0)时，若直线不是x轴，则此直线方程可以设成x?my?a.这样可以避免讨论直线斜率是否存在.

［举例］设直线l过椭圆直线l的方程.

x24?y2?1的右焦点，与椭圆相交于A、B两点，O是坐标原点，当△OAB的面积最大时，求

分析：由题可设直线l：x?my?3代入椭圆方程中得：(m2设A(x1,y1),B(x2,y2)，?4)y?23my?1?0，

2可得△OAB的面积S=

32(|y1|?|y2|)?32|y1?y2|，可得：

2S?3212m222(m?4)?4m?42?23m?1(m?4)22?23(m?1)?219m?12，则当m2?1?3时，S

?6有最大值为1.此时直线l方程为：x??2y?3.

91、求动点的轨迹方程要能充分地将“动”与“定”有机的联系起来，以“定”制“动”.也可以先由动点定轨迹后方程.常见动点的轨迹要熟记.

［举例1］设点P为双曲线＿＿；

x24?y2?1上的动点，F是它的左焦点，M是线段PF的中点，则点M的轨迹方程是＿＿＿

分析：设P(x0,y0),M(x,y)又F(5,0).由题义得：x0?2x?5,y0?2y，代入

x042?y0?1得：(x?252)?4y22?1即为所求的轨迹方程.像这种求轨迹的方法称为代入转移法，它适用于由定曲

线上的动点所确定的另一动点的轨迹方程的求法.具体步骤是用要求轨迹方程的动点坐标(x,y)来表示定曲线上的动点

(x0,y0)坐标，代入定曲线的方程.

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［举例2］已知椭圆的焦点是F1,F2，P是椭圆上的一个动点.如果延长F1P到Q，使得|PQ|?|PF2|，那么动点Q的轨迹是―――――――――――――――――――（ ）

A、圆； B、椭圆； C、双曲线的一支； D、抛物线. 分析：注意到椭圆的性质：|PF1|?|PF2|为定值， 又|PQ|?|PF2|，所以|F1Q|为定值.由圆的定义 知，Q点的轨迹是以F1为圆心，椭圆长轴长为半径 的圆.选A.这种求轨迹的方法称之为定义法：即是 根据常见曲线的定义来确定动点的轨迹.

92、直线与圆锥曲线之间的位置关系的讨论主要是转化为方程根的个数的讨论，联立直线与圆锥曲线方程得方程组，消去其中一个量得到关于另一个变量的一元二次方程，利用根的判别式进行讨论，但要注意二方面：一是直线的斜率是否存在，二是所得方程是否为一元二次方程.直线与非封闭曲线（双曲线、抛物线）联立得到的方程二次项可能为零.

y P F1 O F2 Q x ［举例］已知直线l过点M(1,1)，双曲线C：x2?y23?1.

（1）若直线l与双曲线有且仅有一个公共点，求直线l的方程；

（2）若直线与双曲线的右支有两个不同的交点，求直线l斜率的取值范围；

（3）是否存在直线l使其与双曲线的有两个不同的交点A、B，且以AB为直径的圆过坐标原点？若存在求出此直线的斜率，不存在说明理由.

分析：（1）当直线l与x轴垂直时，直线x?1满足题义.当直线l与x轴不垂直时，设直线方程为y?1?k(x?1)，联立得方程：(3?k)x当3?k222?2k(1?k)x?(k2?2k?4)?0---（*）

?0时，方程（*）是一次方程，直线l与双曲线有一个公共点，此时直线l方程为y?1??3(x?1).当

，得

3?k2?0时，由△?48?24k?0k?2，所以满足题义的直线

l为：

x?1,2x?y?1?0,y?1??3(x?1).

（2）直线l与双曲线的右支有两个不同的交点，则方程（*）有两不等的正根.由△?48?24k

2k(1?k)?x?x??0122??3?k，得3?k?2或k??3. ?0，知k?2且?2?x?x?k?2k?4?0122?k?3?（3）若以

AB

为直径的圆过坐标原点，则OA?OB?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，即

22x1x2?y1y2?0.(k?1)x1x2?k(1?k)(x1?x2)?(1?k)?0，将x1x2,x1?x2代入化简得：

2k?4k?1?0，k??2?3（满足k?2)

注意：解析几何的运算量比较大，一般来说似繁的运算式子最后可以化简得出，若遇求解不出，问题常出在运算过程的失误.要有耐心、细心才行.

