运27第3章习题

习题

2.考虑第1题中的线性规划。最优解的值是27，假定约束1的右侧值从10增加到11。 a．用图解法找到新的最优解。

b．用（a）部分的解，确定约束1的对偶价格。

c．第1题线性规划的管理科学家软件的计算机求解显示了下面的右侧值范围信息： 约束条件 最低限制 当前值 最高限制 1 8 10 11.2 2 18 24 30 3 13 16 无最高限制 约束1的右侧值范围信息告诉你关于对偶价格的什么信息？

d．约束2的对偶价格是0.5。利用该对偶价格以及（c）部分的右侧值范围信息，对于约

束2右侧值变化产生的影响，能得出什么结论？

4.考虑第3题的线性规划。最优解的值是48，假定约束1的右侧值从9增加到10。 a．用图解法找出新的最优解。

b．用（a）部分的解，确定约束1的对偶价格。

c．第3题线性规划的管理科学家软件的计算机求解显示了下面的右侧值范围信息： 约束条件 最低限制 当前值 最高限制 1 5 9 11 2 9 10 18 3 无最低限制 18 22 约束1的右侧值范围信息告诉你关于其对偶价格的什么信息？

d．约束2的对偶价格是-3。利用该对偶价格以及（c）部分的右侧值范围信息，对于约束

2右侧值变化产生的影响，能得出什么结论？

6．关于Kelson体育器材公司的问题的计算机输出结果如图3-13所示（参见问题5） Objective Function Value = 3700.00146 Variable Value Reduced Costs R 500.00153 0.00000 C 149.99924 0.00000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 174.99962 0.00000 2 0.00000 2.99999 3 0.00000 28.00006 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit R 4.00000 5.00000 12.00012 C 3.33330 8.00000 10.00000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 725.00037 900.00000 No Upper Limit 2 133.33199 300.00000 400.00000 3 75.00000 100.00000 134.99982 图3-13 使用管理科学家软件对Kelson体育器材公司的问题求解 a. 计算目标函数系数的最优范围。 b. 对这些范围进行解释

c. 解释约束条件右端值部分的可行范围信息

d. 增加20个小时用于包装和运输，最优解的值会提高多少？ 8. 用计算机对问题7求解的结果如图3-14所示。

a.你认为美国石油的每股收益至少要增加多少，才能保证增加对其的投资会使总收益增加 b.你认为哈伯钢铁的每股收益要减少多少，才能保证减少对其的投资会使总收益增加 c.如果美国石油的最大投资量减少到900股，总收益将减少多少？ 10．回忆Innis投资公司的问题（第2章，问题39），设 S=股票市场的买入量 M=货币市场的买入量

问题的模型如下：

Min 8S+ 3M s.t.

50S+100M≤1200000 可投入资金 5S+ 4M≥60000 年收入

M≥3000 货币市场的买入量

Objective Function Value = 3700.00146 Variable Value Reduced Costs U 800.000 0.000 H 1200.000 0.000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 0.093 2 0.000 1.333 3 200.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit U 2.500 3.000 10.000 H 1.500 5.000 6.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 65000.000 80000.000 140000.000 2 400.000 700.000 775.000 3 800.000 1000.000 No Upper Limit 图3-14 使用管理科学家软件对Advisors投资公司的问题求解 用计算机对其求解的结果如图3-15所示。 a. 最优解是什么？最小风险为多少？

b. 具体的指出目标函数系数的最优范围？ c. 投资的年收益是多少？ d. 投资的年收益率是多少？

e. 每个约束条件的对偶价格是多少？ f. 增加可投入资金的边际收益率是多少？

12. Quality空调制造公司生产3种空调：经济型、标准型和高级型。每种空调的利润分别是63美元、95美元和135美元。空调的生产要求如下： 风扇马达数 制冷盘数 生产时间（小时） 经济型 1 1 8 标准型 1 2 12 高级型 1 4 14 对于即将来到的生产期，公司拥有的资源是风扇马达200个、制冷盘320个和生产时间2400小时。那么经济型（F）、标准型（S）和高级型（D）产品各生产多少才能使总利润最大？ 问题的模型如下：

Max 63E+95S+135D s.t.

