三角函数专题 高三数学二轮复习资料

南京市高三数学二轮专题复习讲义

第一课时

高三数学二轮复习资料

三角函数专题

1

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例1.已知sin2??)，求cos?的值。 23??3?解：因为? ????，所以??2????，4225，(?4????所以cos2??1?sin233??2???45，又因为?3?4?????2 ，所以cos???1?cos2?2??1010。

1?tanx，)，求的值。

413441?tanx?5?3???，且x?(，)，所以?x???，解：因为sin(?x)?

4134424例2.已知sin(??x)?5，且x?(?3?所以cos(?4?x)??1213， ?tanxπ4?tan(tanx所以1?tanx1?tanxtan?π4π4?x)?cot(π4?x)??125。

1?tan

例3.已知sin??cos??解：因为sin??cos??2323，??(0，?)，求sin?、cos?及sin??cos?的值。 ?(1)平方得sin?cos???518，又因为??(0，?)，

33所以sin??0?cos?，由此可解得332sin??2?614，cos??22?614， 2327sin??cos??(sin??cos?)(sin??sin?cos??cos?)???。

例4.已知cos(?4??)?35，?23?24?????2，求cos(2??7253?4,因为?3?2?4)的值。

解：cos2(??且cos(?4)?2cos(35?0，????)?1??????????2， 45，

?4??)?7?4?4??，从而sin(??2425，

?4)?所以sin2(???4)?2sin(???4)cos(???4)?2

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cos(2???4)?cos[2(???4)??4]?22[cos2(???4)?sin2(???4)]????31502。

备用题1.

22求tan?的值。 已知sin?(1?cot?)?cos?(1?tan?)?2，??(0，2?)。解：由已知sin2?(1?cot?)?cos2?(1?tan?)?2，??(0，2?)得 即 sin??sin?cot??cos??cos?tan??2， sin?cot??cos?tan??sin??cos?，两边同时除以cos2?得tan2??2tan??1?0，?tan??1。 (本题也可以进行切割化弦，进而求tan?的值。)

备用题2.

已知0??????90?，且sin?,sin?是方程x?(2cos40?)x?cos40??22222222212?0的两根，求cos(2???)的值。

解：由题设知，

sin??sin?，因为方程的??2cos240??4(cos240??12)?2sin240?，

由求根公式，

sin??22(cos40??sin40?)?sin(45??40?)?sin5?，又0????90?，所以??5?，

22sin??(cos40??sin40?)?sin(45??40?)?sin85?，又0????90?，所以??85?，

6?43

所以cos(2???)?cos(?75?)?cos75??2。

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作业1.已知0???解：因为cos??又因为0???35?2????，cos??35，sin(???)?5132，求sin?和cos?的值。

45，0????2，所以sin??1?cos?? ，513?2????，所以2?2?????3?21213，因为sin(???)? ?0，所以cos(???)??1?sin(???)?? ，1665cos??cos[(???)??]?cos(???)cos??sin(???)sin????? 。作业2.已知tan??2，求cos(解：cos(π22?2?2?)?cos2?的值。

22?2α)?cos2α?sin2α?cos2α?cosα?2sinαcosα?sinα

?cosα?2sαin2αco?ssiαn22cosα?αsin??1α2?tanα?1tαan22tan ???。15

作业3.

若sin?，cos?是方程2x?(3?1)x?m?0的两根，求2sin?1?cot?2?cos?1?tan?2的值。

解：

sin?1?cot??cos?1?tan??sin?sin??cos?2?cos?cos??sin?2?sin??cos?sin??cos?

?? ?sin??cos3?12。

作业4.已知cos(??求：(1)cos?2)??277，sin(?2??)?12，且?2????，0????2，

???2π2的值；(2)tan(???)的值。

π2，所以π4?α?β2?π，?π4?α2?β?π22解：(1)因为?α?π，0?β?，

所以sin(???2)?1?cos(??2?2)?2174

，cos(?2??)?1?sin(?2??)?32，

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又因为???2???2?(???2)?(?2 ??)，?2??)]?cos(??所以cos?cos[(???2)?(?2)cos(?2??)?sin(???2)sin(?2??) ????2114 。(2)因为?4????2?3?4，所以sin???2?1?cos2???2?5714，

所以tan???2????5332tan，tan(???)?1?tan???22???2???5311 。

第二课时 例1．已知tanα?17，tanβ?13，且α，β为锐角，试求α?2β的值。

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解：tanα?π417<1，tanβ?π413且α，β为锐角，所以 <1，3π4，tan2β?0?α?，0?β?，0?α?2β?2tanβ1?tanβπ42?34 ，tan(α?2β)?tanα?tan2β1?tanα?tan2β???1，所以α?2β?2(3?cos4x)1?cos4x44。

例2．求证：tan2x?cot2x?sinxcosx22。

(sinx?cosx)?2sinxcosx14sin2x222222证明：左边=?cosxsinx22?sinx?cosxsinxcosx22?

