2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准 -

1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）

如图，在平面直角坐标系中，抛物线－4）、B（x1，0）、 C（xy=－

2x322+b（0，x+c经过A

2，0）三点，且x-x1=5．

y （1）求b、c的值；（4分）

（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分） 解： 解：（1）解法一： ∵抛物线

B C O x

A （第25题图）

2y=－

2x3+b， ∴c=－4 ??1分 x+c经过点A（0，－4）是方程－

22x+bx+c=0的两个根， 2333b， x1x2=－c=6 ·∴x1+x2=······································································· 2分 2292222由已知得（x2-x1）=25 又（x2-x1）=（x2+x1）－4x1x2=b－24

49214b－24=25 解得b=± ·∴ ····························· 3分 4314当b=时，抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去．

3又由题意可知，x1、x∴b=－

14． ············································································································· 4分 32解法二：∵x1、x是方程－

2x32+bx+c=0的两个根，

3b?9b2?96， ·························· 2分

4 即方程2x2－3bx+12=0的两个根．∴x=

∴x2－x1=

9b2?962=5， 解得

14b=± ··················································· 3分

3 （以下与解法一相同．）

（2）∵四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D必在抛物线的对称轴上， 5分

1

又∵

y=－

2x32－

142x－4=－33（x+

72）+

2256 ∴抛物线的顶点（－

72，

256）即为所求的点D． 7分

（3）∵四边形BPOH是以OB为对角线的菱形，点B的坐标为（－6，0），

根据菱形的性质，点P必是直线x=-3与 抛物线

∴当x=－3时，

y=－

2x32-

14········· 8分 x-4的交点， ·

3y=－

23×（－3）－

214×（－3）－4=4， 3 ∴在抛物线上存在一点P（－3，4），使得四边形BPOH为菱形． ·································· 9分 四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形BPOH为正方形，点P的坐标只能是（－3，3），

但这一点不在抛物线上．··························································································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）

已知点A（a，

2、B（2a，y2）、C（3a，y3）都在抛物线y?5x?12x上. y1）

（1）求抛物线与x轴的交点坐标； （2）当a=1时，求△ABC的面积； （3）是否存在含有存在，说明理由.

解：（1）由5x2y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不

12． ·············································· （2分） 5?12x=0 得x1?0，x2??∴抛物线与x轴的交点坐标为（0，0）、（?12，0）． ··················································· （3分） 5（2）当a=1时，得A（1，17）、B（2，44）、C（3，81），分别过点A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则有

=（3）如： 3（

··································· （5分） S?ABC=S梯形ADFC -S梯形ADEB -S梯形BEFC ·

(17?81)?2(17?44)?1(44?81)?1--（6分 =5（个单位面积） ··· （7分）

2222········ （8分）事实上，y3?5?(3a)?12?(3a) =45a2+36a． y3?3(y2?y1)． ·

·· （9分）∴y3?3(y2?y1)． y2?y1）=3[5×（2a）2+12×2a-（5a2+12a）] =45a2+36a． ·

（10分）

3、（08辽宁沈阳26题）（本题14分）26．如图所示，在平面直角坐标系中，矩形轴的负半轴上，边OC在

?ABOC的边BO在xy轴的正半轴上，且AB?1，OB?3，矩形ABOC绕点O按顺时针

A的对应点为点E，点B的对应点为点F

，点C的对应点为

方向旋转60后得到矩形EFOD．点点D，抛物线

y?ax2?bx?c过点A，E，D．

y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；

A B F y E C D O 第26题图

x

（1）判断点E是否在

（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形

ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，

2

点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）点E在

y轴上 理由如下：

连接

AO，如图所示，在Rt△ABO中，?AB?1，BO?3，?AO?2

?sin?AOB?1?，??AOB?30 2由题意可知：?AOE?60? ??BOE??AOB??AOE?30??60??90?

·············································································· 3分 ?点B在x轴上，?点E在y轴上． ·（2）过点D作DM?x轴于点M

中，DM?OD?1，?DOM?30? ?在Rt△DOM?13，OM? 22?点D在第一象限，

?31?···························································································· 5分 ?点D的坐标为???2，? ·2??由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上

2)?点A的坐标为(?31)······························································· 6分 ?点E的坐标为(0，， ·

?抛物线y?ax2?bx?c经过点E， ?c?2

由题意，将

?31?2，代入y?ax?bx?2中得 A(?31)，，D???22???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得?3?31a?b?2???b??53?422?9?

853x?2 ····························································· 9分 ?所求抛物线表达式为：y??x2?99（3）存在符合条件的点P，点Q． ················································································· 10分 理由如下：?矩形

ABOC的面积?AB?BO?3 ?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．

3

由题意可知OB为此平行四边形一边， 又?OB?3

?OB边上的高为2 ······································································································· 11分

依题意设点

P的坐标为

?(m，2)点

P在抛物线

853y??x2?x?299上

853??m2?m?2?2

99?53?532?解得，m1?0，m2?? ?P2)，P2?1(0，??8，? 8???以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

?PQ∥OB，PQ?OB?3， ?当点P1的坐标为(0，2)时，

点Q的坐标分别为Q1(?y E A B F C D O M x 3，2)，Q2(3，2)；

?53?2?当点P2的坐标为???8，?时，

??点Q的坐标分别为Q3???133??33?，2Q，2?，． ······················································ 14分 ?4?????8???8?4、（08辽宁12市26题）（本题14分）26．如图16，在平面直角坐标系中，直线

y??3x?3与x轴

交于点

A，与

y轴交于点

C，抛物线

y?ax2?23x?c(a?0)经过3y A，B，C三点．

（1）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点F的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由； （3）试探究在直线

解：（1）?直线

AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，

A C O F B x

求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

图16 y??3x?3与x轴交于点A，与y轴交于点C．

?A(?1，0)，C(0，·························································································· 1分 ?3) ·

?点A，C都在抛物线上，

4

??2330?a??ca????? ??3 3?c??3??3?c???43?3223?·························· 4分 x?x?3 ?顶点F??抛物线的解析式为y???1，? ·333??（2）存在

················································· 7分 PP，?3) ·，?3) 1(02(29分

（3）存在 ·················································································································· 10分 理由： 解法一：

延长BC到点B?，使B?C过点B?作B?H?BC，连接B?F．

交直线AC于点M，则点M就是所求的点．

····························································································· 11分

?AB于点Hy ?B点在抛物线y?32230) x?x?3上，?B(3，33H ，

3在Rt△BOC中，tan?OBC?3??OBC?30?，BC?23， B?H在Rt△BB?H中，

设直线B?F的解析式为

A C B O B x

M F 图9 ?1?OH?3?B?(?3，BB??23， BH?3B?H?6，?23)

2y?kx?b

?3??23??3k?bk??333??6??43 解得? ····································· 13分 ?y?x?62?k?b???b??33?3??23??y??3x?3x???3103?7?????M，? 解得 ???333??7?x??7?y??y??103，62??7??3103??············· 14分 ?在直线AC上存在点M，使得△MBF的周长最小，此时M???7，?． ·7??5、（08青海西宁28题）如图14，已知半径为1的?O1与x轴交于A，B两点，OM为?O1的切线，

0)，二次函数切点为M，圆心O1的坐标为(2，y??x2?bx?c的图象经过A，B两点．

5

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