1E+1S+ 1D≤200 风扇马达

1E+2S+ 4D≤320 制冷盘 8E+12S+ 14D≤2400 生产时间 E,S,D≥0 Objective Function Value = 62000.000 Variable Value Reduced Costs S 4000.000 0.000 M 10 000.000 0.000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 0.057 2 0.000 -2.167 3 7000.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit S 3.750 8.000 No upper Limit M No Lower Limit 3.000 6.400 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 780000.000 1200000.000 1500000.000 2 4800.000 60000.000 102000.000 3 No Lower Limit 3000.000 10000.000 图3-15 使用管理科学家软件对Innis投资公司的问题求解 用计算机对其求解的结果如图3-16所示。 a. 最优解是什么？目标函数值为多少？ b. 哪些约束条件是束缚性的？

c. 哪些约束条件有剩余？剩余多少？

d. 如果高级型产品的利润增加到每个150美元，最优解将如何变化？用图3-16所示的信息回答这些问题。

14．数字控制公司（DCI）生产两种型号的雷达枪，可供警察监控汽车车速。A型雷达枪可以精确到每小时1公里，，小一点的B型可以精确到每小时3公里。公司已经接到了100支A型和150支B型的订单，要求下周生产出来。公司已经买来了生产这两种产品的电子设备，但雷达枪出厂还需要塑料箱，而箱子是由DCI公司在新泽西纽瓦克的工厂生产的。A型塑料箱需要4分钟注型，6分钟成型；B型塑料箱需要3分钟注型，8分钟成型。下一周纽瓦克的工厂有600分钟的注型时间，1080分钟的成型时间。A型塑料箱的生产成本是10美元，B型塑料箱的生产成本是6美元。为了满足客户的需求，除了公司自己生产外，公司还可以从其他厂家购买一些塑料箱。购买的费用是A型14美元，B型9美元。公司希望建立一个生产模型以决定每种塑料箱生产多少，外购多少。 用于建立模型的决策变量是：

AM——A型塑料箱的生产量 BM——B型塑料箱的生产量 AP——A型塑料箱的购买量 BP——B型塑料箱的购买量

图3-16 使用管理科学家软件对Quality空调制造公司的问题求解

Objective Function Value= 16440.000 Variable Value Reduced Costs E 80.000 0.000 S 120.000 0.000 D 0.000 24.000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 31.000 2 0.000 32.000 3 320.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit E 47.500 63.000 75.000 S 87.000 95.000 126.000 D No Lower Limit 135.000 159.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 160.000 200.000 280.000 2 200.000 320.000 400.000 3 2080.000 240.000 No Upper Limit 问题的模型如下：

min 10AM+6BM+14AP+9BP s. t.

1AM+ +1AP+ = 100 A型塑料箱的需求 1BM+ 1BP = 150 B型塑料箱的需求 4AM+3BM ≤600 注型时间 6AM+8BM ≤1080 成型时间 AM，BM，AP，BP≥A0 用计算机对其求解的结果如图3-17所示。 a. 最优解是什么？目标函数的最优值为多少？ b. 哪些约束条件是束缚性的？

c. 每个约束条件的对偶价格是多少？请解释。

d. 如果只有一个约束条件的右端值可以改变一个单位，你会选择哪一个？为什么？ 16.Tucker公司为男士生产高质量的西服和运动外套。每套西服需要剪裁时间1.2小时，缝纫时间0.7小时，使用6码布料，能够产生190美元利润。每套运动外套需要剪裁时间0.8小时，缝纫时间0.6小时，使用4码布料，能够产生150美元利润。在接下来的一周，有200小时剪裁时间，180小时缝纫时间以及1200码布料可以使用。通过加班也可以增加剪裁时间和缝纫时间。剪裁部门加班将使每小时成本增加15美元，缝纫部门加班将使每小时成本增加10美元。最多可以安排100小时的加班。市场需求表明至少要生成100套西服和75套运动外套。设

S-----西服的生产量；

SC-----运动外套的生产量； D1-----剪裁部门的加班时间； D2-----缝纫部门的加班时间。 Objective Function Value= 2170.000 Variable Value Reduced Costs AM 100.000 0.000 BM 60.000 0.000 AP 0.000 1.750 BP 90.000 0.000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 -12.250 2 0.000 -9.000 3 20.000 0.000 4 0.000 0.375 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit AM No Lower Limit 10.000 11.750 BM 3.667 6.000 9.000 AP 12.250 14.000 No Upper Limit BP 6.000 9.000 11.333 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 0.000 100.000 111.429 2 60.000 150.000 No Upper Limit 3 580.000 600.000 No Upper Limit 4 600.000 1080.000 1133.333 图3-17 使用管理科学家软件对数字控制公司的问题求解

使用管理科学家软件对Tucker公司的问题求解结果如图3-18所示。 a. 最优解是什么？总利润是多少？怎样安排加班计划？

b. 如果涨价使每套西服得利润增加到210美元。如果涨价可为顾客接受，则最优解会有

什么变化？

c. 讨论在接下来的一周布料的额外需求。如果在增加单位成本8美元的基础上可以加急

订购布料，你会建议公司考虑订购额外的布料吗？在订购额外布料的情况下，公司愿意支付的最高订购价格是多少？需要额外订购多少布料？

d. 假设西服的需求约束从100套降到75套，这个变化会使公司利润增加还是减少？请

解释。

18.Davison电力公司制造两类LCD电视监控器，用模型A和模型Ｂ标示。当在Davison的新生产线上进行生产时，每一种模型都有它的最低可能生产成本。然而，这个新生产线并没