1?12sin2x?2 ?8?4sin2x1?cos4x2(1?cos4x)82(3?cosx4) ?=右边，原式得证。

1?cosx41?4?4cos2x1?cos4x2?4?2(1?cos4x)1?cos4x

例3．求函数y?1?sinx?cosx?(sinx?cosx)2的值域。 解：设t?sinx?cosx?2sin(x?π4)?[?2，2]，则原函数可化为

1232y?t?t?1?(t?)?，因为t?[?2，2]，所以

2413当t?2时，ymax?3?2，当t??时，ymin?，

243?所以，函数的值域为y?[，432]。

例4．已知y?asinx?b的最大值为3，最小值为－１，求a，b的值。

?a?b?3?a?2??a?b?3得?得，当a?0时，由??a?b??1b?1a?b??1????a??2， ?b?1?解：当a?0时，由?所以，a??2，b?1。 备用题1．已知tan(α?β)?12，tanβ??17，且α，β?(0，π)，求2α?β的值。

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解：tan(2α?β)?tan[2(α?β)?β]?tan2(α?β)?tanβ1?tan2(α?β)?tanβ， 14又tan2(α?β)?2tan(α?β)1?tan(α?β)2???43，tan(2α?β)?7?1， 411??37133?而tanα?tan[(α?β)?β]?π417tan(α?β)?tanβ1?tan(α?β)?tanβπ2???，α，β?(0，π)，所以

3π40?α?，所以tanβ??，所以?β?π，?π?2α?β?0，所以2α?β??。

备用题2．已知2tan2β?tanα?tanβ，求证：|tan(α?β)|?1。 证明：2tan2β?tanα?tanβ，所以

4tanβ1?tanβ2tanα?2tan2β?tanβ??tanβ?tanβ(3?tanβ)1-tanβ222 ，tanβ(3?tanβ)所以，tan(α?β)?tanα?tanβ1?tanα?tanβ?1?1-tanβ22?tanβ??tanβ2tanβ(1?tanβ)(1?tanβ)222tanβ(3?tanβ)1-tanβ2

?2tanβ1?tanβ22?1?sinβcosβsinβcosβ22?sinβ2

又|sin2β|?1，所以|tan(α?β)|?1。

3sin2α?2sin2β?0，作业1．已知α，β都是锐角，且3sinα?2sinβ?1，求α?2β。

22解：由题意，3sinα?cos2β，sin2α?sin2β，

223所以cos(α?2β)?cosαcos2β?sinαsin2β?cosα3sinα?sinα232sin2α

7

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2?cosα3sinα?3sinαsinαcosα?0，又因为α，β都是锐角，所以0?α?2β?3π2，

所以，α?2β?

π2。(也可以用sin(α?2β)、tan(α?2β)来求)

作业2．求函数y?sinx?cosx?sinxcosx的值域。

π4解：设t?sinx?cosx?2sin(x?)?[?2，2]，则sinxcosx?1?t22，

原函数可化为y??t22?t?12??12(t?1)?1

12122当t=1时，ymax?1，当t??2时，ymin??

作业3．求函数f(x)?解：f(x)?3sinx?1sinx?23sinx?1sinx?2?3?7sinx?27?1?2?2，所以，函数值域为y?[??2，1]。

的最大值与最小值。

，当sinx?1时，f(x)max?3???4。

71?2?23，

当sinx??1时，f(x)min?3?

作业4．求证：证明： ?sinβsinα?sin(2α?β)sinα?2cos(α?β)。

sin[(α?β)?α]?2cos(α?β)sinαsinαα)sinα?βsinα[?(??siαn)βsin(2α?β)sinαsinα(?β?2cos(α?β)?)cαo?ssinα

]sinαco?sβ(sαin，

所以，左边=右边，原式得证。

第三课时

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例1．求函数f(x)?53cos2x?单调区间。

解：f(x)?53cos2x? ?3π43sinx?4sinxcosx(2π4?x?7π24并求其)的最小值，

3sinx?4sinxcosx(2π43cxos?2π42π4?x?37π24)

