第九章 - - 欧氏空间测验题

第九章 欧氏空间测验题

一、填空题

1．设V是一个欧氏空间，

??V，若对任意??V都有(?,?)?0，则?＝_________．

2．在欧氏空间R3中，向量??(1,0,?1)，??(0,1,0)，那么(?,?)＝____ _____，

?＝_________．

3．在n维欧氏空间V中，向量?在规范正交基?1,?2,?,?n下的坐标是(x1,x2,?,xn)，

那么(?,?i)＝_________，?＝_________．

4．两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________． 5．已知A是一个正交矩阵，那么A?1＝_________，A＝_________．

2??1?10???6、已知三维欧式空间V中有一组基?1,?2,?3，其度量矩阵为A???120?，则

?003???向量??2?1?3?2??3的长度为 。

7．设?1?(0,?1,1),?2?(2,1,?2),??k?1??2，若?与?2正交，则k? ．

?21??1??0??8、设R中的内积为(?,?)???A?,A???12??，则??2??，?1??在此内积之下的度量矩

??????2阵为 。

9、设R为欧氏空间，则有柯西-施瓦茨不等式： 。

n二、判断题

1．在实线性空间R2中，对于向量

??(x1,x2?)?,y1(y，,定)义2(??,?)x1(y1?x2?y2，那么1)R2构成欧氏空间。( )

n?,an),??b(1b,2?,bn,，)定义2．在n维实线性空间R中，对于向量??(a1,a2,(?,?)?a1b1，则Rn构成欧氏空间。 ( )

3．?1,?2,?,?n是n维欧氏空间V的一组基，(x1,x2,?,xn),(y1,y2,?,yn)与分别是V中的向量?,?在这组基下的坐标，则(?,?)?x1y1?x2y2???xnyn。( )

5．?1,?2,?,?n是n维欧氏空间的一组基，矩阵A?aij正定矩阵。( )

??n?n，其中aij?(?i,?j)，则A是

6．设V是一个欧氏空间，?,??V，并且???，则???与???正交。( ) 7．设V是一个欧氏空间，?,??V,并且(?,?)?0，则?,?线性无关。( ) 8．若?,?都是欧氏空间V的对称变换，则??也是对称变换。( )

三、计算题

1．把向量组?1?(2,?1,0)，?2?(2,0,1)扩充成R3中的一组规范正交基. 2．求正交矩阵T，使T?AT成对角形。

?2?20???A???21?2??0?20???

3、设?1,?2,?3是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为

?1?12????12?1?? ?2?16???（1）令???1??2，证明?是一个单位向量； （2）若???1??2?k?3与?正交，求k

四、证明题

1．设A，B为同级正交矩阵，且A??B，证明：A?B?0．

2．设V是n维欧氏空间，?是V的一个线性变换. 若?关于V的某个规范正交

基的矩阵是反对称矩阵，即AT??A，则?称为V的反对称变换. 证明以下命题等价：

(1) ?是反对称线性变换；

(2) 对任意?,??V，有??(?),??????,?(?)?. 3．设?1,?2,?,?n为n维欧氏空间V的一组基．证明：这组基是规范正交基的充分必要条件是，对V中任意向量?都有

??(?,?1)?1?(?,?2)?2?????,?n??n.

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