有能力来应对两种模型的总生产量。于是，至少生产量的一部分必须由更高成本的旧生产线来完成。下面的表显示了下个月的最低生产需求，每个月的生产线能力，以及每条生产线每单位的生产成本。 模型 A B 生产线能力 每单位的生产成本 新生产线 30美元 25美元 80000 旧生产线 50美元 40美元 60000 最低生产需求 50000 70000 令 AN=在新生产线上生产模型A的单位数 AO=在旧生产线上生产模型A的单位数 Objective Function Value= 40900.000 Variable Value Reduced Costs S 100.000 0.000 SC 150.000 0.000 D1 40.000 0.000 D2 0.000 10.000

Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 15.000 2 20.000 0.000 3 0.000 34.500 4 60.000 0.000 5 0.000 -35.000 6 75.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit S No Lower Limit 190.000 225.000 SC 126.667 150.000 N0 Upper Limit D1 -187.500 -15.000 0.000 D2 No Lower Limit -10.000 0.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 140.000 200.000 240.000 2 160.000 180.000 No Upper Limit 3 1000.000 1200.000 1333.333 4 40.000 100.000 No Upper Limit 5 0.000 100.000 150.000 6 No Upper Limit 75.000 150.000 图3-18 使用管理科学家软件对Tucker公司的问题求解

BN=在新生产线上生产模型B的单位数 B0=在旧生产线上生产模型B的单位数 Davison的目标是确定一个最低成本生产计划。用管理科学家获得的计算机解如图3-19所示。 a. 利用下面4个约束条件，为这个问题建立一个线性规划模型：

约束1：模型A的最小生成量 约束2：模型B的最小生产量 约束3：新生产线的生产能力 约束4：旧生产线的生产能力

b. 根据图3-19所示的管理科学家解，最优解是什么？与该解对应的总生产成本是多少？ c. 哪个约束条件是有效的？请解释。

d. 生产管理者注意到对偶价格为正的仅有约束是关于新生产线生产能力的约束。管理者对

对偶价格的解释是，该约束的右侧值每增加一单位，将引起总生产成本实际增加15美元。你同意该解释吗？增加新生产线生产能力是可取的吗？请解释。 e. 你会建议增加旧生产线的生产能力吗？请解释。

f. 在就生产线上生产每单位模型A的成本是50美元。为了使得在旧生产线上生产模型A

有利可图，这个成本必须变化多少？请解释。

g. 假设模型B的最低生产需求从70000个单位降至60000个单位。这种改变对总生产成本

会产生什么影响？请解释。 OPTIMAL SOLUTION Objective Function Value= 3850000.000 Variable Value Reduced Costs AN 50000.000 0.000 AO 0.000 5.000 BN 30000.000 0.000 BO 40000.000 0.000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices 1 0.000 -45.000 2 0.000 -40.000 3 0.000 15.000 4 20000.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit AN -15.000 30.000 35.000 AO 45.000 50.000 No Upper Limit BN 20.000 25.000 40.000 BO 25.000 40.000 45.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 10000.000 50000.000 70000.000 2 30000.000 70000.000 90000.000 3 60000.000 80000.000 120000.000 4 40000.000 60000.000 No Upper Limit 图3-19 Davison电力公司问题的管理科学家解释

20.Adirondack储蓄银行有100万美元的新资金可用于家庭贷款、个人信贷和汽车贷款。这3种贷款的年收益率分别是7%、12%和9%。该银行规划委员会决定至少要将这笔新贷款的40%用于家庭贷款。除此之外，规划委员会还强调分配给个人信贷的款额不能超过汽车贷款的60%。

a. 为了使年收益最大化，请构造一个线性规划模型用于决定ASB怎样将这笔新贷款项分配给不同类型的贷款？

b.每种贷款类型应分配多少款额？总的年收益是多少？平均年收益是多少？

c.如果家庭贷款的利率增加到9%，那么每种贷款类型的款额将会变化多少？加以解释。 d.如果这笔可用的资金额增加了10000美元，那么这个变化将会对年收益有什么影响？加以解释。

e.仍假设ASB有100万美元的可用资金，但规划委员会同意将分配到家庭贷款的款额比例由至少40%放松到至少39%，那么总的年收益将会变化多少？平均年收益率又将会怎样变化？