)3?2sinx2?7π24π3π6?3π (2x4s?in3因为?x?，所以

π4?2x?7π?，所以sin(2x?π12)?[，]， 322所以，当2x?24ππ7ππ7π因为y?sin(2x?)在[，]是单调递增的，所以f(x)在[，]上单调递增。

3424424?即x?，时，f(x)的最小值为33?22，

例2．已知函数f(x)?4sin2x?2sin2x?2，x?R。 (1) 求f(x)的最小正周期、f(x)的最大值及此时x的集合； (2) 证明：函数f(x)的图像关于直线x??π8对称。

解：f(x)?4sin2x?2sin2x?2?2sinx?2(1?2sin2x) ?2sinx2?2coxs?22π2xsi?n( 24)(1)所以f(x)的最小正周期T?π，因为x?R， 所以，当2x?π4?2kπ?π2，即x?kπ?3π8时，f(x)最大值为22；

π8(2)证明：欲证明函数f(x)的图像关于直线x??f(?π8?x)?f(?π8π8π8π8?x)成立，

π8π8?x)??x)?π4对称，只要证明对任意x?R，有

因为f(?f(??x)?22sin[2(??x)?22sin[2(??x)?f(?π8]?22sin(?]?22sin(?π2π2?2x)??22cos2x， ?2x)??22cos2x，

π8π4所以f(??x)成立，从而函数f(x)的图像关于直线x??对称。

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例3．已知函数f(x)?2cos2x?值范围。

解：f(x)?2cos2x?因为x?[0，]，所以

2ππ6π3sin2x?a，若x?[0，]，且|f(x)|?4，求a的取

2π63sin2x?a?1?cos2x??2x?π6?7π63sin2x?a?2sin(2x??sin(2x?π6)?1，

)?a?1，

，所以?12所以a?f(x)?a?3，而|f(x)|?4，即?4?f(x)?4，

?a??4?a?3?4所以，?，解得：?4?a?1，所以a的取值范围是(?4，1)。

π3例4．已知函数f(x)?2cosxsin(x?(1) 求f(x)的最小正周期；

)?3sinx?sinxcosx。

2(2) 求f(x)的最小值及取得最小值时相应的x值； (3) 若当x?[7π，]时，求f1212π3π?1(1)的值。

3sinx?sinxcosx

2解：f(x)?2cosxsin(x? ?cosxsinx?2? ?sinx)?23cosx?3coxs?23sinx?sinxcosx π2sxin?(2

3)2(1) 由上可知，f(x)得最小正周期为T?π； (2) 当2x?π3?2kπ?ππ2，即x?kπ?5π12，k?Z时，f(x)得最小值为－2；

(3) 因为x?[7πππ3ππ，]，所以?2x??，令2sin(2x?)?1， 12122323ππ?1所以x?，所以f(1)?。

44x3x3x3

备用题1．已知函数f(x)?sincos?3cos2。

(1) 将f(x)写成含Asin(ωx?φ)(ω?0，0<φ?π)的形式，并求其对称中心；

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(2) 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及此

时函数f(x)的值域。

122x3322x3322x3π3322

解：(1) f(x)?sin?cos??sin(?)?，

令

2x3?π3?kπ，k?Z得x?3k?122π，(k?Z)，即对称中心为(3k?12π，32)，k?Z

(2)由b=ac，cosx?2

a?c?b2ac3222?2ac?ac2ac2x3π3?12，所以

12?cosx?1，即0?x?π3，此

时

π3?2x3?π3?5π9，所以?sin(?)?1，

所以3?sin(2x3?π3)?32?1?32，即f(x)值域为(3，1+32]。

备用题2．已知函数y?sin2x?2sinxcosx?3cos2x，x?R，求 (1) 当x为何值时，函数有最大值？最大值为多少？ (2) 求将函数的图像按向量a?(?奇偶性。

解：(1)y?sinx?2sinxcosx?3cosx=?=当2x??π4?2kπ，即x?kπ?π8π822?π8，?2)平移后得到的函数解析式，并判断平移后函数的

2sin(2x?π4)?2，

时，ymax?2?2；

π4)?2的图像向左平移

π8(2)按a?(?，?2)平移，即将函数y?=2sin(2x?单位，再

向下平移2个单位得到所求函数的图像，所以得到解析式为

y?=2sin[2(x?π8)?π4]?2?2?2sin(2x?π2)?2cos2x，

由2cos2(?x)?2cos2x，所以平移后函数为偶函数。

作业1．已知函数y?且当x?π63sinωxcosωx?cosωx+232，(x?R，ω?R)的最小正周期为π，

时，函数有最小值，(1)求f(x) 的解析式；(2)求f(x)的单调递增区间。

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解：(1)y?3sinωxcosωx?cosωx+π6232?32sin2ωx?12(1?cos2ωx)?32

