【配套】2014届《创新设计·高考总复习》限时训练 北师大版(理) Word版含答案 第九篇 第5讲 抛物线]

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第5讲 抛物线

A级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2011·辽宁)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )． 3

A. 4

B．1

5

C. 4

7D. 4

pp

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，知|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2x1＋x2515

＝3，∵p＝2x1＋x2＝2AB的中点的横坐标为24答案 C

2．(2013·东北三校联考)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为 ( )． A．2

B．18

C．2或18

D．4或16

解析

p

x0＋2＝10，

设P(x0，y0)，则 |y|＝6，

0 y20＝2px0，

p

∴36＝2p 10－2，即p2－20p＋36＝0，解得p＝2或18.

答案 C

3．(2011·全国)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点，则cos∠AFB＝ ( )．

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4A.5

3

B.5

3

C．－5

4D．－5

2

y＝4x

解析 由 得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或x＝4.不妨设A(4,4)，B(1，

y＝2x－4，

→→FA·FB→→→→

－2)，则|FA|＝5，|FB|＝2，FA·FB＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝

→→||FA||FB＝

－84

5故选D. 5×2

答案 D

x2y2

4．(2012·山东)已知双曲线C1：a－b＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为

( )．

83

A．x2＝3 C．x2＝8y

3

B．x23 D．x2＝16y

22

x2y2cc2a＋bb

解析 ∵ab1的离心率为2，∴a＝2，即a＝a＝4，∴a＝3.x2＝

p x2y2b

2py的焦点坐标为 0，2 ，a－b＝1的渐近线方程为y＝a，即y＝3x.由

2

＝2，∴p＝8.故C：x＝16y，选D. 22

1＋ 3

题意，得答案 D

p2

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．(2013·郑州模拟)设斜率为1的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为8，则a的值为________． a a a

解析 依题意，有F 4，0 ，直线l为y＝x－4A 0，－4 ，△OAF的

1aa

面积为2448.解得a＝±16，依题意，只能取a＝16. 答案 16

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6．(2012·陕西)如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．

解析 如图建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py.由题意A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝6，故水面宽为6米． 答案 26 三、解答题(共25分)

7．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)过点A(1，－2)． (1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；

(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公5共点，且直线OA与l的距离等于5求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2.

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t， y＝－2x＋t，由 2得y2＋2y－2t＝0. y＝4x因为直线l与抛物线C有公共点， 1

所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－2.

5

另一方面，由直线OA与l的距离d5，

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|t|1

可得t＝±1.

55

1 1 因为－1 －2 ，1∈ －2 ，

所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.

x2y23

8．(13分)(2012·温州十校联考)已知椭圆a＋b1(a>b>0)的离心率为3以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋2相切． (1)求a与b；

(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1过F2且与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型． c解 (1)由e＝a＝

b3b61－a3，得a＝3.

又由原点到直线y＝x＋2的距离等于椭圆短半轴的长，得b2，则a＝3. (2)法一 由c＝a－b＝1，得F1(－1,0)，F2(1,0)． 设M(x，y)，则P(1，y)．

由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，即y2＝－4x，所以所求的M的轨迹方程为y2＝－4x，该曲线为抛物线．

法二 因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.

B级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

→→＋FC→＝

1．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA＋FB→→|＋|FC→|＝ 0，则|FA|＋|FBA．9

( )． D．3

B．6 C．4

解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，由于抛物线y2＝4x的焦点F的坐→→＋FC→＝0，→标为(1,0)，由FA＋FB可得x1＋x2＋x3＝3，又由抛物线的定义可得|FA

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→→

|＋|FB|＋|FC|＝x1＋x2＋x3＋3＝6. 答案 B

2．(2013·洛阳统考)已知P是抛物线y2＝4x上一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是 ( )． 3

B.5

C．2

D.5－1

解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．设点P到直线l的距离为d，由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为|PF|－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋|PF|－1.易知d＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，|2＋3|故d＋|PF|＝5，所以d＋|PF|－1的最小值为5－1.

2＋ －1 答案 D

二、填空题(每小题5分，共10分)

3．(2012·北京)在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．

33解析 直线l的方程为y＝3(x－1)，即x＝3＋1，代入抛物线方程得y2－3

43

3＋

216

3＋16

y－4＝0，解得yA＝1

21×23＝3. 答案

3

＝23(yB<0，舍去)，故△OAF的面积为

4．(2012·重庆)过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AB|25

＝12，|AF|<|BF|，则|AF|＝________.

y2＝2x， 1解析 设过抛物线焦点的直线为y＝k x－2，联立得， 1 y＝k x－2，

整理

22

k＋2k＋211

得，k2x2－(k2＋2)x＋42＝0，x1＋x2＝k，x1x2＝4.|AB|＝x1＋x2＋1＝k＋

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25122222

1＝12k＝24，代入kx－(k＋2)x＋4＝0得，12x2－13x＋3＝0，解之1315

得x1＝3，x2＝4，又|AF|<|BF|，故|AF|＝x1＋265答案 6三、解答题(共25分)

5．(12分)已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的→＝λAQ→.

直线交抛物线C于P、Q两点，设AP

(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F； 11(2)若λ∈ 32，求|PQ|的最大值．

思维启迪：(1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系，然后求最值．

(1)证明 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)． →＝λAQ→，∴x＋1＝λ(x＋1)，y＝λy，

∵AP1212

22222∴y21＝λy2，y1＝4x1，y2＝4x2，x1＝λx2，

∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1， 1

∵λ≠1，∴x2＝λ，x1＝λ，又F(1,0)， →＝(1－x，y)＝(1－λ，λy) ∴MF112 1 →， ＝λ λ－1，y2 ＝λFQ

∴直线MQ经过抛物线C的焦点F. 1

(2)由(1)知x2＝λ，x1＝λ， 得x1x2＝1，y2y21·2＝16x1x2＝16， ∵y1y2>0，∴y1y2＝4， 则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2

222＝x21＋x2＋y1＋y2－2(x1x2＋y1y2)

1 1＝ λ＋λ 2＋4 λ＋λ－

12

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1

＝ λ＋λ＋2 2－16， 1 510 11

λ∈ 3，2 ，λ＋λ∈ 2，3 ，

11011127当λ＋λ3λ＝3时，|PQ|2有最大值9|PQ|的最大值为3.

探究提高 圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．

6．(13分)(2012·新课标全国)设抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点． (1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4 2，求p的值及圆F的方程； (2)若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

解 (1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝2p.

由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝ 2p. 1

因为△ABD的面积为4 2，所以2BD|·d＝4 2， 1即22p 2p＝4 2，解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.

(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°. 1

由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝2AB|. 33

所以∠ABD＝30°，m的斜率为3或－3.

332 3当m的斜率为3由已知可设n：y＝3＋b，代入x2＝2py得x2－3－2pb＝0.

4

由于n与C只有一个公共点，故Δ＝32＋8pb＝0，

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p

解得b＝－6.

p|b|

因为m的纵截距b1＝2，|b|＝3， 所以坐标原点到m，n距离的比值为3.

3

当m的斜率为－3m，n距离的比值为3.

综上，坐标原点到m，n距离的比值为3.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/n4um.html