22.工业设计公司最近签了一份新合同，为湖光酿酒公司生产的新葡萄酒设计一个商标。公司估计完成这项工作需要150小时。现在公司可以调用3位图形设计人员：Lisa，高级设计师，设计组组长；David，高级设计师；Sarah,中级设计师。因为Lisa与湖光酿酒公司有过几次工作接触，所以公司要求分给Lisa的工作时间至少是其他两个设计师总共作时间的40%。为了提高Sarah的设计经验，公司要求他至少要承担总设计时间的15%，但是他的工作时间又不能超过其他两个高级设计师总工作时间的25%。由于还有其他的工作任务，Lisa最多可以工作50个小时。Lisa 、David 和Sarah的报酬分别是每小时30美元、25美元和18美元。

a. 建立一个数学模型，用来决定每个设计人员各应该分配多少时间才会使工作总成本最小。

b. 对模型求解，求出最优解和在此情况下的最小工作总成本。

c. 假设Lisa可工作时间多于50小时，那么对最优解会产生什么影响？为什么？ d.假设Sarah没有最低工作时间限制，对最优解会产生什么影响？为什么？

24.国家保险联合会对股票、证券等领域进行投资。现在有一笔200000美元的资金需要将其投资于股票市场。拟投资的股票以及相应的财务数据如下： 每股价格（美元） 年收益率 单位美元投资风险指数 股 票 A B C D 100 50 80 40 0.12 0.08 0.06 0.10 0.10 0.07 0.05 0.08

风险指数是衡量股票年预计年收益的相对不确定性的，数值越高，风险越大。风险指数是公司的高级财务顾问制定的。

国家保险联合会的高级管理层制定了以下的投资方针：总的年收益率至少为9%，任何一种股票投资人资金量都不可以超过总资金量的50%. a. 建立一个线性规划模型来确定风险最小的投资组合。

b. 如果公司忽略风险，以最大年收益率作为投资目标，那么应该如何投资？

c. (a)和(b)部分的投资组合在投资金额上相差多少美元?为什么公司可能会更偏好(a)部

分的选择？

26.Benson电子制造公司生产3种手机部件以及其他的通用器材。在最近的一段生产时间中，对这3重手机部件的需求可能会大于生产能力。在这种情况下，公司就必须以相对较高的价格购买其他公司的产品以满足需求。以下是公司买入单位产品的价格和制造单位产品的成本（单位：美元）：

来源 部件1 部件2 部件3

制造 4.50 5.00 2.75 购买 6.50 8.80 7.00

Benson公司3个部门的生产时间如下（单位：分钟）：

部门 部件1 部件2 部件3 生产 2 3 4 装配 1 1.5 3 检查与包装 1.5 2 5

例如，公司生产每个部件1需要2分钟，装配每个部件1需要1分钟，检查与包装每个部件需要1.5分钟。在下一个生产时段里，生产部有360小时的工作时间、250小时的装配时间和300小时的检查与包装时间。

a. 建立一个线性规划模型，以决定每个部件应该生产多少件，应该买入多少件，以使总生

产成本最小。假设公司必须生产6000件部件1、14000件部件2和3500件部件3。 b. 模型的最优解是什么？每种部件应该生产多少？买入多少？

c. 哪个部门限制了公司的产量？使用对偶价格分析每个部门增加1小时的工作时间会对最

优解产生什么影响。

d. 假设公司不得不多生产一件部件2。根据其对对偶价格讨论增加的这件部件2会使成本

增加多少？

28. Pfeiffer公司为其客户管理大约1500万美元的资金。对于每一位客户，公司都将其资金分给3 个方面投资：股票成长基金、收入基金和货币市场基金。不同客户有不同的投资目标和风险承受能力。为了应对这种情况，公司对风险承受指数不同的人规定了相应的投资限制。

我们现在来看一下公司的服务过程。丹尼尔·哈特曼是Pfeiffer公司的一个客户，公司首先计算出他的风险承受指数是0.05。为了使投资多元化，哈特曼的投资计划中至少包括10%的股票成长基金，10%的收益基金和20%的货币市场基金。 这3种基金的风险指数分别是0.10、0.05和0.01，而投资的风险指数是各项投资所占总投资的百分率与其风险指数乘积的代数和。哈特曼现在将300000美元交给Pfeiffer公司管理。公司预测，股票基金的收益率是20%，收益基金的收益率是10%，货币市场基金的收益率6%。 a. 建立线性规划模型，为哈特曼找出最佳的投资组合计划。 b. 对（a）中的模型求解。

c. 这3种基金的收益率至少得变化多少才能使哈特曼修改投资计划？

d. 如果哈特曼的风险承受能力更强，收益会增加多少？比如哈特曼的风险承受指数为

0.06。

e. 如果Pfeiffer公司将股票基金的收益率降为0.10，你认为哈特曼应该改变他的投资计划

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