?sin(ω2x?ω??1， ?)，由题意1πππ)?1，f()?sin?1，不是最小值。 666πππ当ω??1时，f(x)?sin(?2x?)?1，f()??sin?1，是最小值。

662当ω?1时，f(x)?sin(2x?所以f(x)?sin(?2x?(2)当即

π6π2?2kπ?2x?2π3π6π6?)?1??sin(2x?3π2?2kπ，

π6)?1；

?kπ?x??kπ，k?Z时，函数单调递增。

作业2．已知定义在R上的函数f(x)?asinωx?bcosωx，(a?0，b?0，ω?0)的最小正周期为π，f(x)?2，f()?4π3。(1)写出函数f(x) 的解析式；(2)写出函数f(x) 的

单调递增区间；(3)说明f(x)的图像如何由函数y?2sinx的图像变换而来。 解：(1) f(x)?asinωx?bcosωx?a?bsin(ωx?φ)，tanφ?22ba，由题意，

ππ22ω?2，a?b?2，f(x)?2sin(2x?φ)，代入f()?3，有2sin(2??φ)?3，

44ππ所以φ?,即f(x)?2sin(2x?)；

66πππππ(2) 当??2kπ?2x???2kπ，即x?[kπ?，kπ?]，k?Z，函数单调增；

26236π(3) 将函数y?2sinx的图像向左平移单位，再将得到的函数图像上所有的点的纵坐标

61不变，横坐标缩短到原来的倍，可得到函数f(x)的图像。

2作业3．已知2α?β?π，求y?cosβ?6sinα的最值。 解：因为2α?β?π，即β?π?2α，原函数化为

y?cos(π?2α)?6sinα?2sinα?6sinα?1?2(sinα?12

232)?2112，

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当sinα??1时，ymax?7，当sinα?1时，ymin??5。

32作业4．就三角函数f(x)?sinxcosx?除定义域外，请再写出三条。 解：f(x)?sinxcosx?32(sinx?cosx)(sinx?cosx)，x?R的性质，

(sinx?cosx)(sinx?cosx)???sin(2x?π3)

a. 奇偶性：非奇非偶函数； b. 单调性：在[kπ? 在[kπ?π125π12，kπ?，kπ?5π1211π12]，k?Z上为单调增函数， ]，k?Z上为单调减函数；

c. 周期性：最小正周期T?π； d. 值域与最值：值域[?1，1]，当x?kπ?，k?Z时，f(x)取最小值?1，

125π，k?Z时，f(x)取最大值1； 当x?kπ?12πe.对称性：对称轴x?kπ2?5π12，(k?Z)，对称中心(kπ2?π6，0)，(k?Z)。

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第四课时

例1．在?ABC中，角A、B、C满足的方程x2?cosAcosBx?2sin2为两根之积的一半，试判断?ABC的形状。

2解：由条件可知，cosAcosB?sinC2?0的两根之和

C2oscosA，即2c1Bcos??C，因为A?B?C?π，

As?iBn，所以

所以2cAosB?co?s，A1?cB即coAscB?osA=B，即?ABC为等腰三角形。 coAs?(B?，所以) 例

22．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若

22a?c?b?ac，且a:c?(3?1):2，求角C的值。

解：a?c?b?ac，所以cosB?又

asinAcsinC222a?c?b2ac222?12，所以B?2π3π3，所以A?C?2π3，

?，所以2sinA?(3?1)sinC，即2sin(π4?C)?(3?1)sinC，

得tanC?1，所以C?

。

例3．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且(1)求sinB的值；

(2)若b?42，且a=c，求?ABC的面积。 解：(1)由正弦定理及

cosCcosB?3a?cbcosCcosB?3a?cb，

，有

cosCcosB?3sinA?sinCsinB，

即sinBcosC?3sinAcosB?sinCcosB，所以sin(B?C)?3sinAcosB，

又因为A?B?C?π，sin(B?C)?sinA，所以sinA?3sinAcosB，因为sinA?0，

13所以cosB?，又0?B?π，所以sinB?221?cosB?2223。

(2)在?ABC中，由余弦定理可得a?c?23ac?32，又a?c，

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所以有

S?1243a?32，即a?24，所以?ABC的面积为

12asinB?82。

222acsinB?

coscosA例4．在?ABC中，A、B、C满足A:B:C?1:2:2，求1?cosA?cosB?值。

解：由A:B:C?1:2:2，且A?B?C?π，所以A?36?，B?C?72?，

B的

1?cosA?cosB?cosAcosB?(1?cosB)?cosA(1?cosB)?(1?cosB)(1?cosA) ?2cos2B22sin2A2?(2cos36?sin18?)

