第二单元 基本初等函数及其运算

经济数学微积分 第一章 函数

第二单元 基本初等函数及其运算

第一节 几类基本初等函数

一、学习目标

通过本节课的学习，了解基本初等函数的图形和基本属性．

二、内容讲解

定义1.6——基本初等函数

在中学的学习中已经认识了一些函数，这些函数是非常基本的，有这样几类： 1.常数函数：y=c．这个函数在它的定义域中的取值始终是一个常数，它在直角坐标系中的图形就是一条水平线．

2.幂函数：y=xα，(α∈R)．以x为底，指数是一个常数．

当a=1时就是y=x，它的图形是过原点且平分一、三象限的直线；当α=2时就是y=x2，它的图形是过原点且开口向上的抛物线；当α=3时就是y=x3，它的图形是过原点的立方曲线．

3.指数函数：y=ax，(a>0，a≠1)．底数是常数，指数是变量．例如y=ex，y=2x，

1

y=(2)x．所有指数函数的图形都过(0,1)点，当a>1时，函数单调增加，当a<1时，

函数单调减少．

4.对数函数：y=logax，(a>0，a≠1)．以a为底的x的对数．例如y=lnx，y=log2x，

log1x

y=

2

．所有对数函数的图形都过(1,0)点，当a>1时，函数单调增加；当a<1时，

函数单调减少．

5.三角函数： 正弦函数：y=sinx．

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余弦函数：y=cosx．

思考问题：常数函数可否视为幂函数的一个特例？

答案常数函数不能视为幂函数的特例，因为除了常数函数y=1以外，其它的常数函数都不是幂函数．

三、例题讲解

例题1.判断下列函数中，哪些不是基本初等函数：

121

（1）y＝x；（2）y ()x；（3）y＝lg(－x)；

2

（4）y＝x3； （5）y＝x2x； （6）y＝e2x． 分析：依据基本初等函数的表达式来判断．

y 解：直接观察可知⑵与⑷中的函数是基本初等函数，而由

1

x52x，

2

y＝e2x＝(e2)x，可知（1）与（6）中的函数是基本初等函数．（3）与（5）中的函数不是基本初等函数．

四、课堂练习

1．作出下列函数的图形：

（1）y =x－3；（2）y=2－；（3）y=ln(－x).

2．在同一坐标系中作出y=2，y=x，y=log2x的图形，从图形上观察这三个函数满足什么关系．

xx

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第二节 函数的运算

一、学习目标

通过本节课的学习，了解函数之间的运算，主要是复合运算.

二、内容讲解

函数的运算当然有加、减、乘、除运算，这些就不需要讲了．在这里我们主要将函数的复合运算．所谓复合运算，就是指如果y是u的函数，u是x的函数，y通过u作为中间媒介就成为x的函数，这就是函数的复合运算．如下面这个例子表示的

y lnu； u sinx；y lnsinx.

这里y是u的函数，u是x的函数，y通过u作为中间媒介就成为x的函数，这就是函数的复合运算．下面把这个复合的步骤以及它们的变域联系起来仔细地介绍一下：

y = f ( (x)) 定义1.7——复合函数

y是u的函数，这个函数用f来表示．u是x的函数，这个函数用φ来表示．φ的值域正好落在函数f的定义域里，经过u作为媒介y就成为x的函数，这个复合函数的定义域是这样一个（红色）区域，它的值域就缩小成为这样一个（绿色）区域了．这是为什么呢？因为x在它的定义域内变化时，u仅在这样一个（黄色）区域取到值，相应的y的取值范围就缩小成为这样一个（绿色）区域．复合函数的记号就记为y=f(φ(x))．这种运算就叫做函数的复合运算．这样我们把函数分一下类：

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定义1.8——初等函数

由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除或复合而得到的函数称为初等函数．

这样的分类把函数分成了初等函数和非初等函数．我们在前面所见到的分段函数就是非初等函数的例子．

思考问题1：为什么要求u=φ(x)的值域包含在U中？

答案:如若不然，存在x0 X，但φ(x0) U，则此时f(φ(x0))没有意义．

三、例题讲解

例1已知函数y=f(x)的定义域为[0，1]，求函数y=f(ex)的定义域．

分析：要使函数u=ex的值域包含于函数y=f(x)的定义域中，由这个约束条件重新确定x的取值范围．

解：设u=ex，它的值域要包含于y=f(x)的定义域中，即0≤ex≤1，由此得－∞＜x≤0.

（已知函数ln他他是单调增加的，显然有t 0

x

limlnt lne ln1

，由此得－∞＜x≤0）

由此可知复合函数y=f(ex)的定义域是(－∞，0]．

例2将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：

sin(x 2)x2

y 2lncosx y e（1）；（2）

2

分析：由定义知初等函数是基本初等函数经有限次的四则运算和复合运算得到的．具体解决的步骤是：先看函数表达式有无四则运算，如有，则对每一个运算项进行分析，看其是否为复合函数，如是，则选择适当的中间变量将其化为基本初等函数．依此步骤反复进行．

2

解：(1)y e，u sinv，v w，w x 2

u

(2)y uv,u 2x,v lnw,w p2,p cosx

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四、课堂练习

将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：

222

（1）y xln(x x 1) （2）y sin(x)

五、课后作业

1．已知函数y = f (x)的定义域为[0，1]，求函数y = f (ln x )的定义域． 2．将下列初等函数分解为基本初等函数的四则运算或复合运算：

5x2x

y xcos(x 2). y x e（1）；（2）

5u32x

[1,e]y x e,u xy xcosu,u x 21． . 2．（1）；（2）

3

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