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93、特别关注向量背景下的解几问题，及解几背景下的向量问题.能熟练地将“向量语言”转化为“解几语言”，如：，如：∠APBOA?OB?0即OA⊥OB；AB∥AC即A、B、C共线等；有时也需要将“几何语言”转化为“向量语言”为锐角等价于：PA?PB?0，且A、P、B不共线. ［举例］倾角为

?3的直线l过抛物线y2?4x的焦点F与抛物线交于A、B两点，y 点C是抛物线准线上的动点. （1）△ABC能否为正三角形？

（2）若△ABC是钝角三角形，求点C纵坐标的取值范围. 分析：（1）直线l方程为y?A C O B F x 3(x?1)，由y2?4x可

得A(3,23),B(13,?233).若△ABC为正三角形，则

?CAB??3，由?AFx??时|AC|?4，又|AB|?3?31，那么CA与x轴平行，此

3?2?163.与|AC|=|AB|矛盾，所以△ABC不可能是下正三角形.

（2）设C(?1,m)，则CA?{4,23?m},CB?{43,?233?m}，CA?CB?(m?233)不可以为负，所以

2?ACB不为钝角.

若?CAB为钝角，则CA?BA?0，BA?{,88333}，则

323?833(23?m)?0，得m?1033.

若角?ABC为钝角，则CB?AB?0且C、B、A不共线.可得m??233且m??63.

综上知，C点纵坐标的取值范围是(??,?63)?(?63,?

233)?(1033,??).

第十部分 解题技巧与应试心理

94、解含有字母运算的选择题时莫忘特殊值法：选择符合题意数值加以检验，是解这类问题最有效方法；选择、填空题中要探讨一般性的结论可以在特殊值的背景中进行.另外遇到方程、不等式求解的选择题通常采用取值（选择支中的边界值最好）去代入验证.

[举例]函数f(x)?asinx?bcosx图像的一对称轴方程是x??4，则直线ax?by?c?0的倾斜角

是――――――――――――――――――――――――――――――（ ） A、

?4； B、

3?4； C、

?3； D、

2?3.

分析：正弦曲线的对称轴方程是经过正弦曲线的最高（最低）点与x轴垂直的直线.即x??4时，函数

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，取a?1,b??1即满足题义.知直线的倾斜角为f(x)?asinx?bcosx取最大值（或最小值）

95、“数形结合”是解选择、填空题的重要的方法之一，特别是遇到含有字母的无理不等式及含有x到原点的距离的平方）、

3?42.选B.

2?y（曲线上的点

yx（曲线上的点与原点连线的斜率）等带有明显“几何特征”的式子时，数形结合比较方便.若做

解答题用“数形结合”时，考虑到推理论证的严密，一定要辅之以必要的文字说明，不能以“由图知”代替推理. ［举例1］若关于x的不等式

x?1?a?x(a?1)的解集为{x|m?x?n}，且n?m?a?1，则实数a的值等

于―――――――――――――――――――――（ ）

A、2； B、3； C、4； D、5. 分析：作出函数y?x?1与y?x?a的

y 图像（如图）.可以看出m?1，x?n是方程

y?x?1

x?1?x?a的根.所以n?1?n?a，又

n?m?a?1，由n?a?2，得a?3.选B.

［举例2］已知函数f(x)?sinx?2|sinx|,x?[0,2?]，

m O 1 n a y?x?a x 若方程f(x)?k有两个不同的解，则实数k的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿. y 3 ?3sinx,x?[0,?]分析：f(x)??.作出函数f(x)的图像.

?sinx,x?(?,2?]?直线y?k与函数y?f(x)的交点，则1?k?3.

1 O ? 2? x 96、“分类讨论”一般是在解题过程无法进行下去时采取的措施，即“分类”是解题得以继续的自然要求.只有搞清了为什么要分类，才知道怎样分类，然后把研究对象不重不漏地划分为若干类，逐一进行研究，通过分类实际是为解题增加一个新的条件.当然，选用适当的解法，能回避讨论时，应尽量回避.比如解分式不等式时，一般不是讨论分母的正负，而是移项、通分后利用数轴标根法求解.

[举例]已知函数f(x)?a(x?1)(a?R).

（1）若不等式f(x)?1在(1,2)上的解集不是空集求a的取值范围； （2）解关于x的不等式f(|x?1|)?2.

分析：（1）若从解不等式出发，则很繁.注意到f(1)?0，且f(x)是关于x的一次函数形式，只要f(2)?1即可.从而得a?1.这样就可以避免讨论.

（2）f(|x?1|)?2，即a|x?1|?a?2. ①当a?0时，不等式解集为?；

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②当a?0时，|x?1|?1?③当a?0时，|x?1|?1?2a2a，得x?2?.若1?2a或x??2a；

2a?0，即?2?a?0时，不等式解集为?；当1?2a?0，即a??2时，

?2a?x?2?2a.