?cos36?sin36?cos18?14?sin72?2cos18??1222cos36?sin18??2cos36?sin18?cos18?cos18?12，

所以1?cosA?cosB?cosAcosB?()?2。

备用题1．在?ABC中，A、B、C满足cosB?sinCcosA?0， (1)用tanA表示tanC； (2)求角B的取值范围。

解：(1) 因为A?B?C?π，所以cosB??cos(A?C)，由cosB?sinCcosA?0， cosC?0， 得?cosAcosC?sinAsinC?sinCcosA?0?(1)，易知cosA?0，若cosA?0，则cosB?0，所以A?B?π2，不合题意，

若cosC?0，则sinC?1，所以cosB??cosA?cos(π?A),A?B?π，不合题意，

tanC?对(1)式两边同除以cosAcosC得，?1?tanAtanC?tanA?0，11?tanA；

(2)因为C为?ABC的一个内角，所以sinC?0，则由cosB?sinCcosA?0，

cosB?0，则A为钝角，B为锐角，此时 cosA异号，若cosA?0，知cosB、cosB??sinCcosA??cosA?cos(π?A)，因为B?π?A，A?B?π，不合题意；

cosA?0，则B为钝角， A为锐角， 若cosB?0，则tanB??tan(A?C)??tanA?tanC1?tanAtanCπ2????(tanA?tanA?1)，因为A为锐角，?B?3π42所以tanA?0，所以tanB??1，所以。

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备用题2．已知A、B、C是?ABC的三个内角，y?tanA2?2，若任意

AB?Csin?cos22A2π2B?C22cosA交换两个角的位置，y的值是否变化？证明你的结论。

证明：因为A、B、C是?ABC的三个内角，A?B?C?π，所以

2cosA2sinB?C??，

y?tanA2?A22 ?tan?AB?CB?CB?C2sin?coscos?cos22222(sinB2cosC?cosBsinC)ABC222， ?tan??tan?tan?tanBC22222coscos22因此任意交换两个角的位置，y的值不变。

cosBb??作业1．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且， cosC2a?cA(1) 求角B的大小；(2)若b?13，a?c?4，求a的值。 解：(1)由正弦定理，条件

cosBcosC??b2a?c可化成

cosBcosC??sinB2sinA?sinC，

即2sinAcosB?sinCcosB?cosCsinB?0，得2sinAcosB+sin(B?C)?0， 因为A?B?C?π，所以sin(B?C)?sinA，所以2sinAcosB?sinA?0， 因为sinA?0，所以cosB??12，B为三角形内角，所以B?2π3；

(也可以用余弦定理进行角化边完成)

(2)将b?13，a?c?4，B?222π3代入余弦定理b?a?c?2accosB，得 ，整理得a?4a?3?0，解得a?1或a?3。

222213?a?(4?a)?2a(4?a)cos2π3

作业2．在?ABC中，tanA?tanB?三角形形状。

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3?3tanAtanB，且sinAcosA?34，判断

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解：因为sinAcosA?又因为tanA?tanB?34，则sin2A?32，则A?30?或60?，

tanA?tanB1?tanAtanB??3，

3?3tanAtanB，所以tan(A?B)?所以A?B?120?，若A?30?，则B?90?，tanB无意义， 所以A?60?，B?60?，三角形为正三角形。

作业3．在?ABC中，已知A、B、C成等差数列，求tan值。

解：因为A、B、C成等差数列，则A?C?120?，B?60?，tan(tanA2?tanC2?3tanA2tanC2?tan(A2?C2)(1?tanA2tanC2A2?C2)?A23，所以 tanC2?3。

A2?tanC2?3tanA2tanC2的

)?3tan作业4．在?ABC中，sinA?cosA??ABC面积。

22，AC?2，AB?3，求tanA的值和三角形

解：由sinA?cosA?所以tanA?tan7π127π1222，得sin(A?π3π4π4)?12，因为0?A?π，A?3)，又因为

π4?5π6，A?7π12，

?tan(?)????(2?sinA?sin?sin(π3?π4)???6?46?42，

S?ABC?12AC?ABsinA?12?2?3?2?3(6?42)

17

南京市高三数学二轮专题复习讲义

第五课时

?25???例1．已知向量a?(cosα，， sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a?b|?5(1)求cos(α?β)的值；(2)若0?α?π2，?π2?β?0，且sinβ??513，求sinα的值。

??解：(1)因为a?(cosα， sinα)，b=(cosβ，sinβ)，??所以a?b?(cosα?cosβ， sinα?sinβ)，2525??又因为|a?b|?，所以(cosα?cosβ)2?(sinα?sinβ)2?，

55即2?2cos(α?β)?(2) 0?α?π2，?π245，cos(α?β)?35；

?β?0，0?α?β?π， 35又因为cos(α?β)?sinβ??513，所以 sin(α?β)?121345，

6365，所以cosβ?，所以sinα?sin[(α?β)?β]???。

?????2例2．已知向量a?(2cosα，2sinα)，b=(?sinα， cosα)，x?a?(t?3)b，?????y??ka?b，且x?y?0，

(1)求函数k?f(t)的表达式；

(2)若t?[?1，3]，求f(t)的最大值与最小值。 ????2??2解：(1)a?4，b?1，a?b?0，又x?y?0，

22222所以x?y?[a?(t?3)b]?(?ka?b)??ka?(t?3)b?[t?k(t?3)]a?b?0，

??????????所以k?14t?334t，即k?f(t)?34t?214t?334t；

(2)由(1)可得，令f(t)导数

34?0，解得t??1，列表如下：

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南京市高三数学二轮专题复习讲义

t f(t)导数 f(t) －1 0 极大值 12，f(3)?9(－1，1) － 递减 所以f(t)max?，1 0 极小值 92，f(t)min??(1，3) + 递增 12而f(?1)?122??例3．已知向量a?(m，n，)b?(coωxs，，f(1)??。

ωsxin，其中m，n，ω是常数，且

π??时，函数取得最大值1。 ω?0，x?R，函数y?f(x)?a?b的周期为π，当x?12(1)求函数y?f(x)的解析式； (2)写出y?f(x)的对称轴，并证明之。

??解：(1) f(x)?a?b?mcosωx?nsinωx?2m?nsin(ωx?φ)，(tanφ?222nm)，

由周期为π且最大值为1，所以ω?2，m?n?1，由f(所以f(x)?sin(2x?(2)由(1)知，令2x?f[2(kπ2?π12π3π3)；

π2π6π12)?1，得φ=π3，

?kπ?，(k?Z)，解得对称轴方成为x??x)?sin[2(kπ?π6?x)?π3kπ2?π12，(k?Z)，

π3)?f(x)，

)?x]?f(kπ?π12]???sin(2x?所以x?例

kπ2?，(k?Z)是y?f(x)的对称轴。

??，xco?sn)，(x3，cxoos定s义2函c数

)xin4．已知向量m?(2s，f(x?)laog，a???(m?n?1)( 。1)(1)求函数y?f(x) 的最小正周期； (2)确定函数y?f(x)的单调区间。 解：(1)m?n?23sinxcosx?2cosx?所以f(x)?loga??(m?n?1)??23sin2x?cos2x?1?2sin(2x?π6)?1，

=logaπ6[2sin(2x?π6)]，(a?1)，所以最小正周期为π；

π12，kπ?5π12)，(k?Z)，

(2)令g(x)?2sin(2x?)?0，有x?(kπ?19

南京市高三数学二轮专题复习讲义

而g(x)在区间x?(kπ?]，(k?Z)上单调递增，

126π5π 在区间x?[kπ?，kπ?)，(k?Z)上单调递减，

612，kπ?ππ所以函数y?f(x)在区间x?(kπ? 在区间x?[kπ?ππ12，kπ?5ππ6]，(k?Z)上单调递增，

)，(k?Z)上单调递减。

612????????????????????5????????????备用题1．已知|AC|?5，|AB|?8，AD?DB，CD?AD?0，(1)求|AB?AC|；

11，kπ?(2)设?BAC?θ，且已知cos(θ?x)?45，?π?x??π4，求sinx。

?????????????5???5|AB|=，且CD?AD?0，解：(1)由已知，|AD|?即CD?AD， 162所以cos?BAC???????????????|AB?AC|?|BC|?12122，由余弦定理

125?8?2?5?8?π3π32?7；

π345π335(2)由(1)，cosθ?而?π?x??π4，θ?2π3?，cos(θ?x)?cos(?x?π12，

π12?x)?，所以sin(?x)??，

，?π12如果0?π3?x?，则sin(π3?x)?sin?sinπ6?12?35，所以sin(π3?x)??， 35此时sinx?sin[(π3?x)?π3]????3?4310。