22?(??,?)?(2?,??),(a?0)?aa?综上知不等式f(|x?1|)?2的解集为：??,(?2?a?0).

?22?(?,2?),(a??2)a?a需要注意的是分类讨论的最后结果要有所总结，这才体现出解题的完整性.

97、解应用题重在读题，设法找出隐含的等量关系，把实际问题转化为数学问题，注意单位一定要化统一，结论要回归到题目的设问上，别忘了“答”.具体地说：函数问题的关键是正确地写出函数关系式（即建立等量关系）、数列问题要关注“前后项之间的关系”、“解几”问题别忘了圆锥曲线的“定义”、三角问题经常要联系正（余）弦定理.

[举例1]用砖砌墙，第一层（底层）用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块，??，依次类推，每一层都用去了上层剩下的砖块的一半多一块，如果到第九层恰好砖块用完，那么一共用了＿＿＿块砖.

分析：第九层用完，则第九层用砖2块.寻找相邻两层之间关系：设第n层用砖为an块，第n?1层用砖为an?1块，则有

an?1?2an?223?1，即an?1?912an，所以数列{an}是公比为

12的等比数列.由a9?2，所以共用砖

2?2?2???2?1024块.

另一方面：设共用砖x块，前n层共用砖Sn块，第n层用砖an块，则有an?两式相减可得an?1?x?Sn?12?1，那么an?1?x?Sn2?1，

12an.

［举例2］甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a元. （1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数； （2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？

分析：函数型的应用性问题在列出函数关系式时要注意到函数的定义域，函数的定义域可以从条件中得到. （1）y?sv(bv?a)(0?v?c)；

2（2）由y?s(av?bv)，应用基本不等式时，要注意等号成立的条件.当

av?bv时，v?ab，若ab?c，则

y?2sab，此时v?ab；若ab?c，可知函数y?s(av?bv)在区间(0,c]上单调递减，此时y?c时有最小

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值.综上知：当ab?c时，汽车应以ab千米/时行驶；当ab?c时，汽车应以c千米/时行驶.

98、解高考题要注意“长题不难”、“新题不难”的特点，从容镇定、认真审题间.比较复杂的问题在解题过程中往往要遇到三次审题：一、把握好条件中的“关键词”，包括括号内一些容易忽略的条件（a?1,b?N?，等），从中获取尽可能多的信息，迅速找出解题方向；二、在解题受阻时，应再次审题，看看有没有漏掉什么条件，想想有什么隐含条件；三、解完题后再次回顾题目，看看所得解答与题目要求是否吻合，是否合理.

99．要记住“解题是给别人看的”，因此要尽可能使得解题过程自然、流畅，尽可能使阅卷老师能够清晰地了解（感受到）我们的思维脉搏.要学会使用文字叙述，用好关联词；要对后面可能需要使用的式子和过渡性的结论做必要的标记（如：①、②、（﹡）等），以便使用；为了使解题过程简洁，可以略去有理式运算、平面几何的简单论证等，但涉及高中知识点、思考过程的要点及后面的解题要用的式子切不可跳过；解题的最后一步应回归到题目的设问上.

100、高考不仅是知识考试，同时也是心理考试.拿到试卷应当充分利用好开答前的五分钟时间，把试卷大题浏览一遍，确定解题的顺序.注意的是：小题中的“压轴题”（如填空题中的12题，选择题中的16题）不一定比解答题的前两题容易，若一时找不到思路可先放一放，不要在此花过多时间.做容易的题要冷静、细心，适当慢一点，就会准一点.其实所谓考试就是把我们平时掌握的知识、培养的能力淋漓尽致地展现在考卷上，若能保证把会做的题做对，就是成功.遇到难题要做到镇定分析、大胆设想.高考中偏难的解答题一般会设置层次分明的“台阶”，也就是“难题”中也会有容易做的得分点，应争取拿到；即使是毫无思路，也尽量不要空在那儿，不妨想到什么写什么，想到哪儿，写到哪儿；因为没有什么情况会比“空”在那儿更严重的了！总之，考试的全部诀窍就是：力争会做的题确保得满分，不会做的题争取多得分.做到我易人易我不大意，我难人难我不畏难.