???sinα)，b?(1?cosβ，sinβ)，c?(1，0)，备用题2．已知向量a?(1?cosα， α?(0，π)，??π??β?(π，2π)，a与c的夹角为θ1，b与c的夹角为θ2，且θ1?θ2?，求α?β的值。

6απβπαβsin?0，解：α?(0，π)，β?(π，2π)，所以?(0，)，?(，π)，所以cos?0，222222α?β?2222|b|?(1?cosβ)?(sinβ)=2sin， 所以|a|?(1?cosα)?(sinα)=2cos，22?????2α2βa?c?1?cosα?2cos，b?c?1?cosβ?2sin而|c|?1，又因为，

2220

南京市高三数学二轮专题复习讲义

????a?cαb?cβαπα所以cosθ1??，又，所以，cosθ2???sin?(0，)θ???cos，?1222|a|?|c|22|b|?|c|又因为

πβππββπβπ ?(，π)，0???，cosθ2?sin?cos(?)，所以θ2??，

2222222222π6β63????????2作业1．已知0为坐标原点，a?R，a是OA?(2cosx，，1)OB?(1，3sin2x?a)，(x?R，????????常数)，若y?OA?OB，

θ1?θ2?，

α2?(β2?π2)?π，所以α?β??2π。

(1)求y关于x的函数解析式f(x)；

(2)若x?[0，]时，函数f(x)的最大值为2，求a的值。

2????????解：(1)y?OA?OB?2cos2x?3sin2x?a，所以f(x)?2cosx?2π3sin2x?a；

(2)f(x)?2cosx?令2x?π?π，即x?23sin2x?a?cos2x?π3sin2x?a?1?2sin(2x?π6)?a?1

π?[0，]时，f(x)的最大值为3+a，解得a=－1。

6262??????1cosα)，b=(cosβ，sinβ)，b?c?(2cosβ，0)，a?b?，作业2．已知a?(sinα，

2??1a?c?，求cos2(α?β)?tanαcotβ的值。

3???sinβ)?(x，y)?(cosβ?x，sinβ?y)?(2cosβ，0)，解：设c?(x，y)，b?c?(cosβ，??1??1?所以c?(cosβ，?sinβ)，因为a?b?，a?c?，

2315??sinαcosβ?cosαsinβ?sinαcosβ?????212所以?，所以?，所以tanαcotβ?5，

?sinαcosβ?cosαsinβ?1?cosαsinβ?1??3?12?又因为sin(α?β)?12，cos2(α?β)?1?2sin(α?β)?115212，

所以cos2(α?β)?tanαcotβ?。

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南京市高三数学二轮专题复习讲义

??13???作业3．已知向量a?(3， ?1)，b?(，)，c?a?(sin2α?2cosα)b，22????1π?2d?(sin2α)a?(cosα)b，α?(0，)，若c?d，求cosα的值。

42?????????2?222解：由已知得a?b?0，|a|?a?，4|b|?b?，1因为c?d，所以c?d?0，即

?[a?(sinα2??12coαsb)][(42?sαina2?)?α(bcos?，) ]0化简得sin22α?sin2αcosα?2cos2α?0，?(sin2α?2cosα)(sin2α?cosα)?0，因

π为α?(0，)，所以sin2α?cosα，所以sinα?212，cosα?32。

??作业4．设平面内两个向量a?(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，0<α<β<π，

????(1)证明：(a?b)?(a?b)；

????(2)若有|ka?b|?|a?kb|，求β?α(k?0，k?R)的值。

(1)证明：a?b?(cosα?cosβ，sinα?sinβ)，a?b?(cosα?cosβ，sinα?sinβ)，

????????所以(a?b)?(a?b)???1?1?0，所以(a?b)?(a?b)； ??2??2???22?2(2)解：|ka?b|?(ka?b)?ka?2ka?b?b，

???????2?????2222|a?kb|?(a?kb)?a?2ka?b?kb，又因为|ka?b|?|a?kb|，

???????2???2?2???2??22222所以ka?2ka?b?b?a?2ka?b?kb，即(k?1)a?4ka?b?(1?k)b?0，

2????又因为|a|?|b|?1，a?b?cos(α?β)，所以4kcos(α?β)?0，

?k?0，k?R， 所以cos(α?β)?0，又0<α<β<π，则α?β??π2，即β?α?π2。

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南京市高三数学二轮专题复习讲义

第六课时

例1．已知偶函数f(x)?cosθsinx?sin(x?θ)?(tanθ?2)sinx?sinθ的最小值为0，求f(x)的最大值及此时x的集合。

解：f(x)?cosθsinx?sin(x?θ)?(tanθ?2)sinx?sinθ ?sinθcoxs?(θta?n2x)s?inθ，因为f(x)为偶函数，

所以，对x?R，有f(?x)?f(x)，即

sinθcos(?x)?(tanθ?2)sin(?x)?sinθ?sinθcosx?(tanθ?2)sinx?sinθ， ?sin2θ?cos2θ?1?亦即(tanθ?2)sinx?0，所以tanθ?2，由?sinθ，