第十一部分 高三拓展（理科）

?x?a?rcos???为参变量101、参数方程：（1）圆(x?a)?(y?b)?r的参数方程为?y?b?rsin??222?；（2）椭圆

的参数方程为

xa22?yb22?x?acos??1?a?b?0?的参数方程为???为参变量y?bsin???；（3）直线

x?x0u?y?y0v?x?x0?tcos??t为参变量，?为直线的倾斜角?y?y?tsin?0?[举例1]设实数x,?。

y满足x2?(y?1)?1，若对满足条件x,y，不等式x?y?c?0恒成立，则c的取值

2范围是 。

[举例2]在直线和曲线上各任取一点，若把这两点间距离的最小值定义为直线与曲线间的距离，则直线

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2x?4y?13?0与椭圆

x29?y24?1间的距离为 。

[举例3]若直线??x?1?2t,?y?2?3t,（t为参数）的方向向量与直线4x?ky?1的法向量平行，则常数k? .

102、极坐标：?2?x2?y2；?cos??x；?sin??y。

[举例1]在极坐标系中，曲线??cos??sin?关于极轴的对称曲线的极坐标方程为 。

103、概率、数学期望、方差：

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A?B)（A?B指A、B至少有一个事件会发生）；当A、B为互斥事件时：P(A?B)?P(A)?P(B)；P(A?B)?P(A)P(B)（A?B指A、B同时发生）； 如果

x P(??x) ?的概率分布律由下表给出：

x1 P1 x2 P2 ?? ?? 2xn Pn 2

2E??x1P1?x2P2???xnPn D???x1?E??P1??x2?E??P2????xn?E??Pn

104、二项式定理：?a?b?? ；其中通项为： 。

n01nn024135n?1二项式系数之和：Cn?Cn???Cn?2 Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn???2

[举例1]若(x?2)2n?a2nx2n?a2n?1x2n?1???a3x?a2x?a1x?a0，

32[来源学科网Z|XX|K]

*a?a?a?? n?N,则135?na 。 2?的值为1

高 考 数 学 考 前 提 醒

1、在应用条件A?B勿忽略是A空集的情况。

2、求解与函数、不等式有关的问题注意定义域优先的原则。（求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等等） 3、判断函数奇偶性时，勿忽略检验函数定义域是否关于原点对称。 4、注意y?[f(x)]有意义，必须f(x)?0。

5、用判别式判定解题时，勿忽略讨论二次项的系数是否为0，尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略。 6、等式两边约去一个式子时，注意约去的式子不能为零。 7、求反函数时，勿忽略求反函数的定义域。

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0

8、求函数单调性时，勿错误地在多个单调区间之间添加符号“?” 和“或”；单调区间不能用不等式表示。

9、解关于x的不等式ax?bx?c?0时，不要忘记对a是否?0进行讨论，注意a?0时，不等号要改变方向。 10、恒成立问题，求字母a的范围，特别注意a能否取到端点的值。 11、在分类讨论时，分类要做到“不重不漏、层次分明”，并进行总结。 12、用等比数列求和公式求和时，勿忽略公比q?1的情况。

213、由an???Sn?Sn?1　　（n?2）　?S1　　　（n?1），勿忽略n?1的情况。

14、等比数列{an}中，a1?0,q?0,且a1,a3,a5...同号。

15、用均值定理求最值（或值域）时，勿忽略验证 “一正二定三等”这一条件。 16、用直线的点斜式、斜截式设直线的方程时，勿忽略斜率不存在的情况。 17、用到直线到直线所成角公式时，勿将两条直线的斜率的顺序弄颠倒。

18、判断直线与双曲线位置时，有时可借助直线与渐近线的位置关系判断。

19、分清四面体，四棱锥，分清直四棱柱，正四棱柱，直平行六面体，长方体等几何体的区别和联系。 20、正三棱锥对棱相互垂直。

21、复数a?bi（a,b?R）的虚部为b。

22、在解答题中，如果要应用教材中没有的重要结论，那么在解题过程中要给出简单的证明。如双勾函数的单调性。 23、各种角的范围：

(1)两个向量的夹角 0????180?

(2)直线的倾斜角0????180? 两条相交直线的夹角 0????90?

l1到l2的角 0????180?

(3) 两条异面线所成的角 0????90? 直线与平面所成的角 0????90?

斜线与平面所成的角 0????90? 二面角 0????180? 24、解选择题时，要会运用特例排除法及数形结合的方法。

25、注意重要数学方法的运用：（1）特殊归纳一般 （2）换元法

（3）数形结合 （4）含字母的考虑是否分类讨论

26、扇形弧长、面积公式：l???r S?12lr?12?r

227、A、B两点间的球面距离??AOB?R 28、空间向量在立体几何计算中的应用：

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（1）异面直线所成的角：cos??d1?d2d1d2d?n；（2）直线和平面所成的角：sin??cos??；

dn（3）二面角：cos??n1?n2n1n2PA?n； （4）点到直线的距离：d?

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