?tanθ?2??cosθ??2525sinθ?sinθ??????55解得?，此时f(x)?sinθ(cosx?1)， 或?55??cosθ?cosθ????55??当sinθ?255时，f(x)?255(cosx?1)，最大值为0，不合题意，

当sinθ??255时，f(x)??255(cosx?1)，最小值为0，

当cosx??1时，f(x)由最大值

{x|x?2kπ?π，k?Z}。

455，此时自变量x的集合为：

1)B(，1)，且b>0，例2．已知函数f(x)?a?bsinx?ccosx(x?R)的图像过点A(0，，2π又f(x)的最大值为22?1，(1)求函数f(x) 的解析式；(2)由函数y=f(x)图像经过平移是否能得到一个奇函数y=g(x)的图像？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理

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南京市高三数学二轮专题复习讲义

由。

解：(1)f(x)?a?bsinx?ccosx?a?b?csin(x?φ)(tanφ?22cb)，由题意，可得

?a?c?1?a??1??，解得?b?2，所以f(x)??1?2sinx?2cosx； ?a?b?1??c?222??a?b?c?22?1π(2) f(x)??1?2sinx?2cosx?22sin(x?)?1，将f(x)的图像向上平移1个单位

4ππ得到函数y?22sin(x?)的图像，再向右平移单位得到y?22sinx的图像，故将

44π f(x)的图像先向上平移1个单位，再向右平移单位就可以得到奇函数y=g(x)的图像。

4例3．已知函数f(x)?2sinx1?cos2x，

(1)求函数f(x)的定义域、值域、最小正周期； (2)判断函数f(x)奇偶性。

ππ?tanx，x?(2kπ?，2kπ?)?2sinxsinx?22???k?Z，

π3π|cosx|1?cos2x??tanx，x?(2kπ?，2kπ?)??22π2，k?Z}，值域为：R，最小正周期为T?2π；

解：(1)f(x)?定义域：{x|x?kπ?sin(?x)(2) f(?x)?|cos(?x)|??sinx|cosx|??f(x)，且定义域关于原点对称，

所以f(x)为奇函数。 例4．已知a?2，求y?(sinx?a)(cosx?a)的最值。

2解：y?(sinx?a)(cosx?a)?a(sinx?cosx)?sinxcosx?a，

t?122令t?sinx?cosx?[?2，2]，则有sinxcosx?，

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南京市高三数学二轮专题复习讲义

所以y???12(t?a)?212(a?1)，因为a?2a?1222，则

2时，ymax?a?2当t??2时，ymin?a2?，当t?2a?12π6。

)(0?m?1)已

备用题1．设函数f(x)?sinax?3cosax(0?a?1)，g(x)?tan(mx?知函数f(x)，g(x)的最小正周期相同，且f(1)?2g(1)，(1)试确定f(x)，g(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间。 解：f(x)?sinax?周期相同，有

2πa?πm3cosax?2sin(ax?π3)(0?a?1)，由函数f(x)，g(x)的最小正

π3)?2tan(m?π6)，把

，即a=2m，又f(1)?2g(1)，即2sin(a?π3)?tan(m?π6)，

a=2m代入上式，得sin(2m?所以有2sin(m?π6)cos(m?π6)?6，

πcos(m?)6)??22sin(m?π)所以sin(m?若sin(m?π6π6)?0或cos(m?π6π6，

)?0，则有m??kπ,这与0?m?1矛盾， π6π4π6π4若cos(m?π6)??π12π622，则有m??kπ?或m??kπ?，

π12，a?π6于是有m?kπ?或m?kπ?x?π3π35π12(k?Z)，又0?m?1，所以m?π12x?π6)；

，

所以f(x)?2sin((2)由2kπ?π2?π6)，g(x)?tan(π2x??2kπ?，即x?[12k?5，12k?1]，

所以，函数f(x)的单调递增区间为x?[12k?5，12k?1](k?Z)。

备用题2．已知函数f(x)?4msinx?cos2x(x?R)，若函数f(x)的最大值为3，求实数m的值。

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